MM.1 · Coordinate operators, separated modes and stable updates

การเขียนลาปลาเซียนของฟังก์ชันรัศมีในรูป f″ ทำให้สูญเสียเทอมหนึ่ง; ตัวดำเนินการนี้เป็นของระบบพิกัด ไม่ใช่สัญลักษณ์

ความรู้พื้นฐาน: พีชคณิต การหาอนุพันธ์ และองค์ประกอบเวกเตอร์

• ใช้ไดเวอร์เจนซ์และลาปลาเซียนในระบบพิกัดที่กำหนดโดยสมมาตร
• แก้ปัญหาโหมดขอบเขตแบบแยกตัวอย่างง่าย
• ตรวจสอบการลู่เข้า หน่วย และความเสถียรของการอัปเดตเชิงตัวเลขเดิม

เลือกพิกัดตามสมมาตรก่อนเขียนตัวดำเนินการ สำหรับฟังก์ชันรัศมีในพิกัดทรงกลม ∇²f=f″+(2/r)f′, และไดเวอร์เจนซ์ของสนามรัศมี A=A_r r̂ คือ (1/r²)d(r²A_r)/dr. ตรวจสอบ: A=k r̂/r² มีไดเวอร์เจนซ์ (1/r²)dk/dr=0 ห่างจากจุดกำเนิด, และ f=1/r เป็นไปตาม ∇²f=f″+2f′/r=2/r³−2/r³=0 ห่างจากจุดกำเนิด. รูปแบบคาร์ทีเซียนใช้ได้เฉพาะกับฟังก์ชันที่มีค่าขึ้นกับพิกัดคาร์ทีเซียนเท่านั้น

การแยกตัวแปรเปลี่ยนปัญหาขอบเขตให้เป็นโหมดปกติ สำหรับเชือกยึดติดทั้งสองด้าน เขียน u=X(x)T(t); สมการคลื่นให้ X″/X=(1/c²)T″/T=−k², ขอบเขตที่ยึดติดบังคับให้ X=sin(nπx/L), และความถี่ที่เป็นไปได้คือ ω_n=nπc/L, f_n=nc/(2L). แต่ละโหมดต้องเป็นไปตามเงื่อนไขขอบเขตก่อนทำการรวมผลทุกโหมด

การอัปเดต Euler แบบชัดเจนสำหรับ y′=−λy คือ y_{n+1}=(1−λh)y_n, จะถูกจำกัดเมื่อ |1−λh|≤1, นั่นคือ 0<h≤2/λ for λ>0; การสลายตัวแบบอสมการต้องการ 0<h<2/λ. เมื่อ λ=10 /s, h ต้องไม่เกิน 0.2 s; h=0.25 s จะคูณด้วย −1.5 ในแต่ละขั้นตอนและจะเบี่ยงเบน出去พร้อมสัญญาณสลับ ความเสถียรเป็นคุณสมบัติของความสัมพันธ์แบบวนซ้ำ ไม่ใช่ของคำตอบที่แท้จริง

ตรวจสอบคำตอบเชิงตัวเลขสามวิธีก่อนเชื่อถือ: หน่วยของแต่ละพจน์ (λh ต้องไม่มีมิติ), การลู่เข้าภายใต้การปรับละเอียด (ลดทอน h ลงครึ่งหนึ่งแล้วเปรียบเทียบ; ข้อผิดพลาดของ Euler แบบชัดเจนมีอันดับหนึ่ง), และกรณีลิมิตที่มีคำตอบที่แน่นอนทราบแล้ว. สำหรับ y′=−4y กับ y0=8 และ h=0.2, ห้าขั้นตอนให้ 8×0.2⁵=0.00256 เทียบกับคำตอบที่แท้จริง 8e^(−4)≈0.1465: เสถียรแต่ไม่แม่นยำ ดังนั้นควรปรับละเอียด

สนามรัศมีทรงกลมจะมีไดเวอร์เจนซ์

สำหรับ $A_r=Cr$, จะได้ 3C, ไม่ใช่ C. ขอบเขตเชือกที่ยึดติดต้องใช้ $X(0)=X(L)=0$, ดังนั้น $X_n=\sin(n\pi x/L)$ พร้อมจำนวนเต็มบวก n. Euler สำหรับ $\dot y=-\lambda y$ ให้ $y_{n+1}=(1-\lambda h)y_n$. สำหรับ h บวก, ความเสถียรสัมบูรณ์ที่ถูกจำกัดอนุญาตให้ $h\leq2/\lambda$; การสลายตัวสู่ศูนย์ต้องการอสมการแบบเข้ม $0<h<2/\lambda$. ที่จุดปลายบน การแก้เชิงตัวเลขจะสลับค่าโดยไม่ลดทอน ความเสถียรไม่รับรองความถูกต้อง

การนำ Laplacian แบบคาร์ทีเซียนไปใช้กับฟังก์ชันรัศมี, การรวมโหมดที่ละเมิดเงื่อนไขขอบเขต, หรือการอ้างว่ารันที่ดูมีขอบเขตแล้วลู่เข้าโดยไม่ปรับขั้น ให้จับคู่ตัวดำเนินการ เงื่อนไขขอบเขต และเงื่อนไขความเสถียรให้ตรงกับปัญหาจริง

การแยกตัวแปร: การแก้สมการอนุพันธ์ย่อยโดยเขียนตัวแปรที่ไม่ทราบค่าในรูปผลคูณของฟังก์ชันที่มีตัวแปรเดียว

เงื่อนไขความเสถียร: ข้อจำกัดขนาดขั้นตอนที่ทำให้การคำนวณแบบวนซ้ำไม่ขยายความผิดพลาด