Đại số và đồ thị

Trong đại số, chúng ta sử dụng các chữ cái để đại diện cho các con số. Một chữ cái có giá trị có thể thay đổi là một biến số. Thay thế có nghĩa là đặt một con số vào chỗ của một chữ cái.

Ví dụ đã giải. Tìm giá trị của $3x^{2} - 2y$ khi $x = 4$ và $y = 5$.

Một hạng tử là một phần đơn lẻ của một biểu thức, chẳng hạn như $5a$ hoặc $-9b$. Các hạng tử giống nhau có chính xác cùng các chữ cái; bạn có thể cộng hoặc trừ chúng. Con số đứng trước chữ cái là hệ số.

Ví dụ có hướng dẫn. Rút gọn $2a^{2} + 3ab - 1 + 5a^{2} - 9ab + 4$.

Rút gọn các hạng tử giống nhau: $2a^{2} + 5a^{2} = 7a^{2}$, $3ab - 9ab = -6ab$, $-1 + 4 = 3$. Vậy đáp án là

Để khai triển có nghĩa là nhân mở ngoặc. Nhân mọi hạng tử bên trong với hạng tử bên ngoài; đối với hai ngoặc, nhân mọi hạng tử trong ngoặc đầu tiên với mọi hạng tử trong ngoặc thứ hai.

Ví dụ có lời giải.

Đối với ba ngoặc (Nâng cao), khai triển hai ngoặc trước, sau đó nhân với ngoặc thứ ba:

Để phân tích đa thức thành nhân tử là điều ngược lại của khai triển: viết biểu thức dưới dạng tích của các ngoặc. Luôn lấy ước chung ra trước.

Ví dụ đã giải. $9x^{2} + 15xy = 3x(3x + 5y)$, vì $3x$ chia hết cả hai hạng tử.

Các mẫu sau đây là Nâng cao.

Nhóm (bốn hạng tử): lấy ước chung từ mỗi cặp.

Hiệu hai bình phương: $a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$.

Bình phương hoàn hảo: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$.

Biểu thức bậc hai $ax^{2} + bx + c$: tìm hai số nhân với nhau để ra $a \times c$ và cộng lại để ra $b$, sau đó tách hạng tử ở giữa.

Ví dụ đã giải. Phân tích $2x^{2} + 7x + 3$ thành nhân tử.

Ở đây $a \times c = 6$ và $b = 7$. Hai số $1$ và $6$ hoạt động. Tách và nhóm:

Đối với $ax^{3} + bx^{2} + cx$, lấy ra ước chung $x$ trước: $2x^{3} + 7x^{2} + 3x = x(2x^{2} + 7x + 3) = x(x + 3)(2x + 1)$.

Hoàn thành bình phương viết lại $x^{2} + bx + c$ thành $(x + p)^{2} + q$. Lấy một nửa của hệ số $x$, bình phương nó, sau đó cân bằng.

Ví dụ đã giải. Viết $x^{2} + 6x + 1$ dưới dạng hoàn thành bình phương.

Một nửa của $6$ là $3$, và $3^{2} = 9$:

Khi $x^{2}$ có hệ số, hãy đưa nó ra ngoài hai số hạng đầu tiên trước:

Một phân thức đại số có phần tử đại số ở tử số hoặc mẫu số. Cộng và trừ bằng cách tìm mẫu số chung; nhân và chia giống như phân số thông thường.

Ví dụ có lời giải.

Để rút gọn một biểu thức hữu tỉ, phân tích nhân tử cả tử và mẫu, sau đó triệt tiêu các nhân tử chung.

Các quy tắc về lũy thừa cũng áp dụng cho chữ cái: $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$, $a^{m} \div a^{n} = a^{m-n}$ và $(a^{m})^{n} = a^{mn}$.

Ví dụ có lời giải.

Bạn cũng có thể giải phương trình lũy thừa đơn giản bằng cách viết cả hai vế cùng một cơ số.

Ví dụ minh họa. Giải $2^{x} = 32$. Vì $32 = 2^{5}$, bạn sẽ thu được $x = 5$.

Một phương trình khẳng định hai biểu thức bằng nhau. Để giải một phương trình bậc nhất, thực hiện cùng một phép toán lên cả hai vế cho đến khi ẩn số nằm một mình.

Ví dụ minh họa. Giải $5 - 2x = 3(x + 7)$.

Phương trình phân thức (Nâng cao)

Một phương trình phân thức có ẩn số nằm ở mẫu số. Nhân cả hai vế với mẫu số để loại bỏ nó.

Ví dụ minh họa. Giải $\dfrac{x}{2x + 1} = 4$.

Hệ phương trình đồng thời

Hệ phương trình đồng thời là hai phương trình được giải đồng bộ. Đối với hai phương trình bậc nhất, cộng hoặc trừ để loại bỏ một ẩn số.

Ví dụ minh họa. Giải $2x + y = 7$ và $3x - y = 8$.

Phép cộng sẽ triệt tiêu $y$: $5x = 15$, do đó $x = 3$. Sau đó tính $y = 7 - 2(3) = 1$.

Đối với một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai (Nâng cao), thế phương trình bậc nhất vào đường cong.

Ví dụ minh họa. Giải $y = x + 2$ và $y = x^{2}$.

suy ra $x = 2$ (cho kết quả $y = 4$) hoặc $x = -1$ (cho kết quả $y = 1$).

Giải phương trình bậc hai (Nâng cao)

Có ba phương pháp.

• Bằng cách phân tích thành nhân tử: $x^{2} + 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ hoặc $x = -3$.
• Bằng cách hoàn thiện bình phương: $x^{2} + 6x + 1 = 0 \Rightarrow (x + 3)^{2} = 8 \Rightarrow x + 3 = \pm 2\sqrt{2} \Rightarrow x = -3 \pm 2\sqrt{2}$.
• Bằng công thức nghiệm bậc hai, được cung cấp trong đề thi:
  $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}.$$

Ví dụ minh họa (công thức). Giải $2x^{2} + 3x - 1 = 0$. Ở đây $a = 2$, $b = 3$, $c = -1$:

Thay đổi chủ thể

Việc thay đổi chủ thể của một công thức có nghĩa là sắp xếp lại để một chữ cái chọn trước nằm một mình ở một vế.

Ví dụ minh họa. Đưa $r$ làm chủ thể của $A = \pi r^{2}$ (Nâng cao, vì có số mũ).

Khi chữ cái xuất hiện hai lần (Nâng cao), nhóm các số hạng đó lại và phân tích thành nhân tử. Để đưa $x$ làm chủ thể của $y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$:

Một bất phương trình sử dụng $<$, $>$, $\leqslant$ hoặc $\geqslant$. Giải nó giống như một phương trình, nhưng đảo ngược dấu nếu bạn nhân hoặc chia cho một số âm.

Ví dụ minh họa. Giải $-3 \leqslant 3x - 2 < 7$.

Cộng $2$ vào tất cả các phần, sau đó chia cho $3$:

Trên trục số, dùng vòng tròn mở cho $<$ hoặc $>$ (giá trị không bao gồm) và vòng tròn đóng cho $\leqslant$ hoặc $\geqslant$ (giá trị bao gồm).

Vùng (Nâng cao)

Một bất phương trình với hai biến mô tả một vùng trên đồ thị. Vẽ đường biên (nét đứt cho $<$ hoặc $>$, nét liền cho $\leqslant$ hoặc $\geqslant$) và tô đậm phía không mong muốn. Bạn cũng có thể được yêu cầu liệt kê các bất phương trình xác định một vùng nhất định.

Một dãy số là một danh sách các số tuân theo một quy tắc. Quy tắc chuyển từ số hạng này sang số hạng kia cho biết cách lấy số hạng tiếp theo từ số hạng ngay trước nó.

Để tìm quy tắc cho số hạng ở vị trí $n$ (số hạng thứ $n$), hãy xem xét sự thay đổi của các số hạng.

Dãy số tuyến tính (các số hạng tăng đều mỗi lần). Hiệu số chính là bội số của $n$.

Ví dụ minh họa. Tìm số hạng thứ $n$ của $2, 5, 8, 11, \dots$

Các số hạng tăng thêm $3$, nên bắt đầu với $3n$. Vì $3 \times 1 = 3$ nhưng số hạng đầu tiên là $2$, trừ đi $1$: số hạng thứ $n$ là $3n - 1$.

Dãy số bậc hai (hiệu số bản thân chúng thay đổi một lượng không đổi). Hiệu số bậc hai bằng $2 \times$ hệ số của $n^{2}$.

Ví dụ minh họa. Tìm số hạng thứ $n$ của $2, 5, 10, 17, \dots$

Hiệu số bậc nhất là $3, 5, 7$; hiệu số bậc hai là $2$, nên phần $n^{2}$ là $1n^{2}$. Trừ $n^{2}$ ($1, 4, 9, 16$) khỏi dãy số sẽ còn lại $1, 1, 1, 1$. Vậy số hạng thứ $n$ là $n^{2} + 1$.

Một dãy số bậc ba như $1, 8, 27, 64, \dots$ có số hạng thứ $n$ là $n^{3}$. Một dãy số mũ như $2, 6, 18, 54, \dots$ nhân với một số cố định mỗi lần; ở đây số hạng thứ $n$ là $2 \times 3^{\,n-1}$.

Hai đại lượng tỉ lệ thuận nếu đại lượng này luôn là một bội số không đổi của đại lượng kia: $y \propto x$ có nghĩa là $y = kx$, trong đó $k$ là hệ số tỉ lệ. Chúng tỉ lệ nghịch nếu đại lượng này tăng thì đại lượng kia giảm: $y \propto \dfrac{1}{x}$ có nghĩa là $y = \dfrac{k}{x}$. Ký hiệu $\propto$ đọc là "tỉ lệ thuận với". Bạn cũng có thể có tỉ lệ thuận với bình phương, căn bậc hai, lập phương hoặc căn bậc ba.

Ví dụ minh họa. $y$ tỉ lệ thuận với $x$, và bằng $y = 12$ khi $x = 3$. Tìm $y$ khi $x = 7$.

Đầu tiên tìm $k$: $12 = k \times 3$, nên $k = 4$ và $y = 4x$. Sau đó tính $y = 4 \times 7 = 28$.

Độ dốc (độ dốc đứng) của đồ thị thể hiện tốc độ biến thiên.

• Một đồ thị di chuyển (đồ thị khoảng cách - thời gian) có độ dốc bằng vận tốc; phần phẳng cho thấy vật thể đang dừng lại.
• Đồ thị chuyển đổi là một đường thẳng dùng để chuyển đổi giữa hai đơn vị (ví dụ: dặm và ki-lô-mét).

Đồ thị vận tốc-thời gian (Nâng cao)

Trên đồ thị vận tốc-thời gian, độ dốc là gia tốc (hoặc giảm tốc nếu vận tốc giảm), và diện tích dưới đồ thị là quãng đường di chuyển.

Ví dụ mẫu. Một chiếc xe tăng tốc từ trạng thái nghỉ đến $20\text{ m/s}$ trong $8\text{ s}$, sau đó giữ nguyên ở $20\text{ m/s}$ trong $12\text{ s}$. Tìm gia tốc và tổng quãng đường.

Gia tốc $= \dfrac{20}{8} = 2.5\text{ m/s}^{2}$. Quãng đường là diện tích: một tam giác cộng với một hình chữ nhật,

Để vẽ đồ thị, hãy lập bảng giá trị: chọn các giá trị của $x$, tính $y$, sau đó vẽ tọa độ và nối chúng bằng một đường cong trơn tru.

Các điểm mà đồ thị cắt trục $x$ (trục ngang) là nghiệm — các nghiệm của $y = 0$.

Bạn có thể giải phương trình bằng cách đọc đồ thị. Điểm giao nhau của một đường thẳng và một đường cong cho ra nghiệm của hai phương trình cùng nhau.

Đối với sự tăng trưởng lũy thừa và sự suy giảm lũy thừa, đồ thị của $y = a\,b^{x} + c$ tăng (hoặc giảm) ngày càng nhanh và dẹt dần về phía một đường ngang.

Một bản vẽ nháp nhanh nên thể hiện đúng hình dạng và các đặc điểm chính: nơi nó cắt các trục, bất kỳ tính đối xứng nào, và bất kỳ đường thẳng nào mà đường cong tiến gần tới.

Đối với một parabole, hoàn thành bình phương sẽ cho điểm quay (điểm thấp nhất hoặc cao nhất). Ví dụ, $y = (x + 3)^{2} - 8$ có điểm quay tại $(-3, -8)$.

Một tiệm cận là một đường mà đường cong tiến gần và gần hơn nhưng không bao giờ chạm vào — ví dụ, trục $x$ đối với $y = \dfrac{a}{x}$, hoặc đường $y = b$ đối với $y = a\,r^{x} + b$.

Đạo hàm tìm độ dốc của đường cong tại bất kỳ điểm nào. Bạn có thể ước lượng nó bằng cách vẽ một tiếp tuyến (đường thẳng chỉ chạm vào đường cong) và đo độ dốc của nó.

Quy tắc chính xác: nếu $y = ax^{n}$, thì đạo hàm là

Lấy đạo hàm từng số hạng của một tổng.

Ví dụ đã giải. Nếu $y = x^{3} + 2x^{2} - 5x$, thì $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^{2} + 4x - 5$.

Một điểm dừng (điểm quay) là nơi độ dốc bằng không, vì vậy hãy đặt $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0$.

Ví dụ mẫu. Tìm điểm quay của $y = x^{2} - 6x + 5$.

Điểm quay là $(3, -4)$. Để quyết định liệu điểm quay là cực đại hay cực tiểu, hãy kiểm tra dấu của độ dốc ở mỗi bên, hoặc sử dụng đạo hàm cấp hai (dương có nghĩa là cực tiểu).

Một hàm số biến mỗi đầu vào thành một đầu ra duy nhất. Chúng ta viết $f(x)$, ví dụ $f(x) = 3x - 5$, vì vậy $f(2) = 1$. Tập hợp các đầu vào được phép gọi là miền xác định; tập hợp các đầu ra có thể gọi là miền giá trị.

Hàm ngược $f^{-1}(x)$ làm ngược lại hàm số. Để tìm nó, viết $y = f(x)$, hoán đổi vai trò, và làm cho $x$ trở thành chủ đề.

Ví dụ minh họa. Tìm nghịch đảo của $f(x) = 3x - 5$.

Một hàm hợp áp dụng một hàm số sau một hàm số khác: $gf(x)$ có nghĩa là "làm $f$ trước, sau đó $g$".

Ví dụ mẫu. Nếu $f(x) = 2x$ và $g(x) = x + 3$, thì

• Khi khai triển ngoặc, nhân mọi số hạng và chú ý đến các dấu, đặc biệt là khi có dấu trừ ở phía trước: $-(x - 3) = -x + 3$.
• Để giải phương trình, thực hiện cùng một việc lên cả hai vế. Khi bạn nhân hoặc chia một bất đẳng thức bằng một số âm, lật dấu.
• Phân tích đa thức: lấy Ước chung lớn nhất ra ngoài trước, sau đó tìm hiệu hai bình phương hoặc mô hình bậc hai.
• Một phương trình bậc hai thường có hai nghiệm — hãy đưa cả hai ra. Kiểm tra xem câu hỏi yêu cầu phân tích, công thức hay hoàn thành bình phương.
• Khi thay thế vào công thức, đặt mỗi giá trị vào ngoặc trước, để dấu và số mũ ra đúng.