Diện tích bề mặt và thể tích vật thể
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | thể tích |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | diện tích bề mặt |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | hình hộp chữ nhật |
| prism/ˈprɪzəm/ | lăng trụ |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | hình trụ |
| cone/kəʊn/ | hình nón |
| sphere/sfɪə/ | hình cầu |
Cần bao nhiêu nước để lấp đầy hồ bơi?
- Một hồ bơi dài 25 m, rộng 10 m, sâu 2 m chứa $25 \times 10 \times 2 = 500\text{ m}^3 = 500\,000$ lít.
- Thể tích cho biết một vật thể rắn có thể chứa bao nhiêu. Diện tích bề mặt cho biết bao nhiêu vật liệu phủ lấy nó.
Phòng thí nghiệm tỷ lệ thể tích
diện tích bề mặt tăng theo scale^2
Thay đổi tỷ lệ chiều dài và xem thể tích tăng nhanh hơn diện tích bề mặt.
Thể tích của các khối thường gặp
| Khối | Thể tích |
|---|---|
| Hộp chữ nhật | $l \times w \times h$ |
| lăng trụ | diện tích tiết diện $\times$ × chiều dài |
| trụ tròn | $\pi r^2 h$ |
| chóp | $\dfrac{1}{3} \times$ × diện tích đáy $\times h$ |
| nón | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| cầu | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
Một lăng trụ có cùng tiết diện dọc theo chiều dài của nó. Một trụ tròn là một lăng trụ tròn: tiết diện $= \pi r^2$, nên thể tích $= \pi r^2 \times h$.
Các kim tự tháp Giza là những kim tự tháp lớn có đáy hình vuông — các khối thực mà bạn có thể tính toán thể tích và diện tích bề mặt của chúng
Một hình trụ có bán kính 5 cm và chiều cao 10 cm. Thể tích của nó là kπ cm³. Tìm k?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Thể tích = πr²h = π(25)(10) = 250π, nên k = 250.
Thể tích của một hình cầu bán kính r là:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Thể tích hình cầu = (4/3)πr³; 4πr² là diện tích bề mặt của nó.
Một hình nón có bán kính 3 cm và chiều cao 4 cm. Thể tích của nó là kπ cm³. Tìm k?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Thể tích = (1/3)πr²h = (1/3)π(9)(4) = 12π, nên k = 12.
Một hộp chữ nhật có kích thước 4 cm x 3 cm x 5 cm. Tìm thể tích của nó (cm³).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Thể tích = dài × rộng × cao = 4 × 3 × 5 = 60 cm³.
Diện tích bề mặt
- Cộng diện tích của mọi mặt ngoài.
- Trụ tròn: bề mặt cong $2\pi rh$ cộng hai đầu hình tròn $2\pi r^2$. Tổng $= 2\pi rh + 2\pi r^2$.
- Cầu: $4\pi r^2$.
Diện tích bề mặt ≠ thể tích. Thể tích của trụ tròn sử dụng $\pi r^2 h$ (đơn vị lập phương); diện tích bề mặt của nó sử dụng $2\pi rh + 2\pi r^2$ (đơn vị bình phương). Nhầm lẫn giữa chúng là một lỗi phổ biến.
Các kim tự tháp Giza là những kim tự tháp có đáy hình vuông, một khối 3-D
Cùng hình trụ đó (r = 5, h = 10) có tổng diện tích bề mặt là kπ cm². Tìm k?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
2π(5)(10) + 2π(5²) = 100π + 50π = 150π, nên k = 150.
Công thức tính diện tích bề mặt và thể tích hình trụ giống nhau.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Thể tích = πr²h (đơn vị khối); diện tích bề mặt = 2πrh + 2πr² (đơn vị vuông). Công thức khác nhau.
Ví dụ minh họa
- Trụ tròn $r = 5$, $h = 10$:
- Thể tích $= \pi(5^2)(10) = 250\pi\text{ cm}^3$.
- Diện tích bề mặt $= 2\pi(5)(10) + 2\pi(5^2) = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^2$.
Thể tích dựa trên diện tích: một trụ tròn là một đường tròn ($\pi r^2$) kéo dài qua một chiều cao ($h$).
Các thùng chứa xếp chồng lên nhau là các hộp chữ nhật; thể tích là chiều dài nhân với chiều rộng nhân với chiều cao
Diện tích hình nón và thể tích hình chóp
- Một hình nón có bán kính 3 cm, chiều cao vuông góc 4 cm và độ dài đường sinh 5 cm có diện tích mặt bên là $S_c=\pi rl=15\pi\text{ cm}^2$. Cộng thêm đáy hình tròn để có tổng diện tích là $S=15\pi+9\pi=24\pi\text{ cm}^2$; sử dụng chiều cao vuông góc để tính thể tích là $V=\pi r^2h/3=12\pi\text{ cm}^3$.
- Một hình chóp có diện tích đáy là $30\text{ cm}^2$ và chiều cao vuông góc là 8 cm có thể tích là $V=Ah/3=80\text{ cm}^3$. Để tính diện tích bề mặt, hãy cộng diện tích đáy và các mặt tam giác, sử dụng chiều cao vuông góc của từng mặt.
Một hình nón có r = 3 cm và độ dài đường sinh 5 cm. Diện tích toàn phần của nó là kπ cm². Tìm k.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Diện tích mặt bên là 15π và diện tích đáy là 9π; k = 24.
Một hình chóp có diện tích đáy 30 cm² và chiều cao vuông góc 8 cm. Tìm thể tích của nó theo đơn vị cm³.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V = diện tích đáy × chiều cao / 3 = 30 × 8 / 3 = 80.
Bạn đã nắm vững
- Thể tích trụ tròn $= \pi r^2 h$; thể tích cầu $= \dfrac{4}{3}\pi r^3$; thể tích nón $= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
- Diện tích bề mặt trụ tròn $= 2\pi rh + 2\pi r^2$; diện tích bề mặt cầu $= 4\pi r^2$
- ⟨$r=5$, $h=10$⟩ hình trụ: thể tích là $250\pi$, diện tích bề mặt là $150\pi$