AP Calculus BC · ⁨AP Giải tích BC⁩

Giải tích là toán học của sự biến đổi và sự tích lũy. Nó trả lời hai câu hỏi lớn: một thứ gì đó đang thay đổi nhanh thế nào ngay lúc này, và cho đến nay đã tích lũy được bao nhiêu? Đơn vị 1 xây dựng công cụ duy nhất mà cả hai câu hỏi đều dựa vào – giới hạn.

Hãy bắt đầu với một bài đố. Đồng hồ đo tốc độ của xe hiển thị $60$ km/h. Điều đó có nghĩa là gì tại một thời điểm duy nhất? Tốc độ là khoảng cách chia cho thời gian. Nhưng tại một thời điểm, không có thời gian trôi qua và không có khoảng cách nào được đi qua, nên phân số trông giống như $\tfrac{0}{0}$ – không xác định.

• Tốc độ biến đổi trung bình sử dụng một khoảng toàn bộ: sự thay đổi của một đại lượng chia cho sự thay đổi của đại lượng khác. Nó bị chia cho 0, do đó không xác định, khi sự thay đổi của đầu vào sẽ bằng 0.
• Tốc độ biến đổi tức thời là những gì chúng ta muốn tại một điểm. Đó là giá trị mà tốc độ trung bình tiến tới khi khoảng thu hẹp lại về độ dài bằng 0.

Mẹo thông minh không phải là thay 0 vào (không xác định), mà là quan sát xem tốc độ trung bình tiến tới cái gì khi khoảng trở nên nhỏ dần. Giá trị tiến tới đó là một giới hạn. Do đó, giải tích cho phép chúng ta mô tả sự biến đổi tại một thời điểm – dưới dạng giới hạn của các tốc độ trung bình trên các khoảng càng ngày càng ngắn hơn. Ý tưởng duy nhất này làm nền tảng cho đạo hàm (Đơn vị 2) và, chạy ngược lại, tích phân (Đơn vị 6). Mọi thứ khác trong đơn vị này đều định nghĩa giới hạn một cách cẩn thận và tính toán chúng một cách đáng tin cậy.

Cho hàm số $f$, giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $c$ là một số thực $R$ nếu $f(x)$ có thể được làm bất kỳ gần với $R$ nào bằng cách lấy $x$ đủ gần với $c$ – nhưng không bằng $c$. Chúng ta viết

và đọc nó: "giới hạn của $f(x)$, khi $x$ tiến tới $c$, bằng $R$."

Hai từ cuối cùng chính là cốt lõi của giới hạn: nó mô tả hành vi của $f$ gần $c$, chứ không phải giá trị tại $c$. Hàm số có thể không xác định tại $c$, hoặc xác định nhưng bằng một giá trị khác – giới hạn thì không quan tâm.

Một giới hạn có thể được biểu diễn theo ba cách: trực quan, số học (bảng), và phân tích (algebra). Việc học cách chuyển đổi giữa các biểu diễn này là một kỹ năng cốt lõi.

(Lưu ý: định nghĩa epsilon-delta của giới hạn không được kiểm tra trong Bài thi AP, vì vậy tài liệu này không sử dụng nó.)

Đồ thị thường là cách nhanh nhất để đọc một giới hạn. Để tìm $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, hãy di chuyển ngón tay dọc theo đường cong hướng tới $x = c$ từ mỗi bên và hỏi: độ cao mà đường cong đang tiến tới là gì?

• Vẽ từ phía trái (các đầu vào nhỏ hơn $c$): điều này cho giới hạn trái, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
• Vẽ từ phía phải (các đầu vào lớn hơn $c$): điều này cho giới hạn phải, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
• Đây là các giới hạn một phía. Nếu cả hai đều tiến tới cùng một độ cao $R$, thì giới hạn hai phía tồn tại và $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Điều quan trọng, bỏ qua điểm chính. Đồ thị đánh dấu sự khác biệt giữa giới hạn và giá trị:

• Một vòng tròn mở đánh dấu độ cao mà đường cong tiến tới nhưng không chạm tới – một "lỗ hổng".
• Một vòng tròn đóng đánh dấu giá trị thực tế $f(c)$.

Vì vậy, một đường cong có thể tiến tới $R = 3$ từ cả hai bên (giới hạn là $3$) trong khi một chấm đầy nằm ở độ cao $5$ (giá trị $f(c) = 5$). Giới hạn là $3$; hai giá trị này không cần phải khớp nhau.

Một giới hạn không tồn tại (thường viết là DNE) khi hai bên không thống nhất (một cú nhảy), khi hàm số không bị chặn (phát triển vô hạn), hoặc khi nó dao động mãi mãi gần $c$. Ví dụ:

Quan sát thang tỷ lệ của đồ thị: một hình ảnh phóng xa có thể che giấu hành vi quan trọng gần một điểm, vì vậy hãy xác nhận bằng algebra khi bạn có thể.

Khi bạn có dữ liệu hoặc công thức nhưng không có hình ảnh, một bảng giá trị ước tính giới hạn theo số học. Hãy chọn các đầu vào len lỏi tiến tới $c$ từ cả hai bên và theo dõi các đầu ra.

Ví dụ, để ước tính $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (đó là $\tfrac{0}{0}$ tại $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Cả hai bên đều tiến tới $4$, vì vậy chúng ta ước tính giới hạn là $4$. Một bảng chỉ gợi ý một giá trị – đó là ước tính số học, không phải là chứng minh.

Hầu hết các giới hạn được tìm thấy phân tích bằng các định lý giới hạn. Nếu $\lim_{x\to c} f(x)$ và $\lim_{x\to c} g(x)$ đều tồn tại, giới hạn của một tổ hợp sẽ là tổ hợp tương tự của các giới hạn:

• Tổng / hiệu: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• Tích: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• Thương: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, miễn là giới hạn mẫu số không phải là $0$.
• Hàm hợp: nếu $g$ liên tục tại $\lim_{x\to c} f(x)$, thì $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

Quy tắc thực tiễn: đối với một hàm số được xây dựng từ đa thức, căn thức và tương tự, trước tiên hãy thử thay trực tiếp – đặt $x = c$ vào. Nếu bạn nhận được một số thực, đó chính là giới hạn. Các giới hạn một phía tuân theo các định lý tương tự, nhưng chỉ đọc từ một hướng.

Thay thế trực tiếp đôi khi dẫn đến dạng vô định $\tfrac{0}{0}$. Điều này không có nghĩa là giới hạn không tồn tại – mà nghĩa là bạn phải viết lại hàm số thành một dạng tương đương loại bỏ sự bất ổn, sau đó thay thế. Ba thao tác chuẩn:

• Phân tích nhân tử và rút gọn một hàm hữu tỉ. Ví dụ: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
• Nhân với lập phương conjugate để đơn giản hóa căn thức. Ví dụ: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
• Sử dụng các dạng thay thế của hàm lượng giác (đồng nhất thức) để đơn giản hóa.

Nhân tử bị rút gọn chính là lý do đồ thị ban đầu có một lỗ hổng: hai hàm số trùng khớp nhau ở mọi nơi ngoại trừ tại $x=c$, vì vậy chúng cùng có một giới hạn tại điểm đó.

Đây là chủ đề kỹ năng, không phải nội dung mới: hãy chọn công cụ phù hợp cho giới hạn đang đặt trước mặt bạn.

1. Hãy thử thay thế trực tiếp trước. Nếu ra kết quả thực thì bạn đã hoàn thành.
2. Nhận được $\tfrac{0}{0}$? Viết lại – phân tích nhân tử và rút gọn, hoặc dùng lập phương conjugate, hoặc dùng đồng nhất thức lượng giác – sau đó thay thế.
3. Một số khác 0 chia cho $0$ (như $\tfrac{5}{0}$)? Giới hạn sẽ vô cực hoặc không tồn tại (DNE) – hãy kiểm tra dấu từ mỗi phía (xem tiệm cận đứng bên dưới).
4. Khi $x\to\pm\infty$? So sánh các thuật ngữ chủ đạo (xem giới hạn tại vô cực).
5. Bị kẹp giữa hai hàm số? Định lý kẹp có thể áp dụng.

Định lý kẹp (còn gọi là định lý bánh mì sandwich) tìm giới hạn bằng cách kẹp hàm số giữa hai hàm khác. Nếu $g(x) \le f(x) \le h(x)$ gần $c$, và

thì $f$ bị ép vào cùng một vị trí: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

Hai kết quả nổi tiếng được chứng minh theo cách này, đều được sử dụng rộng rãi trong giải tích, là:

Một chủ đề kỹ năng khác: cùng một giới hạn hiện diện trong đồ thị, bảng số liệu và dạng đại số, và bạn nên có khả năng chuyển đổi giữa chúng. Đồ thị cho thấy hình dáng và bất kỳ lỗ hổng hay bước nhảy nào; bảng số liệu cung cấp bằng chứng số học; đại số đưa ra giá trị chính xác và lý do. Các câu trả lời tốt sử dụng một biểu diễn để xác nhận biểu diễn khác.

Một hàm số gián đoạn tại $c$ khi đồ thị của nó "bị đứt" tại đó. Có ba loại:

• Điểm gián đoạn có thể loại bỏ được – một lỗ hổng đơn lẻ. Giới hạn hai phía tồn tại, nhưng điểm đó bị thiếu hoặc đặt sai vị trí.
• Điểm gián đoạn bước nhảy – hai giới hạn một phía tồn tại nhưng không bằng nhau, khiến đường cong bị bước nhảy.
• Điểm gián đoạn vô cực – hàm số tăng vọt lên $\pm\infty$ tại một tiệm cận đứng.

Tính liên tục được xác định qua bài kiểm tra ba phần. Một hàm $f$ là liên tục tại $x=c$ chính xác khi cả ba điều kiện đều thỏa mãn:

Nói bằng lời nói: điểm đó tồn tại, giới hạn tồn tại, và hai giá trị này trùng khớp. Nếu bất kỳ điều kiện nào không thỏa mãn, $f$ sẽ không liên tục tại $c$. Bài kiểm tra này là nền tảng của hầu hết mọi câu hỏi về tính liên tục, vì vậy hãy học nó như một danh sách kiểm tra.

Một hàm số là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó. Bạn hiếm khi kiểm tra từng điểm một, vì các họ hàm lớn thường liên tục trên toàn miền xác định của chúng:

Các hàm đa thức, hữu tỉ, lũy thừa, mũ, logarit và lượng giác đều liên tục tại mọi điểm thuộc miền xác định của chúng.

Vì vậy, một hàm hữu tỉ liên tục ở mọi nơi ngoại trừ nơi mẫu số bằng 0; $\ln x$ liên tục đối với $x>0$; v.v. Việc nắm rõ điều này giúp bạn khẳng định tính liên tục nhanh chóng và chính xác.

Nếu giới hạn tồn tại tại một lỗ hổng, điểm gián đoạn đó là có thể loại bỏ được: xác định lại hàm số tại điểm đó bằng giá trị giới hạn, và đồ thị sẽ được sửa chữa. Về mặt hình thức, hãy đặt giá trị bị thiếu bằng $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Đối với một hàm xác định theo mảnh, tính liên tục tại biên $x=c$ đòi hỏi hai mảnh phải gặp nhau: giá trị của mảnh bên trái, giá trị của mảnh bên phải, và $f(c)$ phải bằng nhau. Đây là cấu trúc đề thi phổ biến – bạn giải để tìm một tham số (hằng số chưa biết) làm cho các mảnh khớp nhau:

Khái niệm giới hạn mở rộng sang giới hạn vô cực. Khi một hàm số tăng không giới hạn gần $x=c$, ta viết $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Điều này mô tả một tiệm cận đứng tại $x=c$: đồ thị ôm sát đường thẳng đứng $x=c$ và phóng ra xa về phía $\pm\infty$.

Điều này xảy ra khi một số khác 0 bị chia cho một đại lượng tiến tới $0$, chẳng hạn như tại nghiệm của mẫu số không triệt tiêu. Luôn kiểm tra từng vế riêng biệt – hai vế có thể tiến theo hướng ngược nhau (một bên tiến tới $+\infty$, một bên tiến tới $-\infty$).

Chúng ta cũng có thể để biến đầu vào tăng: giới hạn vô cực mô tả hành vi cuối cùng của hàm số khi $x\to\pm\infty$. Nếu các giá trị đầu ra ổn định về phía một giá trị hữu hạn $L$, thì $y=L$ là một tiệm cận ngang.

Đối với hàm hữu tỉ, hãy so sánh bậc của tử số và mẫu số:

• bậc tử số < bậc mẫu số $\Rightarrow$ giới hạn là $0$ (tiệm cận $y=0$);
• bậc tử số = bậc mẫu số $\Rightarrow$ giới hạn là tỷ lệ các hệ số đầu;
• bậc tử số > bậc mẫu số $\Rightarrow$ hàm không bị chặn (không có tiệm cận ngang).

Nói chung hơn, chúng ta so sánh kích thước tương đối (tốc độ tăng trưởng tương đối) của các hàm: ở xa vô cùng, hàm mũ lớn hơn bất kỳ đa thức nào, và đa thức lớn hơn bất kỳ logarit nào. Trong bài thi, câu hỏi "khi $t\to\infty$, đại lượng nào lớn hơn/với tốc độ ổn định ở đâu?" được trả lời bằng giới hạn tại vô cùng.

Định lý Giá trị Trung gian là một định lý tồn tại – nó đảm bảo một giá trị tồn tại mà không cho biết vị trí cụ thể của nó:

Nếu $f$ liên tục trên khoảng đóng $[a,b]$, và $d$ là bất kỳ số nào nằm giữa $f(a)$ và $f(b)$, thì tồn tại ít nhất một số $c$ trong $(a,b)$ sao cho $f(c)=d$.

Một đường cong liền mạch không thể bỏ qua độ cao nào đó giữa hai đầu mút – nó phải đi qua mọi độ cao.

Kỹ năng làm bài thi – cách lập luận dựa vào IVT. Các câu hỏi này xuất hiện gần như mỗi năm (ví dụ: "Liệu có bắt buộc tồn tại giá trị $c$ sao cho $R(c)=155$?" hoặc "Có thời điểm nào mà $r'(t)=-6$?"). Một lời giải thích đạt điểm tối đa cần ba bước:

1. Phát biểu tính liên tục. Nêu rằng hàm số liên tục trên $[a,b]$ (thường vì nó khả vi, hoặc đề bài đã cho là liên tục).
2. Chứng minh $d$ nằm kẹp. Tính hai giá trị tại đầu mút và chỉ ra rằng giá trị mục tiêu $d$ nằm giữa chúng, ví dụ: $f(a) < d < f(b)$.
3. Kết luận bằng tên gọi. "Theo Định lý Giá trị Trung gian, tồn tại một $c$ trong $(a,b)$ sao cho $f(c)=d$."

Bỏ qua phát biểu về tính liên tục, hoặc không chứng minh $d$ nằm giữa hai đầu mút sẽ mất điểm – định lý yêu cầu cả hai điều kiện.

Ví dụ đã giải. Tính $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất, $x^2$: $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Vì giới hạn là một số hữu hạn, đường thẳng $y=\tfrac{3}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị.

• Một giới hạn mô tả cái gì đó $f(x)$ đang tiến tới, điều này không nhất thiết phải bằng $f(a)$ — giới hạn hai phía chỉ tồn tại nếu cả hai phía đều đồng ý.
• Hãy thử thay thế trực tiếp trước; với dạng $\tfrac00$, hãy phân tích nhân tử và rút gọn hoặc khử căn trước khi thay thế.
• Một hàm số liên tục tại $a$ khi giới hạn tồn tại, $f(a)$ được xác định, và chúng bằng nhau.
• Sử dụng Định lý Giá trị Trung gian để đảm bảo tồn tại nghiệm: một hàm liên tục đổi dấu trên $[a,b]$ sẽ nhận mọi giá trị nằm giữa.
• Đọc tiệm cận ngang từ hành vi cuối (giới hạn tại $\pm\infty$) và tiệm cận dọc nơi mẫu số (không phải tử số) bằng không.

Đơn vị 1 xây dựng nền tảng về giới hạn. Đơn vị 2 sử dụng nó để định nghĩa đạo hàm – tốc độ thay đổi chính xác tại một điểm.

Trên một khoảng, tốc độ thay đổi trung bình là một biểu thức tỷ số sai. Có hai dạng tương đương xuất hiện:

Dạng đầu tiên sử dụng bước nhảy kích thước $h$ từ $a$; dạng thứ hai sử dụng hai điểm $x$ và $a$. Cả hai đều tính $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ trên khoảng đó.

Tốc độ thay đổi tức thời tại $x=a$ là cái mà biểu thức tỷ số sai tiến tới khi khoảng thu nhỏ về không. Giới hạn này chính là đạo hàm tại $a$, ký hiệu $f'(a)$:

miễn là giới hạn tồn tại.

Để điểm $a$ biến thiên và đạo hàm trở thành một hàm mới:

Đây là định nghĩa của đạo hàm (thôi đôi khi được gọi là "khả vi bằng nguyên lý cơ bản"). Giá trị của nó tại mỗi $x$ là tốc độ thay đổi tức thời tại đó.

Các ký hiệu phổ biến cho đạo hàm của $y=f(x)$ là:

Đạo hàm có thể được biểu diễn theo đồ thị, số học, giải tích và văn bản – hãy sẵn sàng chuyển đổi giữa chúng.

Ý nghĩa hình học. Đạo hàm tại một điểm là độ dốc của đường tiếp tuyến với đồ thị tại đó. Vì vậy, đường tiếp tuyến tại $x=a$ đi qua $\big(a, f(a)\big)$ với độ dốc $f'(a)$:

Viết phương trình đường thẳng này là một nhiệm vụ thường quy trong bài thi, nên hãy giữ sẵn dạng điểm-độ dốc.

Bạn không luôn có công thức. Khi hàm số được cho bởi bảng hoặc đồ thị, hãy ước lượng đạo hàm $f'(a)$ bằng biểu thức tỷ số sai trên một khoảng nhỏ xung quanh $a$. Một bảng có các giá trị ở cả hai bên $a$ sẽ đưa ra ước lượng tốt nhất:

Công nghệ (máy tính bỏ túi) cũng có thể ước lượng đạo hàm tại một điểm.

Kỹ năng làm bài thi (xuất hiện gần như mỗi năm). Các câu hỏi như "Ước lượng $M'(7.5)$ sử dụng tốc độ thay đổi trung bình của $M$ trên khoảng $5 \le t \le 10$" yêu cầu đúng biểu thức tỷ số sai này. Hãy thể hiện cách thiết lập:

Điểm tối đa yêu cầu thay thế các số vào và sử dụng đúng đơn vị (đơn vị đầu ra trên mỗi đơn vị đầu vào), vì những giá trị này đến từ các mô hình thực tế.

Tính khả vi mạnh hơn tính liên tục. Mối quan hệ cốt lõi:

Nếu $f$ khả vi tại một điểm, thì $f$ liên tục tại điểm đó.

Do đó, tính khả vi suy ra tính liên tục. Ngược lại không đúng: một hàm liên tục có thể không khả vi. Có hai trường hợp xảy ra điều này:

• Góc nhọn: giới hạn của tỷ số sai phân trái và phải không bằng nhau, ví dụ như $f(x)=|x|$ tại $x=0$.
• Tiếp tuyến đứng: độ dốc vô cùng (không là số thực), ví dụ như $f(x)=\sqrt[3]{x}$ tại $x=0$.

Hơn nữa, một điểm nằm ngoài tập xác định của $f$ cũng không thể thuộc tập xác định của $f'$. Sử dụng mệnh đề đảo trong bài thi: nếu $f$ không liên tục tại $a$, thì $f$ không khả vi tại $a$.

Từ đây, chúng ta sử dụng các quy tắc thay vì định nghĩa giới hạn mỗi lần. Quy tắc lũy thừa áp dụng cho mọi lũy thừa của $x$:

Nó hoạt động với lũy thừa nguyên dương, lũy thừa âm ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) và căn thức ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – hãy viết lại dưới dạng lũy thừa trước, sau đó áp dụng quy tắc.

Các quy tắc này cho phép bạn lấy đạo hàm từng hạng tử:

• Hằng số: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (một hằng số không thay đổi).
• Hằng số nhân: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
• Tổng / Hiệu: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

Kết hợp với quy tắc lũy thừa, chúng cho phép lấy đạo hàm từng hạng tử của bất kỳ đa thức nào. Ví dụ:

Học thuộc lòng bốn đạo hàm nền tảng này:

Lưu ý dấu trừ ở đạo hàm của cosin, và rằng $e^{x}$ chính là đạo hàm của nó.

Một giới hạn thực chất là đạo hàm (LIM-3.A.1). Đôi khi một giới hạn ẩn chứa định nghĩa của đạo hàm đã biết. Nếu bạn nhận ra

đối với một hàm $f$ mà bạn biết đạo hàm của nó, chỉ cần đánh giá $f'(a)$. Ví dụ, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Tích của hai hàm không được đạo hàm bằng cách nhân các đạo hàm lại với nhau. Hãy sử dụng quy tắc tích:

"Đạo hàm của hàm đầu tiên nhân với hàm thứ hai, cộng với hàm đầu tiên nhân với đạo hàm của hàm thứ hai." Ví dụ: Câu hỏi thi thường xây dựng một hàm mới từ các thành phần đã cho, ví dụ $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, và yêu cầu bạn kết hợp các quy tắc trong khi đọc giá trị từ bảng số liệu.

Đối với thương, hãy sử dụng quy tắc thương:

"Mẫu số nhân đạo hàm của tử số, trừ đi tử số nhân đạo hàm của mẫu số, tất cả chia cho bình phương mẫu số." Thứ tự quan trọng do dấu trừ, nên hãy viết tử số cẩn thận. Ví dụ:

Các đạo hàm lượng giác còn lại không cần học thuộc riêng biệt – bạn viết lại chúng bằng hằng đẳng thức và áp dụng quy tắc thương (hoặc tích). Ví dụ, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, nên quy tắc thương cho

Cùng phương pháp (viết $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) sẽ cho $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$, và $-\csc x\cot x$.

Đạo hàm cấp cao. Đạo hàm lại $f'$ sẽ tạo ra đạo hàm cấp hai $f''(x)$ (hoặc $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – tốc độ thay đổi của tốc độ thay đổi. Một phần câu hỏi như "Tìm $k''(3)$" chỉ có nghĩa là đạo hàm hai lần, sau đó thay số. Bạn cũng có thể ước lượng đạo hàm cấp hai từ bảng số liệu bằng cách áp dụng phương pháp tốc độ biến thiên trung bình lên các giá trị $f'$.

Ví dụ đã giải. Vi phân $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ bằng quy tắc thương $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: lấy $u=\sin x$, $v=x$, thu được $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Giữ thứ tự $u'v-uv'$ ở tử số — hoán đổi các hạng tử sẽ đảo dấu và mất điểm.

• Đạo hàm là độ dốc của tiếp tuyến — giới hạn của độ dốc dây cung $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ khi $h\to0$ tiến tới.
• Học thuộc các quy tắc: lũy thừa, tích, thương, và đạo hàm của $\sin$, $\cos$, $e^x$, và $\ln x$.
• Khả vi suy ra liên tục, nhưng không ngược lại (một góc nhọn hoặc đỉnh nhọn vẫn liên tục nhưng không khả vi).
• Phân biệt tốc độ biến thiên trung bình (độ dốc dây cung trên một khoảng) với tốc độ biến thiên tức thời (đạo hàm tại một điểm).
• Viết phương trình đường tiếp tuyến theo dạng $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Đơn vị 2 đạo hàm các hàm đơn lẻ. Đơn vị 3 đạo hàm các hàm được xây dựng bên trong các hàm khác. Quy tắc Chain đạo hàm một hàm hợp $f\big(g(x)\big)$:

"Đạo hàm của hàm ngoài (giữ nguyên phần bên trong), nhân với đạo hàm của phần bên trong." Đạo hàm bên trong $g'(x)$ là phần mà học sinh hay quên, nên luôn hỏi "phần bên trong là gì, và đạo hàm của nó là gì?" Ví dụ:

Trong ký hiệu Leibniz, với $y=f(u)$ và $u=g(x)$, quy tắc đọc là $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – phần trung gian $du$ dường như "triệt tiêu" nhau. Câu hỏi thi thường đưa bảng số liệu cho $f$, $g$, $f'$, $g'$ và yêu cầu tìm $h'(a)$ khi $h(x)=f\big(g(x)\big)$; hãy đánh giá $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ bằng cách đọc giá trị.

Ví dụ đã giải. Vi phân $h(x)=(2x^2+1)^5$. Hàm bên ngoài là "(something)$^5$" và hàm bên trong là $2x^2+1$:

Một số đường cong được xác định ngầm – bởi một phương trình trong $x$ và $y$ không giải ra $y$, chẳng hạn như $x^2+y^2=25$. Vi phân ngầm tìm $\dfrac{dy}{dx}$ mà không cần giải trước cho $y$. Nó chỉ là quy tắc chuỗi, coi $y$ là hàm số của $x$.

Phương pháp: vi phân cả hai vế theo $x$; mỗi lần vi phân một số hạng chứa $y$, nhân với $\dfrac{dy}{dx}$ (quy tắc chuỗi); sau đó giải đại số để tìm $\dfrac{dy}{dx}$. Đối với $x^2+y^2=25$:

Ví dụ đã giải. Tìm tiếp tuyến với $x^2+y^2=25$ tại $(3,4)$. Tại đây $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, nên đường tiếp tuyến là $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – vuông góc với bán kính, đúng như dự đoán của hình học.

Kỹ năng làm bài thi – "Chứng minh rằng $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Dạng câu hỏi này xuất hiện hầu hết các năm (ví dụ: "Chứng minh rằng $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Vì kết quả cần chứng minh đã được cho, bạn phải thể hiện từng bước đại số rõ ràng: vi phân cả hai vế, áp dụng quy tắc tích/chuỗi cho các số hạng hỗn hợp $xy$, gom tất cả các số hạng $\dfrac{dy}{dx}$ về một vế, đặt nhân tử chung, và chia. Một dòng cuối cùng đúng nhưng bỏ qua các bước đại số sẽ bị trừ điểm nhiều. Các phần tiếp theo thường yêu cầu tìm tiếp tuyến, hoặc nơi tiếp tuyến nằm ngang ($\tfrac{dy}{dx}=0$, nên tử số bằng $0$) hoặc đứng (mẫu số bằng $0$).

Nếu $g$ là hàm nghịch đảo của $f$ (nên $f(g(x))=x$), quy tắc chuỗi liên hệ đạo hàm của chúng:

Nói đơn giản: đạo hàm của hàm nghịch đảo tại một điểm là đảo ngược của đạo hàm của hàm gốc tại điểm tương ứng. Một dạng đề thi phổ biến cung cấp bảng giá trị và một điểm $(a,b)$ trên $f$ (nên $(b,a)$ nằm trên $g$), rồi yêu cầu tìm $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Ví dụ đã giải. Nếu $f(2)=5$ và $f'(2)=3$, và $g$ là nghịch đảo của $f$, thì $(5,2)$ nằm trên $g$ và $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

Ý tưởng tương tự đưa ra đạo hàm của các hàm lượng giác nghịch đảo. Ba hàm bạn cần nhớ:

Kết hợp các công thức này với quy tắc chuỗi khi đầu vào cũng là một hàm số, ví dụ: $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Một kỹ năng quan trọng: đạo hàm thực tế kết hợp nhiều quy tắc, nên hãy đọc cấu trúc biểu thức trước, từ ngoài vào trong.

• Là một tổng? Vi phân từng số hạng.
• Là tích hay thương? Áp dụng quy tắc đó, và chuẩn bị dùng quy tắc chuỗi bên trong.
• Là hợp thành (một cái gì đó nằm trong cái khác)? Quy tắc chuỗi.
• Được xác định ngầm? Vi phân ngầm.

Xác định phép toán ngoài cùng, áp dụng quy tắc của nó, và lặp lại đi sâu hơn vào bên trong. Sự gọn gàng giúp tránh sai sót về dấu và ghi chép, những lỗi khiến bạn mất điểm.

Vi phân $f'$ tạo ra đạo hàm bậc hai $f''$; lặp lại quá trình này để có đạo hàm bậc cao hơn. Các ký hiệu:

Đạo hàm bậc hai đo lường sự thay đổi của độ dốc; nó quyết định độ lồi/lõm và gia tốc trong các đơn vị sau. Để tìm $f''$ một cách ngầm, vi phân biểu thức của $\dfrac{dy}{dx}$ thêm lần nữa (với quy tắc thương và chuỗi), sau đó thế $\dfrac{dy}{dx}$ trở lại.

• Dùng quy tắc chuỗi cho hàm hợp thành — vi phân phần ngoài, sau đó nhân với đạo hàm của phần bên trong (yếu tố dễ bị quên nhất).
• Đối với vi phân ngầm, vi phân cả hai vế theo $x$ và gắn $\tfrac{dy}{dx}$ mỗi khi $y$ được vi phân, sau đó giải.
• Lấy đạo hàm bậc hai bằng cách vi phân hai lần (vận tốc → gia tốc).
• Kết hợp các quy tắc cẩn thận trong các biểu thức nhiều lớp (chuỗi bên trong tích, v.v.).
• Đồ thị của hàm nghịch đảo là ảnh phản chiếu qua $y=x$; độ dốc của nó là đảo ngược của độ dốc hàm gốc tại điểm tương ứng.

Khi đã biết tính đạo hàm, bạn sử dụng nó để mô tả thế giới thực. Đạo hàm $f'(x)$ chính là tốc độ thay đổi tức thời của $f$ theo đầu vào của nó. Đọc và báo cáo tốc độ này một cách chính xác là một kỹ năng được chấm điểm.

Đơn vị rất quan trọng. Đơn vị của $f'(x)$ là đơn vị của $f$ chia cho đơn vị của $x$. Nếu $C(t)$ là số mẫu Anh và $t$ là tuần, thì $C'(t)$ có đơn vị mẫu Anh trên tuần. Trong kỳ thi, câu "Sử dụng đơn vị đúng, giải thích ý nghĩa của $g'(140)$" đòi hỏi một câu hoàn chỉnh: giá trị, lượng, từ chỉ tốc độ "trên/mỗi", và thời điểm. Ví dụ: "$g'(140)=2.3$ có nghĩa là tại $x=140$, lượng đang tăng khoảng $2.3$ đơn vị trên mỗi đơn vị $x$."

Đối với một hạt chuyển động trên đường thẳng, ba hàm theo thời gian liên hệ với nhau qua vi phân:

• vị trí $s(t)$;
• vận tốc $v(t)=s'(t)$ – có dấu; dấu của nó cho biết hướng chuyển động;
• gia tốc $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Các đọc hiểu quan trọng (phần thi thường gặp):

• Hạt dừng lại khi $v(t)=0$.
• Hạt di chuyển sang phải/lên trên khi $v(t)>0$ và sang trái/xuống dưới khi $v(t)<0$; hạt đổi hướng tại nơi $v$ đổi dấu.
• Tốc độ là $|v(t)|$. Tốc độ tăng khi $v$ và $a$ có cùng dấu (vật đang tăng tốc), và giảm khi chúng có dấu ngược nhau.

Phân biệt kỹ lưỡng giữa vận tốc (có hướng) và tốc độ (không có hướng) – đề thi kiểm tra chính xác sự khác biệt này.

Ví dụ đã giải. Một hạt chuyển động với $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Sau đó $v(t)=3(t-1)(t-3)$, nên nó dừng lại tại $t=1$ và $t=3$ và đổi hướng tại mỗi điểm. Tại $t=2$, $v=-3<0$ và $a(2)=6(2)-12=0$; ngay sau đó, $a>0$ trong khi $v<0$, nên hạt đang chuyển động chậm dần tại đó.

Ý tưởng đạo hàm tương tự mô hình hóa bất kỳ đại lượng thay đổi nào: bồn chứa đang xả nước, quần thể đang mở rộng, cốc nước đang nguội đi. Bất cứ khi nào bài toán nói "tốc độ mà...", nó đang mô tả một đạo hàm. Đọc đơn vị để biết tốc độ của đại lượng nào, sau đó diễn giải trong ngữ cảnh.

Trong một bài toán các tốc độ liên quan, nhiều đại lượng thay đổi cùng nhau theo thời gian, và bạn biết một số tốc độ nhưng muốn tìm một tốc độ khác. Động cơ là quy tắc chuỗi: vi phân một mối quan hệ theo thời gian $t$. Mọi biến trở thành hàm của $t$, nên mỗi đạo hàm đều thu được một nhân tố "$\,/\,dt$". Quy tắc tích và thương cũng có thể cần thiết.

Một quy trình đáng tin cậy – và một mẫu đầy đủ điểm trên kỳ thi:

1. Đặt tên các biến số và ghi lại các tốc độ đã cho và tốc độ chưa biết (ví dụ: "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/ngày, tìm $\dfrac{dV}{dt}$").
2. Viết phương trình liên hệ các đại lượng (thường là công thức hình học hoặc thể tích).
3. Vi phân hai vế theo $t$ (quy tắc chuỗi) – trước khi thay số.
4. Thay thế các giá trị đã biết tại thời điểm quan tâm, và giải tìm tốc độ chưa biết.
5. Nêu câu trả lời với đơn vị và dấu đúng (một đại lượng giảm có tốc độ âm).

Thay số quá sớm là lỗi điển hình: hãy vi phân trước tổng quát rồi mới thay số vào.

Ví dụ mẫu. Thể tích một quả bóng bay tăng theo $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. Từ $V=\tfrac43\pi r^3$, vi phân trước: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. Tại $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, nên $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

Gần một điểm tiếp xúc, một đường cong trơn tru trông giống như đường tiếp tuyến của nó – đây là tính tuyến tính cục bộ. Vì vậy, đường tiếp tuyến cung cấp một xấp xỉ tuyến tính (xấp xỉ tuyến tính) của hàm số gần điểm đó:

Sử dụng nó để ước tính $f$ tại một $x$ gần $a$.

Ước lượng cao hay thấp? Câu trả lời phụ thuộc vào độ lồi. Nếu đồ thị lồi lên gần $a$ (nó cong phía trên tiếp tuyến), giá trị của đường tiếp tuyến sẽ là ước lượng thấp. Nếu nó lồi xuống, đường tiếp tuyến nằm trên đường cong, tạo ra ước lượng cao. Các phần thi kiểm tra tư duy này, nên phải giải thích bằng dấu của $f''$.

Khi thay thế trực tiếp vào thương của các giới hạn tạo ra dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$, bạn có thể sử dụng Quy tắc L'Hospital:

miễn là giới hạn bên phải tồn tại. Vi phân riêng phần tử và mẫu (đây không phải là quy tắc thương), sau đó thử giới hạn lần nữa. Trước hết hãy xác nhận rằng dạng thực sự là $\tfrac{0}{0}$ hoặc $\tfrac{\infty}{\infty}$ – áp dụng quy tắc cho bất kỳ dạng nào khác là sai lầm.

Ví dụ mẫu. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ dẫn đến $\tfrac00$, nên vi phân cả tử và mẫu: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. Và $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ cũng là $\tfrac00$; nó trở thành $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

• Trong các bài toán chuyển động: vận tốc là đạo hàm của vị trí, gia tốc là đạo hàm của vận tốc; tốc độ tăng khi vận tốc và gia tốc cùng dấu.
• Đối với các tốc độ liên quan, vi phân phương trình liên hệ theo thời gian, sau đó thay thế các giá trị đã cho vào cuối cùng.
• Sử dụng đường tiếp tuyến cho một xấp xỉ tuyến tính gần một điểm đã biết; nó chỉ chính xác ở gần đó.
• Đọc dấu của tốc độ: dương nghĩa là các đại lượng di chuyển cùng nhau, âm nghĩa là ngược chiều.
• Luôn nêu đơn vị và diễn giải câu trả lời trong ngữ cảnh.

Định lý Giá trị Trung bình (MVT) liên kết tốc độ thay đổi trung bình với tốc độ tức thời:

Nếu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$, thì tồn tại ít nhất một điểm $c$ trong $(a,b)$ nơi

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Nói bằng lời: ở đâu đó bên trong khoảng, tốc độ tức thời bằng tốc độ trung bình. Về mặt hình học, có một đường tiếp tuyến nào đó song song với đường nối hai đầu mút.

Kỹ năng làm bài thi. Giống như Định lý Giá trị Trung bình (IVT), Định lý Giá trị Trung bình (MVT) là một định lý tồn tại, và các câu hỏi yêu cầu bạn chứng minh. Điểm tối đa cần: (1) nêu $f$ liên tục trên $[a,b]$ và khả vi trên $(a,b)$; (2) tính tỷ lệ trung bình $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) kết luận "theo MVT có một $c$ trong $(a,b)$ với $f'(c)$ bằng giá trị đó." Cả hai giả thiết đều phải được nêu tên.

Ví dụ mẫu. Với $f(x)=x^2$ trên $[1,3]$, tốc độ trung bình là $\dfrac{9-1}{2}=4$; đặt $f'(c)=2c=4$ ta được $c=2$, nằm trong $(1,3)$ – điểm được đảm bảo.

Định lý Giá trị Cực đại (EVT) đảm bảo cực trị tồn tại: một hàm liên tục trên khoảng đóng $[a,b]$ sẽ đạt cả giá trị lớn nhất tuyệt đối và giá trị nhỏ nhất tuyệt đối trên khoảng đó.

Một điểm tới hạn là điểm bên trong mà $f'(x)=0$ hoặc $f'(x)$ không xác định. Tất cả cực trị cục bộ (tương đối) đều xảy ra tại các điểm tới hạn – nhưng không phải mọi điểm tới hạn đều là cực trị. Do đó, điểm tới hạn là những ứng viên; bạn phải kiểm tra từng điểm.

Đạo hàm bậc nhất cho biết nơi nào $f$ tăng hay giảm:

• $f'(x) > 0$ trên khoảng $\Rightarrow$ $f$ là đồng biến tại đó;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ là nghịch biến.

Trong kỳ thi, "tìm các khoảng mà $f$ đồng biến" nghĩa là: tìm các điểm tới hạn, sau đó kiểm tra dấu của $f'$ giữa chúng, và chứng minh bằng dấu của $f'$ (một lý do được phát biểu rõ ràng, không chỉ là khoảng).

Để phân loại điểm tới hạn $x=c$ là cực đại cục bộ, cực tiểu cục bộ hay không có, hãy kiểm tra cách $f'$ thay đổi dấu tại đó:

• $f'$ thay đổi $+$ sang $-$ tại $c$ $\Rightarrow$ cực đại cục bộ;
• $f'$ thay đổi $-$ sang $+$ tại $c$ $\Rightarrow$ cực tiểu cục bộ;
• $f'$ không thay đổi dấu $\Rightarrow$ thì không phải là cực trị.

Luôn phát biểu sự thay đổi dấu như là lời chứng minh của bạn.

Ví dụ mẫu. Đối với $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ bằng không tại $x=0,2$. Dấu cho thấy $+,-,+$, nên $x=0$ là cực đại cục bộ ($f=0$) và $x=2$ là cực tiểu cục bộ ($f=-4$).

Trên khoảng đóng, cực trị tuyệt đối (toàn cục) chỉ xảy ra tại các điểm tới hạn hoặc đầu mút. Test ứng viên:

1. Liệt kê tất cả các điểm tới hạn trong $[a,b]$ và hai đầu mút.
2. Tính giá trị $f$ tại mỗi ứng viên.
3. Giá trị đầu ra lớn nhất là cực đại tuyệt đối; giá trị nhỏ nhất là cực tiểu tuyệt đối.

Hiển thị bảng giá trị – sự so sánh chính là lập luận.

Đạo hàm bậc hai mô tả độ cong:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ là lõm lên (cong như chiếc cốc; $f'$ đang tăng);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ là lồi lên ($f'$ đang giảm).

Điểm uốn là nơi độ lồi thay đổi, tức là nơi $f''$ thay đổi dấu (không chỉ đơn thuần là nơi $f''=0$). Báo cáo tọa độ $x$ và giải thích bằng sự thay đổi dấu của $f''$.

Một cách khác để phân loại một điểm tới hạn $c$ khi $f'(c)=0$:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ lõm lên $\Rightarrow$ cực tiểu cục bộ;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ lồi lên $\Rightarrow$ cực đại cục bộ;
• $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ thì test không kết luận được – quay lại sử dụng test đạo hàm bậc nhất.

Trường hợp đặc biệt: nếu một hàm liên tục chỉ có một điểm tới hạn trên một khoảng và điểm đó là cực trị cục bộ, thì điểm đó cũng là cực trị tuyệt đối tại đó.

Các đặc điểm chính của $f$, $f'$, và $f''$ phản chiếu lẫn nhau. Để phác thảo hoặc đọc đồ thị:

• $f$ đồng biến $\Leftrightarrow$ $f'$ nằm trên trục hoành; $f$ có cực đại cục bộ $\Leftrightarrow$ $f'$ cắt từ $+$ sang $-$.
• $f$ lõm lên $\Leftrightarrow$ $f'$ đang tăng $\Leftrightarrow$ $f''$ nằm trên trục hoành; $f$ có điểm uốn $\Leftrightarrow$ $f'$ có cực trị cục bộ $\Leftrightarrow$ $f''$ cắt trục hoành.

Đây là kỹ năng đọc một đồ thị để mô tả đồ thị khác. Một cấu trúc đề thi rất phổ biến cung cấp đồ thị của $f'$ và hỏi về $f$: nơi nào $f$ đang tăng (nơi $f'>0$), nơi nào cực trị của $f$ (nơi $f'$ cắt trục hoành, kèm theo sự thay đổi dấu), nơi nào $f$ lõm lên (nơi $f'$ đang tăng). Trả lời các câu hỏi về $f$ bằng cách sử dụng chiều cao và độ dốc của đồ thị $f'$.

Tối ưu hóa sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một đại lượng trên một khoảng. Đó là việc áp dụng cơ chế test ứng viên/derivative-test vào một mục tiêu thực tế.

Một quy trình đáng tin cậy:

1. Viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến (sử dụng phương trình ràng buộc để loại bỏ các biến thừa).
2. Xác định khoảng giá trị đầu vào cho phép.
3. Tìm điểm tới hạn ($f'=0$ hoặc không xác định) và kiểm tra chúng (thử nghiệm đạo hàm bậc nhất hoặc bậc hai, hoặc thử nghiệm các ứng viên nếu khoảng là đóng).
4. Trả lời câu hỏi đã đặt ra, kèm đơn vị và giải thích trong ngữ cảnh – diện tích tối đa, chi phí tối thiểu, v.v.

Ví dụ mẫu. Với $100\ \text{m}$ hàng rào làm chuồng hình chữ nhật dựa vào tường (chỉ ba cạnh có hàng rào), gọi hai đầu là $x$ và cạnh xa nhất là $y=100-2x$. Diện tích $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ đạt $A'(x)=100-4x=0$ tại $x=25$; vì $A''=-4<0$ đây là giá trị lớn nhất, mang lại $y=50$ và $A=1250\ \text{m}^2$.

Tất cả những điều này mở rộng sang các quan hệ được định nghĩa ẩn. Điểm tới hạn của một quan hệ ẩn là nơi $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tiếp tuyến nằm ngang) hoặc không xác định (tiếp tuyến đứng). Vì $\dfrac{dy}{dx}$ thường là quan hệ giữa $x$ và $y$, và đạo hàm bậc hai liên quan đến $x$, $y$, và $\dfrac{dy}{dx}$, hãy thay thế biểu thức đạo hàm bậc nhất trở lại khi tìm $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, sau đó suy luận về độ lồi từ dấu của nó.

• $f'>0$ có nghĩa là đồng biến, $f'<0$ nghịch biến; các ứng viên cho cực trị là nơi $f'=0$ hoặc không xác định.
• Phân loại điểm tới hạn bằng thay đổi dấu đạo hàm bậc nhất hoặc thử nghiệm đạo hàm bậc hai ($f''>0$ là cực tiểu, $f''<0$ là cực đại).
• $f''>0$ lõng lên, $f''<0$ lõng xuống; điểm uốn là nơi độ lồi thay đổi ($f''$ thay đổi dấu).
• Đối với cực trị tuyệt đối trên khoảng đóng, cũng cần kiểm tra các điểm đầu mút.
• Giải thích mọi kết luận bằng cách trích dẫn dấu của $f'$ hoặc $f''$ — bài thi yêu cầu lập luận logic chứ không chỉ đáp án cuối cùng.

Nơi đạo hàm đo lường một tốc độ, thì tích phân đo lường sự tích lũy – một tổng được xây dựng từ tốc độ đó. Nếu một tốc độ biến thiên tác động qua một khoảng, diện tích giữa đồ thị của nó và trục tọa độ sẽ cho biết sự biến thiên tích lũy ròng. Ý tưởng "diện tích = biến thiên tổng" là nền tảng của giải tích tích phân.

Một tổng Riemann ước tính diện tích dưới đường cong bằng cách cộng diện tích của các hình chữ nhật mỏng. Chia $[a,b]$ thành các khoảng con và sử dụng chiều cao của hàm số tại điểm bên trái, bên phải, hoặc trung điểm của mỗi khoảng. Một tổng hình thang sử dụng các hình thang thay thế, lấy trung bình hai chiều cao đầu mút – thường chính xác hơn. Càng nhiều, càng mỏng các hình chữ nhật thì ước lượng càng tốt.

Kỹ năng thi: có thể tính toán các ước lượng bên trái, bên phải, trung điểm và hình thang từ bảng số liệu hoặc đồ thị, và chỉ ra từng cái ước lượng cao hay thấp dựa trên việc hàm số đang tăng/giảm hay lồi lên/lồi xuống.

Viết một tổng Riemann với ký hiệu tổng $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ và để số lượng hình chữ nhật tiến tới vô cùng sẽ cho diện tích chính xác – tích phân xác định:

Tích phân là giới hạn của các tổng Riemann; $a$ và $b$ là giới hạn của tích phân.

Một hàm tích lũy $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ cho biết diện tích tích lũy từ $a$ lên đến $x$. Định lý cơ bản của Giải tích (FTC) nói rằng đạo hàm của nó chính là biểu thức dưới dấu tích phân:

Vi phân và tích phân là các phép toán nghịch đảo. Với cận trên là biến số và quy tắc chuỗi, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

Vì $g'(x)=f(x)$, đồ thị của $f$ cho bạn biết mọi thứ về $g$: $g$ tăng nơi $f>0$, giảm nơi $f<0$, có cực đại nơi $f$ cắt trục hoành, và lồi lên nơi $f$ đang tăng. Đọc những mối liên hệ này từ đồ thị của $f$ là một nhiệm vụ tự luận kinh điển.

Tích phân xác định tuân theo các quy tắc hữu ích: đảo ngược các giới hạn sẽ đổi dấu giá trị ($\int_b^a=-\int_a^b$), tích phân trên khoảng có độ rộng bằng không là $0$, chúng cộng lại trên các khoảng liền kề ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), và hằng số có thể đưa ra ngoài. Sử dụng những điều này để kết hợp hoặc tách rời các giá trị tích phân đã cho.

Dạng tính toán của FTC tính một tích phân xác định từ một nguyên hàm $F$ (ở đâu $F'=f$):

Vậy tích phân của một tốc độ biến thiên trên $[a,b]$ sẽ cho biến thiên ròng của đại lượng – kết quả được sử dụng phổ biến nhất trong khóa học.

Ví dụ mẫu. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: một nguyên hàm là $F(x)=x^2+x$, nên giá trị là $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Một tích phân bất định $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ là họ tất cả các nguyên hàm (do đó có hằng số tích phân $C$). Đảo ngược từng quy tắc vi phân: quy tắc lũy thừa trở thành $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (cho $n\neq-1$), với $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, và các nguyên hàm của $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, và $\sec^2 x$ thu được trực tiếp từ đạo hàm của chúng.

u-substitution (thay biến) đảo ngược quy tắc chuỗi: chọn $u=g(x)$ sao cho $g'(x)$ cũng xuất hiện, biến $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ thành $\int f(u)\,du$. Nhớ chuyển đổi $dx$ sang $du$ và, đối với tích phân xác định, hoặc thay đổi cận thành các giá trị $u$ hoặc quay trở lại $x$ ở cuối cùng.

Khi hàm dưới dấu tích phân dạng hữu tỷ có "tử cao hơn mẫu" (bậc tử $\ge$ bậc mẫu), phép chia dài viết lại nó thành một đa thức cộng với một phân thức thực mà bạn có thể tích phân được. Hoàn thành bình phương trong mẫu số biến nó về dạng như $u^2+a^2$, dẫn đến nguyên hàm arctangent $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

Tích phân từng phần đảo ngược quy tắc tích:

Chọn $u$ để đơn giản hóa khi lấy đạo hàm và $dv$ để dễ dàng tích phân (hướng dẫn LIATE: logarit, lượng giác nghịch đảo, đại số, lượng giác, mũ). Nó xử lý các tích như $\int x e^x\,dx$ và $\int x\ln x\,dx$, đôi khi áp dụng hai lần.

Ví dụ đã giải. Đối với $\int x e^x\,dx$, chọn $u=x$ ($du=dx$) và $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

Phân tích phân thức đơn tách một hàm hữu tỷ có mẫu số nhân tử hóa được thành tổng của các phân thức đơn giản hơn:

mỗi cái đều tích phân ra một logarit. Kỹ thuật này rất quan trọng cho phương trình vi phân logistic trong chương tiếp theo.

Một tích phân không xác định có cận vô hạn hoặc một điểm gián đoạn vô hạn trong hàm dưới dấu tích phân. Đánh giá nó như một giới hạn: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Nếu giới hạn là một số hữu hạn thì tích phân hội tụ; nếu không thì nó phân kỳ.

Ví dụ đã giải. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, do đó nó hội tụ về $1$. Ngược lại, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ cho kết quả là $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ và phân kỳ – cùng một dạng hàm dưới dấu tích phân có thể đi theo cả hai hướng.

Đề thi BC yêu cầu bạn nhận biết phương pháp nào phù hợp: các quy tắc cơ bản, thế biến (dạng quy tắc chuỗi), tích phân từng phần (một tích), phân tích phân thức đơn (hữu tỷ nhân tử hóa được), hoặc phép chia dài/hoàn thành bình phương. Khả năng nhìn vào một tích phân và chọn công cụ đúng ngay lập tức bản thân nó là một kỹ năng được kiểm tra.

• Tích phân là nguyên hàm; hãy sử dụng quy tắc lũy thừa $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ và đừng quên thêm $+C$.
• Định lý Cơ bản liên kết hai khái niệm: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, và $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
• xấp xỉ một tích phân xác định bằng tổng Riemann hoặc quy tắc hình thang từ bảng giá trị.
• Một tích phân xác định là diện tích có dấu (phía dưới trục hoành tính âm); chia nhỏ tại các điểm đổi dấu để tìm tổng diện tích.
• Sử dụng đặt u-substitution và nhớ thay đổi cận (hoặc thế ngược) tương ứng.

Một phương trình vi phân liên hệ giữa một hàm với các đạo hàm của nó. Nhiều tình huống thực tế được mô tả qua tốc độ: "dân số tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với kích thước của nó" trở thành $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Thiết lập phương trình từ mô tả bằng lời nói – xác định những gì thay đổi và chúng tỷ lệ thuận với điều gì – là kỹ năng đầu tiên.

Một nghiệm là một hàm thỏa mãn phương trình. Để kiểm chứng một nghiệm đề xuất, hãy lấy đạo hàm của nó và thay vào phương trình, kiểm tra xem cả hai vế có khớp nhau hay không. Một nghiệm tổng quát chứa hằng số $C$; một nghiệm riêng xác định $C$ từ một điều kiện.