Ràng Buộc Lỗi Chuỗi Xen Lẫn
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | giới hạn sai số dãy xen kẽ |
How close is a partial sum?
- If you stop an alternating series after a few terms, how far off is your estimate?
- For a convergent alternating series, there's a beautifully simple bound.
- The alternating series error bound 交错级数误差界: the error is no bigger than the first omitted term.
- One term tells you the accuracy — no messy computation.
The bound
- Approximate the sum $S$ by the $n$th partial sum $S_n$. The remainder (error) is $|S-S_n|$.
- For a convergent alternating series (decreasing $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- The error is at most the absolute value of the next term — the first one you left out.
Partial sums of the alternating harmonic series zig-zag in toward ln 2; the error is at most the next term
Số hạng tiếp theo ràng buộc sai số
Các tổng riêng của một chuỗi xen lẫn nhốt tổng thực, vì vậy sai số tối đa bằng kích thước của số hạng tiếp theo (đã bị bỏ qua).
Đối với một chuỗi xen lẫn hội tụ, sai số $|S-S_n|$ tối đa là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
Sai số bị ràng buộc bởi số hạng ____ đầu tiên, không phải số hạng cuối cùng được bao gồm.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Sử dụng $b_{n+1}$, số hạng bạn chưa cộng.
Why the next term bounds it
- Because terms alternate and shrink, the true sum is always trapped between consecutive partial sums.
- So stopping at $S_n$ overshoots or undershoots by less than the size of the next term.
- The partial sums close in like a shrinking accordion around $S$.
- Hence the very next term is a guaranteed error ceiling.
xấp xỉ $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ với $3$ số hạng, ràng buộc sai số là số hạng tiếp theo $b_4$. Nó là gì?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$b_4=\tfrac14=0.25$.
Tổng thực luôn bị nhốt giữa các tổng riêng liên tiếp của một chuỗi xen lẫn.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Đó là lý do tại sao số hạng tiếp theo ràng buộc sai số.
Using it to guarantee accuracy
- Want the error under $0.01$? Find the first term with $b_{n+1}\le 0.01$ and stop there.
- The bound lets you decide how many terms you need for a target accuracy.
- It only applies to alternating series meeting the Alternating Series Test conditions.
- Simple, tight, and exam-friendly.
Ràng buộc sai số này áp dụng cho bất kỳ chuỗi hội tụ nào, xen lẫn hay không.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Chỉ các chuỗi xen lẫn đáp ứng các điều kiện của test.
Để đảm bảo sai số dưới $0.01$, bạn giữ các số hạng cho đến khi số hạng tiếp theo $b_{n+1}$ là...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Dừng lại khi $b_{n+1}\le0.01$.
This bound works only for alternating series that satisfy the Alternating Series Test (decreasing $b_n\to0$) — it does not apply to positive-term series. The error is bounded by the first omitted term $b_{n+1}$, not the last included one. Use $b_{n+1}$, the size of the term you didn't add.
Estimate $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ with the first $3$ terms; bound the error.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- First omitted term: $b_4=\tfrac14$. So $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- The true sum $\ln 2\approx0.693$ is indeed within $0.25$ of $0.833$. ✓
The alternating series error bound: for a convergent alternating series, the error of the $n$th partial sum is at most the first omitted term, $|S-S_n|\le b_{n+1}$. It applies only to alternating series meeting the test's conditions, and lets you pick how many terms guarantee a target accuracy.