GRE · GRE Subject Test · GRE Physics · หัวข้อ 18
รูปคลื่นหนึ่งอาจมีฮาร์มอนิกหลายชนิดโดยไม่มีพจน์ไซน์เลย สมมาตรสะท้อนบอกได้ว่าสัมประสิทธิ์ใดหายไปก่อนการอินทิเกรต
ความรู้พื้นฐาน: 3, 47
| English | ไทย |
|---|---|
| orthogonality/ˌɔːθəɡəˈnælɪti/ | ความตั้งฉากกัน |
| Fourier coefficient/ˈfɔːrɪə ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ของฟูเรียร์ |
| Even symmetry | สมมาตรคู่ |
สำหรับฟังก์ชันจริง 2-เป็นรอบ ที่มีความสม่ำเสมอเพียงพอ สามารถเขียน f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)] ได้ สัมประสิทธิ์คือ a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx และ b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx โดย a0 ใช้ n=0 cosinus และ sinus ตั้งฉากกันบนรอบเต็ม ค่าเฉลี่ยคือ a0/2 ไม่ใช่ a0; ต้องรักษาค่าคงที่ไว้แม้สัมประสิทธิ์ความถี่ไม่ศูนย์ของตระกูลหนึ่งจะหายไปทั้งหมด
หาก f เป็นฟังก์ชันคู่เทียบกับจุดเริ่มต้นที่เลือก f(x)sin(nx)จะเป็นฟังก์ชันคี่ และการอินทิเกรตแบบสมมาตรจะเป็นศูนย์ ดังนั้น b_n ทั้งหมดจะหายไป หาก f เป็นฟังก์ชันคี่ ค่าเฉลี่ยและ a_n ทั้งหมดจะหายไป สมมาตรขึ้นอยู่กับจุดเริ่มต้น: การเลื่อนสัญญาณทางกายภาพเดียวกันสามารถผสมสัมประสิทธิ์ sine และ cosine ได้ในขณะที่ความถี่ฮาร์มอนิกไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นรูปคลื่นสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นลบซึ่งสมมาตรเกี่ยวกับ x=0 จึงสามารถมีฮาร์มอนิก cosinus และมีค่าเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์ได้โดยไม่มีการแทรกสอดของฮาร์มอนิก sine
สำหรับการต่อรอบ 2-เป็นรอบ ของ f(x)=|x| บน [−π,π] ค่าเฉลี่ยคือ π/2 การอินทิเกรต x cos(nx) ด้วยวิธีอินทิเกรตด้วยส่วนบน [0,π] จะได้ a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²) ดังนั้นสัมประสิทธิ์ cosinus ที่ n คู่จะเป็นศูนย์ และสัมประสิทธิ์ที่ n คี่จะเป็น −4/(πn²) สัมประสิทธิ์ sine ทั้งหมดเป็นศูนย์ การลดลงใน 1/n² สะท้อนถึงฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีจุดไม่ต่อเนื่องของความชัน การไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดมักให้อัตราการลดลงของสัมประสิทธิ์ช้ากว่าและการเกินค่าartial-sum; อย่าสรุปพฤติกรรมการลู่เข้าเดียวกันสำหรับทุกประเภทของรูปคลื่น
ผลรวมฟูเรียร์เป็นการบวกแอมพลิจูดพร้อมเฟส theirs สำหรับแอมพลิจูดโมโนโครมาติก cohorent เท่ากัน A ที่พบกันด้วยความต่างเฟส φ แอมพลิจูด resultant กำลังสองคือ 2A²(1+cosφ) ดังนั้น intensity คือ 2I0(1+cosφ) มันจะมีค่า 4I0 เมื่ออยู่เฟสเดียวกันและเป็นศูนย์ที่ φ=π การหาค่าเฉลี่ย incoherent จะกำจัดพจน์ cross term ทิ้งไป ทำให้ได้ 2I0 ฮาร์มอนิกที่ความถี่ต่างกันสามารถสร้างรูปร่างขึ้นได้ตามเวลา ผลรวมทันทีไม่ใช่ผลรวมของ intensity แต่ละตัว ระบุให้ชัดว่าคำถามเกี่ยวข้องกับรูปคลื่น กำลังไฟฟ้าเฉลี่ยทางเวลา หรือการแทรกสอด cohorent
สำหรับฟังก์ชันเป็นรอบจริง ให้ใช้ $f=a_0/2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$ ความสมมาตรคู่ทำให้สัมประสิทธิ์ sine ทั้งหมดเป็นศูนย์เนื่องจาก integrand เป็นฟังก์ชันคี่ สำหรับ $f(x)=|x|$ บน $[-\pi,\pi]$,
สมมาตรแบบคู่จะลบสัมประสิทธิ์ของซินออก ไม่ใช่พจน์คงที่หรือ harmonic ของโคไซน์ทั้งหมด ตรวจสอบจุดกำเนิดของสมมาตรและสนามว่าสัมพันธ์กันหรือไม่ก่อนนำความเข้มมาบวกกัน
ความตั้งฉาก: อินทิกรัลเป็นศูนย์ของผลคูณฟังก์ชันฐานที่แตกต่างกันบนช่วงที่กำหนด
สัมประสิทธิ์ของฟูเรียร์: น้ำหนักขององค์ประกอบพื้นฐานแบบไซน์, คอสاین หรือค่าคงที่ ในการขยายฟังก์ชันแบบเป็นคาบ
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
กำลังโหลดวิชา…