การเติมสถานะควอนตัม และขอบเขตของกฎการแจกแจงพลังงานเท่าๆ กัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| mean occupation/miːn ˌɒkjʊˈpeɪʃn/ | ค่าเฉลี่ยของการครอบครองสถานะ |
| equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/ | การแบ่งปันพลังงานอย่างเท่าเทียมกัน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- ระดับพลังงานของเฟร์มิออนสามารถมีอนุภาคหลายตัวได้เมื่อมีสถานะเฉพาะเจาะจงหลายสถานะ; กฎการกีดกันจะปรับใช้ต่อสถานะสมบูรณ์แต่ละสถานะ
- เป้าหมายของคุณ: คำนวณค่าเฉลี่ยของการครอบครองต่อสถานะควอนตัมสมบูรณ์สำหรับเฟร์มิออนและโบซอน
กำหนดการครอบครองต่อสถานะสมบูรณ์
- สำหรับอนุภาคที่ไม่มีการอันตรกิริยาอยู่ในสมดุลทางความร้อนและการแลกเปลี่ยนอนุภาค ให้ใช้ศักย์เคมี μ และ x=(ε−μ)/(kBT) ค่าเฉลี่ยการครอบครองของสถานะสมบูรณ์หนึ่งคือ n_F=1/(e^x+1) สำหรับเฟร์มิออน และ n_B=1/(e^x−1) สำหรับโบซอน การครอบครองของเฟร์มิออนในสถานะนั้นเป็น 0 หรือ 1 โดยมีค่าเฉลี่ยอยู่ระหว่างสองค่านั้น ส่วนการครอบครองของโบซอนอาจเกินหนึ่งได้
- ระดับที่มีระดับความเสื่อม g จะมีค่าเฉลี่ยรวมเท่ากับ g เท่าของการครอบครองต่อสถานะเดียวเมื่อสถานะเหล่านั้นมีพลังงานเดียวกัน ให้นับการหมุนเข้าเป็นส่วนหนึ่งของสถานะสมบูรณ์ ตัวหารของโบซอนต้องการ ε>μ สำหรับ-expression แบบจำกัดทั่วไป โดยพิจารณาขอบเขตสถานะพื้นฐานแยกต่างหาก สำหรับโฟตอนในสภาวะสมดุล μ=0 เนื่องจากจำนวนโฟตอนไม่ถูกกำหนดไว้; อย่าตั้ง μ=0 สำหรับแก๊สอนุภาควัสดุทุกชนิด
At (ε−μ)/(kBT)=ln3, the mean occupation of one fermionic state is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_F=1/(3+1)=1/4; bosonic mean would be 1/(3−1)=1/2.
นับการจัดเรียงแบบไม่สามารถแยกแยะได้
- นับรูปแบบการครอบครองแทนที่จะติดฉลากอนุภาคที่เหมือนกัน 2 อนุภาคเฟร์มิออนที่เหมือนกันกระจายตัวในสถานะสมบูรณ์ที่แตกต่าง 4 สถานะ จะมีรูปแบบที่เป็นไปได้ choose(4,2)=6 2 อนุภาคโบซอนที่เหมือนกันในสถานะดังกล่าวจะมี choose(4+2−1,2)=10 รูปแบบเพราะทั้งสองอาจอยู่ในสถานะเดียวกันได้ 2 อนุภาคที่ติดฉลากและแยกแยะกันได้จะมี 4²=16 การจัดวาง
- นี่คือแบบจำลองการนับที่แตกต่างกัน ไม่ใช่คำตอบสามแบบที่เปลี่ยนแทนกันได้สำหรับโจทย์ข้อเดียวกัน หากโจทย์ระบุความเสื่อมจากการหมุน ต้องตัดสินใจก่อนว่าตัวเลขที่ระบุนับสถานะสมบูรณ์หรือเพียงระดับออร์บิทัล การห้ามของพอลีต่อการมีสถานะสมบูรณ์ที่เหมือนกันสองตัวไม่ได้ห้ามเฟร์มิออนที่มีทิศทางการหมุนตรงข้ามในออร์บิทัลเชิงพื้นที่เดียวกัน
Two identical fermions can occupy six distinct complete states. How many occupation patterns exist?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Select the two occupied states: choose(6,2)=15. Ordered assignments double-count identical fermions.
ตรวจสอบการประมาณแบบหนาแน่นต่ำ
- เมื่อ x มีค่าน้อยมากและบวก การครอบครองจะน้อยและตัวส่วนทั้งสองจะถูกควบคุมโดย e^x: n_F≈n_B≈e^(−x), ขอบเขต稀ของ Maxwell–Boltzmann ที่ x=ln4 ค่าเฉลี่ยจะเป็น 1/5 สำหรับ fermions, 1/3 สำหรับ bosons และ 1/4 ในการประมาณคลาสสิก; ความต่างยังมีความสำคัญ
- จำนวนอนุภาคทั้งหมดที่มากเพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอที่จะใช้สถิติแบบคลาสสิก: ความหนาแน่น อุณหภูมิ และสถานะที่เข้าถึงได้控制了การครอบครอง สำหรับเฟร์มิออนที่อุณหภูมิต่ำ สถานะต่ำกว่า μ จะเกือบถูกครอบครอง而那些เหนือจะเกือบว่างเปล่า ที่ ε=μ สถานะของเฟร์มิออนจะมีค่าเฉลี่ยครึ่งหนึ่ง; การแทนค่านี้ลงในสูตรโบซอนทั่วไปจะทำให้เกิดตัวหารที่ลู่เข้าหาอนันต์และต้องใช้การจัดการขอบเขตแบบอื่น
ที่ x=(ε−μ)/(kBT)=ln4, สถานะเดียวจะมี n_F=0.2 หรือ n_B=1/3 ดังนั้นระดับที่เสื่อม 5 สถานะจึงมีค่าเฉลี่ย 1 เฟร์มิออน หรือ 5/3 โบซอน; การครอบครองระดับเฟร์มิออนรวมสามารถเกินหนึ่งได้ที่ค่า x อื่นๆ เนื่องจากมีสถานะเฉพาะเจาะจง 5 สถานะ ออสซิลเลเตอร์ควอนตัมที่ ε/(kBT)=ln2 มีค่าเฉลี่ยพลังงานการกระตุ้น ε และ C/kB=2(ln2)²=0.960906, ใกล้เคียงแต่ต่างจากค่าคลาสสิกหนึ่ง
At x=ln5, one bosonic state has mean occupation ____ (give an exact decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_B=1/(5−1)=1/4=0.25.
ทดสอบโหมดควอนตัมเทียบกับคลาสสิก
- การแบ่งปันพลังงานเท่ากันแบบคลาสสิกมอบ kBT/2 ของพลังงานเฉลี่ยให้กับแต่ละพจน์กำลังสองอิสระในแฮมิลโตเนียนที่สมดุล ก๊าซอุดมคติอะตอมเดียวมีสามพจน์การเคลื่อนที่ ทำให้ U=3NkBT/2 และ C_V=3NkB/2 ออสซิลเลเตอร์ฮาร์มอนิกแบบคลาสสิกหนึ่งมิติมีพจน์จลน์และศักย์ ทำให้มีค่าเฉลี่ย kBT และ C=kB
- สำหรับออสซิลเลเตอร์ควอนตัมที่มีระยะห่างคงที่ ε=ℏω พลังงานความร้อนเหนือจุดศูนย์ที่ขึ้นอยู่กับอุณหภูมิคือ ε/(e^x−1) โดยที่ x=ε/(kBT), และ C/kB=x²e^x/(e^x−1)². ที่อุณหภูมิสูงค่านี้จะเข้าใกล้ค่าคลาสสิก; ที่อุณหภูมิต่ำการกระตุ้นจะหยุดชะงักและ C→0. พลังงานจุดศูนย์ ε/2 ทำให้ U เปลี่ยนแปลงแต่ไม่ทำให้ C เปลี่ยนแปลง. การมีส่วนร่วมของการหมุน/สั่นของโมเลกุลก็ similarly ต้องตรวจสอบสเกลพลังงานก่อนกำหนดพจน์กำลังสองแบบคลาสสิก.
ตัดเฟร์มิออนสองตัวออกจากสถานะสมบูรณ์หนึ่ง ไม่ใช่จากระดับพลังงานที่เบี่ยงเบนทั้งระดับ. ระบุ x ที่ใช้; การครอบครองของagementทางเคมีและสูตรการกระตุ้นออสซิลเลเตอร์คงที่เป็นโมเดลที่แตกต่างกัน.
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
คำนวณค่าเฉลี่ยของการครอบครองต่อสถานะควอนตัมที่สมบูรณ์สำหรับเฟร์มิออนและบอสออน
A temperature-independent oscillator zero-point energy ε/2 contributes zero to its heat capacity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Heat capacity differentiates energy with respect to temperature; a fixed additive constant has zero derivative.
รักษาระยะห่าง
- mean occupation — ค่าเฉลี่ยของจำนวนอนุภาคในสถานะควอนตัมสมบูรณ์หนึ่งหรือกลุ่มสถานะที่กำหนด
- equipartition — กฎสมดุลแบบคลาสสิกที่กำหนดให้ kBT/2 ต่อแต่ละพจน์ฮามิลโตเนียนกำลังสองอิสระ
- คำนวณ mean occupation ต่อสถานะควอนตัมสมบูรณ์สำหรับเฟร์มิออนและโบซอน
- นับการครอบครองอนุภาคเหมือนกันที่อนุญาตและระบุขอบเขตแบบเจือจางแบบคลาสสิก
- เปรียบเทียบความจุความร้อนของโหมดกำลังสองแบบคลาสสิกกับการตอบสนองของออสซิลเลเตอร์ควอนตัม
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.