Infinite Sequences and Series · ⁨Dãy vô hạn và chuỗi⁩

AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · Topic 10 · ⁨Chủ đề 10⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

10.1

Defining Convergent and Divergent Infinite Series · ⁨Định nghĩa Chuỗi Vô Hạn Hội tụ và Phân kỳ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.1 The $n$th partial sum is defined as the sum of the first $n$ terms of a series. BC ONLY
LIM-7.A.2 An infinite series of numbers converges to a real number $S$ (or has sum $S$), if and only if the limit of its sequence of partial sums exists and equals $S$. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.1 Tổng riêng thứ $n$ được định nghĩa là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một chuỗi. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-7.A.2 Một chuỗi vô hạn các số hội tụ về một số thực $S$ (hoặc có tổng là $S$), nếu và chỉ nếu giới hạn của dãy tổng riêng của nó tồn tại và bằng $S$. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

An infinite series 无穷级数 adds infinitely many terms, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Its value is defined as the limit of the partial sums 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. If $S_N$ approaches a finite number $L$, the series converges 收敛 to $L$; otherwise it diverges 发散. Every convergence question is really a question about the limit of the partial sums.

Tiếng Việt

Búp bê Matryoshka lồng nhau: một chuỗi vô hạn tiếp tục thêm các số hạng — một số hội tụ, một số phân kỳ

Một chuỗi vô hạn cộng vô số các số hạng, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Giá trị của nó được định nghĩa là giới hạn của các tổng riêng $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Nếu $S_N$ tiến tới một số hữu hạn $L$, chuỗi hội tụ về $L$; ngược lại nó phân kỳ. Mọi câu hỏi về sự hội tụ thực chất là câu hỏi về giới hạn của các tổng riêng.

Tổng riêng phần của một cấp số nhân hội tụ tiến dần đến a/(1-r) qua từng bước — Đối với chuỗi hình học với $a=1,\ r=\tfrac12$, các tổng riêng $S_1,S_2,S_3,\dots$ leo lên toward the limit $\dfrac{a}{1-r}=2$ – chính giới hạn đó là giá trị của chuỗi.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/	dãy vô hạn
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/	tổng riêng
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	hội tụ
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	phân kỳ
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/	cấp số nhân
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/	tiêu chuẩn tích phân
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/	dãy điều hòa
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/	so sánh trực tiếp
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/	So sánh giới hạn
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/	dãy xen kẽ
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/	tiêu chuẩn tỷ số
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/	hội tụ tuyệt đối
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/	hội tụ điều kiện

10.2

Working with Geometric Series · ⁨Làm việc với Chuỗi Hình Học⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.3 A geometric series is a series with a constant ratio between successive terms. BC ONLY
LIM-7.A.4 If $a$ is a real number and $r$ is a real number such that $|r| < 1$, then the geometric series $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.3 Một chuỗi hình học là một chuỗi có tỷ số không đổi giữa các số hạng liên tiếp. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-7.A.4 Nếu $a$ là một số thực và $r$ là một số thực sao cho $|r| < 1$, thì chuỗi hình học $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Geometric series & convergence

A geometric series 几何级数 $\sum ar^{n}$ has a constant ratio $r$ between terms. It converges exactly when $|r|<1$, and then

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

This is the one series whose sum you can find exactly, and it underlies power series later in the unit.

Worked example. Sum $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Here $a=3$ and $r=\tfrac12$ (with $|r|<1$), so the sum is $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Tiếng Việt

Chuỗi hình học & sự hội tụ

Một chuỗi hình học $\sum ar^{n}$ có một tỉ số $r$ không đổi giữa các số hạng. Nó hội tụ chính xác khi $|r|<1$, và lúc đó

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$

Đây là chuỗi duy nhất mà bạn có thể tìm chính xác tổng, và nó là nền tảng cho chuỗi lũy thừa sau này trong chương.

Ví dụ đã giải. Tính tổng $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Tại đây $a=3$ và $r=\tfrac12$ (với $|r|<1$), nên tổng là $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Một dãy hình học nhân với cùng một tỉ số ở mỗi bước

Explore · ⁨Khám phá⁩

When a geometric series converges · ⁨Khi nào một chuỗi hình học hội tụ⁩

A geometric series $\sum ar^n$ converges only when $|r|<1$, summing to $\frac{a}{1-r}$. Change the ratio and watch the partial sums settle or blow up. · ⁨Một chuỗi hình học $\sum ar^n$ chỉ hội tụ khi $|r|<1$, tổng bằng $\frac{a}{1-r}$. Thay đổi tỉ số và quan sát các tổng riêng phần ổn định hay bùng nổ.⁩

10.3

The nth Term Test for Divergence · ⁨Tiêu chí Số hạng thứ n cho Sự Phân kỳ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.5 The $n$th term test is a test for divergence of a series. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.5 Tiêu chuẩn số hạng thứ $n$ là một tiêu chuẩn để kiểm tra sự phân tụ của một chuỗi. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

If the terms do not shrink to zero, the sum cannot settle: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, the series diverges. This is only a test for divergence – if the terms do go to zero, the test is inconclusive (the series may still diverge, like the harmonic series). Always check this quick test first.

Tiếng Việt

Nếu các số hạng không tiến tới zero, tổng sẽ không hội tụ: nếu $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, chuỗi phân kỳ. Đây chỉ là tiêu chuẩn kiểm tra sự phân kỳ – nếu các số hạng thực sự tiến tới zero, kết quả của phép thử này không xác định (chuỗi vẫn có thể phân kỳ, ví dụ như chuỗi điều hòa). Luôn kiểm tra phép thử nhanh này trước.

10.4

Integral Test for Convergence · ⁨Tiêu chuẩn Integral để Kiểm tra Sự Hội tụ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.6 The integral test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.6 Tiêu chuẩn tích phân là một phương pháp để xác định liệu một chuỗi có hội tụ hay phân tụ. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

If $a_n=f(n)$ for a positive, decreasing, continuous $f$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge. The integral test 积分判别法 turns a series question into an improper-integral question, and it is what proves the p-series rule below.

Tiếng Việt

Nếu $a_n=f(n)$ cho một hàm dương, giảm dần và liên tục $f$, thì $\sum a_n$ và $\int_1^\infty f(x)\,dx$ cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Tiêu chuẩn integral biến câu hỏi về chuỗi thành câu hỏi về tích phân bất thường, và đó chính là cơ sở để chứng minh quy tắc p-series bên dưới.

10.5

Harmonic Series and p-Series · ⁨Chuỗi Điều Hòa và p-Series⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.7 In addition to geometric series, common series of numbers include the harmonic series, the alternating harmonic series, and $p$-series. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.7 Ngoài chuỗi hình học, các chuỗi số thông thường bao gồm chuỗi điều hòa, chuỗi điều hòa xen kẽ, và $p$-chuỗi. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A p-series $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converges if $p>1$ and diverges if $p\le1$. The special case $p=1$, $\sum\dfrac1n$, is the harmonic series 调和级数 – it diverges even though its terms go to zero (a famous, must-know fact). The p-series family is the standard yardstick for comparison tests.

Tiếng Việt

Một p-series $\sum \dfrac{1}{n^p}$ hội tụ nếu $p>1$ và phân kỳ nếu $p\le1$. Trường hợp đặc biệt $p=1$, $\sum\dfrac1n$, là chuỗi điều hòa – nó phân kỳ mặc dù các số hạng tiến tới zero (một sự thật nổi tiếng, bắt buộc phải nhớ). Họ p-series là thước đo chuẩn để so sánh với các phép thử khác.

10.6

Comparison Tests for Convergence · ⁨Các Phép Thử So Sánh để Kiểm tra Sự Hội tụ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.8 The comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY
LIM-7.A.9 The limit comparison test is a method to determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.8 Tiêu chuẩn so sánh là một phương pháp để xác định liệu một chuỗi có hội tụ hay phân tụ. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-7.A.9 Tiêu chuẩn giới hạn so sánh là một phương pháp để xác định liệu một chuỗi có hội tụ hay phân tụ. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Compare an unfamiliar series to a known one (a p-series or geometric series):

Direct comparison 直接比较: if $0\le a_n\le b_n$ and $\sum b_n$ converges, so does $\sum a_n$; if $a_n\ge b_n\ge0$ and $\sum b_n$ diverges, so does $\sum a_n$.
Limit comparison 极限比较: if $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ is a finite positive number, the two series do the same thing. This is easier when the terms only behave like a known series.

Tiếng Việt

So sánh một chuỗi chưa quen thuộc với một chuỗi đã biết (p-series hoặc chuỗi hình học):

So sánh trực tiếp: nếu $0\le a_n\le b_n$ và $\sum b_n$ hội tụ, thì $\sum a_n$ cũng hội tụ; nếu $a_n\ge b_n\ge0$ và $\sum b_n$ phân kỳ, thì $\sum a_n$ cũng phân kỳ.
So sánh giới hạn: nếu $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ là một số hữu hạn dương, hai chuỗi sẽ có cùng hành vi. Điều này dễ dàng hơn khi các số hạng chỉ giống như một chuỗi đã biết.

10.7

Alternating Series Test for Convergence · ⁨Tiêu chuẩn Dãy Xen Dấu để Kiểm tra Sự Hội tụ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.10 The alternating series test is a method to determine whether an alternating series converges. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.10 Tiêu chuẩn chuỗi xen alternating là một phương pháp để xác định liệu một chuỗi xen có hội tụ hay không. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

An alternating series 交错级数 has terms that switch sign, $\sum(-1)^n b_n$. It converges if the $b_n$ are positive, decreasing, and $\lim b_n=0$. This lets series like $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converge even though the same terms without the signs (the harmonic series) diverge.

Tiếng Việt

Một dãy xen dấu có các số hạng đổi dấu, $\sum(-1)^n b_n$. Nó hội tụ nếu các $b_n$ là dương, giảm dần, và $\lim b_n=0$. Điều này cho phép các chuỗi như $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ hội tụ ngay cả khi các số hạng tương tự không có dấu (chuỗi điều hòa) lại phân kỳ.

10.8

Ratio Test for Convergence · ⁨Tiêu chuẩn Tỷ số để Kiểm tra Sự Hội tụ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.11 The ratio test is a method to determine whether a series of numbers converges or diverges. BC ONLY
- Exclusion statement: The nth term test for divergence, and the integral test, comparison test, limit comparison test, alternating series test, and ratio test for convergence are assessed on the AP Calculus BC Exam. Other methods are not assessed on the exam. However, teachers may include additional methods in the course, if time permits.

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.11 Tiêu chuẩn tỷ số là một phương pháp để xác định liệu một chuỗi số có hội tụ hay phân tụ. CHỈ DÀNH CHO BC
- Câu loại trừ: Tiêu chuẩn số hạng thứ n cho sự phân tụ, và các tiêu chuẩn tích phân, so sánh, giới hạn so sánh, chuỗi xen alternating, và tỷ số cho sự hội tụ được đánh giá trong kỳ thi AP Calculus BC. Các phương pháp khác không được đánh giá trong kỳ thi. Tuy nhiên, giáo viên có thể đưa thêm các phương pháp vào chương trình nếu thời gian cho phép.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The ratio test 比值判别法 examines $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: the series converges absolutely;
$L>1$: it diverges;
$L=1$: inconclusive.

It is the go-to test for series with factorials or $n$th powers, and it is exactly how you find the radius of convergence of a power series.

Worked example. Test $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. The ratio is $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, so the series converges.

Tiếng Việt

Tiêu chuẩn tỷ số xem xét $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

$L<1$: chuỗi hội tụ tuyệt đối;
$L>1$: nó phân kỳ;
$L=1$: không xác định.

Nó là phép thử ưu tiên cho các chuỗi có factorial hoặc $n$ lũy thừa, và chính là cách bạn tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa.

Ví dụ mẫu. Test $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. Tỷ số là $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, vì vậy chuỗi hội tụ.

10.9

Determining Absolute or Conditional Convergence · ⁨Xác Định Hội tụ Tuyệt Đối hay Điều Kiện⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.A: Determine whether a series converges or diverges. BC ONLY

LIM-7.A.12 A series may be absolutely convergent, conditionally convergent, or divergent. BC ONLY
LIM-7.A.13 If a series converges absolutely, then it converges. BC ONLY
LIM-7.A.14 If a series converges absolutely, then any series obtained from it by regrouping or rearranging the terms has the same value. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.A: Xác định liệu một chuỗi hội tụ hay phân kỳ. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.A.12 Một chuỗi có thể hội tụ tuyệt đối, hội tụ điều kiện, hoặc phân tụ. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-7.A.13 Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối, thì nó hội tụ. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-7.A.14 Nếu một chuỗi hội tụ tuyệt đối, thì bất kỳ chuỗi nào thu được từ nó bằng cách nhóm lại hoặc sắp xếp lại các số hạng đều có cùng giá trị. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A series converges absolutely 绝对收敛 if $\sum|a_n|$ converges. It converges conditionally 条件收敛 if $\sum a_n$ converges but $\sum|a_n|$ diverges (the classic example is $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Absolute convergence is the stronger property; conditional convergence relies on the cancellation of signs.

Tiếng Việt

Một chuỗi hội tụ tuyệt đối nếu $\sum|a_n|$ hội tụ. Nó hội tụ điều kiện nếu $\sum a_n$ hội tụ nhưng $\sum|a_n|$ phân kỳ (ví dụ điển hình là $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). Hội tụ tuyệt đối là tính chất mạnh hơn; hội tụ điều kiện phụ thuộc vào sự triệt tiêu dấu.

10.10

Alternating Series Error Bound · ⁨Bound Lỗi Dãy Xen Dấu⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-7): Applying limits may allow us to determine the finite sum of infinitely many terms.

Learning Objective LIM-7.B: Approximate the sum of a series. BC ONLY

LIM-7.B.1 If an alternating series converges by the alternating series test, then the alternating series error bound can be used to bound how far a partial sum is from the value of the infinite series. BC ONLY

Tiếng Việt

Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-7): Áp dụng giới hạn có thể giúp chúng ta xác định tổng hữu hạn của vô số số hạng.

Mục tiêu học tập LIM-7.B: xấp xỉ tổng của một chuỗi. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-7.B.1 Nếu một chuỗi xen dấu hội tụ theo xét nghiệm chuỗi xen dấu, thì bound sai số chuỗi xen dấu có thể được dùng để giới hạn mức độ chênh lệch giữa một tổng riêng và giá trị của chuỗi vô hạn. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

For a convergent alternating series, the error in stopping at the $N$th partial sum is no larger than the first omitted term:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

This simple, powerful bound lets you say how many terms guarantee a desired accuracy.

Tiếng Việt

Đối với một dãy xen dấu hội tụ, sai số khi dừng lại ở tổng riêng thứ $N$ không lớn hơn số hạng đầu tiên bị bỏ qua:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$

Bound đơn giản, mạnh mẽ này cho phép bạn nói rõ cần bao nhiêu số hạng để đảm bảo độ chính xác mong muốn.

10.11

Finding Taylor Polynomial Approximations of Functions · ⁨Tìm xấp xỉ Đa thức Taylor của Hàm số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.A: Represent a function at a point as a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.A.1 The coefficient of the $n$th degree term in a Taylor polynomial for a function $f$ centered at $x = a$ is $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. BC ONLY
LIM-8.A.2 In many cases, as the degree of a Taylor polynomial increases, the $n$th degree polynomial will approach the original function over some interval. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.B: Approximate function values using a Taylor polynomial. BC ONLY

LIM-8.B.1 Taylor polynomials for a function $f$ centered at $x = a$ can be used to approximate function values of $f$ near $x = a$. BC ONLY

Tiếng Việt

**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.

Mục tiêu học tập LIM-8.A: Biểu diễn một hàm số tại một điểm dưới dạng đa thức Taylor. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-8.A.1 Hệ số của số hạng bậc $n$ trong đa thức Taylor của một hàm số $f$ tâm tại $x = a$ là $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.A.2 Trong nhiều trường hợp, khi bậc của đa thức Taylor tăng lên, đa thức bậc $n$ sẽ tiến gần đến hàm số gốc trên một khoảng nào đó. CHỈ DÀNH CHO BC

Mục tiêu học tập LIM-8.B: xấp xỉ giá trị hàm số bằng đa thức Taylor. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-8.B.1 Đa thức Taylor của một hàm số $f$ tâm tại $x = a$ có thể được dùng để xấp xỉ giá trị của hàm số $f$ gần $x = a$. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Taylor series approximation

A Taylor polynomial 泰勒多项式 approximates a function near a center $x=a$ using its derivatives there:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Each added term matches one more derivative, so the polynomial hugs the curve more closely near $a$. Centered at $a=0$ it is a Maclaurin polynomial.

Exam skill: be able to build a Taylor polynomial from a table of derivative values and use it to estimate a function value.

Tiếng Việt

Xấp xỉ chuỗi Taylor

Một đa thức Taylor xấp xỉ một hàm số gần tâm $x=a$ bằng cách sử dụng đạo hàm tại điểm đó:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Mỗi số hạng được thêm vào khớp với một đạo hàm hơn, vì vậy đa thức ôm sát đường cong chặt chẽ hơn gần $a$. Khi được đặt tâm tại $a=0$, nó trở thành đa thức Maclaurin.

Các đa thức Taylor của sin x ôm sát đường cong chặt chẽ hơn khi bậc tăng lên — Các đa thức Maclaurin của $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – mỗi cái khớp với một đạo hàm hơn tại $0$, vì vậy mỗi cái ôm $\sin x$ trên một khoảng rộng hơn trước khi tách ra.

Kỹ năng thi: hãy có khả năng xây dựng một đa thức Taylor từ bảng giá trị đạo hàm và sử dụng nó để ước lượng giá trị hàm số.

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	đa thức Taylor
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/	Bound sai số Lagrange
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/	dãy lũy thừa
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/	bán kính hội tụ
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/	miền hội tụ

10.12

Lagrange Error Bound · ⁨Bound Lỗi Lagrange⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.C: Determine the error bound associated with a Taylor polynomial approximation. BC ONLY

LIM-8.C.1 The Lagrange error bound can be used to determine a maximum interval for the error of a Taylor polynomial approximation to a function. BC ONLY
LIM-8.C.2 In some situations, the alternating series error bound can be used to bound the error of a Taylor polynomial approximation to the value of a function. BC ONLY

Tiếng Việt

**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.

Mục tiêu học tập LIM-8.C: Xác định bound sai số đi kèm với xấp xỉ đa thức Taylor. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-8.C.1 Bound sai số Lagrange có thể được dùng để xác định khoảng tối đa cho sai số của xấp xỉ đa thức Taylor của một hàm số. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.C.2 Trong một số trường hợp, bound sai số chuỗi xen dấu có thể được dùng để giới hạn sai số của xấp xỉ đa thức Taylor so với giá trị của hàm số. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The Lagrange error bound 拉格朗日误差界 bounds how far a Taylor polynomial can be from the true value:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

You bound the $(n+1)$th derivative on the interval, then compute – the standard way to prove a Taylor estimate is accurate enough.

Tiếng Việt

Bound lỗi Lagrange giới hạn mức độ mà một đa thức Taylor có thể lệch khỏi giá trị thực:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$

Bạn-bound đạo hàm $(n+1)$ trên khoảng, sau đó tính toán – cách tiêu chuẩn để chứng minh ước lượng Taylor đủ chính xác.

10.13

Radius and Interval of Convergence of Power Series · ⁨Bán kính và Khoảng Hội tụ của Chuỗi lũy thừa⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.D: Determine the radius of convergence and interval of convergence for a power series. BC ONLY

LIM-8.D.1 A power series is a series of the form $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, where $n$ is a non-negative integer, $\{a_n\}$ is a sequence of real numbers, and $r$ is a real number. BC ONLY
LIM-8.D.2 If a power series converges, it either converges at a single point or has an interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.3 The ratio test can be used to determine the radius of convergence of a power series. BC ONLY
LIM-8.D.4 The radius of convergence of a power series can be used to identify an open interval on which the series converges, but it is necessary to test both endpoints of the interval to determine the interval of convergence. BC ONLY
LIM-8.D.5 If a power series has a positive radius of convergence, then the power series is the Taylor series of the function to which it converges over the open interval. BC ONLY
LIM-8.D.6 The radius of convergence of a power series obtained by term-by-term differentiation or term-by-term integration is the same as the radius of convergence of the original power series. BC ONLY

Tiếng Việt

**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.

Mục tiêu học tập LIM-8.D: Xác định bán kính hội tụ và khoảng hội tụ của một chuỗi lũy thừa. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-8.D.1 Một chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, trong đó $n$ là số nguyên không âm, $\{a_n\}$ là dãy số thực, và $r$ là một số thực. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.D.2 Nếu một chuỗi lũy thừa hội tụ, nó hoặc hội tụ tại một điểm duy nhất hoặc có một khoảng hội tụ. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.D.3 Tiêu chuẩn tỷ số có thể được sử dụng để xác định bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.D.4 Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa có thể được dùng để xác định một khoảng mở mà tại đó chuỗi hội tụ, nhưng cần kiểm tra cả hai đầu mút của khoảng đó để xác định khoảng hội tụ. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.D.5 Nếu một chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ dương, thì chuỗi lũy thừa đó là chuỗi Taylor của hàm mà nó hội tụ trên khoảng mở. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.D.6 Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa thu được bằng cách vi phân từng số hạng hoặc tích phân từng số hạng sẽ bằng với bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ban đầu. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A power series 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converges for $x$ within a radius of convergence 收敛半径 $R$ of the center $a$. Find $R$ with the ratio test. Then test the two endpoints separately (the ratio test is inconclusive there) to state the full interval of convergence 收敛区间 – including or excluding each endpoint.

Worked example. Find the radius of convergence of $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. The ratio test gives $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, which is $<1$ when $|x|<1$, so $R=1$. Testing the endpoints, $x=-1$ gives the convergent alternating harmonic series and $x=1$ the divergent harmonic series, so the interval is $[-1,1)$.

Tiếng Việt

Một chuỗi lũy thừa $\sum c_n(x-a)^n$ hội tụ cho $x$ trong một bán kính hội tụ $R$ của tâm $a$. Tìm $R$ với tiêu chuẩn tỷ số. Sau đó test hai điểm cuối riêng biệt (tiêu chuẩn tỷ số không xác định ở đó) để đưa ra khoảng hội tụ đầy đủ – bao gồm hoặc loại trừ từng điểm cuối.

Ví dụ minh họa. Tìm bán kính hội tụ của $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. Test tỷ lệ cho $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, điều này xảy ra khi $<1$ $|x|<1$, nên $R=1$. Kiểm tra các đầu mút, $x=-1$ cho chuỗi điều hòa xen dấu hội tụ và $x=1$ cho chuỗi điều hòa phân kỳ, nên khoảng hội tụ là $[-1,1)$.

10.14

Finding Taylor or Maclaurin Series for a Function · ⁨Tìm Chuỗi Taylor hoặc Maclaurin của Một Hàm số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.E: Represent a function as a Taylor series or a Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.E.1 A Taylor polynomial for $f(x)$ is a partial sum of the Taylor series for $f(x)$. BC ONLY

Learning Objective LIM-8.F: Interpret Taylor series and Maclaurin series. BC ONLY

LIM-8.F.1 The Maclaurin series for $\dfrac{1}{1-x}$ is a geometric series. BC ONLY
LIM-8.F.2 The Maclaurin series for $\sin x$, $\cos x$, and $e^x$ provides the foundation for constructing the Maclaurin series for other functions. BC ONLY

Tiếng Việt

**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.

Mục tiêu học tập LIM-8.E: Biểu diễn một hàm dưới dạng chuỗi Taylor hoặc chuỗi Maclaurin. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-8.E.1 Đa thức Taylor của $f(x)$ là một tổng riêng của chuỗi Taylor cho $f(x)$. CHỈ DÀNH CHO BC

Mục tiêu học tập LIM-8.F: Giải thích chuỗi Taylor và chuỗi Maclaurin. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-8.F.1 Chuỗi Maclaurin của $\dfrac{1}{1-x}$ là một chuỗi hình học. CHỈ DÀNH CHO BC
LIM-8.F.2 Chuỗi Maclaurin của $\sin x$, $\cos x$, và $e^x$ cung cấp nền tảng để xây dựng chuỗi Maclaurin cho các hàm khác. CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Extending a Taylor polynomial to infinitely many terms gives a Taylor (or Maclaurin) series. Memorize the key Maclaurin series:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

New series come from manipulating these – substituting, differentiating, integrating, or multiplying.

Worked example. Find the Maclaurin series for $e^{x^2}$. Substitute $x^2$ for $x$ in $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

which converges for all $x$. This substitution trick is far faster than differentiating $e^{x^2}$ six times.

Tiếng Việt

Mở rộng đa thức Taylor thành vô hạn số hạng tạo ra một chuỗi Taylor (hoặc Maclaurin). Học thuộc lòng các chuỗi Maclaurin quan trọng:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$

Các chuỗi mới đến từ biến đổi những chuỗi này – thay thế, đạo hàm, tích phân, hoặc nhân.

Ví dụ minh họa. Tìm chuỗi Maclaurin của $e^{x^2}$. Thay $x^2$ vào $x$ trong $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$

chuỗi này hội tụ với mọi $x$. Mẹo thay thế này nhanh hơn nhiều so với việc đạo hàm $e^{x^2}$ sáu lần.

Mỗi số hạng Maclaurin bổ sung ôm sát hàm số trên một phạm vi rộng hơn

Explore · ⁨Khám phá⁩

The function a Taylor series approximates · ⁨Hàm mà một chuỗi Taylor xấp xỉ⁩

y = asin(bx + c) + d

A Taylor series builds a function from its derivatives at a point; more terms hug the curve (here $\sin x$) over a wider range. · ⁨Một chuỗi Taylor xây dựng hàm số từ các đạo hàm của nó tại một điểm; thêm nhiều số hạng sẽ ôm sát đường cong (ở đây $\sin x$) trên một phạm vi rộng hơn.⁩

10.15

Representing Functions as Power Series · ⁨Biểu Diễn Hàm Số Dưới Dạng Chuỗi lũy thừa⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (LIM-8): Power series allow us to represent associated functions on an appropriate interval.

Learning Objective LIM-8.G: Represent a given function as a power series. BC ONLY

LIM-8.G.1 Using a known series, a power series for a given function can be derived using operations such as term-by-term differentiation or term-by-term integration, and by various methods (e.g., algebraic processes, substitutions, or using properties of geometric series). BC ONLY

Tiếng Việt

**Hiểu Biết Vững Chắc (LIM-8):**Chuỗi lũy thừa cho phép chúng ta biểu diễn các hàm số tương ứng trên một khoảng phù hợp.

Mục tiêu học tập LIM-8.G: Biểu diễn một hàm đã cho dưới dạng chuỗi lũy thừa. CHỈ DÀNH CHO BC

LIM-8.G.1 Sử dụng một chuỗi đã biết, một chuỗi lũy thừa cho một hàm đã cho có thể được suy ra bằng các phép toán như vi phân từng số hạng hoặc tích phân từng số hạng, và bằng nhiều phương pháp khác (ví dụ: các quy trình đại số, thay thế, hoặc sử dụng tính chất của chuỗi hình học). CHỈ DÀNH CHO BC

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Because a power series can be differentiated and integrated term by term (within its radius), you can build new series from known ones – e.g. integrate the geometric series for $\dfrac{1}{1-x}$ to get the series for $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, or substitute $-x^2$ to get the series for $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representing a function as a power series lets you approximate values and integrals that have no elementary antiderivative.

Exam skill: the BC series free-response usually asks you to derive a new Maclaurin series from a known one, find its interval of convergence, and use the alternating-series or Lagrange bound to estimate the error – the capstone skills of the course.

Tiếng Việt

Vì một chuỗi lũy thừa có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng (trong bán kính của nó), bạn có thể xây dựng các chuỗi mới từ các chuỗi đã biết – ví dụ: lấy tích phân chuỗi hình học cho $\dfrac{1}{1-x}$ để có chuỗi của $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, hoặc thay $-x^2$ để có chuỗi của $\dfrac{1}{1+x^2}$. Biểu diễn hàm số dưới dạng chuỗi lũy thừa cho phép bạn xấp xỉ các giá trị và tích phân không có nguyên hàm sơ cấp.

Kỹ năng thi: phần tự do trả lời BC series thường yêu cầu bạn suy ra một chuỗi Maclaurin mới từ một chuỗi đã biết, tìm khoảng hội tụ của nó, và sử dụng bound dãy xen dấu hoặc Lagrange để ước lượng sai số – những kỹ năng đỉnh cao của khóa học.

10.15

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

Test a series for convergence with the right tool: geometric ($|r|<1$, sum $\tfrac{a}{1-r}$), $n$th-term, ratio, integral, comparison, or alternating-series test.
A geometric infinite sum converges only when $|r|<1$; otherwise it diverges.
Build a Taylor/Maclaurin series to approximate a function; more terms give a better fit near the centre.
Know the standard Maclaurin series for $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, and $\tfrac{1}{1-x}$.
Find the radius/interval of convergence with the ratio test, then check the endpoints separately.

Tiếng Việt

Kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi bằng công cụ phù hợp: hình học ($|r|<1$, tổng $\tfrac{a}{1-r}$), số hạng thứ $n$, tỷ lệ, tích phân, so sánh, hoặc kiểm tra chuỗi xen kẽ.
Một tổng vô hạn hình học chỉ hội tụ khi $|r|<1$; ngược lại nó sẽ phân kỳ.
Xây dựng dãy Taylor/Maclaurin để xấp xỉ một hàm số; càng nhiều số hạng thì độ khớp càng tốt gần tâm.
Nhớ các dãy Maclaurin chuẩn cho $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ và $\tfrac{1}{1-x}$.
Tìm bán kính/đoạn hội tụ bằng phép thử tỷ lệ, sau đó kiểm tra riêng từng đầu mút.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩⁩