IGCSE Mathematics · Toán học IGCSE · Topic 5 · Chủ đề 5
7:47
Đo lường
Kim tự tháp lớn Giza đã đứng vững suốt bốn ngàn năm rưỡi. Có bao nhiêu đá bên trong nó? Khoảng hai triệu rưỡi mét khối — và một…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
This handout covers Topic 5, Mensuration (measuring length, area and volume). The Core and Extended content here is almost the same. In the exam, some formulas are given in the List of formulas, but you should still learn them all.
Tài liệu này bao gồm Chủ đề 5, Đo lường (đo độ dài, diện tích và thể tích). Nội dung Cơ bản và Nâng cao ở đây gần như giống nhau. Trong bài thi, một số công thức được đưa trong Danh sách công thức, nhưng bạn vẫn nên học thuộc tất cả chúng.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Use metric units of mass, length, area, volume and capacity in practical situations and convert quantities into larger or smaller units. | Units include: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Conversion between units includes: • between different units of area, e.g. $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • between units of volume and capacity, e.g. $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Sử dụng các đơn vị metric của khối lượng, chiều dài, diện tích, thể tích và dung tích trong các tình huống thực tế và chuyển đổi các đại lượng sang đơn vị lớn hơn hoặc nhỏ hơn. | Các đơn vị bao gồm: • mm, cm, m, km • $\text{mm}^2$, $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$, $\text{km}^2$ • $\text{mm}^3$, $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$ • ml, l • g, kg. Chuyển đổi giữa các đơn vị bao gồm: • giữa các đơn vị diện tích khác nhau, ví dụ: $\text{cm}^2 \leftrightarrow \text{m}^2$ • giữa các đơn vị thể tích và dung tích, ví dụ: $\text{m}^3 \leftrightarrow \text{litres}$. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
We use metric 公制 units for mass 质量 (g, kg), length 长度 (mm, cm, m, km), area 面积, volume 体积 and capacity 容量 (ml, litres — the space inside a container).
To change units, be careful with squares and cubes:
Worked example. Convert $3\text{ m}^{2}$ to $\text{cm}^{2}$.
Chúng ta sử dụng đơn vị mét cho khối lượng (g, kg), chiều dài (mm, cm, m, km), diện tích, thể tích và dung tích (ml, lít — không gian bên trong một vật chứa).*
Để đổi đơn vị, hãy cẩn thận với bình phương và lập phương:
Ví dụ minh họa. Chuyển $3\text{ m}^{2}$ sang $\text{cm}^{2}$.
Choose the unit that matches the measurement scale. · Chọn đơn vị phù hợp với thang đo.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for area of a triangle, formulas are not given. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Thực hiện các phép tính liên quan đến chu vi và diện tích của hình chữ nhật, tam giác, hình bình hành và hình thang. | Ngoại trừ diện tích tam giác, các công thức không được cho trước. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations involving the perimeter and area of a rectangle, triangle, parallelogram and trapezium. | Except for the area of a triangle, formulas are not given. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Thực hiện các phép tính liên quan đến chu vi và diện tích của hình chữ nhật, tam giác, hình bình hành và hình thang. | Ngoại trừ diện tích tam giác, các công thức không được cung cấp. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
The perimeter 周长 is the distance all the way round a shape. The area is the amount of flat space inside it. Here $b$ is the base 底 and $h$ is the perpendicular height 高.
| Shape | Area |
|---|---|
| rectangle 矩形 | $\text{length} \times \text{width}$ |
| triangle 三角形 | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| parallelogram 平行四边形 | $b \times h$ |
| trapezium 梯形 | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, where $a$ and $b$ are the two parallel sides |
Worked example. A trapezium has parallel sides $6\text{ cm}$ and $10\text{ cm}$, and height $4\text{ cm}$. Find its area.
Chu vi là khoảng cách bao quanh toàn bộ hình. Diện tích là lượng không gian phẳng bên trong. Ở đây $b$ là đáy và $h$ là chiều cao vuông góc.
| Hình | Diện tích |
|---|---|
| hình chữ nhật | $\text{length} \times \text{width}$ |
| tam giác | $\tfrac{1}{2} \times b \times h$ |
| hình bình hành | $b \times h$ |
| hình thang | $\tfrac{1}{2}(a + b)h$, trong đó $a$ và $b$ là hai cạnh song song |
Ví dụ minh họa. Một hình thang có các cạnh song song là $6\text{ cm}$ và $10\text{ cm}$, và chiều cao là $4\text{ cm}$. Tính diện tích của nó.
area = side^2 · diện tích = cạnh^2
Change side length and see why area grows quadratically. · Thay đổi độ dài cạnh và xem tại sao diện tích tăng theo bậc hai.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| metric/ˈmetrɪk/ | metric |
| mass/mæs/ | khối lượng |
| length/leŋθ/ | chiều dài |
| area/ˈeərɪə/ | diện tích |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Thực hiện các phép tính liên quan đến chu vi và diện tích của đường tròn. | Đáp án có thể yêu cầu theo dạng $\pi$. |
| 2 Thực hiện các phép tính liên quan đến độ dài cung và diện tích hình quạt như một phân số của chu vi và diện tích đường tròn, trong đó góc của hình quạt là ước số của $360^\circ$. | Công thức được cung cấp trong Danh sách công thức. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Thực hiện các phép tính liên quan đến chu vi và diện tích của đường tròn. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Thực hiện các phép tính liên quan đến độ dài cung và diện tích hình quạt dưới dạng phân số của chu vi và diện tích đường tròn. | Bao gồm hình quạt nhỏ và hình quạt lớn. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
For a circle 圆 with radius 半径 $r$ (and diameter 直径 $d = 2r$):
The circumference 圆周 is the distance round the circle.
Worked example. A circle has radius $7\text{ cm}$. Find its circumference and area (leave $\pi$ in the answer).
Đối với đường tròn có bán kính $r$ (và đường kính $d = 2r$):
Chu vi là khoảng cách bao quanh đường tròn.
Ví dụ minh họa. Một đường tròn có bán kính $7\text{ cm}$. Tìm chu vi và diện tích của nó (giữ nguyên $\pi$ trong đáp án).
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | hình tròn |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | bán kính |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | đường kính |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | chu vi |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle, where the sector angle is a factor of $360^\circ$. | Formulas are given in the List of formulas. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Thực hiện các phép tính liên quan đến chu vi và diện tích của đường tròn. | Đáp án có thể yêu cầu theo dạng $\pi$. |
| 2 Thực hiện các phép tính liên quan đến độ dài cung và diện tích hình quạt như một phân số của chu vi và diện tích đường tròn, trong đó góc của hình quạt là ước số của $360^\circ$. | Công thức được cung cấp trong Danh sách công thức. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations involving the circumference and area of a circle. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Carry out calculations involving arc length and sector area as fractions of the circumference and area of a circle. | Includes minor and major sectors. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Thực hiện các phép tính liên quan đến chu vi và diện tích của đường tròn. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. Formulas are given in the List of formulas. |
| 2 Thực hiện các phép tính liên quan đến độ dài cung và diện tích hình quạt dưới dạng phân số của chu vi và diện tích đường tròn. | Bao gồm hình quạt nhỏ và hình quạt lớn. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
An arc 弧 is part of the circumference. A sector 扇形 is a "pizza slice" between two radii. If the sector angle is $\theta$, the arc and sector are that fraction $\dfrac{\theta}{360}$ of the whole circle:
A small slice is a minor sector 小扇形; the large rest is a major sector 大扇形.
Worked example. Find the arc length 弧长 and area of a sector with angle $90^{\circ}$ and radius $8\text{ cm}$.
The fraction is $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, so
Một cung là một phần của chu vi. Một hình quạt là một "miếng pizza" nằm giữa hai bán kính. Nếu góc của hình quạt là $\theta$, thì cung và hình quạt chính là phân số $\dfrac{\theta}{360}$ của toàn bộ đường tròn:
Một miếng nhỏ gọi là hình quạt nhỏ; phần lớn còn lại là hình quạt lớn.
Ví dụ minh họa. Tìm độ dài cung và diện tích của một hình quạt có góc $90^{\circ}$ và bán kính $8\text{ cm}$.
Phân số là $\dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$, nên
s = rθ · A = ½r²θ
A bigger angle or radius means a longer arc and larger sector area. · Góc lớn hơn hoặc bán kính lớn hơn nghĩa là cung dài hơn và diện tích hình quạt lớn hơn.
Change the angle and radius and read off the arc length and sector area — a fraction of the whole circle. · Thay đổi góc và bán kính và đọc chiều dài cung và diện tích hình quạt — tỷ lệ của cả đường tròn.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| arc/ɑːk/ | cung |
| sector/ˈsektə/ | khu vực |
| minor sector/ˈmaɪnə ˈsektə/ | tấm nhỏ |
| major sector/ˈmeɪdʒə ˈsektə/ | tấm lớn |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | độ dài cung |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems involving the surface area and volume of a: • cuboid • prism • cylinder • sphere • pyramid • cone. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. The following formulas are given in the List of formulas: • curved surface area of a cylinder • curved surface area of a cone • surface area of a sphere • volume of a prism • volume of a pyramid • volume of a cylinder • volume of a cone • volume of a sphere. The term prism refers to any solid with a uniform cross-section, e.g. a cylindrical sector. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Thực hiện các phép tính và giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích bề mặt và thể tích của: • hình hộp chữ nhật • lăng trụ • trụ tròn | Đáp án có thể yêu cầu theo $\pi$. Các công thức sau được cung cấp trong Danh sách công thức: • diện tích xung quanh của trụ tròn • diện tích xung quanh của hình nón • diện tích bề mặt của quả cầu • thể tích của lăng trụ • thể tích của chóp • thể tích của trụ tròn • thể tích của hình nón • thể tích của quả cầu. Thuật ngữ lăng trụ chỉ bất kỳ khối đa diện nào có tiết diện đều, ví dụ như một phân mảnh trụ tròn. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
The surface area 表面积 is the total area of all the outside faces. The volume is the space inside. For these solids ($r$ = radius, $h$ = height):
| Solid | Volume | Surface area |
|---|---|---|
| cuboid 长方体 | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | add the six faces |
| prism 棱柱 | (cross-section 横截面 area) $\times$ length | — |
| cylinder 圆柱 | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (curved surface area 侧面积) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| pyramid 棱锥 | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| cone 圆锥 | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (curved) $+\, \pi r^{2}$, where $l$ is the slant height 斜高 |
| sphere 球 | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Worked example. A cylinder has radius $5\text{ cm}$ and height $10\text{ cm}$. Find its volume and total surface area (in terms of $\pi$).
Diện tích bề mặt là tổng diện tích tất cả các mặt ngoài. Thể tích là không gian bên trong. Đối với các khối này ($r$ = bán kính, $h$ = chiều cao):
| Khối | Thể tích | Diện tích bề mặt |
|---|---|---|
| hộp chữ nhật | $\text{length} \times \text{width} \times \text{height}$ | cộng sáu mặt |
| lăng trụ | (diện tích mặt cắt ngang) $\times$ × độ dài | — |
| hình trụ | $\pi r^{2} h$ | $2\pi r h$ (diện tích mặt cong) $+\, 2\pi r^{2}$ |
| hình chóp | $\tfrac{1}{3} \times \text{base area} \times h$ | — |
| hình nón | $\tfrac{1}{3}\pi r^{2} h$ | $\pi r l$ (cong) $+\, \pi r^{2}$, trong đó $l$ là đường sinh |
| hình cầu | $\tfrac{4}{3}\pi r^{3}$ | $4\pi r^{2}$ |
Ví dụ minh họa. Một hình trụ có bán kính $5\text{ cm}$ và chiều cao $10\text{ cm}$. Tìm thể tích và tổng diện tích bề mặt của nó (theo $\pi$).
surface area grows with scale^2 · diện tích bề mặt tăng theo scale^2
Change length scale and see volume grow faster than surface area. · Thay đổi tỷ lệ chiều dài và xem thể tích tăng nhanh hơn diện tích bề mặt.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | thể tích |
| capacity/kəˈpæsɪti/ | tải |
| perimeter/pəˈrɪmɪtə/ | chu vi |
| base/beɪs/ | cơ số |
| height/haɪt/ | chiều cao |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | hình chữ nhật |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | tam giác |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | hình bình hành |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | hình thang |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | diện tích bề mặt |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | hộp chữ nhật |
| prism/ˈprɪzəm/ | lăng kính |
| cross-section/krɒs ˈsekʃn/ | mặt cắt ngang |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | hình trụ |
| curved surface area/kɜːvd ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | diện tích mặt cong |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | kim tự tháp |
| cone/kəʊn/ | nón |
| slant height/slænt haɪt/ | chiều cao xiên |
| sphere/sfɪə/ | hình cầu |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the volume of half of a sphere. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Thực hiện các phép tính và giải quyết các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích của: • hình hợp thành • các phần của hình. | Đáp án có thể yêu cầu theo $\pi$. |
| 2 Thực hiện các phép tính và giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích bề mặt và thể tích của: • khối hợp thành • các phần của khối. | Ví dụ: tìm thể tích của nửa quả cầu. |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Carry out calculations and solve problems involving perimeters and areas of: • compound shapes • parts of shapes. | Answers may be asked for in terms of $\pi$. |
| 2 Carry out calculations and solve problems involving surface areas and volumes of: • compound solids • parts of solids. | e.g. find the surface area and volume of a frustum. |
| Nội dung môn học | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| 1 Thực hiện các phép tính và giải quyết các bài toán liên quan đến chu vi và diện tích của: • hình hợp thành • các phần của hình. | Đáp án có thể yêu cầu theo $\pi$. |
| 2 Thực hiện các phép tính và giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích bề mặt và thể tích của: • khối hợp thành • các phần của khối. | Ví dụ: tìm diện tích bề mặt và thể tích của một khối cụt. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A compound shape 组合图形 is made by joining or cutting simple shapes. Split it into parts you know, then add or subtract.
For "parts" of a circle or solid, take the right fraction. For example, a hemisphere 半球 (half a sphere) has volume
A frustum 平截头体 is a cone or pyramid with its top cut off; find its volume by subtracting the small top cone from the whole cone.
Worked example. Find the area of a shape made of a rectangle $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ with a semicircle of diameter $5\text{ cm}$ on one end.
The semicircle has radius $2.5\text{ cm}$:
Một hình phức hợp được tạo thành bằng cách ghép hoặc cắt các hình đơn giản. Chia nó thành các phần bạn đã biết, sau đó cộng hoặc trừ.
Đối với "các phần" của đường tròn hoặc khối, hãy lấy đúng phân số. Ví dụ, một bán cầu (nửa hình cầu) có thể tích
Một vải vụn (hay hình chóp cụt/hình nón cụt) là một hình nón hoặc hình chóp bị cắt bỏ phần đỉnh; tìm thể tích của nó bằng cách trừ đi hình nón nhỏ phía trên khỏi hình nón nguyên bản.
Ví dụ minh họa. Tìm diện tích của một hình gồm hình chữ nhật $8\text{ cm} \times 5\text{ cm}$ có một nửa đường tròn có đường kính $5\text{ cm}$ gắn vào một đầu.
Nửa đường tròn có bán kính $2.5\text{ cm}$:
Break a compound shape into simple parts, then recombine. · Chia hình hợp thành thành các phần đơn giản, sau đó ghép lại.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| compound shape/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪp/ | hình ghép |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | bán cầu |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | nón cụt |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Loading subjects… · Đang tải danh sách môn…