Làm Việc Với Dãy Số Nhân
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | dãy hình học |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | công bội |
The one series you can sum exactly
- Most series are hard to add up. The geometric series 几何级数 is the friendly exception — it has a formula.
- Each term is the previous one times a fixed common ratio 公比 $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- It's the infinite version of the geometric sequences you already know.
- And there's a clean rule for exactly when it converges and to what.
Cấp số nhân
Một dãy số nhân cộng các số hạng được nhân với $r$ mỗi lần — nó hội tụ (về $a/(1-r)$) đúng khi $|r|<1$.
Converges only when $|r|<1$
- A geometric series converges exactly when $|r|<1$ (the ratio is a fraction).
- If $|r|\ge1$, the terms don't shrink to $0$, so it diverges.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) converges; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) diverges.
- The single number $|r|$ decides everything.
A geometric sequence multiplies by the same ratio at each step
Một dãy số nhân $\sum a r^n$ hội tụ đúng khi...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hội tụ nếu và chỉ nếu tỷ lệ là phân số, $|r|<1$.
Dãy số nhân nào phân kỳ?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$r=2$ có $|r|\ge1$ → phân kỳ.
The sum formula
- When it converges ($|r|<1$), the sum is
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ is the first term and $r$ the common ratio.
- Plug in and you get the exact infinite sum — no limits to compute by hand.
Tổng của một dãy số nhân hội tụ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ cho $|r|<1$.
Công thức $\tfrac{a}{1-r}$ có thể áp dụng ngay cả khi $|r|\ge1$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chỉ khi $|r|<1$ (hội tụ).
Getting $a$ and $r$ right
- $a$ is the actual first term of the series (whatever it starts at), not necessarily $1$.
- $r$ is the ratio between consecutive terms — divide any term by the one before it.
- If a series starts at $n=1$ instead of $n=0$, adjust $a$ to be that first term.
- With the right $a$ and $r$, the formula $\tfrac{a}{1-r}$ does the rest.
Tìm $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (dạng thập phân).
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
Trong công thức $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ là số hạng ____ của dãy.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$a$ là số hạng đầu tiên thực tế.
The formula $\frac{a}{1-r}$ applies only when $|r|<1$ — using it on a divergent geometric series gives a meaningless number. And $a$ is the first term as written, not always $1$: for $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$, the first term is $\tfrac32$, not $3$.
Find the sum of $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- First term $a=5$, common ratio $r=\tfrac13$. Since $|r|<1$, it converges.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
A geometric series $\sum a\,r^n$ converges iff $|r|<1$, and then sums to $\frac{a}{1-r}$ (with $a$ the first term, $r$ the common ratio). If $|r|\ge1$ it diverges. It's the one series with an exact, easy sum.