QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

อิเล็กตรอนสองตัวสามารถอยู่ในออร์บิทัลเชิงพื้นที่เดียวกันได้ หากสถานะรวมเชิงพื้นที่และสปินมีคุณสมบัติเป็นอสมมาตรตามที่ต้องการ

ความรู้พื้นฐาน: 5, 36.

• สร้างสถานะเชิงพื้นที่สองออร์บิทัลที่เป็นสมมาตรและไม่สมมาตรตามปกติ
• รวมสมมาตรเชิงพื้นที่และสปินเพื่อสร้างสถานะอิเล็กตรอนสองตัวที่ยอมรับได้
• นับจำนวนการเติมเต็มสถานะรวมและตีความความสัมพันธ์ที่เกิดจากการแลกเปลี่ยน

สำหรับอนุภาคชนิดเดียวกัน การสลับทุกพิกัดและฉลากสปินจะเปลี่ยนฟังก์ชันคลื่นรวมของเฟอร์มิออนด้วยเครื่องหมายลบ แต่ไม่เปลี่ยนแปลงโบซอน ช่องทางทางคณิตศาสตร์ 1 และ 2 ใช้ระบุอาร์กิวเมนต์ ไม่ใช่ระบุอนุภาคที่แยกแยะกันได้ถาวร สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่ตั้งฉากกันสองตัว a และ b รูปแบบเชิงพื้นที่คือ Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2 ความตั้งฉากทำให้รูปแบบเหล่านี้เป็นปกติและให้ค่า Eigen ของการแลกเปลี่ยนเป็น ±1 หากออร์บิทัลทั้งสองเหมือนกัน รูปแบบที่ไม่สมมาตรจะเป็นศูนย์เสมอ และสูตรสมมาตรที่แสดงไว้ไม่ได้เป็นปกติอย่างถูกต้อง; สถานะเชิงพื้นที่ที่มีการเติมเต็มคู่คือ a(1)a(2) ตรวจสอบความเป็นปกติอีกครั้งเมื่อออร์บิทัลหรือการซ้อนทับของพวกมันเปลี่ยนแปลงไป

อนุภาคสปิน-1/2 สองตัวมีสภาวะซิงเล็ตหนึ่งแบบ (↑↓−↓↑)/√2 ที่มีโมเมนตัมมุมรวม S=0; เป็นอสมมาตรภายใต้การแลกเปลี่ยน สามสภาวะไตรเพลต ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 และ ↓↓ มี S=1 และเป็นสมมาตร อิเล็กตรอนต้องการสถานะรวมที่เป็นอสมมาตร ดังนั้นสถานะเชิงพื้นที่สมมาตรจึงจับคู่กับซิงเล็ต ในขณะที่สถานะเชิงพื้นที่อสมมาตรจับคู่กับไตรเพลต อิเล็กตรอนสองตัวในออร์บิทัลเชิงพื้นที่เดียวกันสามารถสร้างสภาวะซิงเล็ตได้ แต่ไม่สามารถสร้างสภาวะไตรเพลตได้ในออร์บิทัลนั้นในสถานะอิเล็กตรอนสองตัวแบบง่ายนี้ ข้อยกเว้นของปอลีป้องกันการเติมเต็มสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์เดียวกัน รวมถึงสปิน อิเล็กตรอนที่สลับสับเปลี่ยนกันในออร์บิทัลเดียวเป็นสถานะที่สมบูรณ์ต่างกันสองแบบ การอธิบายข้อยกเว้นว่า "อิเล็กตรอนหนึ่งต่อออร์บิทัล" จึงละเลยความแตกต่างนี้

สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่ a,b และสภาวะสปินสองอย่าง จะมีสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์สี่ trạngการณ์ อิเล็กตรอนสองตัวที่เหมือนกันมีรูปแบบการเติมเต็ม choose(4,2)=6: ซิงเล็ตแบบเติมเต็มคู่สองแบบ, ซิงเล็ตต่างออร์บิทัลหนึ่งแบบ, และไตรเพลตต่างออร์บิทัลสามแบบ สำหรับออร์บิทัลเชิงพื้นที่สามตัว จะมีหกสถานะที่สมบูรณ์ และ choose(6,2)=15 รูปแบบ การนับการจัดเรียงที่มีลำดับจะนับซ้ำอนุภาคที่เหมือนกัน โบซอนไร้สปินในออร์บิทัลสองตัวจะมีสามการเติมเต็ม: ทั้งคู่ใน a, อย่างละหนึ่งในทั้งสอง, ทั้งคู่ใน b การนับเหล่านี้ไม่พิจารณาข้อจำกัดพลังงานเพิ่มเติมและสถานะอนุภาคเดี่ยวที่เข้าถึงได้ตามที่ระบุไว้ การจำกัดพลังงานรวมหรือโปรเจกชันโมเมนตัมมุมจะเปลี่ยนชุดที่ยอมรับได้

สถานะเชิงพื้นที่อสมมาตรเป็นจริงที่ Ψ_−(x,x)=0 ดังนั้นความหนาแน่นตำแหน่งร่วมจึงเป็นศูนย์บนเส้นตรงที่จุด coincide สถานะเชิงพื้นที่สมมาตรอาจไม่เป็นศูนย์ที่นั่น ความแตกต่างนี้เกิดจากแรงแทรกสอดระหว่างแอมพลิจูดที่ถูกแลกเปลี่ยน แม้สำหรับอนุภาคที่ไม่มีการกระทำต่อกัน ก็ไม่ใช่แรงผลักแบบคลาสสิกที่ถูกกำหนดขึ้นเพิ่มเติม สำหรับบ่อขนาด L เลือก a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L) ที่ x₁=L/4 และ x₂=3L/4, แอมพลิจูดเชิงพื้นที่อสมมาตรคือ −2/L และความหนาแน่นของมันคือ 4/L²; แอมพลิจูดเชิงพื้นที่สมมาตรเป็นศูนย์ สิ่งเหล่านี้เป็นความน่าจะเป็นร่วมต่อหน่วยความยาวสอง ไม่ใช่ความน่าจะเป็นที่ไม่มีมิติที่จุดที่แน่นอน ความเข้ากันได้ทางฟิสิกส์ของสillenยังคงตัดสินใจว่าสถานะอิเล็กทรอนิกส์รวมใดจะใช้รูปแบบเชิงพื้นที่ใด

สำหรับออร์บิทัล a และ b ที่แตกต่างกันและตั้งฉากกัน สถานะเชิงพื้นที่สมมาตรและไม่สมมาตรคือ

สถานะรวมของอิเล็กตรอนสองตัวต้องเป็นอสมมาตรภายใต้การสลับตำแหน่งและสปินพร้อมกัน ดังนั้น พื้นที่สมมาตรจึงจับคู่กับซิงเล็ตสิลเลน; พื้นที่อสมมาตรจับคู่กับสิลเลนไตรเพลต หากอิเล็กตรอนทั้งสองอยู่ใน a สถานะผลคูณเชิงพื้นที่จะเป็นสมมาตรและอนุญาตให้ใช้สิลเลนซิงเล็ตเท่านั้น สูตรการทำให้เป็นปกติของออร์บิทัลที่แตกต่างกันไม่สามารถนำไปใช้โดยตรงสำหรับ a = b ได้

แลกเปลี่ยนพารามิเตอร์เชิงพื้นที่และสPIN ทั้งหมด อย่าสับสนระหว่างพื้นที่ที่มีสมมาตรผกผันกับสถานะรวมที่มีสมมาตรผกผัน หรือการใช้ตัวคูณ √2 ของออร์บิทัลที่แตกต่างกันสำหรับการใช้ ออร์บิทัลเดียวกันสองตัว

สเปกตรัมสปินคู่ (spin singlet): สถานะสองสปินที่ 1/2 ที่มีความไม่สมมาตร (antisymmetric) โดยมีการรวมสปินทั้งหมด S=0

ดีเทอร์มิแนนต์ของสเลเตอร์: การสร้างฟังก์ชันคลื่นสำหรับเฟอร์มิออนที่มีความไม่สมมาตรจากสถานะอนุภาคเดี่ยวที่สมบูรณ์; หากมีสถานะซ้ำกันดีเทอร์มิแนนต์จะหายไป