Tìm Các xấp xỉ Đa thức Taylor của Các hàm
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức Taylor |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | đa thức Maclaurin |
xấp xỉ một hàm số bằng đa thức
- Linearization (Đơn vị 4) đã sử dụng đường tiếp tuyến để xấp xỉ một hàm số. Tại sao chỉ dừng lại ở đường thẳng?
- Một đa thức Taylor khớp với giá trị của hàm số và nhiều đạo hàm tại một điểm.
- Càng khớp nhiều đạo hàm, nó càng ôm sát đường cong hơn ở gần đó.
- Đa thức dễ tính toán, nên chúng là một thay thế mạnh mẽ cho các hàm số phức tạp.
Xây dựng đa thức
- Căn cứ tại $x=a$, đa thức Taylor bậc $n$ là:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Mỗi số hạng sử dụng đạo hàm cấp $k$ tại $a$, chia cho $k!$, nhân với $(x-a)^k$.
- Phần bậc-$1$ chính xác là linearization; các số hạng cao hơn thêm độ cong.
Số hạng thứ $k$ của một đa thức Taylor căn chỉnh tại $a$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đạo hàm tại $a$, chia cho $k!$, nhân với $(x-a)^k$.
Mỗi đạo hàm trong đa thức Taylor được tính tại ____ $a$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Sử dụng $f^{(k)}(a)$, không phải $f^{(k)}(x)$.
Maclaurin: căn cứ tại gốc tọa độ
- Một đa thức Maclaurin đơn giản là một đa thức Taylor căn cứ tại $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — $(x-a)$ yếu tố trở thành $x^k$ thuần túy.
- Những cái phổ biến đáng để ghi nhớ: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ có đa thức Maclaurin gọn gàng.
- Công thức giống nhau, căn cứ tại gốc tọa độ.
Một đa thức Maclaurin là một đa thức Taylor được mở rộng tại...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Maclaurin = mở rộng tại $0$.
Tốt hơn gần trung tâm
- Sự xấp xỉ tốt nhất gần $x=a$ và trở nên kém hơn khi bạn di chuyển ra xa.
- Thêm nhiều số hạng hơn (bậc cao hơn) cải thiện độ chính xác trên một phạm vi rộng hơn.
- Khớp giá trị, độ dốc, độ lõm, và hơn thế nữa — mỗi đạo hàm cố định thêm một đặc điểm.
- Đường tiếp tuyến chỉ là hai số hạng đầu tiên của ý tưởng lớn này.
Một đa thức ôm sát eˣ
y = a·e^{bx}
Đa thức Maclaurin bậc-2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ ôm $e^x$ gần $0$ — nhiều số hạng mở rộng phạm vi tốt.
Đa thức Maclaurin bậc-2 của $e^x$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tất cả các đạo hàm của $e^x$ tại $0$ đều bằng $1$.
Hạng tử Taylor chia đạo hàm cấp $k$ cho $k!$ (giả thừa).
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chia cho $k!$, không phải $k$.
Xấp xỉ đa thức Taylor chính xác nhất...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Độ chính xác tốt nhất gần $a$ và cải thiện khi có nhiều hạng tử hơn.
Đừng bỏ sót yếu tố giai thừa: số hạng $k$ là $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — chia cho $k!$, không chỉ $k$. Tính mọi đạo hàm tại trung tâm $a$ (không phải tại $x$). Và sự xấp xỉ chỉ tốt gần $a$; ở xa, đa thức Taylor bị cắt cụt có thể sai lệch rất nhiều.
Tìm đa thức Maclaurin bậc-$2$ cho $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (vì mọi đạo hàm của $e^x$ đều là $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Gần $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (ví dụ: $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
Một đa thức Taylor căn cứ tại $a$ là $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — khớp với giá trị và đạo hàm của hàm số tại $a$. Một đa thức Maclaurin là trường hợp đặc biệt $a=0$. Giữ nguyên yếu tố giai thừa, tính đạo hàm tại $a$, và mong đợi độ chính xác tốt nhất gần trung tâm.