AH · Hamiltonian mechanics and astrophysical scaling

วิธีการด้านพลังงานเชื่อมโยงตัวสั่นของสปริงกับวงโคจร แต่พิกัดและสมมติฐานทางฟิสิกส์ของแต่ละระบบแตกต่างกัน

ความรู้ก่อนหน้า: 26, 41

• สร้างแฮมิลโทเนียนอย่างง่าย
• ใช้สมการแบบมาตรฐาน (canonical equations)
• ใช้การปรับสเกลแรงโน้มถ่วงและการแผ่รังสี

โมเมนตัมแบบมาตรฐานคือ p=∂L/∂qdot การแปลงเลอองดร์ H=p qdot−L จะให้ค่าแฮมิลโทเนียนเมื่อสามารถเขียนความเร็วด้วยพิกัดและโมเมนตัมได้

สมการของแฮมิลตันคือ qdot=∂H/∂p และ pdot=−∂H/∂q สำหรับตัวสั่นธรรมดา H=p²/(2m)+kq²/2 สมการเหล่านี้จะคืนรูปสมการของนิวตันออกมา

สำหรับวงโคจรวงกลมแรงโน้มถ่วง v²=GM/r และคาบ²=4π²r³/(GM) สมมติฐานรวมถึงมวลศูนย์กลางที่มีอิทธิพลหลักและการประมาณวงกลม; วงโคจรรูปวงรีใช้ระยะกึ่งแกนใหญ่ในกฎของเคปเลอร์ สำหรับดาวเทียมวงกลมมวล m ขนาดโมเมนตัมเชิงมุมคือ mrv=m sqrt(GMr) ดังนั้นดาวเทียมที่มีมวลเท่ากันจะมี L แปรผันตาม √r สัดส่วนรัศมี 9 จึงให้สัดส่วนโมเมนตัมเชิงมุม 3 ในขณะที่สัดส่วนคาบคือ 27 ความแตกต่างนี้เกิดจากความสัมพันธ์แรงสู่ศูนย์กลางเดียวกัน; อย่าใช้การปรับสเกลคาบเพื่อหาโมเมนตัมเชิงมุม

ความสว่างและฟลักซ์ที่ได้รับเป็น F=L/(4πd²)对于 isotropic radiation.体和黑体具有 L=4πR²σT⁴;其光谱峰值随温度升高而向短波移动。区分本征亮度与观测到的视亮度。

สำหรับ Lagrangian $L=m\dot q^2/2-kq^2/2$ ที่ปกติ (regular) โมเมนตัมแบบมาตรฐานคือ

แทนค่าความเร็วลงในแปลงเลอองดร์: การรวมสิ่งเหล่านี้จะได้ $\ddot q=-(k/m)q$ การกลับค่าโมเมนตัมเพื่อหาความเร็ว จำเป็น; ไม่สามารถสันนิษฐานได้ว่าเกิดขึ้นในทุกๆ constrained หรือ singular Lagrangian

ฮามิลโทเนียนจะมีค่าเท่ากับพลังงานกลทั้งหมดก็ต่อภายใต้สมมติฐานของระบบที่เกี่ยวข้องเท่านั้น อย่าสรุปสิ่งนี้โดยทั่วไปเพียงจากชื่อของมัน

โมเมนตัมแบบมาตรฐาน (canonical momentum):อนุพันธ์ของ Lagrangian เทียบกับความเร็วทั่วไป (generalised velocity)

ความสว่าง (luminosity):กำลังที่ปล่อยออกทั้งหมด แตกต่างจากฟลักซ์ที่ผู้สังเกตวัดได้