Xác Định Dãy Vô Hạn Hội tụ và Phân kỳ
Đã giới thiệu| English | Ý nghĩa |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | dãy vô hạn |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | hội tụ |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | phân kỳ |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | tổng riêng phần |
Adding up infinitely many numbers
- Can you add up infinitely many terms and get a finite total? Sometimes yes.
- An infinite series 无穷级数 is the sum $a_1+a_2+a_3+\cdots$ of the terms of a sequence.
- It converges 收敛 if the running total approaches a finite number, and diverges 发散 otherwise.
- This unit is all about deciding which — and, when it converges, to what.
Partial sums are the key
- Add the terms one at a time: the partial sum 部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ is the total of the first $n$ terms.
- These partial sums form their own sequence $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- The series' value is defined as the limit of the partial sums: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- So an infinite sum is really a limit — the same limit idea from Unit 1.
Partial sums of a convergent geometric series climb toward a/(1 − r)
Các số hạng của dãy hội tụ
Các số hạng của $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ giảm theo cấp số nhân, do đó các tổng riêng dần tiến tới một giới hạn hữu hạn.
Giá trị của một dãy vô hạn được định nghĩa là giới hạn của các...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
Tổng của $n$ số hạng đầu tiên, $S_n$, được gọi là tổng riêng thứ $n$.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Dãy là giới hạn của các tổng riêng này.
Converge vs. diverge
- Converges: the partial sums $S_n$ approach a finite limit $L$ — that $L$ is the series' sum.
- Diverges: the partial sums grow without bound, or bounce and never settle.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converges (to $2$); $1+1+1+\cdots$ diverges.
- Convergence is about the partial sums settling down, not the terms.
Các tổng riêng của $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ tiến lên về giới hạn nào?
Độ khó 2/5 · 140 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Một dãy số nhân với tỷ lệ $\tfrac12$ có tổng là $2$.
Dãy nào rõ ràng phân kỳ?
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Các số hạng không thu hẹp về $0$, nên nó phân kỳ.
Một dãy hội tụ khi các tổng riêng của nó...
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Hội tụ = các tổng riêng tiến tới một giới hạn $L$ hữu hạn.
Terms shrinking is necessary, not enough
- For a series to converge, its terms must shrink to $0$ — otherwise the total can't settle.
- But shrinking terms alone don't guarantee convergence (the harmonic series $\sum\tfrac1n$ has terms $\to0$ yet diverges).
- So "$a_n\to0$" is a necessary condition, not a sufficient one.
- The tests in this unit are the tools for the harder cases.
Nếu các số hạng $a_n\to 0$, dãy bắt buộc phải hội tụ.
Độ khó 1/5 · 100 xu + một phần thưởng nhỏ cho lần hoàn thành đầu tiên trong ngày
Điều kiện cần nhưng không đủ — ví dụ: $\sum\tfrac1n$ phân kỳ.
A series is a limit of partial sums, not just "the terms." Terms going to $0$ is necessary for convergence but not sufficient — $\sum\frac1n$ has terms $\to0$ yet diverges. Don't conclude convergence just because the terms shrink; you need one of the convergence tests.
Does $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge?
- Partial sums: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- They climb toward $2$ and never pass it.
- The limit is $2$, so the series converges to $2$.
An infinite series $\sum a_n$ is the limit of its partial sums $S_n=a_1+\cdots+a_n$: it converges to $L$ if $S_n\to L$ (finite), and diverges otherwise. Terms shrinking to $0$ is necessary but not sufficient for convergence.