LM.1 · Counting statistics, uncertainty and dimensional models

เครื่องตรวจจับที่มีประสิทธิภาพ百分之สิบ ไม่แสดง photon Exactly สิบPhoton จากทุกร้อย Photon. จำนวนนับมีการเปลี่ยนแปลงแม้将有稳定的效率。

ความรู้ก่อนหน้า: 47.

• ใช้ค่าเฉลี่ยและความผันผวนของการนับแบบ Binomial และ Poisson
• ก่อให้เกิดความไม่แน่นอนเล็กน้อยด้วยการสมมติความสัมพันธ์ที่ระบุ
• แก้ไขข้อจำกัดเลขชี้กำลังมิติและตรวจสอบหน่วยของโมเดล

สำหรับ N อนุภาคตกกระทบอิสระแต่ละตัวซึ่งถูกตรวจจับด้วยความน่าจะเป็น p, จำนวน X เป็นแบบ binomial: ค่าเฉลี่ย Np และความแปรปรวน Np(1−p). ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ sqrt[Np(1−p)], ไม่ใช่ความแปรปรวนเอง ด้วย N ใหญ่และ p เล็ก, การประมาณแบบ Poisson จะมีค่าเฉลี่ย λ=Np และความแปรปรวน λ, ดังนั้นส่วนเบี่ยงเบน sqrt(λ). สำหรับ N=200 และ p=0.05, ค่าเฉลี่ยที่แท้จริงคือ 10 และส่วนเบี่ยงเบน sqrt(9.5)≈3.08, ในขณะที่ Poisson ให้ sqrt(10)≈3.16. ไม่มีโมเดลใดรับประกันจำนวนนับคงที่ การตรวจจับที่เกี่ยวข้องหรือเวลาตายอาจทำให้ความเป็นอิสระล้มเหลว

สำหรับฟังก์ชันวัดผลที่ต่อเนื่อง y(x1,…), ใช้การประมาณเชิงเส้นด้วยการหาอนุพันธ์ย่อยเปลี่ยนแปลงค่า ตัวแปรความไม่แน่นอนมาตรฐานอิสระรวมกันแบบกำลังสอง: σ_y²≈Σ(∂y/∂xi)²σ_i². หากตัวแปรมีความสัมพันธ์กัน ต้องใช้พจน์ความแปรปรวนร่วม (covariance cross terms). สำหรับ y=x^a, ความไม่แน่นอนสัมพัทธ์มาตรฐานจะประมาณได้เป็น |a|σ_x/|x|. ดังนั้น พลังงานจลน์ K=½mv² ซึ่งมีความไม่แน่นอนของมวลน้อยมาก จะมีความไม่แน่นอนสัมพัทธ์เป็นสองเท่าของความเร็ว. เมื่อมีความไม่แน่นอนของมวลอิสระ ให้รวม (σ_m/m)²+(2σ_v/v)². การประมาณเหล่านี้ต้องการความผิดพลาดเล็กน้อยและโมเดลเชิงเส้นในท้องถิ่นที่เหมาะสม

การกระจายแบบสุ่มบ่งบอกถึงความแม่นยำ; ความเบี่ยงเบนจากการปรับเทียบที่มีผลต่อความถูกต้องมักเกิดจากแหล่งเดียวกันและไม่หายไปโดยการเฉลี่ยซ้ำ สำหรับข้อมูลซ้ำที่เป็นอิสระกัน ความไม่แน่นอนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยจะลดลงตาม 1/sqrt(n), แต่ข้อผิดพลาดระบบshared systematic error ไม่ลดลง ความไม่แน่นอนของการกระจายทางกายภาพและความไม่แน่นอนของค่าเฉลี่ยที่ประมาณได้เป็นปริมาณที่ต่างกัน ระบุให้ชัดเจนว่าเปอร์เซ็นต์ที่ระบุไว้คือความไม่แน่นอนมาตรฐาน ช่วงความเชื่อมั่น หรือขอบเขตกรณีเลวที่สุด การบวกค่าสัมบูรณ์ของแต่ละส่วนจะเป็นขอบเขตที่ระมัดระวัง ไม่ใช่กฎการรวมแบบกำลังสองของความผิดพลาดมาตรฐานอิสระ

การวิเคราะห์มิติเท่าเทียมกันด้วยกำลังของมวล ความยาว และเวลา แทนที่จะเป็นขนาดตัวเลข สำหรับรูปแบบ Planck-length G^a $\hbar$^b c^d, มิติคือ [G]=L³/(MT²), [$\hbar$]=ML²/T และ [c]=L/T. การกำหนดให้ผลลัพธ์เป็นความยาวจะได้ −a+b=0, 3a+2b+d=1 และ −2a−b−d=0. ดังนั้น a=b=1/2 และ d=−3/2, จึงได้ความยาวเป็น sqrt(G$\hbar$/c³). การวิเคราะห์มิติไม่สามารถหาค่าสัมประสิทธิ์ที่ไม่มีมิติได้ตามใจหรือพิสูจน์ได้ว่าคงที่ที่เลือกมีเพียงพอทางฟิสิกส์ ควรปฏิเสธสูตรที่มีหน่วยผิดก่อนนำตัวเลขไปคำนวณ

สำหรับตัวแปรความไม่แน่นอนมาตรฐานอิสระใน $K=mv^2/2$, ทำการหาอนุพันธ์ก่อน

ด้วยความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ 3% ในมวลและ 2% ในความเร็ว, ขอบเขตกรณีเลวที่สุดจะใช้ผลรวม ไม่ใช่การรวมแบบกำลังสองนี้ ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต้องใช้พจน์ความแปรปรวนร่วม

อย่าสับสนระหว่างค่าเฉลี่ยการนับกับจำนวนการนับที่รับประกัน ความแปรปรวนกับความไม่แน่นอนมาตรฐาน หรือความไม่แน่นอนมาตรฐานแบบสุ่มกับความเบี่ยงเบนในการปรับเทียบ ความสอดคล้องเชิงมิติจำเป็นแต่ไม่เพียงพอ

standard uncertainty: ความไม่แน่นอนที่แสดงเป็นค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานภายใต้โมเดลการวัดที่กำหนด

Poisson approximation: โมเดลนับเหตุการณ์อิสระหายากที่มีความแปรปรวนเท่ากับค่าเฉลี่ย