Tiêu Thử Số Hạng n Để Phát Hiện Phân Kỳ
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | tiêu chuẩn số hạng tổng quát |
A quick way to prove divergence
- Before running a fancy test, do the cheapest check: look at the terms.
- The nth Term Test 通项判别法 (or Divergence Test) uses the limit of the terms $a_n$.
- If the terms don't shrink to $0$, the series can't converge — it diverges immediately.
- It's the first thing to try, and it only ever proves divergence.
The test
- Compute $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (or the limit doesn't exist), the series $\sum a_n$ diverges.
- Intuition: if you keep adding pieces that don't shrink to $0$, the total can never settle.
- One limit computation, and you may be done.
If the terms do not approach 0 the series diverges; if they do, the test says nothing
Các số hạng không tiến về không
Nếu các số hạng của một dãy đi ngang về một giá trị khác không, tổng sẽ không bao giờ ổn định — Tiêu Thử Số Hạng n chứng minh sự phân kỳ.
Nếu $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, thì $\sum a_n$...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Giới hạn số hạng khác không → phân kỳ.
It can never prove convergence
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, the test is inconclusive — it tells you nothing.
- The series might converge or diverge; you must use another test.
- The harmonic series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges — proof the test can't confirm convergence.
- So a "$0$" limit is a dead end for this test, not a green light.
Nếu $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, Tiêu Thử Số Hạng n là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó chỉ chứng minh phân kỳ; một giới hạn $0$ nói với bạn điều gì đó.
Tiêu Thử Số Hạng n có thể chứng minh một dãy hội tụ.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó chỉ có thể chứng minh phân kỳ.
Dãy $\sum\tfrac1n$ có $a_n\to0$ nhưng phân kỳ. Điều này cho thấy Tiêu Thử Số Hạng n...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Một giới hạn $0$ không đảm bảo hội tụ.
Where it fits in the strategy
- Always run the nth Term Test first — it's fast and can save you a hard test.
- Terms not $\to0$? Done: diverges.
- Terms $\to0$? Move on to a real convergence test (geometric, integral, comparison, ratio, alternating).
- It's a filter, not a full answer.
Đối với $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. Vì vậy dãy...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\tfrac12\neq0$ → phân kỳ.
Như một bộ lọc nhanh, hãy chạy Tiêu Thử Số Hạng n ____ trong số các tiêu chuẩn hội tụ.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Nó là kiểm tra phân kỳ rẻ nhất.
The nth Term Test can only prove divergence. If $\lim a_n=0$, it is inconclusive — do not conclude convergence. The single most common misuse is "$a_n\to0$, so it converges" — wrong; $\sum\frac1n$ is the counterexample.
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ converge?
- Terms: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Limit: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Since the limit is $\tfrac12\neq0$, the series diverges by the nth Term Test.
The nth Term Test: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (or DNE), then $\sum a_n$ diverges. If $\lim a_n=0$, the test is inconclusive (it never proves convergence). Run it first as a fast divergence filter.