GRE · GRE Subject Test · GRE Physics

ดาวเคราะห์มีความเร่งแม้时将速度恒定: ความเร็วรวมถึงทิศทาง

ความรู้ก่อนหน้า: 47.

• ใช้คำอธิบายแบบ Newtonian, Lagrangian และ Hamiltonian
• วิเคราะห์การหมุน แรงศูนย์กลาง และการสั่นสะเทือน
• ใช้กฎการอนุรักษ์พร้อมกับเงื่อนไข

กฎข้อที่สองของ Newton เป็น statement แบบเวกเตอร์ เลือกพิกัดและระบุ constraints ก่อน component

การอนุรักษ์พลังงานใช้ได้เมื่องานจากแรงที่ไม่ conservative ถูกพิจารณา; การอนุรักษ์ momentum ต้องการ zero net external impulse

สำหรับการสั่นสะเทือนขนาดเล็ก ให้ทำเชิงเส้นรอบจุดสมดุลที่เสถียร พจน์ที่คืนแรงซึ่งแปรผันตามการกระจัดจะให้เกิดการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก

สมการลากรังจ์ใช้ L=T−V และพิกัดทั่วไป Formalism ระดับมหาวิทยาลัยนี้แตกต่างจากการแทนที่แรงในระดับโรงเรียน

เลือกกรอบอ้างอิงเฉื่อยและพิกัด x ที่วัดจากจุดสมดุลของสปริง สำหรับสปริงที่เป็นระบบอนุรักษ์ พลังงานลากรังจ์ช่วยหลีกเลี่ยงการแก้แรงข้อจำกัด

เมื่อ m = 2.0 kg และ k = 18 N/m, ค่าความแข็งบวกให้การเคลื่อนที่ที่เสถียร หน่วยของ k/m คือวินาทีลบสอง

กลศาสตร์คลาสสิก: แผนภาพการสอนต้นฉบับ GRE.

การอนุรักษ์พลังงานจลน์ไม่เกิดขึ้นในทุกการชน แม้ว่าจะมีการอนุรักษ์โมเมนตัมก็ตาม

พลังงานลากรังจ์: พลังงานจลน์ลบด้วยพลังงานศักย์สำหรับระบบกลศาสตร์มาตรฐาน

โมเมนตัมเชิงมุม: โมเมนต์ของโมเมนตัมเชิงเส้นเทียบกับจุดอ้างอิง

ศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ที่จุดหนึ่งไม่จำเป็นต้องหมายความว่าสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ที่จุดนั้น

ความรู้ก่อนหน้า: 13, 14, 15, 29, 30.

• ใช้ศักย์ไฟฟ้า สนามไฟฟ้า และกฎของเกาส์
• วิเคราะห์วงจรแม่เหล็กและแรงเหนี่ยวนำ
• ใช้สมการแมกซ์เวลล์และความสัมพันธ์ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า

สนามไฟฟ้าคือลบของเกรเดียนต์ของศักย์ ค่าหนึ่งและการเปลี่ยนแปลงทางพื้นที่เป็นปริมาณที่แตกต่างกัน

ใช้กฎของเกาส์ร่วมกับความสมมาตร การทราบฟลักซ์รวมเพียงอย่างเดียวไม่สามารถกำหนดสนามที่จุดใดๆ บนพื้นผิวได้

กฎของเคอร์ชอฟฟ์ติดตามประจุและพลังงานในวงจร แรงดันไฟฟ้าเหนี่ยวนำขึ้นอยู่กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์แม่เหล็กโดยมีเครื่องหมายตามกฎเลนซ์

สมการของแม็กซ์เวลล์เชื่อมโยงสนามไฟฟ้าและสนามแม่เหล็ก ในสุญญากาศคลื่นมีอัตราส่วน E/B=c และพาพลังงาน

เปลือกทรงกลมมีรัศมี R และมีประจุ Q สม่ำเสมอ เลือกศักย์เป็นศูนย์ที่อนันต์ ความสมมาตรทรงกลมช่วยให้กฎของเกาส์กำหนดสนามภายนอกได้

ภายใน ประจุที่ถูกห่อหุ้มเป็นศูนย์และความสมมาตรทำให้ E = 0 ความต่อเนื่องให้ ศักย์มีค่าไม่เป็นศูนย์และเป็นค่าคงที่ภายใน ค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์ ไม่ใช่ค่าศักย์เป็นศูนย์, ทำให้สนามเป็นศูนย์ สนามตามรัศมีมีการกระโดดที่พื้นผิวที่มีประจุ

อย่าใช้กฎของเกาส์เพื่ออ้างว่าสนามไฟฟ้าสม่ำเสมอบนพื้นผิวที่ไม่สมมาตรใดๆ

flux: อินทิกรัลพื้นผิวขององค์ประกอบปกติของสนาม

potential: พลังงานศักย์ต่อหน่วยประจุ

Two individually bright waves can cancel at a point if their phases oppose.

Prerequisites: 16, 17, 18, 31, 32, 33.

• Analyse wave superposition and interference
• Use diffraction 衍射, polarisation and optical imaging
• Relate phase, frequency and dispersion

Add wave amplitudes, then calculate intensity. Intensity is proportional to squared amplitude for the same medium.

A path difference gives phase difference 相位差 2πΔ/λ. Coherent sources need stable relative phase.

For a single slit, minima satisfy a sin θ=mλ for nonzero integers m. A double slit has a different interference condition.

Geometric optics needs a stated sign convention. Wave effects matter when apertures are comparable to wavelength.

Coherent waves have a stable phase difference. Add amplitudes before squaring.

For equal individual intensities I0 and a path difference of one quarter wavelength, This is neither a maximum nor a minimum. Random relative phase removes the cross term in a long time average; stable coherence 相干性 is a physical condition, not a drawing convention.

The central single-slit maximum is not obtained by setting m=0 in the minima condition.

coherence: A stable phase relationship between waves.

diffraction: Wave spreading and interference caused by an aperture or obstacle.

Two engines can obey energy conservation, yet only one obeys the entropy 熵 limit on efficiency.

Prerequisites: 19, 20, 34, 35, 36.

• Apply the first and second laws with a sign convention
• Relate ensembles, Boltzmann factors and entropy
• Analyse ideal gases, heat engines and quantum statistics

State the first-law sign convention: ΔU=Q−W when W is work done by the system.

For a reversible engine between reservoirs, efficiency is bounded by 1−Tc/Th using absolute temperatures.

Boltzmann weights are exp(−E/kT). Probabilities require division by the partition function 配分函数.

Distinguish Maxwell–Boltzmann, Bose–Einstein and Fermi–Dirac assumptions. Fermions cannot share an identical single-particle state.

Use work W done by the gas as positive. The first law 热力学第一定律 is

For reversible isothermal expansion of an ideal gas, U depends only on T, so For n = 0.50 mol, T = 300 K and doubled volume, The gas expands and receives heat. The reservoir loses the same entropy in this reversible limit.

Celsius temperature ratios cannot be used in the Carnot efficiency formula.

entropy: A state quantity connected to multiplicity and reversible heat transfer.

partition function: The sum of statistical weights used to normalise probabilities.

A particle in a box cannot have zero ground-state kinetic energy. Its confinement changes what states are allowed.

Prerequisites: 24, 37, 38, 39.

• Use wavefunctions, operators and measurement probabilities
• Solve standard bound-state models and tunnelling reasoning
• Apply angular momentum, spin and atomic spectral principles

A state wavefunction 波函数 must satisfy the model’s boundary conditions and have total probability one: integrate |ψ(x)|² over the allowed domain. For orthonormal states φ_j, a superposition ψ=Σc_jφ_j has norm squared Σ|c_j|² because the cross terms integrate to zero. Thus an equal superposition of N orthonormal states has coefficient magnitude 1/sqrt(N). The probability of finding one constituent energy is |c_j|², not c_j. Relative phases may affect position probabilities even when energy probabilities are unchanged.

An observable is represented by a Hermitian operator 算符. Its eigenvalues are real, and a normalised state gives expectation value ⟨A⟩=∫ψ* Aψ dx. The expectation is an average over repeated preparations, not necessarily the result of one measurement. If A satisfies a polynomial identity, apply it to an eigenstate: for A⁴=I, a real eigenvalue must be +1 or −1. A complex fourth root is excluded by Hermiticity even though it solves the polynomial.

For an infinite well 0<x<L, ψ(0)=ψ(L)=0 allows sine modes sin(nπx/L), with n=1,2,… . Their energies are E_n=n²π²$\hbar$²/(2mL²), so the ground state is not zero and doubling L divides every energy by four. The equivalent h expression is n²h²/(8mL²); never substitute h for $\hbar$ without its 2π factor. A finite barrier instead permits exponential tails, and a travelling wave in a classically allowed region has oscillatory rather than exponentially decaying spatial dependence.

Operators commute when [A,B]=AB−BA=0; compatible observables can have a common eigenbasis. Since kinetic energy p²/(2m) is a function of p, it commutes with p. A position-dependent potential generally makes H=p²/(2m)+V(x) fail to commute with p. Angular momentum obeys [J_x,J_y]=i$\hbar$J_z and cyclic permutations, while J² commutes with each component. Atomic transitions exchange positive photon energy equal to a level difference; angular momentum and mechanism-specific selection rules restrict which transitions occur.

An infinite well extends from 0 to L. Vanishing wavefunction at both ends gives

Prepare $\psi=(\psi_1+i\psi_2)/\sqrt2$. Orthogonality makes its norm one. Energy measurements give E1 or 4E1 with equal probability: This average is not an allowed single energy result. The relative phase changes in time, so a superposition of different energies is not a stationary state.

A stationary state can have a nonzero energy even though its probability density is time-independent.

normalisation 归一化: Making total probability equal to one.

operator: A mathematical action representing an observable.

A precise instrument can give consistently wrong results when its calibration is shifted.

Prerequisites: 21, 22, 42, 43, 44.

• Apply special-relativistic energy and spacetime relations
• Propagate measurement uncertainty and analyse experimental data
• Recognise nuclear, particle, condensed-matter and astrophysical concepts

Special relativity uses γ=1/sqrt(1−v²/c²). Rest energy is mc² and total energy is γmc².

For independent small uncertainties, combine contributions in quadrature; correlated uncertainties require covariance 协方差 terms.

Random scatter affects precision 精密度; calibration bias affects accuracy. A log plot can reveal a power law.

Nuclear, particle, condensed-matter and astrophysics questions require undergraduate vocabulary and models. School physics alone is not a complete preparation course.

Proper time 固有时 is measured between events at one position in a frame. For a particle speed 0.60c,

If its mean proper lifetime is 4.0 microseconds, A lifetime is a mean of a distribution; it does not predict an individual decay time.

Adding percentage uncertainties linearly gives a worst-case bound, not the independent statistical standard uncertainty.

precision: Closeness of repeated measurements to each other.

covariance: A measure of joint variation used for correlated uncertainties.

ไม่ทุกความแตกต่างของพลังงานจะสร้างเส้นสเปกตรัมแบบไดโพลไฟฟ้าที่ชัดเจน

ความรู้พื้นฐานที่ต้องมี: 23, 40, 41.

• เชื่อมโยงระดับพลังงานของอะตอมกับเส้นสเปกตรัม
• ใช้เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม
• แยกแยะการเปลี่ยนสถานะแบบอนุญาตและไม่อนุญาตสำหรับไดโพลไฟฟ้า

สำหรับไอออนหนึ่งอิเล็กตรอนชนิดไฮโดรเจน-like พลังงานที่ถูกจำกัดจะแปรผันตาม −13.6 Z²/n² eV ในแบบจำลองที่ไม่สัมพัทธภาพอย่างง่าย การปล่อยรังสีจำเป็นต้องเกิดจากการเปลี่ยนสถานะลงจากพลังงานสูงไปต่ำ และมีพลังงานโฟตอนเป็นบวก

โมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรมีค่า l=0,…,n−1 และ m_l=−l,…,l สปินอิเล็กตรอนเพิ่มค่า s=1/2; โมเมนตัมเชิงมุมรวมจะรวมองค์ประกอบของวงโคจรและสปินเข้าด้วยกัน

กฎการเลือกสำหรับไดโพลไฟฟ้ารวมถึง Δl=±1 และ Δm=0,±1 กฎเหล่านี้เกี่ยวข้องกับกลไกการเปลี่ยนสถานะเฉพาะบางชนิด คำว่า "ไม่อนุญาต" ไม่ได้หมายความว่าไม่สามารถเกิดขึ้นได้ด้วยทุกกลไก

โครงสร้างละเอียด ผลกระทบของส핀-ออร์บิต และการแตกตัวแบบซีแมนช่วยปรับปรุงภาพอะตอมไฮโดรเจนอย่างง่าย สำหรับอะตอมที่มีอิเล็กตรอนหลายตัว การป้องกันประจุและอันตรกิริยาของอิเล็กตรอนทำให้การใช้สูตรพลังงานไฮโดรเจนโดยตรงไม่ได้ผลอีกต่อไป

สำหรับไอออนหนึ่งอิเล็กตรอนที่ไม่สัมพัทธภาพ โดยละเลยโครงสร้างละเอียด,

เมื่อ Z = 2 การปล่อยรังสีจาก n = 3 ไปยัง n = 2 จะให้พลังงานโฟตอนเป็นบวก: ความต่างของพลังงานเพียงอย่างเดียวไม่รับประกันว่าจะเกิดการเปลี่ยนสถานะแบบไดโพลไฟฟ้าได้; สถานะวงโคจรที่เกี่ยวข้องต้องสอดคล้องกับกฎการเลือก

อย่าทำให้พลังงานสถานะสุดท้ายลบด้วยพลังงานสถานะต้นทางเป็นค่าลบสำหรับโฟตอนที่ถูกปล่อยออกมา

กฎการเลือก (selection rule): ข้อจำกัดต่อการเปลี่ยนสถานะสำหรับกลไกการมีปฏิสัมพันธ์ที่กำหนดไว้

การแยกระดับพลังงานซีแมน (Zeeman splitting): การแยกระดับพลังงานอะตอมเนื่องจากสนามแม่เหล็ก

A semiconductor’s conductivity depends on available states and carriers, not merely on the number of electrons in the material.

Prerequisites: 25, 45, 46.

• Use band and carrier descriptions
• Apply radioactive decay and binding-energy ideas
• Check conservation laws in particle reactions

Filled bands cannot carry ordinary current without accessible nearby states. Metals have partially filled or overlapping bands; semiconductors have a small band gap 带隙. Donor and acceptor doping change carrier populations.

Fermi–Dirac occupancy is 1/[exp((E−μ)/(kT))+1]. At zero temperature it becomes a step at the Fermi energy; thermal broadening does not make every state half occupied.

Radioactive populations obey N=N0e^(−λt), activity λN and half-life 半衰期 ln2/λ. Binding energy 结合能 comes from a mass deficit multiplied by c²; compare binding energy per nucleon when discussing stability.

Nuclear and particle processes must conserve charge, energy, momentum and the applicable quantum numbers. Beta decay includes a neutrino or antineutrino; a two-body electron-only story cannot explain its continuous energy spectrum.

Binding energy is the positive energy required to separate a nucleus into free nucleons. For a reaction use total initial and final rest masses, with a consistent mass convention.

A mass decrease of 0.0040 atomic mass units gives Positive Q means energy release. Charge, nucleon number, energy and momentum must still balance; Q alone does not establish a reaction rate.

Activity and surviving population both decay, but their units differ: activity is transitions per second.

band gap: An energy interval with no allowed bulk electronic states in the band model.

half-life: Time for a radioactive population to halve.

วิธีการด้านพลังงานเชื่อมโยงตัวสั่นของสปริงกับวงโคจร แต่พิกัดและสมมติฐานทางฟิสิกส์ของแต่ละระบบแตกต่างกัน

ความรู้ก่อนหน้า: 26, 41

• สร้างแฮมิลโทเนียนอย่างง่าย
• ใช้สมการแบบมาตรฐาน (canonical equations)
• ใช้การปรับสเกลแรงโน้มถ่วงและการแผ่รังสี

โมเมนตัมแบบมาตรฐานคือ p=∂L/∂qdot การแปลงเลอองดร์ H=p qdot−L จะให้ค่าแฮมิลโทเนียนเมื่อสามารถเขียนความเร็วด้วยพิกัดและโมเมนตัมได้

สมการของแฮมิลตันคือ qdot=∂H/∂p และ pdot=−∂H/∂q สำหรับตัวสั่นธรรมดา H=p²/(2m)+kq²/2 สมการเหล่านี้จะคืนรูปสมการของนิวตันออกมา

สำหรับวงโคจรวงกลมแรงโน้มถ่วง v²=GM/r และคาบ²=4π²r³/(GM) สมมติฐานรวมถึงมวลศูนย์กลางที่มีอิทธิพลหลักและการประมาณวงกลม; วงโคจรรูปวงรีใช้ระยะกึ่งแกนใหญ่ในกฎของเคปเลอร์ สำหรับดาวเทียมวงกลมมวล m ขนาดโมเมนตัมเชิงมุมคือ mrv=m sqrt(GMr) ดังนั้นดาวเทียมที่มีมวลเท่ากันจะมี L แปรผันตาม √r สัดส่วนรัศมี 9 จึงให้สัดส่วนโมเมนตัมเชิงมุม 3 ในขณะที่สัดส่วนคาบคือ 27 ความแตกต่างนี้เกิดจากความสัมพันธ์แรงสู่ศูนย์กลางเดียวกัน; อย่าใช้การปรับสเกลคาบเพื่อหาโมเมนตัมเชิงมุม

ความสว่างและฟลักซ์ที่ได้รับเป็น F=L/(4πd²)对于 isotropic radiation.体和黑体具有 L=4πR²σT⁴;其光谱峰值随温度升高而向短波移动。区分本征亮度与观测到的视亮度。

สำหรับ Lagrangian $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$ ที่ปกติ (regular) โมเมนตัมแบบมาตรฐานคือ

แทนค่าความเร็วลงในแปลงเลอองดร์: การรวมสิ่งเหล่านี้จะได้ $\ddot q=-(k/m)q$ การกลับค่าโมเมนตัมเพื่อหาความเร็ว จำเป็น; ไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่าเกิดขึ้นในทุกๆ constrained หรือ singular Lagrangian

ฮามิลโทเนียนจะมีค่าเท่ากับพลังงานกลทั้งหมดก็ต่อภายใต้สมมติฐานของระบบที่เกี่ยวข้องเท่านั้น อย่าสรุปสิ่งนี้โดยทั่วไปเพียงจากชื่อของมัน

โมเมนตัมแบบมาตรฐาน (canonical momentum):อนุพันธ์ของ Lagrangian เทียบกับความเร็วทั่วไป (generalised velocity)

ความสว่าง (luminosity):กำลังที่ปล่อยออกทั้งหมด แตกต่างจากฟลักซ์ที่ผู้สังเกตวัดได้

Two carts approach from different directions. After they stick, their momentum can be conserved while their kinetic energy falls.

Prerequisites: 1.

• Compute vector momentum and energy loss in sticking collisions
• Compare fixed-force springs and use work–energy conditions
• Derive small-oscillation periods and oscillator energies

Choose an isolated system during the short collision. With negligible external impulse 外力冲量, conserve total momentum separately in every Cartesian direction. If masses m1 and m2 stick, their common velocity is (m1 v1+m2 v2)/(m1+m2). Find the magnitude only after adding vectors. Initial kinetic energy is the sum of each ½m|v|²; final kinetic energy uses the total mass and the common speed. Their difference becomes internal energy or deformation, not missing momentum. A perfectly inelastic collision means sticking, not final rest.

The work–energy theorem ΔK=∫F·dr uses net force along displacement. For a constant parallel force over distance s, ΔK=Fs. Speed doubling quadruples kinetic energy. Conservation of mechanical energy is a separate statement requiring no unaccounted nonconservative work. At a spring displacement x, U=½kx². Under the same applied force F, equilibrium extension is F/k and stored energy is F²/(2k): a stiffer spring stretches less and stores less energy. Under the same extension, it stores more. Identify which condition is held fixed.

Near a stable equilibrium x0, expand U≈U(x0)+½U″(x0)(x−x0)²; the effective stiffness is positive U″(x0). The motion obeys m xddot=−k_eff(x−x0), with ω=sqrt(k_eff/m) and period 2π/ω. A simple pendulum obeys θddot+(g/L)sinθ=0. For small angles sinθ≈θ, so T=2πsqrt(L/g). This approximation explains period–length scaling; a large amplitude requires a correction, and the mass cancels for an ideal pendulum.

For an undamped harmonic oscillator, total energy is ½m v²+½kx²=½kA². At equilibrium all its energy is kinetic; at a turning point 转折点 its speed is zero and all its energy is potential. Angular frequency is not ordinary frequency: ω=2πf. If the same oscillator has equilibrium speed vmax, A=vmax/ω. Distinguish the instant at which speed is measured from the release displacement, and keep SI units when a millijoule answer is requested.

Two carts stick with negligible external impulse. Add momentum vectors 动量矢量, then divide by total mass. Known: m1 = 2 kg, v1 = (3,0) m/s; m2 = 1 kg, v2 = (0,3) m/s.

The 6 J difference becomes internal energy. Kinetic energy is not conserved in sticking.

Do not add incoming speed magnitudes as momenta, or conserve kinetic energy in a sticking collision. Fixed-force and fixed-extension spring comparisons have opposite answers.

external impulse: Time integral of the net force from outside the chosen system.

turning point: An extreme oscillator position where its instantaneous speed is zero.

การพลิกบล็อกลอยน้ำคว่ำลงอาจทำให้ปริมาณไม้ที่จมน้ำเปลี่ยนแปลงได้ แม้ว่าจะมีน้ำหนักทั้งหมดเท่าเดิมก็ตาม

ความรู้พื้นฐานที่ต้องมี: 10.

• ใช้โมเมนต์แรงรอบจุดหมุนและโมเมนต์ความเฉื่อยอย่างสม่ำเสมอ
• แบ่งส่วนพลังงานจลน์จากการกลิ้งโดยใช้ข้อจำกัดการไม่ลื่นไถล
• สมดุลแรงลอยตัวและแรงต้านทานสำหรับวัตถุผสม

โมเมนต์แรงรอบจุดหมุนที่ตายตัวคือ r×F; ขนาดของมันใช้แขนงวงมุมตั้งฉาก สำหรับแท่งเนื้อสม่ำเสมอยาว L ที่หมุนรอบปลายหนึ่ง side แรงโน้มถ่วงกระทำที่ศูนย์กลางอยู่ที่ L/2 และโมเมนต์ความเฉื่อยคือ ML²/3 หากวัดมุม θ จากแนวตั้ง โมเมนต์แรงโน้มถ่วงขนาดคือ Mg(L/2)sinθ ดังนั้นขนาดของความเร่งเชิงมุมคือ 3g sinθ/(2L) กำหนดทิศทางการหมุนบวกก่อนกำหนดเครื่องหมาย การใช้โมเมนต์ความเฉื่อยของศูนย์กลางมวล ML²/12 โดยไม่มีการแก้ไขแกนขนานจะทำให้ได้ค่าความเร่งผิด

วัตถุที่กลิ้งโดยไม่ลื่นไถลจะสอดคล้องกับ v=Rω เขียนพลังงานจลน์รวมเป็น ½Mv²+½Iω² ด้วย I=βMR² ส่วนของการหมุนคือ β/(1+β); สำหรับดิสก์ทึบ β=1/2 และสัดส่วนคือ 1/3 หูรูดมี β=1 และสัดส่วน 1/2 แรงเสียดทานนิ่งสามารถให้โมเมนต์แรงที่ต้องการสำหรับการกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลโดยไม่สูญเสียพลังงานที่จุดสัมผัสซึ่งหยุดนิ่งชั่วขณะบนพื้นผิวคงที่ วัตถุที่ลื่นไถลไม่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ไม่ลื่นไถลโดยอัตโนมัติ

สำหรับวัตถุลอยน้ำ ผังแรงลอยตัวเท่ากับน้ำหนักของของเหลวที่ถูกแทนที่ บวกกันสำหรับทุกส่วนที่จมน้ำ ให้บล็อกไม้มีปริมาตร V และหินหนาแน่นมีปริมาตร Vs หากหินอยู่เหนือผิวน้ำ มีเพียงไม้ที่จมน้ำที่มีส่วนร่วม: ρน้ำ g fV เท่ากับน้ำหนักรวม หากหินถูกยึดไว้ด้านล่างและจมน้ำทั้งหมด ปริมาตรที่แทนที่ของหินลดสัดส่วนการจมน้ำของไม้ที่ต้องมีเหลือ f−Vs/V หินไม่ได้หมดน้ำหนักไปแต่ปัจจุบันน้ำ提供帮助บางส่วนของแรงรองรับ ตรวจสอบว่าทิศทางและการลอยน้ำที่สมมติเป็นไปได้อย่างทางฟิสิกส์หรือไม่

ความเร็วสุดท้ายหมายถึงความเร่งเป็นศูนย์ ไม่ใช่ความเร็วเป็นศูนย์หรือแรงเป็นศูนย์ ด้วยแรงต้านทานแบบกำลังสอง C v² และน้ำหนักลง Mg การละเลยแรงลอยตัวให้ vt=sqrt(Mg/C) ลูกบอลสองลูกที่เหมือนกันทุกอย่างมีสัมประสิทธิ์แรงต้านทาน C เช่นกัน การเพิ่มมวลเป็นสองเท่าจะทำให้ความเร็วสุดท้ายเพิ่มขึ้นเป็น sqrt(2) เท่า หากแรงลอยตัวมีความสำคัญ ให้แทนที่ Mg ด้วย (M−ρของไหล V)g แบบจำลองแรงต้านทานเชิงเส้นจะให้สเกลมวลที่แตกต่างกัน differently บอกกฎแรงต้านทานที่กำหนดไว้และเปรียบเทียบสมดุลแรง แทนที่จะถ่ายโอนสูตรระหว่างแบบจำลอง

วัตถุกลิ้งโดยไม่ลื่นไถลบนพื้นผิวคงที่ ข้อจำกัดการไม่ลื่นไถลคือ v = R omega

สำหรับดิสก์ทึบ, beta = 1/2,ดังนั้นส่วนของการหมุนคือ สำหรับแท่งเนื้อสม่ำเสมอที่หมุนรอบปลายหนึ่ง side ใช้ $I=ML^2/3$, ไม่ใช่โมเมนต์ความเฉื่อยของศูนย์กลางมวล รอบจุดหมุนนี้ $\tau=-Mg(L/2)\sin\theta$, สำหรับ theta วัดจากแนวตั้งลง

ใช้โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดหมุนที่เลือก. ในการลอยตัว ให้รวมปริมาตร ALSO displacement ของหิน性以及其น้ำหนักด้วย. ความเร็วสุดท้ายจำเป็นต้องใช้กฎแรงต้านที่กำหนด

โมเมนต์ความเฉื่อย: ระยะห่างสี่เหลี่ยมตั้งฉากที่ถ่วงด้วยมวลจากแกนนอน指定ที่ระบุไว้

ความเร็วสุดท้าย: ความเร็วคงที่ที่แรงตรงข้ามสมดุลกัน

ภาระที่ปล่อยออกจากเครื่องบินรักษาความเร็วแนวนอนของเครื่องบินไว้ เมื่อเทียบกับเครื่องบิน การเคลื่อนที่เริ่มต้นของภาระนั้นอาจเป็นแนวตั้งลงล้วนๆ

ความรู้พื้นฐาน: 1, 11.

• แก้สมการวัตถุที่เชื่อมโยงกันโดยใช้ข้อจำกัดความเร่งเดียว
• แปลงความเร็วระหว่างกรอบอ้างอิงแบบเฉื่อย
• ตรวจสอบขอบเขตแรงและพลังงานสำหรับการเคลื่อนที่ภายใต้ข้อจำกัด

สำหรับมวล m1 บนโต๊ะราบเรียบไร้แรงเสียดทาน เชื่อมต่อกับมวลห้อย m2 ผ่านรอกแบบอุดมคติที่มีมวลเป็นศูนย์ โดยกำหนดทิศทางการเคลื่อนที่ของโต๊ะและทิศลงของมวลห้อยเป็นบวก สายเชือกที่ตึงและไม่ยืดได้ทำให้มีความเร่งขนาดเท่ากัน เขียนสมการ T=m1a และ m2g−T=m2a เมื่อรวมสมการเพื่อตัดแรงตึงในสายออก จะได้ a=m2g/(m1+m2) และ T=m1m2g/(m1+m2) ดังนั้น T<m2g เมื่อมวลทั้งสองมีค่าเป็นบวก การตั้งให้แรงตึงเท่ากับน้ำหนักของมวลห้อยโดยอัตโนมัติคือสมมติว่ามีความเร่งเป็นศูนย์

การสมมติแรงตึงเท่ากันต้องการสายเชือกและรอกแบบอุดมคติไม่มีมวล แรงเสียดทานและโมเมนต์ความเฉื่อยน้อยมาก รอกที่มีโมเมนต์ความเฉื่อยในการหมุนอาจมีแรงตึงต่างกัน โดย (T2−T1)R=Iα และ a=Rα หากสายไม่ลื่น ลากวัตถุแต่ละตัวแยกต่างหาก: แรงภายในระบบรวมจะกลายเป็นแรงภายนอกต่อวัตถุหนึ่งที่ถูกเลือก แรงจำกัดสามารถหักล้างกันในสมการของระบบได้ แต่ยังจำเป็นต่อการเคลื่อนที่ของแต่ละวัตถุ

สำหรับกรอบอ้างอิงเฉื่อยสองกรอบที่มีความเร็วสัมพัทธ์คงที่ V การแปลงความเร็วแบบกาลิลีคือ v_relative=v_ground−V ภาระที่ปล่อยจากเครื่องบินบินราบเริ่มแรกมีความเร็วแนวนอนเท่ากับเครื่องบิน ด้วยแรงต้านอากาศน้อยมาก ความเร็วแนวราบเทียบกับพื้นดินจะคงที่และความเร็วแนวตั้งจะเป็น −gt หากกำหนดทิศขึ้นเป็นบวก เทียบกับเครื่องบินนั้น ความเร็วแนวราบจะเป็นศูนย์และความเร็วลงจะเท่ากับ gt ตำแหน่งเป็นเรื่องต่างออกไป: การกระจัดแนวตั้งคือ −½gt² อย่าสับสนระหว่างความเร็วเทียบกับพื้นดินกับความเร็วมุมมองสัมพัทธ์

ตรวจสอบกรณีขีดจำกัดหลังแก้โจทย์แล้ว เมื่อ m1 เข้าใกล้ศูนย์ ความเร่งของระบบคู่แบบอุดมคติเข้าใกล้ g และแรงตึงเข้าใกล้ศูนย์; เมื่อ m1 มีขนาดใหญ่มาก ความเร่งเข้าใกล้ศูนย์และแรงตึงเข้าใกล้ m2g จากด้านล่าง การหาด้วยพลังงานจะได้ m2g s=½(m1+m2)v² สำหรับปล่อยจากหยุดนิ่งและรอกแบบอุดมคติ ซึ่งสอดคล้องกับ v²=2as ความสอดคล้องนี้เป็นการตรวจสอบสมการ แต่ไม่อนุญาตให้ใช้กฎอนุรักษ์พลังงานหากมีแรงเสียดทานหรืองานที่ไม่ได้คำนวณอยู่

มวลบนโต๊ะ m1 และมวลห้อย m2 มีความเร่งร่วมกันผ่านสายเชือกแบบอุดมคติที่ตึง กำหนดทิศขวาของการเคลื่อนที่บนโต๊ะและทิศลงของการเคลื่อนที่ของมวลห้อยเป็นบวก

T น้อยกว่าน้ำหนักของมวลห้อย 20 N จำเป็นต้องมีผลรวมแรงในทิศลงที่ไม่เป็นศูนย์เพื่อให้เกิดความเร่ง

role แบบ ideal massless ทำให้แรงตึงเท่ากัน ไม่ใช่แรงตึงและน้ำหนัก. ลบความเร็วของ frame ออกทีละองค์ประกอบก่อนหาขนาดความเร็ว

ข้อจำกัด: เงื่อนไขที่เชื่อมโยงตำแหน่งหรือการเคลื่อนที่ที่เป็นไปได้ของวัตถุที่เชื่อมต่อกัน

ความเร็วสัมพัทธ์: ความเร็วของวัตถุหนึ่งเมื่อวัดในกรอบอ้างอิงที่กำลังเคลื่อนที่อีกกรอบหนึ่ง

ตัวนำที่มีประจุสามารถมีสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ภายในวัสดุของตนได้ ในขณะที่ศักย์ไฟฟ้ายังคงไม่เป็นศูนย์

ความรู้พื้นฐาน: 2, 47.

• บวกแรงคูลอมบ์ในรูปเวกเตอร์โดยใช้เรขาคณิตจริง
• คำนวณกระแสฟลักซ์จากความสมมาตรหรือมุมstyled ด้วยทิศทางที่กำหนดไว้
• หาสนามไฟฟ้าและศักย์ไฟฟ้าของตัวนำโดยใช้ประจุผิวที่เหนี่ยวนำ

สำหรับประจุจุด Q ที่ตำแหน่ง r0, E(r)=Q(r−r0)/(4πε0|r−r0|³) ซ้อนเวกเตอร์ ไม่ใช่ขนาดของสนาม สำหรับประจุบวกสองตัวที่ดึงดูดอิเล็กตรอน แรงในทิศทางเดียวกันให้บวก; ทิศทางตรงข้ามให้ลบ; ส่วนประกอบที่ตั้งฉากกันรวมกันโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส กำหนดจุดสังเกตและทิศทางของแรงแต่ละตัวก่อน ศักย์ไฟฟ้าเป็นผลรวมสเกลาร์ V=ΣQ/(4πε0r) โดยกำหนดให้เป็นศูนย์ที่อนันต์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ไม่ได้หมายความว่าสนามไฟฟ้าเป็นศูนย์เสมอไป เนื่องจาก E=−∇V

กฎของเกาสส์คืออินทิกรัลพื้นผิวปิด ∮E·dA=Q_enclosed/ε0 มันกำหนดสนามเฉพาะที่ได้อย่างง่ายก็ต่อเมื่อความสมมาตรทำให้สนามตามแนวตั้งฉากสม่ำเสมอหรือทำให้ส่วนประกอบฟลักซ์อื่นเป็นศูนย์ ประจุใกล้ระนาบอนันต์ส่งฟลักซ์ครึ่งหนึ่งของฟลักซ์ทั้งหมดผ่านระนาบนั้นในขนาด: ระนาบนั้นเปิดมุม solid angle 2π จาก 4π ผลลัพธ์นี้เป็นอิสระจากระยะทางและตำแหน่งด้านข้าง แต่เครื่องหมายขึ้นอยู่กับทิศทางตั้งฉากของระนาบที่เลือกและเครื่องหมายของประจุ ระนาบเปิดไม่ได้ล้อมรอบประจุ การใช้คำพูดเรื่องพื้นผิวปิดสำหรับมันจึงไม่ถูกต้อง

ในสภาวะสมดุลไฟฟ้าสถิตสนามไฟฟ้าภายในตัวนำเป็นศูนย์และตัวนำมีศักย์ไฟฟ้าคงที่ วางประจุ Q ที่ศูนย์กลางของเปลือกทรงกลมตัวนำที่มีรัศมีด้านใน a รัศมีด้านนอก b และประจุสุทธิ q ของเปลือก เป็นพื้นผิวเกาซเซียนภายในวัสดุจำเป็นต้องมีประจุบนพื้นผิวด้านใน −Q ดังนั้นพื้นผิวด้านนอกจะมี q+Q ความสมมาตรแบบทรงกลมทำให้สนามภายนอกมีลักษณะเหมือนประจุรวม Q+q ที่ศูนย์กลาง ศักย์ไฟฟ้าของวัสดุ ซึ่งกำหนดให้เป็นศูนย์ที่อนันต์ คือ (Q+q)/(4πε0b) โดยไม่ขึ้นอยู่กับรัศมีของการสังเกตภายในวัสดุ

ในช่องว่างภายในของเปลือกที่มีประจุอยู่ตรงกลางนี้ สนามไฟฟ้าคือ Q/(4πε0r²) ในแนวรัศมีสำหรับ 0<r<a ศักย์ไฟฟ้าประกอบด้วยผลรวมจากจุดประจุและผลรวมจากเปลือกที่คงที่; การต่อเนื่องยังคงอยู่ข้ามแต่ละพื้นผิวแม้ว่าสนามปกติจะกระโดดขึ้นที่ประจุบนพื้นผิว также Keep cavity, conductor material and exterior separate. An off-centre charge still induces total inner charge −Q, but its cavity field is no longer the simple centred radial field. Zero interior conductor field follows equilibrium, not an assumption that every surface charge distribution is uniform.

ประจุจุด Q อยู่ตรงกลางภายในเปลือกทรงกลมตัวนำที่มีประจุสุทธิ q สภาวะสมดุลไฟฟ้าสถิตทำให้สนามไฟฟ้าเป็นศูนย์ภายในโลหะ พื้นผิวเกาซเซียนในโลหะห่อหุ้มประจุสุทธิเป็นศูนย์ ดังนั้น $Q_{inner}=-Q$ การอนุรักษ์ประจุให้ $Q_{outer}=q+Q$ ด้วยรัศมีด้านนอก b และศักย์ไฟฟ้าเป็นศูนย์ที่อนันต์,

ที่นี่ Q = +2 nC และ q = -1 nC ช่องว่างไม่ใช่วัสดุตัวนำ؛ สนามไฟฟ้าในช่องว่างอาจไม่หายไป

อย่าสับสนระหว่างผลลัพธ์ฟลักซ์ครึ่งหนึ่งของระนาบเปิดกับการห่อหุ้มประจุ สนามเป็นศูนย์ของตัวนำกำหนดให้ศักย์ไฟฟ้าคงที่ ไม่ใช่จำเป็นต้องเป็นศูนย์

มุมstyled: พื้นที่เชิงมุมที่สร้างโดยพื้นผิว วัดเป็นสเตอริเดียน

ประจุบนพื้นผิวเหนี่ยวนำ: ประจุที่จัดเรียงใหม่บนตัวนำเพื่อให้เกิดสภาวะสมดุลไฟฟ้าสถิต

ตัวต้านทานในแขนขนานจะรับแรงดันของแขนนั้น ซึ่งอาจต่างจากแรงดันแบตเตอรี่เนื่องจากมีตัวต้านทานอีกตัวต่ออนุกรม

ความรู้พื้นฐานที่ต้องมี: 2, 30

• แก้ไขเครือข่ายตัวต้านทานและแยกแยะปริมาณ AC แบบ RMS ออกจากค่าสูงสุด
• ใช้ความเชื่อมโยงฟลักซ์ ทิศทางของเลนซ์ และสนามของวงจรรอบกระแส
• ใช้อัตราส่วนประจุต่อมวลและสมดุลแรงจากสนามตัดกัน

สำหรับวงจรตัวต้านทานอุดมคติแบบนิ่ง ความต้านทานอนุกรมจะบวกกันและความนำขนานจะบวกกัน ลดรูปเครือข่ายwhile preserving which nodes share the same voltage With a 24 V source, a 2 Ω series resistor and parallel 3 Ω and 6 Ω branches, the parallel equivalent is 2 Ω Total current is 6 A, branch voltage is 12 V and branch currents are 4 A and 2 A The current through every component is not necessarily the total current; verify Kirchhoff current and voltage sums after reduction

สำหรับกระแสไซน์ I=Imax sin(ωt−φ), Irms=Imax/sqrt(2) วงจร RLC อนุกรมมีความต้านทานเชิงซ้อนขนาด sqrt(R²+(ωL−1/(ωC))²) และกำลังที่สูญเสียเฉลี่ยคือ Irms²R=Vrms Irms cosφ ตัวเหนี่ยวนำ/ตัวเก็บประจุอุดมคติแลกเปลี่ยนพลังงานสะสมโดยไม่มีการสูญเสียเฉลี่ย หากให้กระแส RMS มาแล้ว อย่าใส่ตัวคูณ 1/2 อีกครั้ง ไดโอด rectificating อุดมคติจะไหลตามทิศทาง forward และปิดกั้น reverse: ไดโอดอนุกรมที่วางแนวอย่างเหมาะสมจะตัดครึ่งลบของแรงดันตัวต้านทานแบบไซน์; มันไม่ได้สร้าง full-wave rectifier ด้วยตนเอง

ฟลักส์แม่เหล็กคือ ∫B·dA หรือ BA cosθ สำหรับสนามสม่ำเสมอเมื่อวัด θ จากแนวตั้งฉากกับพื้นที่ EMF ของ فارาเดย์คือ −N dΦ/dt สำหรับสนามตั้งฉากที่เปลี่ยนไปและรูปทรงลูปคงที่ ค่าเฉลี่ยของขนาดคือ NA|ΔB|/Δt กำหนดเครื่องหมายหรือทิศทางการไหลโดยใช้การต่อต้านการเปลี่ยนแปลงฟลักส์ ไม่ใช่การต่อต้านสนามเอง สนามแม่เหล็กที่ศูนย์กลางของลูปวงกลมหนึ่งคือ μ0I/(2R) ได้มาจาก Biot–Savart: ทุกองค์ประกอบมีส่วนร่วมในทิศทางแกนเดียวกัน เกลียว N รอบแบบหนาจะคูณผลลัพธ์นี้ด้วย N

สำหรับประจุที่ไม่imulationด้วยความเร็วตั้งฉากกับสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอ B แรงแม่เหล็ก |q|vB ให้แรงเข้าศูนย์กลาง mv²/r ดังนั้น r=mv/(|q|B) และความถี่มุมไซโคลทอนคือ |q|B/m ซึ่งไม่ขึ้นกับความเร็วในการประมาณนี้ ทิศทางของสัญญาณประจุกำหนดทิศทางการหมุน นิวคลีอัสเดิวเทอเรียนมีมวลประมาณสองเท่าของโปรตอนและมีประจุเท่ากัน ในขณะที่อนุภาคอัลฟาจะมีมวลสี่เท่าและประจุสองเท่า ความถี่ของแต่ละชนิดจึงเป็นครึ่งหนึ่งของค่าโปรตอน ในสนาม E และ B ที่ตัดกัน การเคลื่อนที่โดยไม่เบี่ยงเบนต้องการให้แรงไฟฟ้าและแรงแม่เหล็กตรงข้ามกัน และ v=E/B ตรวจสอบทิศทางเวกเตอร์ก่อนใช้ขนาดนี้

แหล่งจ่าย 24 V แบบอุดมคติขับเคลื่อน 2 โอห์ม ต่ออนุกรมกับสาขาขนาน 3 และ 6 โอห์ม ระบุโหนดก่อนลดรูปวงจร

สาขานั้นไหลกระแส 4 A; กระแสในสาขาแต่ละเส้นรวมกันได้เท่ากับกระแสจากแหล่งจ่าย

อย่าใช้แรงดันแบตเตอรี่กับทุกสาขาหรือหารกำลังกระแส RMS อีกครั้ง. มุมของฟลักซ์วัดจากปกติพื้นผิว; เครื่องเลือกยังต้องการทิศทางการต้านทานที่ตรงกันข้ามด้วย.

root mean square: รากที่สองของความเฉลี่ยกำลังสอง ใช้สำหรับกระแสหรือแรงดันไฟฟ้าสลับที่มีประสิทธิภาพ

flux linkage: ผลรวมของฟลักซ์แม่เหล็กผ่านเกลียวของคอยล์

ตัวเก็บประจุที่มีประจุสามารถเปลี่ยนสนามไฟฟ้าข้ามช่องว่างได้ แม้ว่าจะไม่มีกระแสการนำไฟฟ้าไหลข้ามช่องว่างก็ตาม

ความรู้พื้นฐาน: 13, 29, 47

• ใช้กระแสการกระจัดและความสัมพันธ์ความเร็วคลื่นในวัสดุ
• กำหนดทิศทางคลื่น-สนามและการไหลของพลังงานที่แผ่出去了
• ใช้เงื่อนไขขอบเขตของแมกซ์เวลล์โดยไม่สับสนกับองค์ประกอบของสนาม

กฎแอมแปร์–แมกซ์เวลล์ในสุญญากาศคือ ∮B·dl=μ0(I_conduction+ε0 dΦE/dt) พจน์กระแสการกระจัดที่เพิ่มเข้ามาขึ้นอยู่กับอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ไฟฟ้าตามเวลาผ่านพื้นผิวที่เลือกไว้ เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสำหรับวงลูป whose spanning surface EITHER ข้ามสายของตัวเก็บประจุ หรือ ผ่านระหว่างแผ่นทั้งสอง กระแสการกระจัดไม่ใช่ฟลักซ์แม่เหล็กหรืออินทิกรัลของฟลักซ์ไฟฟ้าในอดีต สำหรับสนามแผ่นสม่ำเสมอ พจน์ของช่องว่างคือ ε0A dE/dt; สัญญาณจะ.follow with the oriented surface

ในไดอิเล็กทริกแบบเอกพันธ์ เชิงเส้น และไม่มีการสูญเสีย ที่มี permeability μ และ permittivity ε สมการแมกซ์เวลล์ให้ความเร็วคลื่น v=1/sqrt(με) และดัชนีหักเห n=c/v=sqrt(μrεr) วัสดุที่ไม่ใช่แม่เหล็กมี μr≈1 ดังนั้น v=c/sqrt(εr) ใช้ค่าคงที่วัสดุที่ขึ้นกับความถี่ที่กำหนดเมื่อ dispersion สำคัญ ค่าคงที่ไดอิเล็กทริก statichome ไม่จำเป็นต้องอธิบายทุกความถี่แสง คลื่นในสุญญากาศมี E/B=c; ในสื่อง่าย ๆ นี้ความสัมพันธ์คือ E/B=v

สำหรับคลื่นระนาบที่เดินทางตามเวกเตอร์หน่วย n, B=(n×E)/v ทั้งสองสนามตั้งฉากกับการแพร่กระจายและตั้งฉากต่อกัน Phase kz−ωt แพร่กระจายไปทาง +z ในขณะที่ kz+ωt แพร่กระจายไปทาง −z หาก E อยู่ตาม x+y และการแพร่กระจายคือ +z, B จะอยู่ตาม −x+y เพราะ z×x=y และ z×y=−x เวกเตอร์ Poynting S=E×H (E×B/μ ในสื่อนี้) ชี้ไปตามการขนส่งพลังงาน ในโซนการแผ่รังสีของประจุที่เร่ง运动会 energy flux เป็น outward จากแหล่งกำเนิด ไม่ใช่ necessarily in the instantaneous direction of charge motion

สมการ div ของแมกซ์เวลล์ ∇·B=0 ให้ continuity ของส่วนปกติ B Across an interface: กล่องทรงสูงบางไม่มีประจุแม่เหล็กภายใน ส่วนสัมผัส H มี jump ที่เกี่ยวข้องกับ surface current; ไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ ภายใต้โมเดล superconducting Meissner-state ที่สมบูรณ์แบบซึ่งมี B ภายในเป็นศูนย์ ส่วน normal ที่ภายนอกที่ boundary ต้องเป็นศูนย์ ดังนั้นเหลือเพียง B ที่ไม่เป็นศูนย์ที่ภายนอกสัมผัสกับพื้นผิว ข้อสรุปนี้เป็น conditional กับโมเดล zero-interior ที่กล่าวถึง; ไม่ได้ come from assuming all exterior field is zero สำหรับ electrostatics, normal D สามารถ jump by free surface charge แทน

คลื่นระนาบเดินทางตามบวก z ในไดอิเล็กทริกเชิงเส้น ไม่มีการสูญเสียและไม่เป็นแม่เหล็ก ด้วย relative permittivity 9,

หาก E ชี้ในทิศทางบวกของแกน x, $\mathbf B=\hat{\mathbf z}\times\mathbf E/v$ ชี้ในทิศทางบวกของแกน y สำหรับ E0 = 200 V/m, $\mathbf E\times\mathbf H$ ชี้ตามทิศทางการแพร่กระจาย ตรวจสอบว่าค่าคงที่ของวัสดุใช้ได้กับความถี่ของคลื่นนี้

กระแสการเคลื่อนย้ายใช้การเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ไฟฟ้า B ภายในที่เป็นศูนย์กำหนดเฉพาะองค์ประกอบปกติภายนอก ไม่ใช่ทุกองค์ประกอบภายนอก แยกแยะการแพร่กระจายคลื่นกับการเคลื่อนที่ของอนุภาค

กระแสการเคลื่อนที่ (displacement current): ส่วนประกอบจากการเปลี่ยนแปลงของฟลักซ์ไฟฟ้าต่อเวลา ในกฎของแอมแปร์–แมกซ์เวลล์

เวกเตอร์พอยต์ติง (Poynting vector): การไหลของพลังงานแม่เหล็กไฟฟ้าต่อหน่วยพื้นที่และต่อเวลา

ผู้ขับขี่ได้ยินเสียงสะท้อนจากกำแพงนิ่งที่มีความสูงของเสียงเปลี่ยนไป: เสียงที่ส่งออกไปและกลับมาได้รับปัจจัยดอปเพลอร์แต่ละส่วน

ความรู้ก่อนหน้า: 3

• ใช้ปัจจัยดอปเพลอร์ของแหล่งกำเนิดและผู้รับในกรอบอ้างอิงของสื่อ
• หาความถี่ที่เป็นไปได้ของท่อจากเงื่อนไขขอบเขตของการเคลื่อนที่
• แยกแยะความแตกต่างของความถี่ ความยาวคลื่น และการเปลี่ยนแปลงขอบเขต

สำหรับเสียงในสื่อนิ่ง ให้แยกการเคลื่อนที่ของแหล่งกำเนิดออกจากผู้รับ แหล่งกำเนิดที่เคลื่อนที่เข้าหาด้วยความเร็ว u_s จะทำให้ระยะห่างระหว่างหน้าคลื่นหนาแน่นขึ้น และสร้างความถี่ f c/(c−u_s) ที่ผู้รับนิ่งจะวัดได้ ผู้รับที่เคลื่อนที่เข้าหาแหล่งกำเนิดนิ่งด้วยความเร็ว u_o จะเจอหน้าคลื่นมากขึ้นต่อวินาที และวัดได้ f(c+u_o)/c ความเร็วทั้งหมดวัดเทียบกับสื่อ ดังนั้นสูตรเสียงของแหล่งกำเนิดและผู้รับจึงไม่สมมาตรเมื่อสลับบทบาทกัน การเคลื่อนที่ถอยหลังให้เปลี่ยนเครื่องหมายตามความเหมาะสม สูตรเหล่านี้ใช้สำหรับการเคลื่อนที่ที่เร็วกว่าเสียงไม่ได้ตามแนวการแพร่กระจาย

สำหรับไซเรนที่เคลื่อนที่เข้าหากำแพงนิ่งด้วยความเร็ว u กำแพงจะได้รับเสียงเป็นครั้งแรกที่ f_wall=f c/(c−u) การสะท้อนจากกำแพงนิ่งรักษาความถี่ไว้ในกรอบอ้างอิงของสื่อ ผู้ขับขี่ที่เคลื่อนที่จึงเคลื่อนที่เข้าหาหน้าคลื่นที่สะท้อนกลับมาและได้รับ f_echo=f_wall(c+u)/c=f(c+u)/(c−u) เมื่อ u/c มีค่าน้อย การเปลี่ยนแปลงแบบเศษส่วนจะประมาณได้ว่าเป็น 2u/c แต่-expression ที่แท้จริงมีตัวเศษและตัวส่วนต่างกัน หากพื้นผิวสะท้อนเคลื่อนที่ ต้องใช้ขั้นตอนดอปเพลอร์เฉพาะ为该พื้นผิว อย่านำผลลัพธ์ของกำแพงนิ่งไปใช้โดยไม่ตรวจสอบ

ที่ปลายท่อเปิดอย่างสมบูรณ์ การเคลื่อนที่ของอากาศจะเป็นโหนดแรงดันและเป็นแอนติโหนดการเคลื่อนที่ (antinode) ที่ปลายปิดแข็ง การเคลื่อนที่จะเป็นโหนดและแรงดันจะเป็นแอนติโหนด สำหรับท่อเปิดทั้งสองข้าง ความยาว L จะประกอบด้วย n ครึ่งความยาวคลื่น ทำให้ f_n=nc/(2L), n=1,2,… สำหรับท่อปลายหนึ่งปิด ประกอบด้วยจำนวนคี่ของUILDERความยาวคลื่น ทำให้ f_n=(2n−1)c/(4L) ท่อจริงอาจต้องการการแก้ไขปลายท่อ แต่โมเดล GRE แบบอุดมคติใช้ความยาวที่กำหนดไว้โดยไม่คิดการปรับเพิ่ม

การปิดปลายหนึ่งของท่อที่เคยเปิดทั้งสองข้างจะทำให้ความถี่พื้นฐานลดลงครึ่งหนึ่งและเหลือเพียงเลขคูณคี่ของความถี่พื้นฐานใหม่เท่านั้น ความถี่เดิมเป็นเลขคูณเต็มของ c/(2L) ซึ่งเป็นเลขคู่ของ c/(4L) ดังนั้นจึงไม่มีค่าใดเป็นความถี่ที่เป็นไปได้ของสเปกตรัมท่อปิดหนึ่งปลายใหม่นี้ สิ่งนี้ต่างจากการตัดฮาร์มอนิกคู่ทิ้งแต่ยังคงความถี่พื้นฐานเดิมไว้ เมื่อสื่อไม่มีการเปลี่ยนแปลง ความเร็วคลื่นจะคงที่ ความถี่และความยาวคลื่นจะเปลี่ยนแปลงไปด้วยกันเพื่อสอดคล้องกับเรขาคณิตขอบเขตใหม่

ไซเรนเคลื่อนที่เข้าหากำแพงนิ่งในอากาศนิ่ง ให้พิจารณาการเดินทางไปและกลับแยกกัน กำแพงจะได้รับ $f_w=fc/(c-u)$ เป็นครั้งแรก; การสะท้อนรักษาความถี่นี้ไว้ในกรอบอ้างอิงของสื่อ ผู้ฟังที่เคลื่อนที่จะได้รับ $f_e=f_w(c+u)/c$

ปรากฏการณ์ดอปเพลอร์นี้ใช้ความเร็วสัมพัทธ์ต่อสื่อนำคลื่น ไม่ใช่สูตรสำหรับคลื่นแสง

เสียงสะท้อนต้องการปัจจัยดอปพลเลอร์ทั้งสอง การปิดท่อเปลี่ยนโหมดพื้นฐาน; โหมดคี่นับจากโหมดพื้นฐานใหม่ ไม่ใช่เก่า

จุดกึ่งกลางการกระจัดสูงสุด: ตำแหน่งในคลื่นนิ่งที่มีแอมพลิจูดของการกระจัดของอากาศมากที่สุด

ตัวคูณดอปเพลอร์: ค่าความถี่ที่เพิ่มขึ้นจากการเคลื่อนตัวของแหล่งกำเนิดหรือผู้สังเกตที่กำหนดไว้

A gas cell in one arm of a Michelson interferometer 干涉仪 is crossed twice. Counting only one passage halves the inferred refractive-index change.

Prerequisites: 3, 33.

• Calculate telescope magnification and grating resolving power 分辨本领
• Relate Michelson fringe counts to double-pass optical path changes
• Trace surface normals before applying Snell and reflection laws

For an ideal astronomical telescope adjusted for relaxed viewing at infinity, the objective forms its focal-plane image and the eyepiece collimates the emerging light. Lens separation is f_objective+f_eyepiece; angular magnification magnitude is f_objective/f_eyepiece. The usual two-converging-lens telescope produces an inverted image, represented by a negative signed angular magnification under a consistent convention. A finite final-image distance changes lens separation; do not use the infinity adjustment without checking the condition.

Resolving power R=λ/Δλ describes the smallest distinguishable wavelength separation near λ. For an ideal diffraction grating in order m with N illuminated slits, R=mN. This is a resolution criterion, not simply the angular position formula d sinθ=mλ. Increasing illuminated slit count sharpens the principal peaks; increasing slit spacing mainly changes their angular locations. A measured λ=600 nm and Δλ=3 nm gives R=200, independent of converting both lengths to metres because their ratio uses matching units.

Michelson interference depends on the optical path difference between the arms. If one arm contains a gas cell of geometric length L and index changes from n to 1 upon evacuation, a double passage changes path by 2L(n−1). If N fringes pass, the magnitude of this change is Nλ, so n−1=Nλ/(2L). For a moving mirror instead, displacement Δx gives path change 2Δx. Fringes count phase cycles; one fringe is one wavelength of optical path, not one wavelength of mirror motion.

Snell’s law n1 sinθ1=n2 sinθ2 uses angles from the local surface normal. Reflection has equal incoming and outgoing angles from that same normal. In a rectangular block, normals of neighbouring faces are perpendicular: an incidence angle measured from one normal is complementary to the angle of that same ray from the other. Draw the ray and normals before substitution. For incidence from index n into air, total internal reflection occurs only when sinθ>1/n; equality is the critical grazing case. A stated partly refracted ray must satisfy the transmission condition.

A Michelson interferometer sends light twice through a gas cell of length L. Evacuation changes path by $2L(n-1)$. N fringes correspond to path change $N\lambda$.

Thus n = 1.00030. Moving a mirror is also double-pass; a fringe is not one wavelength of mirror motion.

Use optical path, not just geometric distance. Refraction angles are measured from the normal of the actual surface, and telescope focal-length addition assumes a final image at infinity.

resolving power: Wavelength divided by the smallest resolvable wavelength separation.

optical path length 光程: Geometric path weighted by refractive index along the ray.

รูปคลื่นหนึ่งอาจมีฮาร์มอนิกหลายชนิดโดยไม่มีพจน์ไซน์เลย สมมาตรสะท้อนบอกได้ว่าสัมประสิทธิ์ใดหายไปก่อนการอินทิเกรต

ความรู้พื้นฐาน: 3, 47

• ใช้ความตั้งฉากเพื่อระบุสัมประสิทธิ์ฟูเรียร์
• ประโยชน์ของความสมมาตรคู่และคี่โดยไม่ทิ้งพจน์คงที่
• เชื่อมโยงแอมพลิจูดองค์ประกอบกับการแทรกสอดและรูปคลื่นทางกายภาพ

สำหรับฟังก์ชันจริง 2-เป็นรอบ ที่มีความสม่ำเสมอเพียงพอ สามารถเขียน f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)] ได้ สัมประสิทธิ์คือ a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx และ b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx โดย a0 ใช้ n=0 cosinus และ sinus ตั้งฉากกันบนรอบเต็ม ค่าเฉลี่ยคือ a0/2 ไม่ใช่ a0; ต้องรักษาค่าคงที่ไว้แม้สัมประสิทธิ์ความถี่ไม่ศูนย์ของตระกูลหนึ่งจะหายไปทั้งหมด

หาก f เป็นฟังก์ชันคู่เทียบกับจุดเริ่มต้นที่เลือก f(x)sin(nx)จะเป็นฟังก์ชันคี่ และการอินทิเกรตแบบสมมาตรจะเป็นศูนย์ ดังนั้น b_n ทั้งหมดจะหายไป หาก f เป็นฟังก์ชันคี่ ค่าเฉลี่ยและ a_n ทั้งหมดจะหายไป สมมาตรขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น: การเลื่อนสัญญาณทางกายภาพเดียวกันสามารถผสมสัมประสิทธิ์ sine และ cosine ได้ในขณะที่ความถี่ฮาร์มอนิกไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นรูปคลื่นสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นลบซึ่งสมมาตรเกี่ยวกับ x=0 จึงสามารถมีฮาร์มอนิก cosinus และมีค่าเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์ได้โดยไม่มีการแทรกสอดของฮาร์มอนิก sine

สำหรับการต่อรอบ 2-เป็นรอบ ของ f(x)=|x| บน [−π,π] ค่าเฉลี่ยคือ π/2 การอินทิเกรต x cos(nx) ด้วยวิธีอินทิเกรตด้วยส่วนบน [0,π] จะได้ a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²) ดังนั้นสัมประสิทธิ์ cosinus ที่ n คู่จะเป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์ที่ n คี่จะเป็น −4/(πn²) สัมประสิทธิ์ sine ทั้งหมดเป็นศูนย์ การลดลงใน 1/n² สะท้อนถึงฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีจุดไม่ต่อเนื่องของความชัน การไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดมักให้อัตราการลดลงของสัมประสิทธิ์ช้ากว่าและการเกินค่าartial-sum; อย่าสรุปพฤติกรรมการลู่เข้าเดียวกันสำหรับทุกประเภทของรูปคลื่น

ผลรวมฟูเรียร์เป็นการบวกแอมพลิจูดพร้อมเฟส theirs สำหรับแอมพลิจูดโมโนโครมาติก cohorent เท่ากัน A ที่พบกันด้วยความต่างเฟส φ แอมพลิจูด resultant กำลังสองคือ 2A²(1+cosφ) ดังนั้น intensity คือ 2I0(1+cosφ) มันจะมีค่า 4I0 เมื่ออยู่เฟสเดียวกันและเป็นศูนย์ที่ φ=π การหาค่าเฉลี่ย incoherent จะกำจัดพจน์ cross term ทิ้งไป ทำให้ได้ 2I0 ฮาร์มอนิกที่ความถี่ต่างกันสามารถสร้างรูปร่างขึ้นได้ตามเวลา ผลรวมทันทีไม่ใช่ผลรวมของ intensity แต่ละตัว ระบุให้ชัดว่าคำถามเกี่ยวข้องกับรูปคลื่น กำลังไฟฟ้าเฉลี่ยทางเวลา หรือการแทรกสอด cohorent

สำหรับฟังก์ชันเป็นรอบจริง ให้ใช้ $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ ความสมมาตรคู่ทำให้สัมประสิทธิ์ sine ทั้งหมดเป็นศูนย์เนื่องจาก integrand เป็นฟังก์ชันคี่ สำหรับ $f(x)=|x|$ บน $[-\pi,\pi]$,

การอินทิเกรตด้วยส่วนให้สูตรที่สอง ค่าเฉลี่ยคือ $a_0/2=\pi/2$; มีเพียงฮาร์มอนิก cosinus คี่ที่ยังเหลืออยู่ จุดแหลม (cusp) ไม่ทำให้ต้องทิ้งพจน์คงที่

สมมาตรแบบคู่จะลบสัมประสิทธิ์ของซินออก ไม่ใช่พจน์คงที่หรือ harmonic ของโคไซน์ทั้งหมด ตรวจสอบจุดกำเนิดของสมมาตรและสนามว่าสัมพันธ์กันหรือไม่ก่อนนำความเข้มมาบวกกัน

ความตั้งฉาก: อินทิกรัลเป็นศูนย์ของผลคูณฟังก์ชันฐานที่แตกต่างกันบนช่วงที่กำหนด

สัมประสิทธิ์ของฟูเรียร์: น้ำหนักขององค์ประกอบพื้นฐานแบบไซน์, คอสاین หรือค่าคงที่ ในการขยายฟังก์ชันแบบเป็นคาบ

เครื่องทำความเย็นสามารถเคลื่อนย้ายความร้อนได้มากกว่าพลังงานงานที่ถูกส่งเข้าไป ค่าอัตราส่วนนี้คือสัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพ ไม่ใช่ประสิทธิภาพที่ต้องมีค่าน้อยกว่าหนึ่ง

ความรู้ก่อนหน้า: 4

• ใช้เครื่องหมายงานและความร้อนจากกฎข้อที่หนึ่งกับกระบวนการของแก๊ส
• เปรียบเทียบสมดุลเอนโทร피ย้อนกลับได้และพื้นที่รอบ P–V
• แยกแยะประสิทธิภาพของเครื่องยนต์กับสัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพของเครื่องทำความเย็น

ใช้ ΔU=Q−W โดยที่ Q คือความร้อนเข้าสู่ระบบ และ W คืองานที่ทำโดยระบบ งานขอบเขตแบบกึ่งสถิตคือ ∫P dV ซึ่งเป็นบวกเมื่อมีการขยายตัว สำหรับแก๊สอุดมคติปริมาณคงที่ พลังงานภายในขึ้นอยู่กับอุณหภูมิเท่านั้น ที่ปริมาตรคงที่ W=0 ดังนั้น ΔU=Q; สำหรับกระบวนการอุณหภูมิต่างศูนย์ของแก๊สอุดมคติ ΔU=0 ดังนั้น Q=W การไม่มีการแลกเปลี่ยนความร้อนหมายถึง Q=0 ซึ่งไม่ใช่อุณหภูมิคงที่ ตลอดรอบการทำงาน สถานะจะกลับสู่จุดเริ่มต้นและ ΔU=0 ดังนั้นความร้อนสุทธิจึงเท่ากับงานสุทธิ แม้ว่าการแลกเปลี่ยนความร้อนในแต่ละขั้นตอนจะแตกต่างกัน

สำหรับการขยายตัวแบบอุณหภูมิต่างศูนย์ย้อนกลับได้ของแก๊สอุดมคติ ค่า PV จะคงที่ ด้วยความจุความร้อนคงที่ เส้นทางไม่มีการแลกเปลี่ยนความร้อนย้อนกลับได้จะเป็นไปตาม PV^γ=constant โดยที่ γ=Cp/Cv>1; ผ่านสถานะเริ่มต้นเดียวกัน ความดันจะลดลงเร็วกว่าเมื่อปริมาตรเพิ่มขึ้น เส้นทางความดันคงที่เป็นเส้นแนวนอนบนแผนภูมิ P–V รอบปิดที่วนทิศทางตามเข็มนาฬิกาจะมีค่า ∮P dV เป็นบวก การกลับทิศทางจะทำให้เปลี่ยนเครื่องหมาย สำหรับลูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดคือ ΔPΔV และลูปสามเหลี่ยมมีครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้ากรอบ对应的 For a triangular loop has half the corresponding bounding-rectangle area. Use Pa and m³ for joules, not an unconverted litre value.

สำหรับการถ่ายโอนความร้อนย้อนกลับได้ dS=δQ_rev/T; เอนโทรปีเป็นฟังก์ชันสถานะในขณะที่ความร้อนขึ้นอยู่กับเส้นทาง กระบวนการย้อนกลับได้ของระบบรวมกับสิ่งแวดล้อมมีการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีสุทธิเป็นศูนย์ แต่เอนโทรปีของระบบเพียงอย่างเดียวสามารถเพิ่มหรือลดลงได้ กระบวนการ spontaneous ที่ไม่ย้อนกลับได้สร้างเอนโทรปีสุทธิน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ การขยายตัวแบบอุณหภูมิต่างศูนย์ย้อนกลับได้会增加 gas entropy by nR ln(V2/V1); heat reservoir loses the same amount. Reversibility does not require constant system temperature, zero work or zero internal-energy change.

เครื่องยนต์ย้อนกลับได้ระหว่าง TH และ TC มีประสิทธิภาพ W/QH=1−TC/TH เครื่องทำความเย็นย้อนกลับได้จะมี COP=QC/W=TC/(TH−TC) และปั๊มความร้อนจะมี QH/W=TH/(TH−TC) ใช้หน่วยอุณหภูมิเคลวินสัมบูรณ์ บนแผนภูมิ T–S ย้อนกลับได้ ปริมาณความร้อนตามเส้น Isotherm คือ T คูณด้วยการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปี; พื้นที่สี่เหลี่ยม Carnot คือขนาดของงาน การทำความเย็นเคลื่อนย้ายความร้อนจากที่เย็นไปที่ร้อนโดยการบริโภคพลังงานงาน ซึ่งเป็นการวนรอบเครื่องยนต์ในทิศทางตรงกันข้าม COP สามารถมีค่าเกินหนึ่งโดยไม่ละเมิดกฎการอนุรักษ์เนื่องจากความร้อนที่ถูกเคลื่อนย้ายไม่ได้ถูกผลิตขึ้นจากพลังงานงานเพียงอย่างเดียว

เครื่องทำความเย็นย้อนกลับได้ถ่ายโอนเอนโทรปี Delta S จาก Tc ไปยัง Th

COP ที่มีค่าเกินหนึ่งเป็นไปได้เพราะเป็นการเคลื่อนย้ายความร้อน ไม่ใช่การผลิตทั้งหมดจากพลังงานงาน

การผลิตเอนโทรปีรวมเป็นศูนย์ไม่หมายถึงการเปลี่ยนแปลงเอนโทรปีของระบบเป็นศูนย์. ตู้เย็นใช้ TC/(TH−TC), ไม่ใช่สูตรประสิทธิภาพเครื่องยนต์

การผลิตเอนโทรปี: เอนโทรปีสุทธิน้อยกว่าหรือเท่ากับศูนย์ที่ถูกสร้างจากความไม่ย้อนกลับได้

สัมประสิทธิ์ประสิทธิภาพ: ความร้อนที่มีประโยชน์ที่ถูกถ่ายโอนหารด้วยพลังงานงานเข้าสำหรับเครื่องทำความเย็นหรือปั๊มความร้อน

A gas can have zero mean velocity while its particles have substantial average speed. Opposite directions cancel in a vector mean; speed has no sign.

Prerequisites: 4, 35.

• Normalise continuous speed densities and interpret their units
• Distinguish vector means, speed means and most probable speeds
• Use Boltzmann weights with degeneracy and a partition function 配分函数

For a continuous speed probability density 概率密度 f(v), f(v)dv approximates probability in a narrow interval and ∫from0to∞ f(v)dv=1. The density has inverse-speed units and is not itself a probability. If P(v)dv counts particles in that interval, its area is the particle count N and f=P/N. A trapezoid rising over width v0, remaining flat over width 2v0, then falling over width v0 has area 3av0 for height a. Normalise by area before computing a mean or interpreting a plotted height.

In an isotropic equilibrium gas without bulk flow, each velocity-component distribution is symmetric, so ⟨v_vector⟩=0. Speed v=|v_vector| is nonnegative and has positive mean. For a classical ideal gas, the Maxwell speed density is proportional to v²exp[−mv²/(2kBT)]. Its mode is sqrt(2kBT/m), its mean is sqrt(8kBT/(πm)) and its rms speed is sqrt(3kBT/m). These are three different quantities. The v² factor makes speed density zero at v=0, even though the velocity-vector density is largest at the zero vector.

For a continuous distribution, the probability of exactly one specified speed is zero; nonzero probabilities refer to intervals. This statement does not imply there are no particles with arbitrarily small speeds, or that a finite-resolution detector cannot record a zero bin. Temperature changes the scale of the Maxwell distribution: characteristic speeds are proportional to sqrt(T/m). Doubling temperature does not double the speed, and heavier particles are slower on average at the same temperature.

In a canonical ensemble 正则系综 at temperature T, a state of energy E_i has weight exp(−E_i/(kBT)). Divide by partition function Z=Σexp(−E_i/(kBT)) to obtain probabilities. If an energy level has degeneracy g_i, its level probability is g_i exp(−E_i/(kBT))/Z. Equal energy per state does not imply equal probability per level when degeneracies differ. For a ground level of degeneracy 1 and an excited level of degeneracy 2 at Δ=kBT ln2, the excited total weight is 2e^(−ln2)=1: the two levels each have probability 1/2. Classical Maxwell–Boltzmann assumptions differ from Bose–Einstein and Fermi–Dirac quantum occupations.

A canonical ensemble has ground degeneracy 1 and excited degeneracy g at gap Delta.

With g = 4 and $\Delta=k_BT\ln2$, This is probability for the entire excited level. Each of its four states has probability 1/6.

A density height is not a probability. Mean velocity, mean speed and mode differ; include degeneracy before normalising level probabilities.

probability density: Probability per unit of a continuous variable, whose integral gives interval probability.

partition function: Sum of statistical weights used to normalise equilibrium state probabilities.

เครื่องตรวจจับที่มีประสิทธิภาพ百分之สิบ ไม่แสดง photon Exactly สิบPhoton จากทุกร้อย Photon. จำนวนนับมีการเปลี่ยนแปลงแม้将有稳定的效率。

ความรู้ก่อนหน้า: 47.

• ใช้ค่าเฉลี่ยและความผันผวนของการนับแบบ Binomial และ Poisson
• ก่อให้เกิดความไม่แน่นอนเล็กน้อยด้วยการสมมติความสัมพันธ์ที่ระบุ
• แก้ไขข้อจำกัดเลขชี้กำลังมิติและตรวจสอบหน่วยของโมเดล

สำหรับ N อนุภาคตกกระทบอิสระแต่ละตัวซึ่งถูกตรวจจับด้วยความน่าจะเป็น p, จำนวน X เป็นแบบ binomial: ค่าเฉลี่ย Np และความแปรปรวน Np(1−p). ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ sqrt[Np(1−p)], ไม่ใช่ความแปรปรวนเอง ด้วย N ใหญ่และ p เล็ก, การประมาณแบบ Poisson จะมีค่าเฉลี่ย λ=Np และความแปรปรวน λ, ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบน sqrt(λ). สำหรับ N=200 และ p=0.05, ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงคือ 10 และส่วนเบี่ยงเบน sqrt(9.5)≈3.08, ในขณะที่ Poisson ให้ sqrt(10)≈3.16. ไม่มีโมเดลใดรับประกันจำนวนนับคงที่ การตรวจจับที่เกี่ยวข้องหรือเวลาตายอาจทำให้ความเป็นอิสระล้มเหลว

สำหรับฟังก์ชันวัดผลที่ต่อเนื่อง y(x1,…), ใช้การประมาณเชิงเส้นด้วยการหาอนุพันธ์ย่อยเปลี่ยนแปลงค่า ตัวแปรความไม่แน่นอนมาตรฐานอิสระรวมกันแบบกำลังสอง: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². หากตัวแปรมีความสัมพันธ์กัน ต้องใช้พจน์ความแปรปรวนร่วม (covariance cross terms). สำหรับ y=x^a, ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์มาตรฐานจะประมาณได้เป็น |a|σ_x/|x|. ดังนั้น พลังงานจลน์ K=½mv² ซึ่งมีความไม่แน่นอนของมวลน้อยมาก จะมีความไม่แน่นอนสัมพัทธ์เป็นสองเท่าของความเร็ว. เมื่อมีความไม่แน่นอนของมวลอิสระ ให้รวม (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². การประมาณเหล่านี้ต้องการความผิดพลาดเล็กน้อยและโมเดลเชิงเส้นในท้องถิ่นที่เหมาะสม

การกระจายแบบสุ่มบ่งบอกถึงความแม่นยำ; ความเบี่ยงเบนจากการปรับเทียบที่มีผลต่อความถูกต้องมักเกิดจากแหล่งเดียวกันและไม่หายไปโดยการเฉลี่ยซ้ำ สำหรับข้อมูลซ้ำที่เป็นอิสระกัน ความไม่แน่นอนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยจะลดลงตาม 1/sqrt(n), แต่ข้อผิดพลาดระบบshared systematic error ไม่ลดลง ความไม่แน่นอนของการกระจายทางกายภาพและความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยที่ประมาณได้เป็นปริมาณที่ต่างกัน ระบุให้ชัดเจนว่าเปอร์เซ็นต์ที่ระบุไว้คือความไม่แน่นอนมาตรฐาน ช่วงความเชื่อมั่น หรือขอบเขตกรณีเลวที่สุด การบวกค่าสัมบูรณ์ของแต่ละส่วนจะเป็นขอบเขตที่ระมัดระวัง ไม่ใช่กฎการรวมแบบกำลังสองของความผิดพลาดมาตรฐานอิสระ

การวิเคราะห์มิติเท่าเทียมกันด้วยกำลังของมวล ความยาว และเวลา แทนที่จะเป็นขนาดตัวเลข สำหรับรูปแบบ Planck-length G^a $\hbar$^b c^d, มิติคือ [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T และ [c]=L/T. การกำหนดให้ผลลัพธ์เป็นความยาวจะได้ −a+b=0, 3a+2b+d=1 และ −2a−b−d=0. ดังนั้น a=b=1/2 และ d=−3/2, จึงได้ความยาวเป็น sqrt(G$\hbar$/c³). การวิเคราะห์มิติไม่สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่มีมิติได้ตามใจหรือพิสูจน์ได้ว่าคงที่ที่เลือกมีเพียงพอทางฟิสิกส์ ควรปฏิเสธสูตรที่มีหน่วยผิดก่อนนำตัวเลขไปคำนวณ

สำหรับตัวแปรความไม่แน่นอนมาตรฐานอิสระใน $K=mv^2/2$, ทำการหาอนุพันธ์ก่อน

ด้วยความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ 3% ในมวลและ 2% ในความเร็ว, ขอบเขตกรณีเลวที่สุดจะใช้ผลรวม ไม่ใช่การรวมแบบกำลังสองนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต้องใช้พจน์ความแปรปรวนร่วม

อย่าสับสนระหว่างค่าเฉลี่ยการนับกับจำนวนการนับที่รับประกัน ความแปรปรวนกับความไม่แน่นอนมาตรฐาน หรือความไม่แน่นอนมาตรฐานแบบสุ่มกับความเบี่ยงเบนในการปรับเทียบ ความสอดคล้องเชิงมิติจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ

standard uncertainty: ความไม่แน่นอนที่แสดงเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานภายใต้โมเดลการวัดที่กำหนด

Poisson approximation: โมเดลนับเหตุการณ์อิสระหายากที่มีความแปรปรวนเท่ากับค่าเฉลี่ย

A fast unstable particle can travel farther in the laboratory than its rest-frame lifetime multiplied by its speed would suggest.

Prerequisites: 6, 42.

• Relate proper lifetime to laboratory time and distance
• Use invariant energy–momentum and relativistic kinetic energy
• Infer longitudinal recession speed from wavelength ratio

For relative speed v, define β=v/c and γ=1/sqrt(1−β²). Proper time 固有时 is measured along the particle’s worldline by a clock at rest with it. If its proper mean lifetime is τ0, its laboratory mean lifetime is γτ0 and mean travel distance is vγτ0 at constant speed. The decay is statistical: mean lifetime is not a guaranteed decay time for each particle. At β=0.8, γ=5/3. Compute spacetime events consistently in one frame; proper time and coordinate time are different quantities.

Total energy 总能量 is E=γmc², momentum p=γmv and invariant E²−p²c²=m²c⁴. When E and pc are expressed in the same energy units, find mc²=sqrt(E²−(pc)²), not E−pc. The nonnegative square root is required for positive rest mass. For E=13 GeV and pc=12 GeV, rest energy 静能 is 5 GeV and mass is 5 GeV/c². A massless particle has E=pc but need not have zero energy or momentum. These relations concern isolated-particle four-momentum, not classical mv at relativistic speed.

Work accelerating a particle from rest equals kinetic energy K=E−mc²=(γ−1)mc². At β=0.6, γ=1.25 and K=0.25mc², while the classical ½mv² gives 0.18mc². Classical kinetic energy is the low-speed expansion and becomes inaccurate near c. Finite acceleration work increases γ rather than allowing a massive particle to reach or exceed c. Keep total energy, rest energy and kinetic energy distinct when interpreting answer units.

For purely longitudinal relative recession in special relativity, wavelength ratio r=λ_observed/λ_emitted=sqrt((1+β)/(1−β)). Rearranging gives β=(r²−1)/(r²+1). A ratio r=2 gives β=3/5, not c times r−1 from a low-speed approximation. Blueshift uses r<1 and a negative recession parameter under this convention. The formula assumes the shift is entirely kinematic; cosmological expansion or gravitational redshift requires a different model. State the question’s stipulated model before interpreting a spectral ratio.

Total energy and momentum determine invariant rest energy.

For E = 17 GeV and pc = 15 GeV, Rest mass is 8 GeV/c squared. Do not subtract momentum directly from energy.

Do not use the proper lifetime as laboratory time, subtract pc from E to find rest mass, or apply the classical Doppler approximation to a large wavelength ratio.

proper time: Time recorded by a clock moving with the object along its worldline.

rest energy: Energy mc² associated with an object’s rest mass.

Repeated equally spaced current dips can represent repeated losses of the same excitation energy, rather than a sequence of different atomic levels.

Prerequisites: 7.

• Distinguish photoelectric thresholds and characteristic X rays
• Apply reduced-mass spectral scaling and many-electron spin filling
• Interpret Franck–Hertz energy spacing without inventing new levels

Photoelectric maximum kinetic energy is Kmax=hν−ϕ for photon frequency above threshold ν0=ϕ/h. A stopping-potential magnitude satisfies eVs=Kmax, so Vs is linear in ν above threshold. Increasing intensity at fixed frequency increases the available photon count and usually photocurrent, not maximum photoelectron energy. Below threshold the simple one-photon model emits no photoelectrons regardless of intensity. Work function 逸出功 is a property of the surface, not proportional to the illumination frequency.

Characteristic X rays result when an electron fills an inner-shell vacancy, emitting a photon equal to the shell energy difference. Their sharp lines depend on target atoms. Bremsstrahlung arises from deceleration of energetic electrons in nuclear electric fields and produces a continuous background, with an energy endpoint set by the incident electron energy. A continuous background and discrete lines can appear together; the existence of one does not exclude the other. These mechanisms differ from visible fluorescence, phonon scattering and particle capture.

For a hydrogen-like two-body atom, replace electron mass by reduced mass μ=m_eM/(m_e+M). In the simple Coulomb model, level energies scale as −μZ²/n², so spectral frequencies scale as μZ² and wavelengths inversely. For positronium M=m_e, μ=m_e/2 and its Rydberg constant is half the infinite-nuclear-mass value. For a heavy nucleus μ approaches m_e. In many-electron atoms, use orbital filling and Hund’s rule rather than the hydrogen model: degenerate orbitals are occupied singly with parallel spins before pairing. Carbon’s 2p² gives two unpaired electrons and total spin S=1; oxygen’s 2p⁴ has two unpaired electrons and also S=1. Filled pairs contribute zero net spin.

In Franck–Hertz experiments, accelerated electrons lose energy through inelastic excitation once they reach an atomic threshold. Repeated current-dip or peak spacing in accelerating voltage can therefore identify the same excitation energy lost one, two or more times. A spacing ΔV corresponds to energy eΔV; peaks at 4,8,12 V need not represent three separate excited-level energies. Contact potentials and retarding fields can shift absolute peak positions, so use the spacing and stated apparatus conditions. If the excited atom returns by one photon of that energy, wavelength is hc/(eΔV).

In the one-photon photoelectric effect 光电效应, use the surface work function phi.

For photon energy 4.5 eV and phi = 2.0 eV, The stopping-potential magnitude is 2.5 V. Higher intensity at the same frequency changes the available electron rate, not this maximum energy.

Current intensity and stopping voltage answer different questions. Include reduced mass and orbital degeneracy, and use Franck–Hertz spacing rather than treating every peak as a new energy level.

work function: Minimum energy required to remove an electron from the specified surface.

reduced mass: Two-body effective mass m1m2/(m1+m2) for relative motion.

A quantum wave can reflect from a downward potential step even though a classical particle has no turning point there.

Prerequisites: 5.

• Match travelling waves and fluxes across finite potential changes
• Count degenerate isotropic-oscillator states
• Evaluate Pauli products and distinguish anticommutation from equality

For constant potential V and energy E>V, the spatial solutions are travelling factors exp(±ikx), with k=sqrt[2m(E−V)]/$\hbar$. At finite steps with the same particle mass, wavefunction and its first derivative are continuous. In a left-incident scattering problem with no incoming beam from the right, the far-right solution contains only the right-travelling factor Ae^(ikx). If a finite well returns to the original external potential, the transmitted external wave number equals the incident one, even though the interior wave number differs. Exponentially decaying solutions describe E<V regions, not every potential well.

For a step from V1 to V2 with both regions classically allowed, write incident-plus-reflected amplitude in region 1 and transmitted amplitude in region 2. Continuity gives r=(k1−k2)/(k1+k2) and t=2k1/(k1+k2). Reflection probability is R=|r|²; transmission is T=(k2/k1)|t|² because probability current depends on wave number. Thus R+T=1 for a lossless step. Do not add raw squared transmitted amplitude to R without its current factor. With k2=3k1, R=1/4 and T=3/4 despite a downward step.

A three-dimensional isotropic oscillator separates into x,y,z modes with nonnegative integers n_x,n_y,n_z. Its energy is (N+3/2)$\hbar$ω, where N=n_x+n_y+n_z. For a spin-zero distinguishable single particle, the spatial degeneracy is the number of such triples: (N+1)(N+2)/2. This counts different assignments, not just different unordered partitions. For N=2, the six states are permutations of (2,0,0) and (1,1,0). For N=3, the degeneracy is 10. Additional spin or identical-particle constraints would change the counting problem.

Pauli matrices are σ_x=[[0,1],[1,0]], σ_y=[[0,−i],[i,0]], σ_z=[[1,0],[0,−1]]. Each squares to identity. Direct multiplication gives σ_xσ_y=iσ_z and σ_yσ_x=−iσ_z, so distinct Pauli matrices anticommute. Cyclic products x→y→z have positive i; reversing order changes the sign. The general identity is σ_iσ_j=δ_ijI+iΣε_ijkσ_k. Matrix order matters: σ_xσ_z=−iσ_y, not iσ_y or simply σ_y. These dimensionless matrices become spin operators S_i=$\hbar$σ_i/2, adding physical units and factors.

At a finite potential step, match wavefunction and derivative for the same particle mass.

Transmission probability 透射概率 uses current, not amplitude alone. For $k_2=3k_1$, $r=-1/2$, $t=1/2$. Reflection occurs even for a downward step. Its phase sign disappears when taking probability.

Transmission probability needs the wave-number current ratio. Oscillator degeneracy counts ordered mode triples. Do not reverse Pauli matrix order without changing its sign.

reflection coefficient 反射系数: Reflected probability-current fraction relative to incident current.

degeneracy: Number of independent states sharing the specified energy.

Measuring conductivity alone does not tell you whether electrons or holes dominate transport. A magnetic Hall measurement provides a sign-sensitive test.

Prerequisites: 8, 46.

• Compare binding energy per nucleon 平均核子结合能 and reaction energy
• Distinguish leptons, mesons and baryons with conservation constraints
• Infer dominant carrier sign from the one-carrier Hall model

Binding energy B is the energy needed to separate a nucleus into its constituent free nucleons, equal to the corresponding mass deficit times c². Binding energy per nucleon B/A is the relevant comparison across different mass numbers; a heavier nucleus can have greater total B but lower B/A. The broad B/A maximum is near the iron/nickel region. Light-nucleus fusion and very-heavy-nucleus fission can release energy when products have greater total binding. For a reaction, Q=(initial rest mass−final rest mass)c²; positive Q means released energy. Always compare the actual specified isotopes and final products, not just their element names.

Leptons such as electrons, muons and neutrinos are not made of constituent quarks in the Standard Model. A negative muon has charge −e and spin 1/2, like an electron, but has a different mass and belongs to a different flavour family; it is not a meson despite its historical name. Hadrons contain quarks: ordinary mesons have one quark and one antiquark, and ordinary baryons have three quarks. Corresponding antibaryons have three antiquarks. These elementary classification models do not imply every composite particle is a simple baryon or meson.

Check charge, energy, momentum, baryon number and relevant lepton numbers in a proposed process. A proton’s uud quarks sum to charge +e; neutron udd sums to zero. Beta-minus decay n→p+e−+antineutrino conserves electric charge and includes the antineutrino to balance lepton number and kinematics. A particle’s mass alone does not classify it as a quark, lepton or hadron. Reaction thresholds may require kinetic energy beyond an exothermic rest-mass difference when other constraints apply.

In a simple one-carrier conductor, transverse magnetic Lorentz force builds a Hall electric field until transverse carrier force balances. With a stated tensor/sign convention, Hall coefficient 霍尔系数 is R_H=1/(nq); negative q gives electron-like negative coefficient, positive q gives hole-like positive coefficient. Resistivity magnitude alone does not reveal this sign. Set current, magnetic field and voltage directions consistently before reading raw polarity. Semiconductors with electrons and holes both contributing require a mobility-weighted two-carrier model; the simple coefficient need not equal the inverse total carrier density.

In a one-carrier Hall effect 霍尔效应 model, use $R_H=1/(nq)$ with a fixed lead convention. For electrons, q = -e, n = $5.0\times10^{22}$ per cubic metre,

Negative coefficient indicates electron-like carriers under this model, not a negative density. Raw voltage polarity is meaningful only with declared field and lead directions.

Compare binding per nucleon, not just total binding. A muon is a lepton, and Hall sign requires the declared measurement convention and carrier model.

binding energy per nucleon: Nuclear binding energy divided by nucleon count.

Hall coefficient: Signed proportionality relating transverse Hall field to current density and magnetic field under a stated convention.

A pendulum tension changes throughout a swing, but its angular equation can be derived without solving for tension.

Prerequisites: 1, 47.

• Derive Euler–Lagrange motion after imposing a holonomic constraint 完整约束
• Use a cyclic coordinate 循环坐标 to identify conserved canonical momentum
• Linearise a stable equilibrium and check the resulting frequency

A constraint removes an independent coordinate before you form the kinetic energy. For a fixed-length pendulum choose θ from the downward vertical: x=l sinθ and y=−l cosθ. Differentiating both coordinates gives v²=l²θdot², not l² sin²θ θdot². Thus T=ml²θdot²/2 and V=mgl(1−cosθ), with zero potential at the bottom. The fixed length is a holonomic constraint: it is a relation among coordinates and possibly time. A rolling velocity constraint needs its own analysis; do not automatically treat every constraint as a coordinate substitution.

For ideal constraints and the usual conservative system, the stationary-action equation is d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 with L=T−V. The variations vanish at the two time endpoints. A pendulum gives ∂L/∂θdot=ml²θdot and ∂L/∂θ=−mgl sinθ, so ml²θddot+mgl sinθ=0. The momentum derivative acts on every time-dependent factor: for a varying radius, d(mr²θdot)/dt contains 2mr rdot θdot. The variational method does not mean mechanical energy is conserved in a time-dependent system.

For planar central motion, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). The angle θ is cyclic because L has no explicit θ dependence, even though L depends on θdot. Its canonical momentum pθ=mr²θdot is constant. The radial equation is m rddot=mrθdot²−dV/dr. The first term is part of the coordinate acceleration, not a new outward real force in an inertial frame. Conservation of pθ makes angular speed increase as r decreases; constant angular speed is a different, externally driven situation.

Near a stable equilibrium q0, expand V to second order and use a constant local inertia M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2. Then the small-displacement frequency is sqrt(V″/M). For a pendulum sinθ≈θ in radians, so ω=sqrt(g/l); the approximation requires small amplitude. A negative V″ gives instability, not an oscillation with an imaginary measurable frequency. Check the full nonlinear equation first, then state the approximation and compare units: V″/M must have units of inverse time squared.

For a fixed pendulum length l, use theta from downward vertical: x = l sin theta, y = -l cos theta. Both Cartesian velocities give $T=ml^2\dot\theta^2/2$ and $V=mgl(1-\cos\theta)$. The Euler-Lagrange equation 欧拉—拉格朗日方程 is

Divide by $ml^2$ before linearising: The approximation uses radians. Endpoint variations vanish in the stationary-action derivation.

A cyclic coordinate is absent from L itself; its velocity need not be absent. Do not discard the time derivative of a changing r² factor.

holonomic constraint: A constraint expressible as a relation among coordinates and possibly time.

cyclic coordinate: A coordinate absent explicitly from the Lagrangian, with conserved canonical momentum under the Euler–Lagrange equation.

A person standing still on a turning platform needs a real inward force, although their platform-relative acceleration is zero.

Prerequisites: 26.

• Transform acceleration with translating and rotating frame 旋转参考系 terms
• Determine centrifugal, Coriolis and Euler directions from cross products
• Separate apparent forces from real interactions and test inertial limits

In a translating frame with origin acceleration A, Newton’s equation becomes m a′=F_real−mA. An upward-accelerating elevator therefore has N−mg=ma in the ground frame, or N−mg−ma=0 for its stationary passenger in the elevator frame. These are the same prediction. The additional term is an apparent force caused by the chosen accelerating coordinates; it is not a new contact with another body. Uniform translation with A=0 changes velocity but needs no apparent force.

For a rotating basis, differentiating a vector adds Ω×that vector. Applying this twice gives a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r. Here r and v′ are measured relative to the moving origin in its rotating axes; all vectors in a calculation must be expressed in the same basis at the same instant. Move the last three rotational terms to the force side to obtain Coriolis −2mΩ×v′, centrifugal −mΩ×(Ω×r), and Euler −mΩdot×r. A constant rotation removes the Euler term, not the Coriolis term.

Take Ω along +z, an anticlockwise platform viewed from above, and a particle at r along +x. Centrifugal force 离心力 is along +x with magnitude mΩ²r. If the particle moves outward with v′ along +x, then Ω×v′ is +y, so Coriolis force 科里奥利力 points −y. Reversing the relative velocity reverses Coriolis; keeping v′=0 makes it vanish. Coriolis is perpendicular to v′ and does no instantaneous work on that relative motion. Centrifugal force is outward from the rotation axis, not necessarily outward from the chosen origin in an arbitrary three-dimensional position.

A body at rest on the platform has a′=v′=0. With constant rotation and a fixed origin, its real force must be mΩ×(Ω×r), inward, cancelling the outward apparent term in the rotating equation. If rotation changes, a tangential real force must also balance the Euler term. Always check Ω→0 and A→0: ordinary inertial Newtonian motion must return. Do not mix the real inward centripetal requirement with an added outward real reaction on the same body; interaction partners belong in separate free-body diagrams.

In a rotating frame, Coriolis force uses the relative velocity.

For m = 2 kg, Omega = 2 rad/s along z, r = 1 m along x and v' = 3 m/s along x, Euler force is zero only because Omega is constant. These are coordinate terms, not extra physical contacts.

The relative velocity v′ belongs in the Coriolis term. Using the full inertial velocity counts rotation twice.

Coriolis force: The apparent rotating-frame force −2mΩ×v′ caused by relative motion.

centrifugal force: The apparent rotating-frame force −mΩ×(Ω×r), directed away from the rotation axis.

ท่อยางแคบมีอัตราการไหลคงที่เท่ากันกับท่อใหญ่ แต่พฤติกรรมความดันขึ้นอยู่กับทั้งความเร็วและการสูญเสียเนื่องจากความหนืด

ความรู้พื้นฐานที่ต้องมี: 10, 47.

• ผสมผสานความต่อเนื่องของไหลไม่บีบอัดกับความดัน ความสูง และพลังงานจลน์
• ใช้ความสัมพันธ์ไฮโดรสตติกและเบอร์นูลลีภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดเท่านั้น
• ใช้น้ำหนืด สเกล Poiseuille และจำนวนเรโนลด์เพื่อแยกประเภทการไหล

สำหรับการไหลแบบคงตัว มวลที่ผ่านหน้าตัดต่างๆ ต่อหน่วยเวลามีค่าเท่ากัน: ρAv เป็นค่าคงที่ ของเหลวที่ไม่สามารถบีบอัดได้มีค่า密度近似คงที่ ดังนั้น Q=Av คืออัตราการไหลเชิงปริมาตร การลดรัศมีท่อลงครึ่งหนึ่งจะทำให้พื้นที่ลดลงสี่เท่าและความเร็วเฉลี่ยเพิ่มขึ้นสี่เท่าสำหรับค่า Q เดียวกัน ความดันไม่ได้กำหนด Q โดยตรงหากไม่มีโมเดลของระบบส่วนอื่นๆ ในของเหลวที่หยุดนิ่ง dp/dz=−ρg เมื่อ z ชี้ขึ้น؛ ดังนั้นความดันเพิ่มขึ้นตามขนาด ρgh ระยะทาง h ด้านล่างพื้นผิว ควรใช้ความดันสัมบูรณ์หรือความดันเกจอย่างสม่ำเสมอทั้งสองด้าน

สำหรับการไหลแบบคงตัว ไม่บีบอัด และไม่มีความหนืด ตามเส้นกระแสโดยไม่มีการ pompa หรือการสูญเสียพลังงาน伯努利ให้ p+ρv²/2+ρgz=constant สามพจน์นี้คือพลังงานต่อหน่วยปริมาตรและมีหน่วยความดัน ที่ระดับความสูงเท่ากัน ความเร็วที่สูงกว่าต้องใช้ความดัน tĩnhที่ต่ำกว่าภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ ทางออกที่สูงกว่าต้องใช้พลังงานความดัน/จลน์เพื่อเพิ่มพลังงานศักย์โน้มถ่วง伯努เล่ตามเส้นกระแสหนึ่งอาจไม่เท่ากับค่าคงที่เดียวกันบนเส้นกระแสอื่นในการไหลแบบหมุน จุดหยุดนิ่งมี v=0 และแปลงพลังงานความเร็วท้องถิ่นให้เป็นความดันสูงขึ้นในโมเดลอุดมคติ

ความหนืดถ่ายโอนโมเมนตัมระหว่างชั้นของไหลที่อยู่ติดกัน สำหรับการไหลแบบ laminar ที่พัฒนาเต็มรูปแบบแบบคงตัวของของเหลว Newtonian ไม่บีบอัดในท่อทรงกลม Q=πR⁴Δp/(8ηL) ที่นี่ Δp คือความดันตกตามยาวท่อ η คือความหนืด dynamique และ L คือความยาวท่อ การเพิ่มรัศมีสองเท่าที่ Δp, η และ L คงที่จะทำให้ Q เพิ่มขึ้นสิบหกเท่า การเพิ่ม Q สองเท่าที่รูปทรงเรขาคณิตคงที่ต้องการความดันตกสองเท่า การสูญเสียความดันจากความหนืดนี้ไม่สามารถนำไปบวกในสมการ伯努เล่ไร้การสูญเสีย seolahว่าทุกอย่าง不变的ได้ ต้องรวมการสูญเสียความดัน/หัว或因 dissipative หรือใช้โมเดลความหนืด

จำนวนเรโนลด์ Re=ρvD/η เปรียบเทียบผลของความเฉื่อยและความหนืดโดยใช้ความเร็วลักษณะเฉพาะ v และความยาว D สำหรับท่อควรใช้ความเร็วเฉลี่ยและเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน ไม่ใช่รัศมี Re ไม่มีมิติ: ความหนาแน่นคูณความเร็วคูณความยาวมีหน่วยเดียวกับความหนืด dynamique ค่า Re ต่ำเอื้อต่อการควบคุมของความหนืด; การเปลี่ยนไปสู่ turbulence ขึ้นอยู่กับ hìnhเรขาคณิตและการรบกวน ดังนั้นค่าเกณฑ์เดียวจึงไม่ใช่กฎสากล การสเกล Poiseuille ไม่ปลอดภัยหลังสมมติว่าการไหลเป็น turbulence ตรวจสอบความต่อเนื่องเชิงปริมาตร ทิศทางของการเปลี่ยนแปลงความดัน และประเภทการไหลก่อนเลือกสูตร

การไหลแบบคงตัว ไม่บีบอัด และอุดมคติในแนวนอนมีพื้นที่ 4 และ 1 ตารางเซนติเมตร ในส่วนแรก ความเร็วคือ 1 m/s สมการความต่อเนื่องและเบอูลลีให้

ความสัมพันธ์เหล่านี้สมมติว่าไม่มีปั๊ม การสูญเสียความหนืด หรือการเปลี่ยนแปลงระดับความสูง ท่อแคบจริงอาจละเมิดเงื่อนไขเหล่านี้ได้

ความต่อเนื่องรักษา Q ให้คงที่ตลอดท่อ steady เดียวกัน; Poiseuille เปรียบเทียบ Q ระหว่างระบบที่แตกต่างกันที่ความดันตกที่กำหนด ระบุสิ่งใดถูกยึดไว้ก่อนเปรียบเทียบกำลังของรัศมี

อัตราการไหลของปริมาตร: ปริมาณที่ไหลผ่านหน้าตัดต่อหน่วยเวลา, Q=Av โดย v คือความเร็วเฉลี่ย

ความหนืดไดนามิก: ค่าสัมประสิทธิ์ที่เชื่อมโยงแรงเฉือนกับอัตราการเปลี่ยนความเร็วในของเหลวนิวตัน

Putting a dielectric into a capacitor changes the field differently depending on whether its battery remains connected.

Prerequisites: 13, 15.

• Relate free and bound charge to D, E and polarisation
• Compare fixed-charge and fixed-voltage dielectric changes
• Use magnetic constitutive response and free-current boundary conditions

Electric polarisation 电极化强度 P is electric dipole moment per unit volume, measured in C/m². Define D=ε₀E+P so that ∇·D=ρ_free; the total charge, including bound charge, still appears in ∇·E=ρ_total/ε₀. Bound volume charge is ρ_b=−∇·P and bound surface charge is σ_b=P·n, where n points outward from the material. Uniform P therefore gives no bound charge in the bulk but can give surface charges of opposite sign. A dielectric is not an ideal metal: polarisation need not make its internal electric field zero.

For a linear isotropic dielectric, P=ε₀χ_e E and D=εE with ε=ε₀(1+χ_e)=ε₀ε_r. These simple scalar relations assume the response is linear and ignore anisotropy, strong dispersion and nonlinear effects. In a fully filled, large parallel-plate capacitor with negligible edge effects, D normal to the plates equals the free surface-charge density. If σ_free stays fixed, increasing ε reduces E=σ_free/ε. The bound charges oppose the applied field; their magnitude is not automatically equal to the free plate charge.

For plate area A and spacing d, C=εA/d. Disconnecting the battery fixes free charge Q: V=Q/C falls and stored energy U=Q²/(2C) falls when a dielectric increases C. Leaving an ideal voltage source connected fixes V: Q=CV and stored energy U=CV²/2 both rise. The source supplies energy and moving the dielectric can involve mechanical work; compare the stated electrical energy quantity rather than assuming the capacitor alone is an isolated system. At a material interface n·(D₂−D₁)=σ_free, whereas static tangential E is continuous. Normal E generally changes when permittivity changes.

Magnetisation M is magnetic dipole moment per unit volume, measured in A/m. In SI, B=μ₀(H+M); for a linear isotropic response M=χ_m H and B=μ₀(1+χ_m)H. B and H have different units and roles. A long uniform solenoid has H≈nI when end and demagnetising effects are negligible; material response then changes B. Free surface current sets n×(H₂−H₁)=K_free, and normal B remains continuous. Ferromagnetic hysteresis and saturation cannot be represented by one constant χ_m over every field.

A capacitor is disconnected before inserting a linear dielectric with relative permittivity 4. Free charge stays fixed; capacitance 电容 becomes four times its original value.

If an ideal battery stays connected instead, V is fixed: The source exchanges energy. Do not compare isolated charge and fixed voltage as the same experiment.

Use free charge in the D equation and total charge in the E equation. Do not confuse fixed Q with fixed V, or identify B numerically with H.

electric polarisation: Electric dipole moment per unit volume, P, contributing bound charge.

magnetisation: Magnetic dipole moment per unit volume, M, entering B=μ₀(H+M).

A capacitor voltage and an inductor current cannot change instantly under finite ordinary circuit drives, but their steady-state behaviour is different.

Prerequisites: 14.

• Solve RC charging and discharging with stated initial conditions
• Solve RL current response and account for stored energy
• Use complex impedance, phase and resonance in sinusoidal circuits

For a resistor R in series with a capacitor C and a DC source V_s, Kirchhoff’s voltage law is R dq/dt+q/C=V_s. Define V_C=q/C and τ=RC. After a switch to a constant source, V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ). An initially uncharged capacitor therefore has V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) and charging current I=(V_s/R)exp(−t/τ). With the source removed and the resistor connected across it, V_C=V_C(0)exp(−t/τ). Capacitor voltage is continuous across the switch if there is no impulsive current; the resistor current may change instantly.

In a series RL circuit, Kirchhoff’s law gives L dI/dt+RI=V_s and τ=L/R. The current after a constant drive is I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ). Inductor current is continuous for a finite voltage; its voltage may change abruptly as switching changes dI/dt. At late times an ideal inductor in a DC circuit acts as a zero-voltage connection, while an ideal capacitor has zero DC current. Stored energies are LI²/2 and CV_C²/2. During decay into a resistor, the initially stored energy becomes resistor heat rather than disappearing when the source is disconnected.

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

An RC circuit switches to fixed source voltage Vs. Charge conservation and Kirchhoff's law give

For R = 2 kilohms, C = 1 millifarad, Vs = 12 V and initial voltage zero, The time constant 时间常数 controls the remaining difference from the final state.

RC has τ=RC, while RL has τ=L/R. Do not confuse current amplitude with rms current, or resonance of a driven impedance with damped free-oscillation frequency.

time constant: The exponential response scale, RC for an RC circuit and L/R for an RL circuit.

impedance: The complex voltage-to-current phasor ratio in sinusoidal steady state.

การใส่ตัวโพลาไรเซอร์ที่สามระหว่างฟิลเตอร์ตัดกันอาจเพิ่มความเข้มที่ส่งผ่านได้ แม้ว่าจะมีทุกฟิลเตอร์กำจัดพลังงานก็ตาม

ความรู้ก่อนหน้า: 3

• คำนวณการส่งผ่านตัววิเคราะห์อุดมคติทีละขั้นตอนจากสถานะอินพุตทันที
• แยกแยะการเคลื่อนตัวของสนามแบบเส้นตรง, แบบวงกลม และแบบวงรีโดยใช้เฟสสัมพัทธ์
• ใช้มุมบรูสเตอร์ร่วมกับข้อตกลงดัดแสงและระนาบตกกระทบ

สำหรับการแพร่ตามแกน z สนามไฟฟ้าแบบข้ามแกนสามารถมีองค์ประกอบ x และ y ได้ การโพลาไรเซชันแบบเส้นตรงหมายถึงสนามสั่นตามเส้นคงที่หนึ่งๆ ตัววิเคราะห์อุดมคติจะส่งผ่านองค์ประกอบบนแกนนั้น ความเข้มของสนามจะเป็น E cosθ ดังนั้นความเข้มจะกลายเป็น I cos²θ ที่นี่ θ คือมุมระหว่างโพลาไรเซชันขาเข้ากับตัววิเคราะห์นั้น และ I คือความเข้มทันทีหน้าตัววิเคราะห์ แสงที่ไม่โพลาไรส์เป็นส่วนผสมทางสถิติของการวางแนวข้ามแกน ตัวโพลาไรเซอร์แรกอุดมคติจะผ่านครึ่งหนึ่งของความเข้มเฉลี่ยของมันลำแสงที่ออกจึงโพลาไรส์แบบเส้นตรงตามแกนฟิลเตอร์ อย่าใช้ปัจจัยครึ่งหนึ่งใหม่ที่ตัวกรองแต่ละตัว หรือใช้มุมเดียวเทียบกับแหล่งกำเนิดเดิมสำหรับโซ่ทั้งหมด

หลังจากตัววิเคราะห์แต่ละตัว ให้อัปเดตทั้งความเข้มและทิศทางโพลาไรเซชัน สำหรับลำแสงที่ไม่โพลาไรส์เริ่มต้นและแกนนาม α₁, α₂, α₃ ความเข้มสุดท้ายคือ (I₀/2)cos²(α₂−α₁)cos²(α₃−α₂) ฟิลเตอร์ตัดกันสองตัวส่งผ่านเป็นศูนย์ในโมเดลนี้ แกนเฉียงตรงกลางจะเปลี่ยนทิศทางก่อนการวิเคราะห์สุดท้าย การเพิ่มขึ้นเมื่อเทียบกับคู่ฟิลเตอร์ตัดกันนี้ไม่ได้สร้างพลังงาน: ทุกขั้นตอนยังมีการส่งผ่านระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง ฟิลเตอร์จริงมีการดูดกลืน การดับไม่สมบูรณ์ และการขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น ใช้อุปกรณ์อุดมคติเฉพาะเมื่อการสูญเสียเหล่านี้ถูกตัดออกหรือระบุไว้แยกต่างหาก

เขียน E_x=A cosωt และ E_y=B cos(ωt+δ) ที่จุดคงที่ เฟสเท่ากันหรือตรงกันข้ามให้เส้น รวมถึงเส้นเฉียง เฟสเท่ากันและความเข้มไม่เท่ากับศูนย์ plus phase difference of a quarter-cycle give a circle. Unequal amplitudes at quarter-cycle phase give an ellipse. A quarter-wave plate adds a relative phase of π/2 between its principal axes under its design conditions. A linear input at 45° supplies equal components, so the outgoing field can be circular. A linear input along a principal axis has only one component and remains linear. For circular input, every ideal linear analyser passes half the intensity; handedness requires a declared viewing direction and phase convention.

สำหรับการตกกระทบจากตัวกลางโปร่งแสงที่ไม่ใช่แม่เหล็ก n₁ เข้าไปเป็น n₂ มุมบรูสเตอร์ที่วัดจากแนวตั้งฉากจะสอดคล้องกับ tanθ_B=n₂/n₁ ที่มุมนี้ ส่วนประกอบ p ที่สะท้อนออกซึ่งมีสนามไฟฟ้าอยู่ในระนาบตกกระทบจะหายไปในโมเดลไดอิเล็กทริกอุดมคติ แสงที่สะท้อนออกมาจากอินพุตที่ไม่มีการโพลาไรซ์จะได้รับการโพลาไรซ์แบบ s ซึ่งตั้งฉากกับระนาบนั้น กฎของสเนลล์ให้ค่ามุมหักเหที่ suplementary กับ θ_B สิ่งนี้แตกต่างจากเงื่อนไขมุมวิกฤต sinθ_c=n₂/n₁ ซึ่งจำเป็นต้องมี n₁>n₂ และเกี่ยวข้องกับแสงสะท้อนภายในทั้งหมด การสะท้อนแบบบรูสเตอร์ไม่ได้หมายความว่าความเข้มการตกกระทบทั้งหมดจะถูกสะท้อนหรือว่าลำแสงที่ส่งผ่านจะมีการโพลาไรซ์อย่างสมบูรณ์

ตัวกรองโพลาไรเซอร์อุดมสิทธิ์ตัวแรกจะส่งผ่านครึ่งหนึ่งของความเข้มการตกกระทบ I0 ที่ไม่มีการโพลาไรซ์ ตัววิเคราะห์แต่ละตัวถัดไปจะใช้มุมจากแกนที่紧邻หน้า สำหรับแกน 0, 30 และ 90 องศา,

สนามหลังตัวกรองแต่ละตัวชี้ไปตามแกนของตัวกรองนั้น การใช้เพียงแกนแรกและแกนสุดท้ายจะทำให้ทำนายเป็นศูนย์ได้ผิด

ความเข้ม Malus ใช้ cos² ของมุมเทียบกับทิศทางการโพลาไรเซชันทันที preceding; แผ่นเฟสเปลี่ยนความแตกต่างของเฟสสัมพัทธ์ ในขณะที่ตัวกรองโพลาไรเซชันเอาองค์ประกอบของสนามออก

กฎของมาลัส: กฎความเข้มของตัววิเคราะห์เชิงเส้นอุดมคติ I_out=I_in cos²θ สำหรับอินพุตที่มีการโพลาไรซ์เชิงเส้น

มุมบรูสเตอร์: มุมตกกระทบที่ส่วนประกอบ p ที่สะท้อนออกไปจะหายไปสำหรับผิวสัมผัสไดอิเล็กทริกอุดมคติ

Two equal slits can have the right path difference for constructive interference and still deliver no intensity at that angle.

Prerequisites: 3, 17.

• Derive and evaluate the far-field single-slit intensity using amplitude superposition
• Separate double-slit interference spacing from finite-aperture envelope 包络线 width
• Identify missing orders and state the limits of far-field and small-angle formulas

For a uniformly illuminated slit of width a, far-field contributions across its opening arrive with a phase gradient k sinθ. Add their complex amplitudes before squaring: the normalised integral over x from −a/2 to a/2 is sinβ/β, where β=πa sinθ/λ. The intensity ratio is (sinβ/β)². At θ=0 take the limit sinβ/β→1, rather than calling the centre undefined or dark. Zeros occur at a sinθ=mλ with nonzero integer m. The central peak lies between the first zeros and is twice as wide as one adjacent zero-to-zero interval in sinθ. Side-peak maxima are not exactly halfway between their zeros.

At small angles on a distant screen L away, y≈Lθ and sinθ≈θ give first zeros y≈±Lλ/a. Thus the central width is 2Lλ/a. Use metres consistently: a millimetre slit and a nanometre wavelength differ by six powers of ten. For a wider angle, use θ=asin(mλ/a) and y=L tanθ; the small-angle y expression then becomes inaccurate. Far-field conditions need nearly parallel rays from different parts of the aperture, for example L much greater than a²/λ, or the equivalent focal-plane arrangement. Near-field Fresnel patterns cannot be assigned this intensity law blindly.

For two coherent identical uniformly illuminated slits of width a and centre separation d, the normalised pattern is (sinβ/β)² cos²α, with α=πd sinθ/λ and central intensity as the normalisation. The cos² factor produces interference orders d sinθ=nλ; the single-slit factor gives the broader envelope zeros. Small-angle neighbouring interference spacing is λL/d. Increasing d narrows fringe spacing; increasing a narrows the envelope. These are separate changes. The equal-height narrow-slit interference formula alone does not predict the diminishing brightness or missing orders of finite apertures. Incoherent sources do not maintain the same phase-dependent cross term.

A missing order 缺级 occurs when nλ/d=mλ/a simultaneously, giving n=m d/a. If d/a is an integer r, orders ±r, ±2r and so on are cancelled by aperture zeros. Do not count an order at an envelope boundary as a visible bright fringe. In the central envelope, the nominal interference-order centres satisfy |n|<d/a; when r is an integer there are 2r−1 such centres. For finite slit width, exact local maxima are shifted slightly by the changing envelope, so the interference-order locations are an approximation to observed peak centres. Identify what quantity is being requested before treating every cos² maximum as an exact maximum of the product.

For two finite slits, separate interference spacing from the single-slit envelope.

If d = 5a, the first envelope zero $a\sin\theta=\lambda$ coincides with order n = 5. Nominal order centres in the central envelope are n = -4 through +4: nine in total. These are interference centres; the envelope can shift the exact product maxima slightly.

Add field amplitudes before squaring, distinguish a from d, and exclude dark boundary orders. An interference maximum alone does not guarantee a maximum of the full pattern.

diffraction envelope 衍射包络: The aperture-dependent intensity factor that modulates the interference pattern.

missing order: An interference order cancelled because it coincides with an aperture intensity zero.

A negative image distance is a geometric result that locates a virtual image 虚像, not a failed calculation to replace by its absolute value.

Prerequisites: 3.

• Locate paraxial thin-lens and spherical-mirror images with a declared sign convention
• Use signed magnification to classify orientation and real or virtual character
• Track successive image locations as the next element’s object without resetting geometry

Use the real-is-positive convention for this unit: a real object sends diverging incident rays into the element, so s>0; an already converging incident beam can represent a virtual object, s<0. A real image has s′>0, while a virtual image has s′<0. The paraxial equation is 1/f=1/s+1/s′ and transverse magnification 横向放大率 M=−s′/s. A converging lens 会聚透镜 has f>0 and a diverging lens f<0. For left-to-right light and a real object at x<0 relative to a lens at x=0, a real image lies at x=s′>0; a negative s′ puts its virtual image on the input side. State the convention before substitution, as other signed-coordinate conventions give different-looking equations.

For a converging thin lens, a ray parallel to the axis exits through the far focal point, and a ray through the ideal optical centre continues undeviated. Their intersection identifies a real image; backwards extensions can locate a virtual image. The paraxial approximation uses rays close to the axis and neglects thickness and aberrations. With s>f>0, s′ is positive and M is negative: the image is real and inverted. With 0<s<f, s′ is negative and M is positive: the image is virtual, upright and enlarged. At s=f, emerging rays are parallel and no finite image plane exists. A diverging lens with a real object produces an upright reduced virtual image.

For a spherical mirror in the same real-is-positive convention, concave f>0 and convex f<0, with f=R/2 in the paraxial limit. A real reflected image is in front of the mirror on the incoming-light side; a virtual image is behind it. Thus a positive image distance has a different physical side for a mirror than for a transmitting lens. A parallel ray reflects through the concave focus; a ray aimed through the centre of curvature retraces its path. Convex reflected rays diverge as if from the focus behind the mirror. Use the same equation and M=−s′/s with signed values, rather than silently combining mirror geometry with a lens coordinate diagram.

For a sequence of separated lenses, first calculate the actual image coordinate from the first lens. Relative to the next lens, decide whether the incoming rays diverge from a point before it or are still converging toward a point beyond it; these are real and virtual objects respectively. Only then assign its signed object distance and solve again. Total transverse magnification is the product of the individual signed magnifications for aligned paraxial elements. Element separation is not automatically the second object distance. Geometric real/virtual character depends on convergence, not on whether the final image is magnified. These ideal results do not model wave-optical resolution or spherical/chromatic aberration.

Use real-is-positive distances and positive focal length for a converging lens. With f = 12 cm and real object distance s = 8 cm,

Thus s' = -24 cm and $M=-s'/s=+3$. The virtual image is upright, on the object's side. Signed distances identify the physical side; a negative distance is not an arithmetic failure.

Keep signs until the geometry is interpreted; a positive mirror image lies on the incident side, while a positive transmitting-lens image lies on the outgoing side.

virtual image: An apparent image located by backwards ray extensions rather than actual outgoing-ray convergence.

transverse magnification: Signed image-height to object-height ratio, −s′/s in the declared convention.

Two wall layers in series carry the same steady heat rate 热流率, but their temperature drops need not be equal.

Prerequisites: 4.

• Combine conductive thermal resistances and distinguish heat rate from heat flux
• Balance sensible and latent heat 潜热 with stated isolation and heat-capacity conditions
• Calculate free thermal expansion and constrained thermal stress with their limits

For one-dimensional steady conduction through a uniform slab, Fourier’s law gives heat flux q_x=−κ dT/dx. With constant conductivity κ, area A, length L and hot-to-cold temperature difference ΔT, heat rate is Qdot=κAΔT/L. Define thermal resistance 热阻 R_th=L/(κA), measured in K/W; temperature drop is Qdot R_th. Series layers without internal sources carry the same Qdot and their resistances add. Parallel paths at the same endpoint temperatures have heat rates that add, so inverse resistances add. Heat flux is rate per area, W/m², and need not match between layers of different area. Interface contact resistance and heat leakage must be included if specified.

Heat capacity C=dQ/dT depends on the thermodynamic path and is not the same as specific heat c per mass. For a material interval without a phase transition, Q=∫mc(T)dT, or mcΔT when c is constant. In an isolated calorimeter, sum the energy changes of all objects, including the container when relevant, and set the sum to zero. At a phase transition at its equilibrium temperature, added energy can change phase fraction rather than temperature: Q=mℓ uses latent heat ℓ in J/kg. First supply the sensible heat to reach the transition, then budget latent heat. Do not let a simple weighted-temperature average predict an impossible temperature when melting or freezing is part of the process.

For a freely expanding rod and small temperature change, ΔL≈αL₀ΔT with linear expansion coefficient α. For an isotropic solid with small strain, each dimension acquires factor 1+αΔT, so ΔA/A≈2αΔT and ΔV/V≈3αΔT. A hole expands with the surrounding material as if its missing region had expanded too. These relations assume a nearly constant coefficient and no mechanical constraint; anisotropic crystals need directional coefficients. If an elastic rod is prevented from changing length, its mechanical strain cancels thermal strain. With tensile stress positive, σ≈−YαΔT during heating, where Y is Young’s modulus. This small-strain estimate requires elastic response without yielding or buckling.

Conduction transfers energy through a temperature gradient, convection transports it with moving matter, and thermal radiation can cross a vacuum. For a surface at T facing large surroundings at T_env, a simple grey-body model gives net radiative rate εσ_SB A(T⁴−T_env⁴). Use absolute kelvin in these fourth powers, rather than Celsius values. A lumped body whose internal temperature remains nearly uniform can obey C dT/dt=−hA(T−T_env) under Newton cooling with constant h. Then the temperature excess decays with τ=C/(hA), rather than the entire Celsius or kelvin temperature decaying toward zero. This approximation requires sufficiently small internal gradients; a conduction-limited body needs a spatial temperature model.

Two slabs in series carry the same steady heat rate. Let resistances be 0.08 and 0.24 K/W. Boundary temperatures are 60 and 20 degrees Celsius.

The interface is 50 degrees Celsius when slab 1 touches the hot side. Heat rate has watt units; flux divides it by area.

Keep W separate from W/m², include the calorimeter or latent energy when needed, and do not use free-expansion length together with constrained-stress assumptions.

thermal resistance: Temperature difference per steady heat-transfer rate, measured in K/W.

latent heat: Energy transferred during a phase change at its transition temperature; specific latent heat is per mass.

A thermal energy gap can keep heat capacity small at both low and high temperatures, even while the excited-state probability keeps increasing.

Prerequisites: 20.

• Obtain canonical mean energy and free energy from a fixed energy spectrum
• Relate energy variance to constant-volume heat capacity with fixed-spectrum conditions
• Evaluate entropy and low/high-temperature limits for an original finite-level model

For a system exchanging energy with a bath at T while N and V remain fixed, let β=1/(kBT). Sum Z=Σ_i g_i exp(−βE_i) over energy levels with their degeneracies. Level probability is g_i exp(−βE_i)/Z; mean energy U is the probability-weighted energy sum. Differentiating a temperature-independent spectrum gives U=−∂lnZ/∂β. Keep the energy gap and degeneracies fixed during the derivative. Writing Δ=kBT ln3 to describe one evaluation temperature must not be read as making Δ change with T. For N independent distinguishable identical two-level subsystems, Z_total=z^N and U_total=N u. Indistinguishable particles and interactions need their own state counting rather than this product assumption.

The Helmholtz free energy 亥姆霍兹自由能 is F=−kBT lnZ. Canonical entropy follows from S=kB(lnZ+βU), equivalently −kBΣ p_j ln p_j over individual microstates. Constant-volume heat capacity is C_V=(∂U/∂T)_V,N. These quantities carry different units and describe different derivatives. Adding a constant energy offset ε to every state multiplies Z by exp(−βε), increases U and F by ε, and leaves probabilities, entropy and heat capacity unchanged when ε is independent of T. A negative chosen mean energy is therefore not evidence of a negative heat capacity. Use the same energy reference in the probabilities and thermodynamic expressions.

The second β derivative of lnZ gives variance Var(E)=⟨E²⟩−U². For the same fixed-spectrum canonical model, C_V=Var(E)/(kBT²), so C_V/kB=β²Var(E). Nonnegative variance implies nonnegative C_V within these conditions. The denominator includes kB, not kB², when heat capacity retains its ordinary J/K units. This fluctuation formula concerns the canonical energy distribution; it does not say each particle has exactly the mean energy. For independent subsystems variances add, while means add too. Relative energy fluctuations typically shrink like 1/√N when the mean and per-subsystem variance remain finite and nonzero.

For one ground state at E=0 and one excited state at fixed E=Δ>0, put x=Δ/(kBT). Then z=1+e^(−x), p_exc=1/(1+e^x), u=Δp_exc and C/kB=x²e^x/(1+e^x)². At low T, excitation and heat capacity vanish exponentially. At high T, p_exc tends to one half and energy saturates, so heat capacity tends to zero again. Entropy rises from zero for the unique ground state toward kB ln2 as the two states become equiprobable. The resulting finite-temperature heat-capacity peak is specific to the finite-level model; it is not the constant classical oscillator value. Ground-state degeneracy or additional levels would change the limiting entropy and temperature response.

Hold the two energy levels 0 and Delta fixed when differentiating the partition function 配分函数.

At $\beta\Delta=\ln3$, excited probability is 1/4, mean energy Delta/4, variance $3\Delta^2/16$ and $C_V/k_B=3(\ln3)^2/16=0.2263$. Degeneracy, if present, belongs in Z before differentiation.

Hold Δ fixed when differentiating, include degeneracies in Z, and use energy variance rather than the square of mean energy in the heat-capacity formula.

energy fluctuation 能量涨落: Canonical spread of energy about its ensemble mean, quantified by the energy variance.

Helmholtz free energy: Thermodynamic potential F=U−TS, equal to −kBT lnZ for the canonical ensemble.

ระดับพลังงานเฟอร์มิออนสามารถมีหลายอนุภาคได้เมื่อมีหลายสถานะที่แตกต่าง; กฎการกีดขวางใช้ต่อสถานะสมบูรณ์

ความรู้พื้นฐาน: 20, 35, 38.

• คำนวณการครอบครองเฉลี่ยต่อสถานะควอนตัมสมบูรณ์สำหรับเฟอร์มิออนและโบซอน
• นับการครอบครองอนุภาคเหมือนกันที่ยอมรับได้และระบุขีดจำกัดเจือจางแบบคลาสสิก
• เปรียบเทียบความจุความร้อนแบบควอดราติกคลาสสิกกับการตอบสนองของออสซิลเลเตอร์ควอนตัม

สำหรับอนุภาคที่ไม่มีอันตรกิริยาในสภาวะสมดุลของการแลกเปลี่ยนพลังงานและอนุภาค ให้ใช้ศักย์เคมี μ และ x=(ε−μ)/(kBT) การครอบครองเฉลี่ยของสถานะที่สมบูรณ์หนึ่งสถานะคือ n_F=1/(e^x+1) สำหรับเฟมิออน และ n_B=1/(e^x−1) สำหรับโบซอน การครอบครองสถานะของเฟมิออนจะมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่งเท่านั้น ค่าเฉลี่ยจะอยู่ระหว่างสองค่านั้น การครอบครองของโบซอนสามารถเกินหนึ่งได้ ระดับที่มีภาวะเบี่ยงเบน g จะมีค่าเฉลี่ยรวมเท่ากับ g เท่าของการครอบครองสถานะเดียวเมื่อสถานะเหล่านั้นมีพลังงานเดียวกัน นับสปินเป็นส่วนหนึ่งของสถานะที่สมบูรณ์ ตัวส่วนของโบซอนต้องการ ε>μ สำหรับ-expression ที่จำกัดทั่วไป โดยพิจารณาขอบเขตสถานะพื้นฐานแยกต่างหาก สำหรับโฟตอนในสภาวะสมดุล μ=0 เนื่องจากจำนวนโฟตอนไม่ถูกคงที่; อย่าตั้ง μ=0 สำหรับแก๊สอนุภาคทุกชนิด

นับรูปแบบการครอบครองแทนการติดป้ายชื่ออนุภาคที่เหมือนกัน สี่สถานะที่สมบูรณ์ที่แตกต่างกันสองสถานะสำหรับเฟมิออนที่เหมือนกันมี choose(4,2)=6 รูปแบบที่เป็นไปได้ สองสถานะสำหรับโบซอนที่เหมือนกันในสถานะเหล่านี้มี choose(4+2−1,2)=10 รูปแบบเพราะทั้งสองอาจอยู่ในสถานะเดียวกัน อนุภาคสองตัวที่ติดป้ายชื่อและจำแนกได้จะมี 4²=16 การจัดวาง ซึ่งเป็นโมเดลการนับที่ต่างกัน ไม่ใช่คำตอบที่เปลี่ยนแทนกันได้สามข้อสำหรับข้อกำหนดเดียวกัน หากโจทย์กำหนดภาวะเบี่ยงเบนของสปิน ก่อนอื่นต้องตัดสินใจว่าตัวเลขที่กำหนดนับสถานะที่สมบูรณ์หรือเพียงระดับออร์บิทัล ข้อห้ามของPauli ต่อสองสถานะที่สมบูรณ์ที่เหมือนกัน ไม่ห้ามเฟมิออนสปินตรงข้ามในออร์บิทัลเชิงพื้นที่เดียวกัน

เมื่อ x มีค่าบวกมาก การครอบครองจะมีค่าน้อยและตัวส่วนทั้งสองจะถูกควบคุมโดย e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), ขอบเขตความหนาแน่นต่ำของMaxwell–Boltzmann ที่ x=ln4 ค่าเฉลี่ยจะเป็น 1/5 สำหรับเฟมิออน, 1/3 สำหรับโบซอน และ 1/4 ในการประมาณแบบคลาสสิก ความแตกต่างยังคงมีนัยสำคัญ จำนวนอนุภาครวมที่ใหญ่เพียงอย่างเดียวไม่สนับสนุนสถิติแบบคลาสสิก: ความหนาแน่น อุณหภูมิ และสถานะที่เข้าถึงได้ควบคุมการครอบครอง สำหรับเฟมิออนที่อุณหภูมิต่ำ สถานะต่ำกว่า μ จะถูกครอบครองเกือบเต็ม而那些สถานะสูงกว่าจะว่างเปล่าเกือบสนิท ที่ ε=μ สถานะของเฟมิออนจะมีค่าเฉลี่ยครึ่งหนึ่ง การแทนค่านี้ลงในสูตรโบซอนทั่วไปจะทำให้เกิดตัวส่วนที่ลู่เข้าหาอนันต์และต้องใช้处理方式ขอบเขตที่แตกต่าง

กฎการแบ่งเท่ากันแบบคลาสสิกกำหนด kBT/2 ของพลังงานเฉลี่ยต่อพจน์ควอดราติกอิสระหนึ่งในฮามิลโทเนียนที่สมดุล แก๊สอุดมคติอะตอมเดี่ยวมีสามพจน์การเคลื่อนที่ ทำให้ U=3NkBT/2 และ C_V=3NkB/2 ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบคลาสสิกหนึ่งมิติมีพจน์จลน์และศักย์ ทำให้มีค่าเฉลี่ย kBT และ C=kB สำหรับออสซิลเลเตอร์ควอนตัมที่มีช่องว่างพลังงานคงที่ ε=$\hbar$ω พลังงานความร้อนเหนือจุดศูนย์ที่ขึ้นกับอุณหภูมิคือ ε/(e^x−1), ปัจจุบัน x=ε/(kBT), และ C/kB=x²e^x/(e^x−1)². ที่อุณหภูมิสูงจะเข้าใกล้ค่าคลาสสิก ที่อุณหภูมิต่ำการกระตุ้นจะหยุดนิ่งลงและ C→0. พลังงานจุดศูนย์ ε/2 ย้ายค่า U แต่ไม่ย้ายค่า C การมีส่วนร่วมจากการหมุน/สั่นสะเทือนของโมเลกุลก็ต้องการตรวจสอบมาตราส่วนพลังงานก่อนกำหนดพจน์ควอดราติกแบบคลาสสิก

เลขการครอบครองหมายถึงสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์หนึ่งสถานะ สำหรับ $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

การประมาณความหนาแน่นต่ำแบบคลาสสิกให้ $e^{-x}=1/4$; มันไม่ใช่ค่าที่แน่นอนในที่นี้ ระดับ g-เท่ามีค่าเฉลี่ยการครอบครองรวม $g\bar n$, ดังนั้นระดับของเฟมิออนจึงสามารถมีมากกว่า หนึ่งอนุภาคได้ในขณะที่แต่ละสถานะที่สมบูรณ์ยังปฏิบัติตามหลักการกีดขวาง

ตัดเฟร์มิออนสองตัวออกจากสถานะสมบูรณ์หนึ่ง ไม่ใช่จากระดับพลังงานที่เบี่ยงเบนทั้งระดับ. ระบุ x ที่ใช้; การครอบครองของagementทางเคมีและสูตรการกระตุ้นออสซิลเลเตอร์คงที่เป็นโมเดลที่แตกต่างกัน.

mean occupation: ค่าเฉลี่ย_indexes ของจำนวนอนุภาคในสถานะควอนตัมที่สมบูรณ์หนึ่งสถานะหรือกลุ่มสถานะที่กำหนด

equipartition: กฎสมดุลแบบคลาสสิกที่กำหนด kBT/2 ต่อพจน์ฮามิลโทเนียนควอดราติกอิสระ

A zero first-order energy shift 一阶能量修正 can coexist with a changed state and a nonzero higher-order shift.

Prerequisites: 5, 24.

• Calculate nondegenerate first-order energy shifts as normalised expectation values
• Use symmetry and matrix elements to assess weak-coupling limits
• Diagonalise the perturbation within an exactly degenerate subspace 简并子空间

Let H=H₀+λW, where λ is a small dimensionless parameter and the eigenstates of H₀ are known and normalised. For a nondegenerate level n, the first-order energy correction is λ⟨n|W|n⟩. In position space this is λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx for a multiplicative potential, with integration over the allowed domain. A potential value at one point is not an expectation value; the state’s probability density weights the whole domain. For an infinite well 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Reflection about its centre makes ⟨x⟩=L/2, so a weak added potential γx has shift γL/2 for every nondegenerate well level at first order. γ has units of energy per length.

For a perturbation odd about the centre, such as γ(x−L/2), the probability density of an unperturbed well eigenstate is even, so its diagonal expectation vanishes. A centred quadratic perturbation η(x−L/2)² instead gives shift ηL²[1/12−1/(2π²n²)], which is positive for η>0 and depends on n. Parity makes the first-order integral zero only for the specified state and operator symmetry. Off-diagonal matrix elements can still change the wavefunction. Do not turn a symmetry cancellation into a claim that every energy correction vanishes or that the original state remains exact.

For a nondegenerate state, the leading admixture of another unperturbed state m is proportional to λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). The useful smallness condition therefore compares coupling matrix elements with the relevant level separations, not just with an arbitrary absolute energy zero. To second order, the energy correction contains Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). For the lowest nondegenerate state, all these denominators are negative, so the second-order correction is nonpositive in this model. Near a degeneracy, a small denominator defeats the nondegenerate expansion; use a coupled subspace instead of dividing by zero.

If a level of H₀ is exactly degenerate, choose an orthonormal basis within that subspace and form the Hermitian matrix of the perturbation there. Its eigenvalues are the first-order energy shifts, and its eigenvectors specify the combinations that diagonalise the leading splitting. For a two-state subspace with perturbation ε[[2,1],[1,2]], the normalised symmetric and antisymmetric combinations have shifts 3ε and ε. Reading only the two diagonal entries would incorrectly predict two shifts of 2ε. A common scalar multiple of the identity shifts both states equally and does not split their degeneracy; off-subspace couplings can matter at higher order.

A degenerate subspace requires matrix diagonalisation before first-order shifts. Suppose the perturbation restricted to two states is $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Shifts are epsilon and 3 epsilon. Normalised states are $(1,-1)/\sqrt2$ and $(1,1)/\sqrt2$. Reading only the diagonal entries would miss the splitting. Couplings to other levels must remain weak relative to their energy gaps.

Use normalised state weights, keep perturbation units, and diagonalise a degenerate block. First-order cancellation and exact invariance are different claims.

first-order energy shift: Leading weak-perturbation correction given by the unperturbed state’s expectation value.

degenerate perturbation theory 简并微扰理论: Method that first diagonalises the perturbation within an unperturbed degenerate subspace.

อิเล็กตรอนสองตัวสามารถอยู่ในออร์บิทัลเชิงพื้นที่เดียวกันได้ หากสถานะรวมเชิงพื้นที่และสปินมีคุณสมบัติเป็นอสมมาตรตามที่ต้องการ

ความรู้พื้นฐาน: 5, 36.

• สร้างสถานะเชิงพื้นที่สองออร์บิทัลที่เป็นสมมาตรและไม่สมมาตรตามปกติ
• รวมสมมาตรเชิงพื้นที่และสปินเพื่อสร้างสถานะอิเล็กตรอนสองตัวที่ยอมรับได้
• นับจำนวนการเติมเต็มสถานะรวมและตีความความสัมพันธ์ที่เกิดจากการแลกเปลี่ยน

สำหรับอนุภาคชนิดเดียวกัน การสลับทุกพิกัดและฉลากสปินจะเปลี่ยนฟังก์ชันคลื่นรวมของเฟอร์มิออนด้วยเครื่องหมายลบ แต่ไม่เปลี่ยนแปลงโบซอน ช่องทางทางคณิตศาสตร์ 1 และ 2 ใช้ระบุอาร์กิวเมนต์ ไม่ใช่ระบุอนุภาคที่แยกแยะกันได้ถาวร สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่ตั้งฉากกันสองตัว a และ b รูปแบบเชิงพื้นที่คือ Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2 ความตั้งฉากทำให้รูปแบบเหล่านี้เป็นปกติและให้ค่า Eigen ของการแลกเปลี่ยนเป็น ±1 หากออร์บิทัลทั้งสองเหมือนกัน รูปแบบที่ไม่สมมาตรจะเป็นศูนย์เสมอ และสูตรสมมาตรที่แสดงไว้ไม่ได้เป็นปกติอย่างถูกต้อง; สถานะเชิงพื้นที่ที่มีการเติมเต็มคู่คือ a(1)a(2) ตรวจสอบความเป็นปกติอีกครั้งเมื่อออร์บิทัลหรือการซ้อนทับของพวกมันเปลี่ยนแปลงไป

อนุภาคสปิน-1/2 สองตัวมีสภาวะซิงเล็ตหนึ่งแบบ (↑↓−↓↑)/√2 ที่มีโมเมนตัมมุมรวม S=0; เป็นอสมมาตรภายใต้การแลกเปลี่ยน สามสภาวะไตรเพลต ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 และ ↓↓ มี S=1 และเป็นสมมาตร อิเล็กตรอนต้องการสถานะรวมที่เป็นอสมมาตร ดังนั้นสถานะเชิงพื้นที่สมมาตรจึงจับคู่กับซิงเล็ต ในขณะที่สถานะเชิงพื้นที่อสมมาตรจับคู่กับไตรเพลต อิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัลเชิงพื้นที่เดียวกันสามารถสร้างสภาวะซิงเล็ตได้ แต่ไม่สามารถสร้างสภาวะไตรเพลตได้ในออร์บิทัลนั้นในสถานะอิเล็กตรอนสองตัวแบบง่ายนี้ ข้อยกเว้นของปอลีป้องกันการเติมเต็มสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์เดียวกัน รวมถึงสปิน อิเล็กตรอนที่สลับสับเปลี่ยนกันในออร์บิทัลเดียวเป็นสถานะที่สมบูรณ์ต่างกันสองแบบ การอธิบายข้อยกเว้นว่า "อิเล็กตรอนหนึ่งต่อออร์บิทัล" จึงละเลยความแตกต่างนี้

สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่ a,b และสภาวะสปินสองอย่าง จะมีสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์สี่ trạngการณ์ อิเล็กตรอนสองตัวที่เหมือนกันมีรูปแบบการเติมเต็ม choose(4,2)=6: ซิงเล็ตแบบเติมเต็มคู่สองแบบ, ซิงเล็ตต่างออร์บิทัลหนึ่งแบบ, และไตรเพลตต่างออร์บิทัลสามแบบ สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่สามตัว จะมีหกสถานะที่สมบูรณ์ และ choose(6,2)=15 รูปแบบ การนับการจัดเรียงที่มีลำดับจะนับซ้ำอนุภาคที่เหมือนกัน โบซอนไร้สปินในออร์บิทัลสองตัวจะมีสามการเติมเต็ม: ทั้งคู่ใน a, อย่างละหนึ่งในทั้งสอง, ทั้งคู่ใน b การนับเหล่านี้ไม่พิจารณาข้อจำกัดพลังงานเพิ่มเติมและสถานะอนุภาคเดี่ยวที่เข้าถึงได้ตามที่ระบุไว้ การจำกัดพลังงานรวมหรือโปรเจกชันโมเมนตัมมุมจะเปลี่ยนชุดที่ยอมรับได้

สถานะเชิงพื้นที่อสมมาตรเป็นจริงที่ Ψ_−(x,x)=0 ดังนั้นความหนาแน่นตำแหน่งร่วมจึงเป็นศูนย์บนเส้นตรงที่จุด coincide สถานะเชิงพื้นที่สมมาตรอาจไม่เป็นศูนย์ที่นั่น ความแตกต่างนี้เกิดจากแรงแทรกสอดระหว่างแอมพลิจูดที่ถูกแลกเปลี่ยน แม้สำหรับอนุภาคที่ไม่มีการกระทำต่อกัน ก็ไม่ใช่แรงผลักแบบคลาสสิกที่ถูกกำหนดขึ้นเพิ่มเติม สำหรับบ่อขนาด L เลือก a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L) ที่ x₁=L/4 และ x₂=3L/4, แอมพลิจูดเชิงพื้นที่อสมมาตรคือ −2/L และความหนาแน่นของมันคือ 4/L²; แอมพลิจูดเชิงพื้นที่สมมาตรเป็นศูนย์ สิ่งเหล่านี้เป็นความน่าจะเป็นร่วมต่อหน่วยความยาวสอง ไม่ใช่ความน่าจะเป็นที่ไม่มีมิติที่จุดที่แน่นอน ความเข้ากันได้ทางฟิสิกส์ของสillenยังคงตัดสินใจว่าสถานะอิเล็กทรอนิกส์รวมใดจะใช้รูปแบบเชิงพื้นที่ใด

สำหรับออร์บิทัล a และ b ที่แตกต่างกันและตั้งฉากกัน สถานะเชิงพื้นที่สมมาตรและไม่สมมาตรคือ

สถานะรวมของอิเล็กตรอนสองตัวต้องเป็นอสมมาตรภายใต้การสลับตำแหน่งและสปินพร้อมกัน ดังนั้น พื้นที่สมมาตรจึงจับคู่กับซิงเล็ตสิลเลน; พื้นที่อสมมาตรจับคู่กับสิลเลนไตรเพลต หากอิเล็กตรอนทั้งสองอยู่ใน a สถานะผลคูณเชิงพื้นที่จะเป็นสมมาตรและอนุญาตให้ใช้สิลเลนซิงเล็ตเท่านั้น สูตรการทำให้เป็นปกติของออร์บิทัลที่แตกต่างกันไม่สามารถนำไปใช้โดยตรงสำหรับ a = b ได้

แลกเปลี่ยนพารามิเตอร์เชิงพื้นที่และสPIN ทั้งหมด อย่าสับสนระหว่างพื้นที่ที่มีสมมาตรผกผันกับสถานะรวมที่มีสมมาตรผกผัน หรือการใช้ตัวคูณ √2 ของออร์บิทัลที่แตกต่างกันสำหรับการใช้ ออร์บิทัลเดียวกันสองตัว

สเปกตรัมสปินคู่ (spin singlet): สถานะสองสปินที่ 1/2 ที่มีความไม่สมมาตร (antisymmetric) โดยมีการรวมสปินทั้งหมด S=0

ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์: การสร้างฟังก์ชันคลื่นสำหรับเฟอร์มิออนที่มีความไม่สมมาตรจากสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์; หากมีสถานะซ้ำกันดีเทอร์มิแนนต์จะหายไป

A bound wavefunction can extend outside a finite well 有限深势阱 even though the particle’s energy is below the external potential.

Prerequisites: 5, 24, 37.

• Match decaying finite-well states and derive parity-dependent quantisation conditions
• Interpret dimensionless bound-state roots and distinguish confinement from scattering
• Use hydrogenic quantum numbers, angular momentum and radial probability measures

Declare a symmetric well V=−V₀ for |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 and the same mass throughout. A bound energy lies between −V₀ and zero. Inside, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ gives oscillatory solutions; outside, κ=√(−2mE)/$\hbar$ gives decaying tails. Reject growing exponentials to obtain a normalisable state. Reflection symmetry permits even interior cos(kx) or odd sin(kx) states. At finite boundaries without delta interactions, both ψ and ψ′ are continuous. Even matching gives k tan(ka)=κ; odd matching gives −k cot(ka)=κ. A finite well does not require ψ to vanish at its edges as an infinite wall does.

Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.

For an even bound state 束缚态 write ψ=A cos(kx) inside and ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] outside. Continuity sets the relative tail amplitude; integrate |ψ|² over both the interior and tails to determine A. Probability outside the well is nonzero and depends on its depth, width and the selected state. Bound states have discrete energies and normalisable decaying asymptotes. A scattering state with E>0 has propagating external waves and is normalised or interpreted using a continuum/flux convention. A decaying tail is not evidence that the state violates energy conservation, and raw tail amplitude is not the outside probability until it has been integrated and normalised.

For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)$\hbar$² and L_z=m_l$\hbar$; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.

A finite well has V = -V0 for $|x|<a$ and zero outside. A bound energy lies strictly between -V0 and zero. Define

Even parity gives an interior cosine and decaying tails. Matching value and derivative at a gives Odd parity instead gives $-k\cot(ka)=\kappa$. Solve only within valid parity intervals; a root at a tangent pole is not a bound state.

Use the declared potential zero, match ψ′ as well as ψ, and include the radial shell measure. A bound tail and a continuum travelling wave have different energy regimes.

bound state: Normalisable stationary state with confined probability and discrete energy in the specified model.

radial probability density 径向概率密度: Probability per radial distance, including the spherical-shell measure after angular integration.

The same magnetic field needs different quantum labels when its energy scale crosses the spin-orbit splitting.

Prerequisites: 7, 37.

• Calculate orbital and spin magnetic shifts in the appropriate coupling regime
• Find photon-energy shifts from allowed upper-minus-lower level changes
• Contrast parity cancellation with degenerate electric-field splitting

An electron has a negative magnetic moment: μ_L=−μ_B L/$\hbar$ and μ_S≈−2μ_B S/$\hbar$. With B along positive z, the interaction −μ·B therefore gives H_Z=μ_B B(L_z+2S_z)/$\hbar$. μ_B≈5.788×10⁻⁵ eV/T. In an uncoupled basis with orbital projection m_l and spin projection m_s=±1/2, the shift is μ_B B(m_l+2m_s). Use this uncoupled rule when the magnetic interaction is large relative to the relevant spin-orbit splitting but still small relative to orbital energy gaps, so quadratic diamagnetic and orbital restructuring effects can be neglected. Large and small are comparisons of energies, not universal Tesla thresholds. In the opposite weak-field regime, m_l and m_s are not independently conserved labels for an LS-coupled eigenstate.

When LS coupling dominates a weak magnetic perturbation, J=L+S and m_J label the multiplet. The first-order shift is μ_B B g_J m_J, with g_J=1+[J(J+1)+S(S+1)−L(L+1)]/[2J(J+1)] in the approximation g_s=2. L,S,J here are dimensionless quantum numbers. For L=1,S=1/2, J=3/2 gives g_J=4/3 and shifts −2,−2/3,+2/3,+2 times μ_B B. J=1/2 gives g_J=2/3 and shifts ±μ_B B/3. Do not substitute J=0 into the singular formula; a J=0 state has no first-order vector projection shift. Intermediate fields require a coupled Hamiltonian rather than mixing weak-field and uncoupled formulas.

A photon’s energy is the upper atomic energy minus the lower energy. Its field-induced change is therefore ΔE_γ=ΔE_upper−ΔE_lower. Count allowed transitions using the stated selection rules as well as the two level patterns. Several transitions can share one frequency; the number of split states is not automatically the number of spectral lines. In a spin-neglected orbital model, an upper L=1 triplet has shifts m_l μ_B B with m_l=−1,0,+1, and a lower L=0 state has zero shift. Electric-dipole Δm_l=0,±1 permits three photon shifts −μ_B B,0,+μ_B B. This normal-triplet model does not describe every real atom or fine-structure multiplet. Polarisation and observation direction can change which components are detected.

In a uniform electric field F along z, an electron’s perturbation is +eFz for the stated electrostatic potential convention. A nondegenerate parity eigenstate has ⟨z⟩=0, so its first-order diagonal Stark shift vanishes, although a quadratic shift can remain. Exactly degenerate opposite-parity states instead allow an off-diagonal dipole matrix element. In an original two-state model, suppose the dipole matrix is [[0,d],[d,0]], with real d in charge×length units. The perturbation F times this matrix has eigenvalues ±dF and opposite superpositions of the two states. Changing a basis phase changes the off-diagonal sign but not the splitting 2|dF|. Actual near-degenerate atoms require comparison with fine structure and other small splittings before an exactly degenerate approximation is adopted; this supplied matrix is not a universal hydrogen coefficient.

In weak LS-coupled magnetic fields, the Zeeman effect 塞曼效应 uses J, not uncoupled ml and ms.

For L = 1, S = 1/2 and J = 3/2, $g_J=4/3$. Select the field regime before inserting quantum numbers. Photon shifts subtract the lower-level shift.

Declare the coupling regime, keep the negative electron moment sign, and subtract lower-level shifts. Zero diagonal dipole expectation does not exclude degenerate mixing or quadratic shifts.

Landé factor 朗德因子: Projection factor relating a weak-field LS-coupled magnetic shift to g_J m_J.

Stark splitting 斯塔克分裂: Electric-field-induced separation of atomic energy levels, with symmetry and degeneracy controlling leading order.

A spectral peak, a total radiation flux and an atomic transition energy are three different observables.

Prerequisites: 7, 9, 34.

• Distinguish wavelength spectral peak, integrated radiation and photon energy
• Derive Bohr radius and energy scaling under one-electron assumptions
• Calculate Coulomb-ion transitions, series limits and ionisation thresholds

For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance 光谱辐亮度 is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=n$\hbar$ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]$\hbar$ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr n$\hbar$ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.

For an emission ni→nf with ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. Convert this positive difference to λ≈1240/E_γ nm. Ionisation from n requires energy 13.6Z²/n² eV to reach the continuum zero. Absorption reverses the level ordering and needs the corresponding positive incoming photon energy. For a series ending at fixed nf, the largest bound-bound photon energy occurs as ni→∞, giving E_limit=13.6Z²/nf² and the shortest series wavelength. For one-electron helium Z=2, n=3→2 gives 7.5556 eV and λ≈164.12 nm. Its Bohr n=3 radius is 4.5a₀; this radius describes the historical orbit, not a universal radial mode for every l at n=3.

Wien's law 维恩定律 refers to the wavelength-density peak of a blackbody spectrum.

A photon at that wavelength has energy The source emits a distribution of photon energies. Its integrated surface flux is $\sigma T^4$, and the frequency-density peak is not obtained by simply using c divided by this peak wavelength.

Declare a wavelength or frequency density, use Kelvin for fourth powers, and distinguish transitions from ionisation. A Bohr circular radius and angular momentum are not every wave orbital’s radius and L.

spectral radiance: Radiation intensity per projected area, solid angle and stated spectral interval.

series limit 谱线系限: Limiting bound-bound photon energy or wavelength as the initial level approaches the continuum for a fixed final level.

Two observers can disagree about which of two events happened first, and both can be right.

Prerequisites: 22.

• Transform event separations and identify proper length 固有长度 versus simultaneous endpoint readings
• Apply relativistic velocity addition and check a four-vector invariant
• Classify the interval sign to order events and rule out causal contact

Use the Lorentz transformation with declared frame motion: if frame S′ moves at +v along x relative to S, then x′=γ(x−vt) and t′=γ(t−vx/c²) with γ=1/sqrt(1−v²/c²). Apply it to event separations Δx and Δt, not only to single coordinates. Two events simultaneous in S (Δt=0) at different places have Δt′=−γvΔx/c²: the event further in the +x direction happens earlier in S′. Simultaneity is frame-dependent, not a bookkeeping error.

A moving rod length must be read from endpoint positions at the same lab time (Δt=0). Then Δx′=γΔx gives L=L0/γ with L0 the rest-frame (proper) length. Reading the endpoints simultaneously in the rod frame instead does not produce the lab length; the two reading conditions answer different questions. State the frame and the reading condition before quoting any length.

The interval s²=c²Δt²−Δx² (mostly-minus convention, declared once) is invariant. s²>0 is timelike: a frame exists with the events co-located, and Δτ=s/c is the proper time between them. s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

Collinear velocities add as u=(u′+v)/(1+u′v/c²); the denominator keeps u<c for any u′,v<c, and u′=c gives u=c exactly. Energy and momentum form a four-vector with invariant E²−p²c²=m²c⁴: compute it in any convenient frame. Check each result in the nonrelativistic limit, where the addition rule reduces to u=u′+v and the invariant reduces to the rest energy.

Two lab events have Delta x = 900 m and Delta t = 2 microseconds. Their spacetime interval 时空间隔 is spacelike because c Delta t = 600 m is less than Delta x. A frame making them simultaneous satisfies

Their separation in that frame is $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ m. No frame can put these spacelike events at the same position.

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

spacetime interval: The invariant combination c²Δt²−Δx² under the declared sign convention, whose sign classifies an event separation.

proper length: The endpoint separation measured in the object's rest frame; any other frame must read both endpoints simultaneously in its own time.

A voltmeter 电压表 changes the circuit it measures; the reading is a divider output, not the open-circuit voltage.

Prerequisites: 14, 21, 30.

• Calculate measurement loading from finite meter and source impedances
• Determine simple amplifier gain and first-order filter response
• Interpret detector efficiency, resolution, dead time 死时间 and calibration bias

Model the measured circuit as a Thevenin source V_th with resistance R_th and the instrument as input resistance R_m. The reading is V_th·R_m/(R_m+R_th), with the same sign as V_th and magnitude no greater than |V_th| for positive resistances. A 10 V source with R_th=100 kΩ read by a 1 MΩ meter gives 10×(1/1.1)=9.09 V, a 9% low bias. A 10× oscilloscope probe raises the effective input resistance and divides the signal by ten; quote both effects.

An ideal non-inverting op-amp stage has gain 1+R2/R1; the inverting stage has −R2/R1, with the sign carried explicitly. A first-order RC low-pass has cutoff f_c=1/(2πRC); its amplitude ratio is 1/sqrt(1+(f/f_c)²) and its phase is −arctan(f/f_c). At f=f_c the amplitude is $1/\sqrt{2}$ (the −3 dB point), not one half. For R=1 kΩ and C=100 nF, f_c≈1.59 kHz.

Detector efficiency ε is detected events divided by incident events; energy resolution is quoted as FWHM/E, such as 13.2 keV on a 662 keV line, about 2%. A non-paralyzable detector with dead time τ records m=n/(1+nτ) from true rate n; inverting gives n=m/(1−mτ), which fails as mτ→1. State which dead-time model you assume; paralyzable behaviour differs.

A linear calibration against known standards can correct offset and scale error; it does not remove noise or guarantee correction of nonlinearity. A calibration curve maps indicated to true values; interpolation between points assumes local smoothness. Report resolution and efficiency separately: sharp peaks with poor efficiency still miss events, and high efficiency with broad resolution still mixes nearby lines.

A voltmeter of finite input resistance forms a divider with the source resistance.

For a nonparalysable detector with observed rate m and dead time tau, Efficiency, dead time and spectral resolution are different corrections; one cannot replace the others.

Treating the $1/\sqrt{2}$ cutoff as one half, ignoring that a finite meter reads low through the divider, or applying the non-paralyzable correction beyond its range.

dead time: The minimum interval after one recorded event during which the detector cannot record another.

input impedance 输入阻抗: The effective load a measuring instrument presents to the circuit under test.

A photon beam has no definite range, yet a heavy charged particle does; shielding calculations fail if the two are swapped.

Prerequisites: 7, 17, 21.

• Distinguish charged-particle stopping and range from exponential photon attenuation
• Compute attenuated intensity and detected counts with stated coefficients
• Explain stimulated emission, population inversion 粒子数反转 and optical cavity resonance conditions

Heavy charged particles lose energy continuously through many small collisions, so they have an approximate range: under a constant-loss model a particle with initial energy E0 and loss rate dE/dx stops after E0/(dE/dx). Electrons straggle more and radiate. Photons instead interact in single events, so a narrow beam attenuates exponentially as I=I0 e^(−μx) with no definite maximum depth; the half-value layer 半值层 is ln2/μ.

Apply the exponential only to the stated narrow-beam geometry: μ=0.2 /cm gives a half-value layer of 3.47 cm and I/I0=e^(−2)≈0.135 after 10 cm. Multiply by detector efficiency for recorded counts: with μx=ln4 and ε=0.25 the recorded fraction is 0.25×1/4=1/16. Build-up from scattered photons makes broad-beam shielding transmit more than the narrow-beam exponential; state the geometry.

Stimulated emission produces a photon matching the stimulating photon in frequency, direction and phase, giving coherent amplification. It competes with absorption; net gain needs population inversion N2/g2>N1/g1 (N2>N1 for equal degeneracies). Positive-temperature equilibrium has N2/g2<N1/g1 by the Boltzmann factor, so a two-level system in equilibrium cannot lase continuously; practical lasers pump a third level or a metastable state.

A linear cavity of length L supports standing modes with L=mλ/2, i.e. frequencies ν_m=mc/(2L) with spacing c/(2L): for L=30 cm the spacing is 500 MHz. Gain must exceed the round-trip losses for oscillation. Interferometers such as Michelson use the same coherence: fringe counts track optical path changes, as in the gas-cell measurement.

A narrow beam has attenuation $I=I_0e^{-\mu x}$ and half-value layer $x_{1/2}=\ln2/\mu$.

Three half-value layers transmit 1/8. This model excludes scattered build-up into the detector. For a linear vacuum laser cavity, adjacent longitudinal modes are separated by $c/(2L)$. Net stimulated gain requires $N_2/g_2>N_1/g_1$; the simpler $N_2>N_1$ assumes equal degeneracies.

Assigning photons a definite range or charged particles a single exponential law, and forgetting that equilibrium two-level populations cannot invert. Check which interaction model the beam species requires.

half-value layer: The material thickness that halves an exponentially attenuated beam, equal to ln2/μ.

population inversion: A non-equilibrium state with more population in the upper laser level than the lower, enabling net stimulated emission.

Rotating a crystal in an X-ray beam maps its atomic planes, because constructive reflection happens only at discrete angles.

Prerequisites: 8, 36.

• Apply the Bragg condition 布拉格条件 to find plane spacings or diffraction angles
• Estimate free-electron Fermi energy 费米能 and Fermi temperature
• Distinguish electronic and lattice heat-capacity contributions

Bragg reflection from parallel planes spaced d interferes constructively when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane surface (the glancing angle), not from the normal. First order n=1 gives the smallest angle. For λ=0.154 nm and a peak at θ=20°, d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. If 2d<λ no order exists; the sine must stay at or below 1.

In a cubic crystal the (hkl) plane spacing is d=a/sqrt(h²+k²+l²) with lattice constant a; the (110) planes give a/√2. A measured Bragg angle therefore measures the lattice constant. Systematic absences from the basis (for example body-centred lattices missing h+k+l odd) carry structure information beyond the spacing formula.

The free-electron model packs N conduction electrons into states up to the Fermi wavevector k_F=(3π²n)^(1/3) for number density n, giving E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). For n=8.5×10²⁸ /m³, k_F≈1.36×10¹⁰ /m, E_F≈7.05 eV and T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. Since T_F far exceeds room temperature, only a fraction of order T/T_F of the electrons are thermally excited.

Metals therefore have two low-temperature heat-capacity terms: an electronic term γT linear in T and a lattice (Debye) term βT³. Plotting C/T against T² gives intercept γ and slope β. At room temperature the lattice part approaches the classical Dulong–Petit value and dominates; the electronic term matters at low T, where the T³ lattice term collapses faster.

Bragg diffraction uses angle theta from the crystal plane, not from its normal.

Low-temperature metal heat capacity has separate electronic and lattice terms: A plot of C/T against T squared has intercept gamma and slope beta. A straight line identifies this model's regime.

Measuring θ from the plane normal instead of the plane, or assigning the whole low-T heat capacity to electrons. The sine condition and the two-term decomposition are where these calculations fail.

Bragg condition: Constructive reflection from lattice planes when 2d sinθ=nλ, with θ measured from the plane.

Fermi energy: The highest occupied electron energy at zero temperature in the free-electron model.

One atomic mass unit is 931.5 MeV, so a reaction energy is a small difference between large masses.

Prerequisites: 8, 25, 21.

• Compute reaction energy from complete atomic or nuclear mass bookkeeping
• Calculate activity from half-life and a simple decay-chain balance
• Compare fission and fusion binding changes with charge and nucleon conservation

The reaction energy is Q=(m_initial−m_final)c²; Q>0 releases kinetic energy. Track every species, and keep the mass convention consistent: tabulated atomic masses include electrons. For β− decay and for α decay with a neutral helium product, atomic electron counts balance directly; β+ or electron capture needs explicit electron-mass terms. Use 1 u=931.5 MeV/c².

Alpha decay of ²³⁸U with atomic masses 238.0508 u → 234.0436 u + 4.0026 u gives Δm=0.0046 u and Q≈4.28 MeV. Fusion D+T with 2.0141+3.0161−4.0026−1.0087=0.0189 u gives Q≈17.6 MeV. A reaction also requires charge and nucleon-number balance: ¹⁴N+α→¹⁷O+p balances 7+2=9 and 14+4=18.

Activity is A=λN with decay constant λ=ln2/T½; one becquerel is one decay per second. For T½=2 h and N=6×10¹², A=6×10¹²×ln2/7200≈5.8×10⁸ Bq. After three half-lives both N and A fall by 1/8. Equal activities do not imply equal atom counts: shorter half-life at fixed N gives larger A.

In a chain A→B→C with a long-lived parent (λ_A≪λ_B), B accumulates until its activity approaches the parent activity (secular equilibrium); write the balance dN_B/dt=λ_A N_A−λ_B N_B. The binding-energy-per-nucleon curve peaks near iron, so heavy fission (about 7.6 to 8.5 MeV per nucleon over roughly 240 nucleons, of order 200 MeV) and light fusion both release energy; compare total binding, not nucleon counts.

Activity is $A=\lambda N$, with $\lambda=\ln2/T_{1/2}$. For N = $6.0\times10^{12}$ and half-life 2 hours, convert time before calculating.

A decay chain requires both production and loss terms: $\dot N_B=\lambda_AN_A-\lambda_BN_B$. Equal activities do not imply equal populations. Atomic-mass beta-plus Q values require subtracting $2m_ec^2$.

Mixing atomic and nuclear masses without tracking electrons, or reporting a positive Q for a reaction that needs energy input. Balance charge and nucleon number first, then check the sign of Q.

Q value Q值: The rest-mass energy converted to kinetic energy in a reaction, (m_initial−m_final)c².

activity: The decay rate λN of a radioactive sample, measured in becquerel.

การเขียนลาปลาเซียนของฟังก์ชันรัศมีในรูป f″ ทำให้สูญเสียเทอมหนึ่ง; ตัวดำเนินการนี้เป็นของระบบพิกัด ไม่ใช่สัญลักษณ์

ความรู้พื้นฐาน: พีชคณิต การหาอนุพันธ์ และองค์ประกอบเวกเตอร์

• ใช้ไดเวอร์เจนซ์และลาปลาเซียนในระบบพิกัดที่กำหนดโดยสมมาตร
• แก้ปัญหาโหมดขอบเขตแบบแยกตัวอย่างง่าย
• ตรวจสอบการลู่เข้า หน่วย และความเสถียรของการอัปเดตเชิงตัวเลขเดิม

เลือกพิกัดตามสมมาตรก่อนเขียนตัวดำเนินการ สำหรับฟังก์ชันรัศมีในพิกัดทรงกลม ∇²f=f″+(2/r)f′, และไดเวอร์เจนซ์ของสนามรัศมี A=A_r r̂ คือ (1/r²)d(r²A_r)/dr. ตรวจสอบ: A=k r̂/r² มีไดเวอร์เจนซ์ (1/r²)dk/dr=0 ห่างจากจุดกำเนิด, และ f=1/r เป็นไปตาม ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 ห่างจากจุดกำเนิด. รูปแบบคาร์ทีเซียนใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันที่มีค่าขึ้นกับพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น

การแยกตัวแปรเปลี่ยนปัญหาขอบเขตให้เป็นโหมดปกติ สำหรับเชือกยึดติดทั้งสองด้าน เขียน u=X(x)T(t); สมการคลื่นให้ X″/X=(1/c²)T″/T=−k², ขอบเขตที่ยึดติดบังคับให้ X=sin(nπx/L), และความถี่ที่เป็นไปได้คือ ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). แต่ละโหมดต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตก่อนทำการรวมผลทุกโหมด

การอัปเดต Euler แบบชัดเจนสำหรับ y′=−λy คือ y_{n+1}=(1−λh)y_n, จะถูกจำกัดเมื่อ |1−λh|≤1, นั่นคือ 0<h≤2/λ for λ>0; การสลายตัวแบบอสมการต้องการ 0<h<2/λ. เมื่อ λ=10 /s, h ต้องไม่เกิน 0.2 s; h=0.25 s จะคูณด้วย −1.5 ในแต่ละขั้นตอนและจะเบี่ยงเบน出去พร้อมสัญญาณสลับ ความเสถียรเป็นคุณสมบัติของความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ ไม่ใช่ของคำตอบที่แท้จริง

ตรวจสอบคำตอบเชิงตัวเลขสามวิธีก่อนเชื่อถือ: หน่วยของแต่ละพจน์ (λh ต้องไม่มีมิติ), การลู่เข้าภายใต้การปรับละเอียด (ลดทอน h ลงครึ่งหนึ่งแล้วเปรียบเทียบ; ข้อผิดพลาดของ Euler แบบชัดเจนมีอันดับหนึ่ง), และกรณีลิมิตที่มีคำตอบที่แน่นอนทราบแล้ว. สำหรับ y′=−4y กับ y0=8 และ h=0.2, ห้าขั้นตอนให้ 8×0.2⁵=0.00256 เทียบกับคำตอบที่แท้จริง 8e^(−4)≈0.1465: เสถียรแต่ไม่แม่นยำ ดังนั้นควรปรับละเอียด

สนามรัศมีทรงกลมจะมีไดเวอร์เจนซ์

สำหรับ $A_r=Cr$, จะได้ 3C, ไม่ใช่ C. ขอบเขตเชือกที่ยึดติดต้องใช้ $X(0)=X(L)=0$, ดังนั้น $X_n=\sin(n\pi x/L)$ พร้อมจำนวนเต็มบวก n. Euler สำหรับ $\dot y=-\lambda y$ ให้ $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. สำหรับ h บวก, ความเสถียรสัมบูรณ์ที่ถูกจำกัดอนุญาตให้ $h\leq2/\lambda$; การสลายตัวสู่ศูนย์ต้องการอสมการแบบเข้ม $0<h<2/\lambda$. ที่จุดปลายบน การแก้เชิงตัวเลขจะสลับค่าโดยไม่ลดทอน ความเสถียรไม่รับรองความถูกต้อง

การนำ Laplacian แบบคาร์ทีเซียนไปใช้กับฟังก์ชันรัศมี, การรวมโหมดที่ละเมิดเงื่อนไขขอบเขต, หรือการอ้างว่ารันที่ดูมีขอบเขตแล้วลู่เข้าโดยไม่ปรับขั้น ให้จับคู่ตัวดำเนินการ เงื่อนไขขอบเขต และเงื่อนไขความเสถียรให้ตรงกับปัญหาจริง

การแยกตัวแปร: การแก้สมการอนุพันธ์ย่อยโดยเขียนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าในรูปผลคูณของฟังก์ชันที่มีตัวแปรเดียว

เงื่อนไขความเสถียร: ข้อจำกัดขนาดขั้นตอนที่ทำให้การคำนวณแบบวนซ้ำไม่ขยายความผิดพลาด