สมมาตรของ Fourier และการซ้อนทับของคลื่น
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| orthogonality/ˌɔːθəɡəˈnælɪti/ | ความตั้งฉากกัน |
| Fourier coefficient/ˈfɔːrɪə ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ของฟูเรียร์ |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- คลื่นสามารถประกอบด้วยฮาร์มอนิกหลายชนิดได้โดยไม่ต้องมีพจน์ไซน์เลย สมมาตรการสะท้อนบอกคุณได้ว่าสัมประสิทธิ์ใดหายไปก่อนทำการอินทิเกรต
- เป้าหมายของคุณ: ใช้ความตั้งฉากเพื่อระบุสัมประสิทธิ์ Fourier
อ่านความสัมพันธ์
- สำหรับฟังก์ชันจริง 2-รอบ周期ที่สม่ำเสมอเพียงพอ เขียน f(x)=a0/2+Σ[a_n cos(nx)+b_n sin(nx)]. สัมประสิทธิ์คือ a_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)cos(nx)dx และ b_n=(1/π)∫from−πtoπ f(x)sin(nx)dx, โดยมี a0 ที่ใช้ n=0. ฟังก์ชันโคซายน์และไซน์มีความตั้งฉากบนรอบ周期เต็ม ค่าเฉลี่ยคือ a0/2, ไม่ใช่ a0; เก็บพจน์คงที่ไว้แม้ว่าสัมประสิทธิ์ความถี่ที่ไม่เป็นศูนย์ของครอบครัวหนึ่งจะหายไปทั้งหมด
- ใช้ประโยชน์จากความสมมาตรคู่และคี่โดยไม่ทิ้งพจน์คงที่
A real even 2π-periodic waveform about x=0 necessarily has:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Even times sine is odd, so each symmetric sine-coefficient integral is zero.
ใช้กฎที่กำหนด
- ถ้า f เป็นฟังก์ชันคู่เทียบกับจุดกำเนิดที่เลือก f(x)sin(nx) จะเป็นฟังก์ชันคี่และอินทิกรัลสมมาตรจะเป็นศูนย์ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ b_n ทั้งหมดจะหายไป หาก f เป็นฟังก์ชันคี่ ค่าเฉลี่ยและสัมประสิทธิ์ a_n ทั้งหมดจะหายไป สมมาตรขึ้นอยู่กับจุดกำเนิด: การเลื่อนสัญญาณทางกายภาพเดียวกันสามารถทำให้ผสมกันของสัมประสิทธิ์ไซน์และโคไซน์ได้ ในขณะที่ความถี่ฮาร์มอนิกไม่เปลี่ยนแปลง คลื่นสามเหลี่ยมที่ไม่เป็นลบซึ่งสมมาตรเกี่ยวกับ x=0 จึงมีฮาร์มอนิกโคไซน์และมีค่าเฉลี่ยไม่เป็นศูนย์ โดยไม่มีฮาร์มอนิกไซน์
- เชื่อมโยงแอมพลิจูดขององค์ประกอบกับการรบกวนและคลื่นทางกายภาพ
For the periodic extension of |x|, a2 is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²); even n gives zero.
ตรวจสอบเงื่อนไข
- สำหรับการต่อ周期的 2 ของ f(x)=|x| บน [−π,π], ค่าเฉลี่ยคือ π/2. การอินทิเกรต x cos(nx) ด้วยวิธี parts บน [0,π] ให้ a_n=2[(-1)^n−1]/(πn²), ดังนั้นสัมประสิทธิ์โคซายน์สำหรับ n คู่จะเป็นศูนย์และสัมประสิทธิ์สำหรับ n คี่คือ −4/(πn²). สัมประสิทธิ์ไซน์ทั้งหมดเป็นศูนย์. การลดลง 1/n² สะท้อนถึงฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีความ discontinuity ของความชัน. จุด discontinuity มัก会让สัมประสิทธิ์ลดลงช้ากว่าและการเกินของผลบวกบางส่วน; อย่าสรุปพฤติกรรมการลู่เข้าเดียวกันสำหรับทุกประเภทคลื่น
- เชื่อมโยงแอมพลิจูดขององค์ประกอบกับการรบกวนและคลื่นทางกายภาพ
สำหรับ f(x)=|x| ที่ขยายแบบเป็นคาบ การประมาณค่าด้วยโคไซน์อันดับแรกคือ π/2−(4/π)cos x. ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันคู่และมีสัมประสิทธิ์ของซินเป็นศูนย์ที่ x=0 ค่าที่ได้คือ π/2−4/π≈0.298 ซึ่งเข้าใกล้ค่าที่แท้จริง 0 เมื่อเพิ่มพจน์โคไซน์คี่มากขึ้น สองคลื่นที่มีเฟสเดียวกันและมีความแตกต่างของเฟสที่ π/2 จะมีความเข้ม 2I0; สนามของพวกมันจะไม่หักล้างกันหมด
If a0=6, the waveform mean is ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The constant term is a0/2.
ใช้รูปแบบงาน
- ผลรวมของฟูเรียร์เป็นการบวกแอมพลิจูดพร้อมทั้งเฟส สำหรับแอมพลิจูดโมโนโครแมติกที่มีค่าเท่ากัน A meeting with phase difference φ, สqaured of resultant amplitude is 2A²(1+cosφ), ดังนั้นความเข้มคือ 2I0(1+cosφ). มันมีค่า 4I0 เมื่ออยู่ในเฟสและเป็นศูนย์ที่ φ=π การเฉลี่ยแบบไม่สัมพันธ์กันจะกำจัดพจน์ข้ามออก ทำให้ได้ 2I0. Harmonics ที่มีความถี่ต่างกันสามารถสร้างรูปร่างตามเวลาได้; ผลรวมทันทีไม่ใช่ผลรวมของความเข้มของแต่ละส่วน แยกแยะว่าคำถามเกี่ยวข้องกับรูปคลื่น กำลังเฉลี่ยต่อเวลา หรือการแทรกสอดแบบสัมพันธ์กันหรือไม่
- เชื่อมโยงแอมพลิจูดขององค์ประกอบกับการรบกวนและคลื่นทางกายภาพ
สมมาตรแบบคู่จะลบสัมประสิทธิ์ของซินออก ไม่ใช่พจน์คงที่หรือ harmonic ของโคไซน์ทั้งหมด ตรวจสอบจุดกำเนิดของสมมาตรและสนามว่าสัมพันธ์กันหรือไม่ก่อนนำความเข้มมาบวกกัน
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
ใช้คุณสมบัติตั้งฉากเพื่อระบุสัมประสิทธิ์ของฟูริเยร์
Shifting the origin can mix sine and cosine coefficients without changing the harmonic frequencies.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The angle-addition identities mix coefficients at the same frequency.
รักษาระยะห่าง
- ความเป็นเอกเทศ (orthogonality) — อินทิกรัลของผลคูณของฟังก์ชันฐานที่แตกต่างกันเป็นศูนย์ในช่วงที่กำหนด
- สัมประสิทธิ์ของฟูเรียร์ — น้ำหนักขององค์ประกอบฐานซิน โคไซน์ หรือค่าคงที่ในการขยายที่เป็นคาบ
- ใช้ความเป็นเอกเทศเพื่อระบุสัมประสิทธิ์ของฟูเรียร์
- ใช้ประโยชน์จากความสมมาตรคู่และคี่โดยไม่ทิ้งพจน์คงที่
- เชื่อมโยงแอมพลิจูดขององค์ประกอบกับการรบกวนและคลื่นทางกายภาพ
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.