Tiêu Thử Tích Phân Đối With Hội tụ
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | tiêu chuẩn tích phân |
A series and an integral that rise or fall together
- If a series' terms come from a nice decreasing function, its fate matches that function's integral.
- The Integral Test 积分判别法 compares $\sum a_n$ with $\int f(x)\,dx$, where $a_n=f(n)$.
- Picture the terms as rectangle areas — they're bounded by the area under the curve.
- So the improper integral converging (or not) forces the series to do the same.
The conditions
- The test needs $f$ to be positive, continuous, and decreasing for $x\ge$ some point.
- Then define $a_n=f(n)$ and compare with the improper integral.
- These conditions let the rectangles sandwich the area under $f$.
- Check all three before applying — a non-decreasing $f$ breaks the comparison.
The terms are rectangles under the curve, so the series is bounded by the integral
Tiêu Thử Tích Phân yêu cầu $f$ phải là gì trên $[1,\infty)$?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Dương, liên tục, giảm dần — không nhất thiết phải là đa thức.
Tiêu Thử Tích Phân kết nối một dãy với một tích phân bằng cách đặt $a_n=f(\ \_\_\ )$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Các số hạng là hàm được lấy mẫu tại các số nguyên.
The conclusion
- $\displaystyle\sum a_n$ and $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge — same fate.
- Compute the improper integral: if it's finite, the series converges; if infinite, it diverges.
- (The series' sum is not the integral's value — they only share convergence, not the number.)
- One improper integral settles the whole series.
Tiêu Thử Tích Phân nói rằng $\sum a_n$ và $\int_1^\infty f\,dx$...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chúng chung số phận, không chung giá trị.
Giá trị của tích phân bất thường bằng tổng của dãy.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chúng chung sự hội tụ, không chung giá trị ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
Why it works
- The rectangles of area $a_n$ fit just above or below the curve $y=f(x)$.
- So the series is squeezed between $\int f$ and $\int f + a_1$ — finite integral means finite series.
- This is a rigorous "area comparison," turning a sum into an integral you can evaluate.
- It's especially handy for terms like $\tfrac1{n^p}$ and $\tfrac1{n\ln n}$.
Các hình chữ nhật bị giới hạn bởi đường cong
y = 1/x²
Các hình chữ nhật số hạng vừa khít với diện tích dưới $f$, vì vậy dãy và tích phân cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Vì $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (hữu hạn), dãy $\sum\tfrac1{n^2}$...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Tích phân hữu hạn → dãy hội tụ.
Nếu $\int_1^\infty f\,dx$ phân kỳ (về $\infty$), thì $\sum a_n$...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chung số phận: tích phân phân kỳ → dãy phân kỳ.
The Integral Test needs $f$ positive, continuous, and decreasing — verify all three. And the test shares only convergence/divergence, not the value: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ in general. Don't report the integral's value as the series' sum.
Test $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ with the Integral Test.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ is positive, continuous, decreasing for $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite, from lesson 6.13).
- The integral converges, so the series converges. (Its sum is $\tfrac{\pi^2}{6}$, not $1$.)
The Integral Test: if $f$ is positive, continuous, and decreasing with $a_n=f(n)$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ share the same fate (both converge or both diverge). Evaluate the improper integral to decide — but its value is not the series' sum.