TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

ระดับพลังงานเฟอร์มิออนสามารถมีหลายอนุภาคได้เมื่อมีหลายสถานะที่แตกต่าง; กฎการกีดขวางใช้ต่อสถานะสมบูรณ์

ความรู้พื้นฐาน: 20, 35, 38.

• คำนวณการครอบครองเฉลี่ยต่อสถานะควอนตัมสมบูรณ์สำหรับเฟอร์มิออนและโบซอน
• นับการครอบครองอนุภาคเหมือนกันที่ยอมรับได้และระบุขีดจำกัดเจือจางแบบคลาสสิก
• เปรียบเทียบความจุความร้อนแบบควอดราติกคลาสสิกกับการตอบสนองของออสซิลเลเตอร์ควอนตัม

สำหรับอนุภาคที่ไม่มีอันตรกิริยาในสภาวะสมดุลของการแลกเปลี่ยนพลังงานและอนุภาค ให้ใช้ศักย์เคมี μ และ x=(ε−μ)/(kBT) การครอบครองเฉลี่ยของสถานะที่สมบูรณ์หนึ่งสถานะคือ n_F=1/(e^x+1) สำหรับเฟมิออน และ n_B=1/(e^x−1) สำหรับโบซอน การครอบครองสถานะของเฟมิออนจะมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่งเท่านั้น ค่าเฉลี่ยจะอยู่ระหว่างสองค่านั้น การครอบครองของโบซอนสามารถเกินหนึ่งได้ ระดับที่มีภาวะเบี่ยงเบน g จะมีค่าเฉลี่ยรวมเท่ากับ g เท่าของการครอบครองสถานะเดียวเมื่อสถานะเหล่านั้นมีพลังงานเดียวกัน นับสปินเป็นส่วนหนึ่งของสถานะที่สมบูรณ์ ตัวส่วนของโบซอนต้องการ ε>μ สำหรับ-expression ที่จำกัดทั่วไป โดยพิจารณาขอบเขตสถานะพื้นฐานแยกต่างหาก สำหรับโฟตอนในสภาวะสมดุล μ=0 เนื่องจากจำนวนโฟตอนไม่ถูกคงที่; อย่าตั้ง μ=0 สำหรับแก๊สอนุภาคทุกชนิด

นับรูปแบบการครอบครองแทนการติดป้ายชื่ออนุภาคที่เหมือนกัน สี่สถานะที่สมบูรณ์ที่แตกต่างกันสองสถานะสำหรับเฟมิออนที่เหมือนกันมี choose(4,2)=6 รูปแบบที่เป็นไปได้ สองสถานะสำหรับโบซอนที่เหมือนกันในสถานะเหล่านี้มี choose(4+2−1,2)=10 รูปแบบเพราะทั้งสองอาจอยู่ในสถานะเดียวกัน อนุภาคสองตัวที่ติดป้ายชื่อและจำแนกได้จะมี 4²=16 การจัดวาง ซึ่งเป็นโมเดลการนับที่ต่างกัน ไม่ใช่คำตอบที่เปลี่ยนแทนกันได้สามข้อสำหรับข้อกำหนดเดียวกัน หากโจทย์กำหนดภาวะเบี่ยงเบนของสปิน ก่อนอื่นต้องตัดสินใจว่าตัวเลขที่กำหนดนับสถานะที่สมบูรณ์หรือเพียงระดับออร์บิทัล ข้อห้ามของPauli ต่อสองสถานะที่สมบูรณ์ที่เหมือนกัน ไม่ห้ามเฟมิออนสปินตรงข้ามในออร์บิทัลเชิงพื้นที่เดียวกัน

เมื่อ x มีค่าบวกมาก การครอบครองจะมีค่าน้อยและตัวส่วนทั้งสองจะถูกควบคุมโดย e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), ขอบเขตความหนาแน่นต่ำของMaxwell–Boltzmann ที่ x=ln4 ค่าเฉลี่ยจะเป็น 1/5 สำหรับเฟมิออน, 1/3 สำหรับโบซอน และ 1/4 ในการประมาณแบบคลาสสิก ความแตกต่างยังคงมีนัยสำคัญ จำนวนอนุภาครวมที่ใหญ่เพียงอย่างเดียวไม่สนับสนุนสถิติแบบคลาสสิก: ความหนาแน่น อุณหภูมิ และสถานะที่เข้าถึงได้ควบคุมการครอบครอง สำหรับเฟมิออนที่อุณหภูมิต่ำ สถานะต่ำกว่า μ จะถูกครอบครองเกือบเต็ม而那些สถานะสูงกว่าจะว่างเปล่าเกือบสนิท ที่ ε=μ สถานะของเฟมิออนจะมีค่าเฉลี่ยครึ่งหนึ่ง การแทนค่านี้ลงในสูตรโบซอนทั่วไปจะทำให้เกิดตัวส่วนที่ลู่เข้าหาอนันต์และต้องใช้处理方式ขอบเขตที่แตกต่าง

กฎการแบ่งเท่ากันแบบคลาสสิกกำหนด kBT/2 ของพลังงานเฉลี่ยต่อพจน์ควอดราติกอิสระหนึ่งในฮามิลโทเนียนที่สมดุล แก๊สอุดมคติอะตอมเดี่ยวมีสามพจน์การเคลื่อนที่ ทำให้ U=3NkBT/2 และ C_V=3NkB/2 ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบคลาสสิกหนึ่งมิติมีพจน์จลน์และศักย์ ทำให้มีค่าเฉลี่ย kBT และ C=kB สำหรับออสซิลเลเตอร์ควอนตัมที่มีช่องว่างพลังงานคงที่ ε=$\hbar$ω พลังงานความร้อนเหนือจุดศูนย์ที่ขึ้นกับอุณหภูมิคือ ε/(e^x−1), ปัจจุบัน x=ε/(kBT), และ C/kB=x²e^x/(e^x−1)². ที่อุณหภูมิสูงจะเข้าใกล้ค่าคลาสสิก ที่อุณหภูมิต่ำการกระตุ้นจะหยุดนิ่งลงและ C→0. พลังงานจุดศูนย์ ε/2 ย้ายค่า U แต่ไม่ย้ายค่า C การมีส่วนร่วมจากการหมุน/สั่นสะเทือนของโมเลกุลก็ต้องการตรวจสอบมาตราส่วนพลังงานก่อนกำหนดพจน์ควอดราติกแบบคลาสสิก

เลขการครอบครองหมายถึงสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์หนึ่งสถานะ สำหรับ $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$,

การประมาณความหนาแน่นต่ำแบบคลาสสิกให้ $e^{-x}=1/4$; มันไม่ใช่ค่าที่แน่นอนในที่นี้ ระดับ g-เท่ามีค่าเฉลี่ยการครอบครองรวม $g\bar n$, ดังนั้นระดับของเฟมิออนจึงสามารถมีมากกว่า หนึ่งอนุภาคได้ในขณะที่แต่ละสถานะที่สมบูรณ์ยังปฏิบัติตามหลักการกีดขวาง

ตัดเฟร์มิออนสองตัวออกจากสถานะสมบูรณ์หนึ่ง ไม่ใช่จากระดับพลังงานที่เบี่ยงเบนทั้งระดับ. ระบุ x ที่ใช้; การครอบครองของagementทางเคมีและสูตรการกระตุ้นออสซิลเลเตอร์คงที่เป็นโมเดลที่แตกต่างกัน.

mean occupation: ค่าเฉลี่ย_indexes ของจำนวนอนุภาคในสถานะควอนตัมที่สมบูรณ์หนึ่งสถานะหรือกลุ่มสถานะที่กำหนด

equipartition: กฎสมดุลแบบคลาสสิกที่กำหนด kBT/2 ต่อพจน์ฮามิลโทเนียนควอดราติกอิสระ