Matemática Pura 1

Uma quadrática é uma expressão da forma $ax^2 + bx + c$, onde $a \neq 0$. As letras $a$, $b$, $c$ são os coeficientes (os números fixos). gran parte desta seção trata sobre resolver a equação $ax^2 + bx + c = 0$.

Completando o quadrado

Completar o quadrado significa escrever a quadrática na forma

Essa forma é útil: ela mostra o vértice (ponto de virada) da curva em $(-p,\ q)$, e fornece um método rápido para resolver a equação.

Exemplo resolvido. Escreva $9x^2 - 36x + 8$ na forma $p(x + q)^2 + r$.

Tire o fator $9$ dos dois primeiros termos, depois complete o quadrado dentro:

Assim $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

O discriminante

O discriminante de $ax^2 + bx + c$ é

Ele indica quantas raízes reais (soluções reais) a equação $ax^2 + bx + c = 0$ possui:

Discriminante	Raízes
$b^2 - 4ac > 0$	duas raízes reais distintas
$b^2 - 4ac = 0$	uma raiz real repetida
$b^2 - 4ac < 0$	nenhuma raiz real

Exemplo resolvido. Encontre os valores da constante $k$ para os quais $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tem duas raízes reais distintas.

Aqui $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para duas raízes reais distintas você precisa $b^2 - 4ac > 0$:

Fatorizar: $(k - 4)(k - 16) > 0$, logo $k < 4$ ou $k > 16$. Você também precisa $a \neq 0$, logo $k \neq 0$.

Equações e desigualdades quadráticas

Para resolver uma equação quadrática, fatore, complete o quadrado ou use a fórmula

Para resolver uma desigualdade quadrática como $(k - 4)(k - 16) > 0$, encontre as duas raízes, depois decida qual lado de cada raiz torna a afirmação verdadeira. Um esboço da parábola ajuda: uma curva voltada para cima com duas raízes distintas está acima do eixo $x$ (positivo) fora das raízes e abaixo dele (negativo) entre elas.

Exemplo resolvido de desigualdade. Resolva $-x^2+4x-3\geq0$. Multiplicando por $-1$ inverte-se a desigualdade:

Os fatores têm sinais opostos entre as raízes, logo $1\leq x\leq3$. A igualdade é permitida em ambas as extremidades. Testar $x=2$ na expressão original resulta em $-1$, que satisfaz a desigualdade; um ponto externo, como $x=0$, resulta em $3$, que não satisfaz. Não selecione automaticamente os intervalos externos quando o coeficiente líder original for negativo.

Para um coeficiente líder negativo, a constante do quadrado completo é um máximo: $-2x^2+12x-11=-2(x-3)^2+7$ tem máximo $7$ em $x=3$. Completar o quadrado ainda funciona; o sinal altera a interpretação.

Equações simultâneas

Para resolver um sistema de equações simultâneas onde uma é linear e outra é quadrática, use a substituição: reorganize a equação linear para isolar uma variável e substitua-a na quadrática. Isso resulta em uma única equação quadrática a ser resolvida.

Substituição resolvida. Resolva $x+2y=7$ e $x^2+4y^2=25$. A equação linear fornece $x=7-2y$, portanto

A fatoração resulta em $(2y-3)(y-2)=0$, logo $y=\tfrac32$ ou $2$. Recupere os valores correspondentes de $x$: as soluções são $(4,\tfrac32)$ e $(3,2)$. Cada par gera $x+2y=7$ e $x^2+4y^2=25$. Mantenha o pareamento ao apresentar as respostas.

Ao encontrar interseções, forme primeiro a equação comum. Para $y=x^2-2x+3$ e $y=x+k$, a equação de interseção é $x^2-3x+3-k=0$ e seu discriminante é $4k-3$. Não possui interseção real para $k<\tfrac34$, uma interseção repetida para $k=\tfrac34$ e duas para $k>\tfrac34$. O ponto de fronteira é $(\tfrac32,\tfrac94)$.

Equações que são quadráticas disfarçadas

Algumas equações são quadráticas em alguma função de $x$. Por exemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ é quadrática em $x^2$: deixe $u = x^2$, resolva $u^2 - 5u + 4 = 0$, depois volte para $x$. Você usará essa ideia novamente em trigonometria.

Aqui $(u-1)(u-4)=0$, logo $x^2=1$ ou $4$ e $x=\pm1,\pm2$. Sempre retorne da substituição à variável original.

Substituição com raiz quadrada resolvida. Para $6x+\sqrt{x}-1=0$, faça $v=\sqrt{x}\geq0$. Então

Apenas $v=\tfrac13$ é permitido; $v=-\tfrac12$ não pode ser uma raiz quadrada. Assim $x=v^2=\tfrac19$, que satisfaz a equação original. Elevar ao quadrado um valor negativo rejeitado não é um método válido para recuperar outra solução.

Usando raízes dadas para encontrar constantes

Uma raiz é uma entrada que resulta em zero. Substitua cada raiz declarada no polinômio original para obter condições simultâneas, ou expanda sua forma fatorada e compare os coeficientes. Se as raízes forem $\alpha$ e $\beta$, então

Exemplo resolvido. Suponha $px^2+6x-8$ tenha raízes $2m$ e $-4m$, com $p,m\ne0$. Expandir $p(x-2m)(x+4m)$ resulta em $px^2+2pmx-8pm^2$. Logo $pm=3$ e $pm^2=1$, fornecendo $m=\tfrac13$ e $p=9$. Ambas as raízes reais $\tfrac23$ e $-\tfrac43$ satisfazem $9x^2+6x-8=0$. Não assuma que um parâmetro seja positivo a menos que a questão especifique essa condição.

Uma função é uma regra que associa cada entrada a exatamente uma saída. Escreva-a como $f(x)$. A composição de funções $fg(x)$ significa aplicar $g$ primeiro e depois aplicar $f$ ao resultado.

• O domínio é o conjunto de entradas permitidas $x$.
• A imagem (ou contradomínio real) é o conjunto de saídas que a função realmente produz.

Uma função é biunívoca (um-para-um) se entradas diferentes sempre produzem saídas diferentes. (Nenhuma saída é repetida.) Apenas uma função biunívoca possui função inversa $f^{-1}$, que inverte a regra original.

A composição de duas funções significa aplicá-las sequencialmente. $fg(x)$ significa "faça $g$ primeiro, depois $f$": $fg(x) = f(g(x))$. A função composta $fg$ existe apenas quando a imagem de $g$ está contida no domínio de $f$.

Essa condição aplica-se a todo o domínio declarado da função interna. Se $f(x)=\sqrt x$ para $x\geq0$ e $g(x)=x-3$ para todos os reais $x$, $fg(x)=\sqrt{x-3}$ não está definida em todo esse domínio interno. Uma nova restrição $x\geq3$ torna a fórmula válida ali; declare explicitamente essa alteração.

Para encontrar a imagem, verifique se uma fronteira é atingida. Para $x\geq1$, a imagem de $1/x$ é $0<y\leq1$; zero é aproximado mas nunca atingido. Um quadrático restrito também precisa de seu domínio real: $(x-1)^2+2$ para $x\geq3$ tem imagem $y\geq6$, pois sua entrada de vértice está excluída.

Condição de extremidade aberta. Faça $F(x)=1/(x-2)$ para $x>2$ e $G(x)=3x+2$ para $x>a$. A imagem de $G$ é $(3a+2,\infty)$. Ela está contida inteiramente no domínio de $F$ quando $3a+2\geq2$, logo $a\geq0$. A igualdade é permitida porque a extremidade inferior dessa imagem não é atingida. Para $a<0$, a entrada permitida $0$ produz a saída proibida $G(0)=2$.

Encontrando uma inversa

Para encontrar $f^{-1}$: escreva $y = f(x)$, deixe $x$ como tema (sujeito), depois troque as letras.

Exemplo resolvido. A função $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encontre $f^{-1}(x)$.

Escreva $y = (x + 3)^2 - 12$ e resolva para $x$:

Você tira a raiz positiva porque $x \geqslant 0$ significa $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Então A imagem original é $[-3,\infty)$, atingida por entradas originais $x\geq0$. Portanto, o inverso tem domínio $x\geq-3$ e imagem $f^{-1}(x)\geq0$. Exigir apenas que o radical seja real resultaria no domínio inverso maior e incorreto $x\geq-12$.

Uma restrição diferente pode exigir o ramo negativo da raiz quadrada. Para $h(x)=(x+1)^2-5$ com $x\leq-1$, resolva $y+5=(x+1)^2$ usando $x+1\leq0$:

Sua imagem é $h^{-1}(x)\leq-1$. A extremidade $(-1,-5)$ reflete para $(-5,-1)$ e o ponto $(-3,-1)$ reflete para $(-1,-3)$. Uma resposta $\pm$ não definiria uma função inversa biunívoca. O inverso também difere do recíproco $1/h(x)$.

Para inverter uma composição de funções biunívocas compatíveis, inverta sua ordem: $(gf)^{-1}=f^{-1}g^{-1}$. Alternativamente, forme primeiro a regra composta, depois invirta-a com a restrição de domínio original.

Por exemplo, $f(x)=(x-1)^2+2$ para $x\leq1$ e $g(x)=5-x$ resulta em $H(x)=gf(x)=3-(x-1)^2$, com imagem $H(x)\leq3$. Resolver $y=3-(x-1)^2$ usando $x-1\leq0$ fornece $H^{-1}(x)=1-\sqrt{3-x}$ para $x\leq3$, com imagem $H^{-1}(x)\leq1$. Compor e depois inverter mantém toda a condição de ramos visível.

Gráficos de inversas e transformações

O gráfico de $y = f^{-1}(x)$ é o reflexo de $y = f(x)$ em relação à reta $y = x$.

Você deve conhecer essas transformações de $y = f(x)$: Nas descrições de alongamento abaixo, considere $a>0$. Multiplicadores negativos também exigem reflexão: $-f(x)$ reflete no eixo $x$ e $f(-x)$ reflete no eixo $y$.

Nova equação	Efeito no gráfico
$y = f(x) + a$	translação para cima por $a$
$y = f(x + a)$	translação para a esquerda em $a$
$y = a\,f(x)$	alongamento na direção $y$, fator de escala $a$
$y = f(ax)$	alongamento na direção do eixo $x$, fator de escala $\tfrac{1}{a}$

Quando duas transformações são combinadas, a ordem pode importar. Descreva cada uma completamente (tipo, direção e quantidade).

Para $g(x)=2f(x+3)-1$, aplique duas transformações: alongue verticalmente por um fator de $2$, depois translade por $(-3,-1)$ (esquerda $3$ e baixo $1$ juntos). Um ponto $(4,5)$ torna-se $(4,10)$, depois $(1,9)$. Inverter essas mesmas operações resulta em $2(f(x+3)-1)=2f(x+3)-2$, um gráfico diferente. Se duas transformações forem necessárias, combine os deslocamentos horizontal e vertical em uma única translação. Para um multiplicador horizontal de $f(ax)$, um ponto $(s,t)$ move-se para $(s/a,t)$; o fator de escala é o recíproco, não $a$.

Geometria analítica conecta posições, distâncias e interseções com álgebra. Uma linha reta pode cruzar uma fronteira circular duas vezes, tocá-la uma vez ou não tocá-la. Resolva suas equações conjuntamente para distinguir esses casos exatamente.

Escolha e verifique a equação de uma reta

Para dois pontos com coordenadas $x$ diferentes, o gradiente é

Formas úteis de uma equação de uma reta são

Por exemplo, entre $(2,3)$ e $(6,11)$, a inclinação é $2$. A mesma reta é $y-3=2(x-2)$, $y=2x-1$ ou $2x-y-1=0$. Substitua cada ponto dado para verificar. Em $2x-3y+6=0$, reorganizando obtém-se $y=\tfrac23x+2$, portanto a inclinação é $2/3$, não $2$.

Linhas paralelas distintas e não verticais possuem inclinações iguais. Para linhas perpendiculares com inclinações finitas, $m_1m_2=-1$. Linhas horizontais $y=h$ têm inclinação zero; linhas verticais $x=k$ têm inclinação indefinida. Elas são perpendiculares, mas a regra do produto não pode ser usada para uma linha vertical. Por meio de $(4,-2)$, as retas horizontal e vertical são $y=-2$ e $x=4$.

Distâncias, pontos médios e mediatrizes

Pitágoras fornece a distância entre dois pontos:

O ponto médio é

Uma mediatriz passa por esse ponto médio perpendicularmente ao segmento. Todo ponto sobre ela está à mesma distância das duas extremidades.

Exemplo resolvido. Para $P(-1,2)$ e $Q(5,6)$, $PQ=\sqrt{6^2+4^2}=2\sqrt{13}$ e $M=(2,4)$. A inclinação do segmento é $2/3$, logo a inclinação da bissetriz é $-3/2$. Sua equação é

O ponto médio sozinho não é uma equação, e uma perpendicular por uma extremidade não é uma bissetriz. Se $PQ$ for horizontal, sua bissetriz é a linha vertical que passa por $M$; não calcule o recíproco de zero.

Leia um círculo em duas formas

Um círculo com centro $(a,b)$ e raio positivo $r$ tem equação

Uma equação expandida precisa de ambos os quadrados completados:

O centro é $(3,-5)$ e o raio $\sqrt{61}$. De modo geral, $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ dá centro $(-g,-f)$ e $r^2=g^2+f^2-c$. Verifique se $r^2>0$ para um círculo real de raio positivo. Se for negativo, não há pontos reais; se for zero, há apenas um ponto. Substitua um ponto proposto na equação para testá-lo.

Use um diâmetro, um semicírculo ou simetria

Exemplo resolvido. Os pontos $P(1,1)$ e $Q(7,11)$ são as extremidades de um diâmetro. Seu ponto médio é $(4,6)$ e seu semi-comprimento é

O círculo é $(x-4)^2+(y-6)^2=34$. O ponto médio de uma corda qualquer não é necessariamente o centro: a condição de diâmetro importa.

O ângulo formado em qualquer outro ponto deste círculo por linhas até $P$ e $Q$ é $90^\circ$: trata-se de um ângulo num semicírculo. Para uma corda que não seja diâmetro, a linha do centro ao seu ponto médio é perpendicular à corda e constitui um eixo de simetria. Use isso para recuperar um ponto de interseção refletido ou uma coordenada ausente.

Por exemplo, $(x-2)^2+(y-1)^2=5$ tem extremidades de diâmetro $A(0,0)$ e $B(4,2)$. O ponto $D(4,0)$ está sobre ele e $\angle ADB=90^\circ$. A corda $AD$ tem ponto médio $(2,0)$, logo sua mediatriz $x=2$ passa pelo centro e reflete $A$ em $D$.

Tangentes: pontos de contato conhecidos e desconhecidos

Uma tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato.

Para o círculo com centro em $(2,1)$ acima, o raio até $B(4,2)$ tem inclinação $1/2$. A tangente tem inclinação $-2$, logo $y-2=-2(x-4)$, ou $2x+y=10$. Use $B$ nesta equação, não o centro. No topo e na base, as tangentes são horizontais, $y=1\pm\sqrt5$; na esquerda e na direita, são verticais, $x=2\pm\sqrt5$.

Exemplo resolvido: pontos de contato desconhecidos. Encontre ambos os pontos neste círculo onde a inclinação da tangente é $-2$. A inclinação do raio deve ser $1/2$, e a reta do raio que passa pelo centro é $y-1=\tfrac12(x-2)$. Substitua $u=x-2$ e substitua:

Os pontos de contato são $(4,2)$ e $(0,0)$, com equações das tangentes $2x+y=10$ e $2x+y=0$. Uma direção de tangente dada normalmente resulta em dois pontos de contato opostos. Mantenha raízes exatas quando as soluções não forem inteiros. Geometria do raio e substituição bastam; diferenciação de círculo não é necessária aqui.

Interseções e limites de parâmetros

Substitua uma reta em um círculo para obter uma quadrática, resolva para uma coordenada e recupere a outra. Em $(x-2)^2+(y-1)^2=5$, a reta $y=0$ resulta em $(x-2)^2=4$, portanto os pontos são $(0,0)$ e $(4,0)$.

Para a família $y=k$, o mesmo círculo resulta em

Há dois pontos quando $1-\sqrt5<k<1+\sqrt5$, um ponto de tangência em cada limite, e nenhum ponto fora desse intervalo. Em qualquer limite $x=2$. Para uma reta geral inclinada, o discriminante da quadrática resultante é positivo, zero ou negativo nos mesmos três casos. Uma raiz repetida indica um único ponto.

Para uma reta e uma curva quadrática, iguale as duas expressões para $y$. Para $y=x^2$ e $y=2x+k$:

Assim, há duas interseções para $k>-1$, uma para $k=-1$ em $(1,1)$, e nenhuma para $k<-1$. Mostre a condição algébrica; apenas um esboço não prova um limite exato. Algumas famílias têm discriminante positivo para todo parâmetro real, então sempre intersectam duas vezes. Verifique separadamente se um parâmetro pode zerar o coeficiente quadrático.

Construir um círculo a partir de lacunas nos eixos

Um círculo inteiramente no primeiro quadrante tem centro $(a,b)$ e raio $r$. Suas menores distâncias aos eixos $y$ e $x$ são $a-r$ e $b-r$, respectivamente.

Exemplo resolvido. A lacuna do eixo $y$ é $1$, a lacuna do eixo $x$ é $3$, e a distância da origem ao centro é $\sqrt{34}$. Então o centro é $(r+1,r+3)$, logo

Rejeite o raio negativo. Portanto $r=2$, centro $(3,5)$, e equação $(x-3)^2+(y-5)^2=4$. O ponto mais distante da origem situa-se ao longo do raio da origem através do centro: seu raio tem inclinação $5/3$, logo sua inclinação tangencial é $-3/5$.

Verificação independente. Um círculo diferente tem menores lacunas dos eixos $x$ e $y$ como sendo $6$ e $2$, e seu centro está a $4\sqrt5$ da origem. Encontre o raio, o centro, a equação do círculo e a inclinação tangente em seu ponto mais distante da origem. Estabeleça as coordenadas do centro antes de calcular.

Verifique após tentar: centro $(r+2,r+6)$ resulta em $(r+2)^2+(r+6)^2=80$. Logo $(r+10)(r-2)=0$, $r=2$, centro $(4,8)$ e equação $(x-4)^2+(y-8)^2=4$. A direção do raio tem inclinação $2$, logo a inclinação tangente é $-1/2$.

Um limite curvo pode conter um arco e várias areitas retas. Identifique cada parte antes de calcular. Um setor, um triângulo e um segmento circular têm áreas e perímetros diferentes.

Defina o radiano e converta ângulos

Um radiano é o ângulo no centro que subdivide um arco com comprimento igual ao raio. Como $\theta=s/r$, uma volta completa equivale a $(2\pi r)/r=2\pi$ radianos. Portanto

Multiplique os graus por $\pi/180$ para obter radianos, ou os radianos por $180/\pi$ para obter graus. Por exemplo, $150^\circ=5\pi/6$ radianos e $7\pi/4$ radianos correspondem a $315^\circ$. Os ângulos podem exceder uma volta: $450^\circ=5\pi/2$ radianos.

Fórmulas de setores, perímetro e problemas inversos

Para um setor com raio $r$ e ângulo $\theta$ em radianos,

Aqui $s$ é o comprimento do arco e $A$ é a área do setor. O perímetro total do setor é $s+2r$. Distingua unidades lineares das unidades quadradas. Converta o ângulo em graus antes de usar essas fórmulas e ative o modo calculadora em radianos para senos ou cossenos.

Se o comprimento do arco e a área forem dados, elimine o ângulo: $A=rs/2$, logo $r=2A/s$ e então $\theta=s/r$.

Exemplo resolvido. Comprimento do arco $8\text{ cm}$ e área do setor $24\text{ cm}^2$ resultam em $r=6\text{ cm}$, $\theta=4/3$ radianos e perímetro total $20\text{ cm}$. O próprio arco não constitui o perímetro.

Cordas e segmentos circulares menores

Para um ângulo central menor $0<\theta<\pi$, bissecte o triângulo isósceles formado por dois raios e sua corda. Isso resulta em

O segmento circular situa-se entre a corda e o arco. O segmento menor é o setor menor menos o triângulo:

Seu perímetro é $r\theta+c$, não $r\theta+2r$.

Para $r=5\text{ cm}$ e $\theta=2$ radianos, o comprimento do arco é $10\text{ cm}$, a área do setor é $25\text{ cm}^2$ e a área do segmento menor é $12.5(2-\sin2)\approx13.6\text{ cm}^2$. O perímetro do segmento menor é $10+10\sin1\approx18.4\text{ cm}$.

Segmentos maiores

O segmento maior é o restante do círculo após remover o segmento menor:

Seu arco usa o ângulo $2\pi-\theta$, portanto seu perímetro é $r(2\pi-\theta)+c$.

Exemplo resolvido. Raio $4\text{ cm}$ e corda $4\sqrt3\text{ cm}$ resultam em $\sin(\theta/2)=\sqrt3/2$. O ângulo menor é $2\pi/3$, a área do triângulo é $4\sqrt3$, e

O comprimento do arco maior é $16\pi/3\text{ cm}$. Adicione a corda para o perímetro de seu segmento. A região maior inclui o triângulo; não é apenas o setor maior.

Limites compostos: nomeie as partes

Exemplo resolvido. Seja $OA=OB=10\text{ cm}$, $\angle AOB=1$ radiano. Remova o setor de raio $4\text{ cm}$, centrado em $O$, do triângulo $OAB$. O limite restante contém duas lacunas retas de comprimento $6$, a corda externa $AB=20\sin(1/2)$ e um arco interno de comprimento $4$.

Não há arco circular externo: $AB$ é reto. Se uma região estiver entre dois arcos de setores concêntricos, sua área é a diferença das áreas dos setores, mas seu perímetro inclui ambos os arcos e ambas as lacunas radiais. Para raios $9$ e $5$ e ângulo $1.4$ radianos, a área é $39.2$ unidades quadradas e o perímetro é $27.6$ unidades. Subtrair áreas não significa subtrair comprimentos.

Use duas condições para encontrar um círculo desconhecido

Se um setor tem área $8\theta\text{ cm}^2$, então $(1/2)r^2\theta=8\theta$. Como $\theta>0$, $r=4\text{ cm}$. Se a área do triângulo é $4\text{ cm}^2$, então $8\sin\theta=4$. A restrição $0<\theta<\pi/2$ seleciona $\theta=\pi/6$, dando área do segmento menor $4\pi/3-4\text{ cm}^2$.

Se uma parte posterior substituir a condição da área do setor, recomece. Uma razão corda-raio pode determinar $\theta$ usando $c=2r\sin(\theta/2)$, então a área do triângulo determina $r$. Não mantenha um raio ou ângulo cuja condição original não se aplique mais.

Círculos diferentes, raios e ângulos diferentes

O diagrama mostra um círculo com centro $O$ e raio $3$, encontrando um círculo com centro $C$ e raio $5$. Aqui $OC=4$ e $PQ$ é o diâmetro do pequeno círculo, perpendicular a $OC$.

Seja $\phi=\angle PCQ=2\tan^{-1}(3/4)\approx1.287$ radianos. O triângulo $PCQ$ tem área $\tfrac12(6)(4)=12$. O segmento menor do círculo grande tem área $\tfrac{25}{2}\phi-12$. Subtraia-o do semicírculo esquerdo pequeno:

O perímetro usa duas peças curvas. As linhas $PQ$ e $OC$ são linhas de construção dentro da imagem, não bordas externas.

Uma corda comum pode dividir outra região de dois círculos em dois segmentos circulares. Rascunhe o lado necessário da corda para cada círculo. Calcule cada setor e triângulo com seu próprio raio e ângulo central antes de combinar suas áreas. Por exemplo, dois círculos de raio $6$, com centros $6$ separados, sobrepõem-se em dois segmentos menores iguais. Triângulos equiláteros dão a cada ângulo central $2\pi/3$. A área de sobreposição é $2(12\pi-9\sqrt3)=24\pi-18\sqrt3$ e seu perímetro são os dois arcos menores, $8\pi$. A corda comum é interna.

Verificação independente. Substitua o raio pequeno por $4$, defina $OC=3$ e mantenha o raio maior $5$, com a mesma geometria de diâmetro perpendicular. Encontre a área e o perímetro da lua crescente com três algarismos significativos.

Verifique após tentar: $\phi=2\tan^{-1}(4/3)$. O triângulo grande ainda tem área $12$. Portanto, a área é $=8\pi-\tfrac{25}{2}\phi+12\approx14.0$ unidades quadradas e o perímetro é $=4\pi+5\phi\approx21.8$ unidades.

Um ponto em uma roda giratória sobe e desce. Um modelo trigonométrico descreve esse ciclo, mas seu gráfico deve ter a escala de altura e cronometragem corretas. Um ângulo de calculadora pode omitir outra posição válida no mesmo intervalo.

Valores exatos e sinais

No círculo unitário, um ponto tem coordenadas $(\cos\theta,\sin\theta)$. Os sinais seguem o quadrante, incluindo ângulos negativos e voltas além de $360^\circ$. Os gráficos do seno e do cosseno têm amplitude $[-1,1]$ e período $2\pi$ radianos ou $360^\circ$. A função tangente se repete a cada $\pi$ radianos ou $180^\circ$ e é indefinida onde $\cos\theta=0$.

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$1/2$	$1/\sqrt2$	$\sqrt3/2$
$\cos\theta$	$\sqrt3/2$	$1/\sqrt2$	$1/2$
$\tan\theta$	$1/\sqrt3$	$1$	$\sqrt3$

Use o ângulo de referência, o ângulo agudo em relação ao eixo $x$, para obter a magnitude. Em seguida, escolha o sinal. Por exemplo, $\cos150^\circ=-\sqrt3/2$, $\sin(-\pi/6)=-1/2$ e $\sin(3\pi/4)=1/\sqrt2$. A notação $\sin^2\theta$ significa $(\sin\theta)^2$.

Gráficos transformados

Para $y=d+a\sin(bx+c)$ ou $d+a\cos(bx+c)$, com $a,b\ne0$, a linha central é $y=d$, a amplitude é $|a|$ e o período é $2\pi/|b|$ radianos ou $360^\circ/|b|$. Encontre os pontos-chave igualando o ângulo dentro da função a valores conhecidos.

Para $y=2+3\cos2x$, a amplitude é $[-1,5]$ e o período é $\pi$. Em $[0,2\pi]$, máximos ocorrem em $x=0,\pi,2\pi$ e mínimos em $x=\pi/2,3\pi/2$. Há dois ciclos completos.

Para $y=\tan(x+\pi/4)$, desloque o gráfico tangente da base para a esquerda em $\pi/4$. Em $[-\pi,\pi]$, as assíntotas são $x=-3\pi/4,\pi/4$, os zeros são $-\pi/4,3\pi/4$ e o intercepto no eixo $y$ é $1$. Seu período é $\pi$ e não possui amplitude finita. Desenhe ramos crescentes separados; nunca ligue através de uma assíntota.

Valores principais e notação inversa

As notações $\sin^{-1}u$, $\cos^{-1}u$ e $\tan^{-1}u$ retornam um valor principal, um ângulo na faixa inversa especificada:

Inversa	Faixa principal em radianos	Em graus
Seno	$[-\pi/2,\pi/2]$	$[-90^\circ,90^\circ]$
Cosseno	$[0,\pi]$	$[0^\circ,180^\circ]$
Tangente	$(-\pi/2,\pi/2)$	$(-90^\circ,90^\circ)$

O seno/cosseno inversos exigem uma entrada em $[-1,1]$; o tangente inverso aceita qualquer entrada real. O sobrescrito $-1$ indica inverso aqui, não recíproco. Assim $\sin^{-1}(\sin150^\circ)=30^\circ$, mas $\sin\theta=1/2$ tem tanto $30^\circ$ quanto $150^\circ$ em $[0^\circ,360^\circ]$.

Para resolver $\tan^{-1}(2x-1)=-\pi/4$, aplique a tangente: $2x-1=-1$, logo $x=0$. A saída inversa dada está dentro da faixa principal.

Prove identidades com álgebra válida

As duas identidades fundamentais são

Uma identidade é válida sempre que ambos os lados estiverem definidos. Indique as restrições do denominador e comece por um dos lados, sem assumir a igualdade que deve provar. Por exemplo, onde $\sin\theta\ne0$:

A condição também exclui $\cos\theta=-1$, logo o fator cancelado é não nulo. Não confunda $\sin^2\theta+\cos^2\theta$ com $(\sin\theta+\cos\theta)^2$.

Uma equação trigonométrica pede todos os ângulos no intervalo especificado.

Reduza equações a uma função trigonométrica

Exemplo resolvido. Resolva $2\cos^2\theta-\sin\theta-1=0$ em $[0,2\pi]$. Substitua $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$:

Portanto $\sin\theta=1/2$ ou $-1$. A resposta completa é $\theta=\pi/6,5\pi/6,3\pi/2$. O valor principal $-\pi/2$ não está neste intervalo, logo use $3\pi/2$ em vez disso. Rejeite valores de seno/cosseno fora de $[-1,1]$. Se resolver para $\sin^2\theta$, recupere ambos os sinais da raiz quadrada antes de encontrar os ângulos.

Altere o intervalo interno

Para $\sin2x=1/2$ e $-\pi<x<\pi$, faça $u=2x$. Pesquise todo o intervalo $-2\pi<u<2\pi$, não apenas uma volta. Suas soluções são $u=-11\pi/6,-7\pi/6,\pi/6,5\pi/6$. Dividindo por $2$ obtém-se

Para um ângulo deslocado como $2x-\pi/6$, transforme primeiro ambas as extremidades do intervalo e, em seguida, converta todas as soluções de ângulo interno de volta para $x$. Verifique extremidades abertas/fechadas na equação original.

Mantenha fatores zero e exclua ângulos indefinidos

Dividir por uma expressão trigonométrica pode fazer perder raízes. Escreva $\sin\theta\cos\theta=\sin\theta$ como $\sin\theta(\cos\theta-1)=0$, mantendo o caso $\sin\theta=0$.

Para uma equação fracionária, primeiramente indique a restrição do denominador. Por exemplo, resolva $6\sin\theta=1+2/\sin\theta$ para $-180^\circ<\theta<180^\circ$. Como $\sin\theta\ne0$, a multiplicação resulta em

O valor $2/3$ fornece $41.8^\circ,138.2^\circ$ e $-1/2$ fornece $-150^\circ,-30^\circ$. Todos os quatro são válidos na equação original. Mantenha a precisão da calculadora até os ângulos finais.

Verificações independentes de gráfico e equação

Esboce $y=1+\sin x$ e $y=x/2$ juntos para $0\le x\le2\pi$. Rotule os cinco pontos-chave da curva senoidal e conte as soluções de $1+\sin x=x/2$.

Verifique após tentar: a curva passa por $(0,1),(\pi/2,2),(\pi,1),(3\pi/2,0),(2\pi,1)$. Há uma interseção, entre $\pi/2$ e $\pi$. Ali a curva desce e a reta sobe. Antes de $\pi/2$ a curva está pelo menos $1$ e a reta abaixo de $1$; depois de $\pi$ a curva está no máximo $1$ e a reta acima de $1$.

Também resolva $\sin(2x-\pi/6)=-1/2$ em $[-\pi,\pi]$. O intervalo interno é $[-13\pi/6,11\pi/6]$, resultando em $x=-\pi,-\pi/3,0,2\pi/3,\pi$. Ambas as extremidades são válidas. Uma lista correta de propriedades não substitui um gráfico real, e um único valor inverso principal não substitui todas as soluções da equação.

Expansão binomial

Para um inteiro positivo $n$, a expansão binomial é

onde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ é um coeficiente binomial.

Exemplo resolvido. Encontre os primeiros três termos, em potências crescentes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Progressões aritméticas e geométricas

Uma progressão (sequência) é uma lista de termos seguindo uma regra.

• Uma progressão aritmética (PA) adiciona uma diferença comum fixa $d$ em cada passo. O $n$º termo é $u_n = a + (n - 1)d$, e a soma dos primeiros $n$ termos é $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Uma progressão geométrica (PG) multiplica por uma razão comum fixa $r$ em cada passo. O $n$º termo é $u_n = ar^{\,n-1}$, e $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Para um primeiro termo não nulo, uma série geométrica é convergente — suas somas parciais convergem (assintotizam-se a um limite) — exatamente quando $|r| < 1$. Nesse caso, possui uma soma infinita

Exemplo resolvido. O terceiro termo de uma PG é $18$ e a soma dos primeiros três termos é $26$. A razão comum é negativa. Encontre a soma ao infinito.

De $ar^2 = 18$ você obtém $a = \dfrac{18}{r^2}$. Coloque isso em $a(1 + r + r^2) = 26$:

A razão é negativa, então $r = -\tfrac34$ e $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Então

Selecione um termo binomial ou um coeficiente em um produto

O termo numerado $k+1$ em $(a+b)^n$ é $\binom nk a^{n-k}b^k$, com $k=0,\ldots,n$ e $0!=1$. O expoente $n$ é um inteiro positivo aqui. Mantenha o sinal dentro da parte elevada à potência.

Exemplo resolvido. Em $(x^2+2/x)^6$, o termo geral é $\binom6k2^kx^{12-3k}$. O termo constante exige $12-3k=0$, logo $k=4$ e a resposta é $15\times16=240$.

Para o coeficiente de $x^2$ em $(1+3x)(2-x)^4$, apenas dois pareamentos contribuem: o constante 1 vezes $24x^2$, e $3x$ vezes $-32x$. O coeficiente é $24-96=-72$. Quando ocorrem potências negativas, liste todos os pareamentos possíveis antes de selecionar os termos.

Encontrar uma PA desconhecida e selecionar seus termos

Se $u_3=13$ e $u_8=33$, então $a+2d=13$ e $a+7d=33$. A subtração resulta em $d=4$ e $a=5$. Logo $u_{10}=41$ e $S_{10}=\frac{10}{2}(5+41)=230$.

Para $a=4,d=3$, os termos estritamente entre 20 e 41 satisfazem $20<3n+1<41$. Suas posições são de 7 até 13: há $13-7+1=7$ termos, de 22 a 40. A soma é $\frac72(22+40)=217$, também $S_{13}-S_6$. Verifique se as extremidades estão incluídas na questão.

Conectar progressões e verificar convergência

Três termos consecutivos de uma PA $p,q,s$ satisfazem $2q=p+s$. Três termos consecutivos de uma PG satisfazem $q^2=ps$. Se $p,q,s$ são termos de PG enquanto $p,q,-2s$ são de PA, substitua $q=pr,s=pr^2$ em $2q=p-2s$. Para $p\ne0$, isso resulta em $2r^2+2r-1=0$. Resolva e aplique quaisquer restrições de sinal ou convergência.

Para uma PG finita com $r=1$, use $S_n=na$; a fórmula da fração tem denominador zero. Para um primeiro termo não nulo, uma série geométrica infinita tem soma finita exatamente quando $|r|<1$. Uma razão negativa pode convergir: os sinais alternam e as somas parciais aproximam-se do limite por ambos os lados. Para $r=-1$, elas continuam oscilando em vez disso.

Após remover os primeiros $n$ termos, a soma restante é

Exemplo resolvido. Um segundo termo de $-12$ e soma infinita 16 fornecem $ar=-12$ e $a=16(1-r)$. Assim $4r^2-4r-3=0$. Rejeite $r=3/2$ porque não pode convergir, restando $r=-1/2,a=24$. Após três termos, a soma infinita restante é $24(-1/2)^3/(3/2)=-2$. Uma cauda negativa é válida: o total finito estava acima da soma limite.

Diferenciação encontra a inclinação de uma curva em cada ponto. A inclinação é o limite das inclinações de cordas cada vez menores, chamado de derivada.

As regras

Escreva a derivada como $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. A regra básica é

Derive somas termo a termo e use a regra da cadeia para uma função dentro de outra função: Derivar novamente resulta na segunda derivada $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Usando a derivada

• Tangente e normal. O gradiente da curva num ponto é o gradiente da tangente naquele local. A normal é perpendicular à tangente, portanto seu gradiente é $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$ quando o gradiente da tangente for não nulo. Uma tangente horizontal possui uma normal vertical.
• Crescente ou decrescente. A função é uma função crescente onde $\dfrac{dy}{dx} > 0$, e uma função decrescente onde $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Taxa de variação. Uma derivada é uma taxa de variação. Taxas relacionadas usam a regra da cadeia, p. ex., $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Pontos estacionários

Um ponto estacionário ocorre onde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Teste sua natureza com a segunda derivada: $f''(x) > 0$ indica um ponto mínimo, e $f''(x) < 0$ indica um ponto máximo. Quando $f''(x) = 0$, o teste é inconclusivo. Verifique o sinal da primeira derivada em ambos os lados: negativo para positivo confirma um mínimo, e positivo para negativo confirma um máximo. Por exemplo, $y=x^4$ tem um mínimo em zero, apesar de ambas as derivadas serem zero ali.

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ tem um ponto de máximo em $x = a$. Encontre $a$.

Assim $a = 4$.

Cordas, potências racionais e raiz aninhada

Para $y=x^3$, o gradiente da corda de $x=2$ a $x=2+h$ é $[(2+h)^3-8]/h=12+6h+h^2$ para $h\ne0$. À medida que $h\to0$, isso tende a 12, o gradiente da tangente. Esta é uma explicação informal da derivada; não substitua zero no quociente original.

Para $x>0$, $f=3\sqrt x+2/x$ resulta em $f'=\frac32x^{-1/2}-2x^{-2}$ e $f''=-\frac34x^{-3/2}+4x^{-3}$. Para uma função aninhada $y=\sqrt{2x^3+5}$, use a regra da cadeia para obter $dy/dx=3x^2/\sqrt{2x^3+5}$, onde o argumento da raiz seja positivo.

Escrever a tangente e a normal

Encontre o ponto e a inclinação. Em $y=x^2$ em $(1,1)$, $dy/dx=2$, fornecendo tangente $y-1=2(x-1)$ e normal $y-1=-\frac12(x-1)$. Se um ponto $(p,q)$ tem inclinação zero, sua tangente é $y=q$ e sua normal é $x=p$.

De pontos estacionários a um esboço

Para $f=x^3-6x^2+9x+2$, $f'=3(x-1)(x-3)$, então os pontos estacionários têm $x=1,3$. Substitua na função original: $(1,6)$ é um máximo porque $f''(1)=-6$; $(3,2)$ é um mínimo porque $f''(3)=6$. A derivada é positiva para $x<1$ e $x>3$, e negativa para $1<x<3$. Um esboço também precisa de interceptos e quaisquer restrições de domínio.

Taxas relacionadas e otimização

Se $A=\pi r^2$, então $dA/dt=(dA/dr)(dr/dt)=2\pi r\,dr/dt$. Em $r=5$ cm e $dr/dt=0.3$ cm/s, $dA/dt=3\pi$ cm²/s. Comece com uma taxa negativa para uma quantidade decrescente. Derivadas em relação a um comprimento e em relação ao tempo são taxas diferentes.

Para um retângulo ao lado de uma parede, 60 m de cerca cobrem duas larguras $x$ e um comprimento $y$. A restrição é $2x+y=60$. Portanto $A=x(60-2x)$ com $0<x<30$. Resolva $A'=60-4x=0$, dando $x=15,y=30$. Como $A''=-4<0$, a área máxima é $450$ m². Verifique o domínio físico e seus limites antes de aceitar um ótimo.

Integração é a operação inversa da diferenciação. Inverter a regra da potência resulta em

O $+\,C$ é a constante de integração. Se você conhece um ponto na curva, substitua-o para encontrar $C$.

Integrais definidas e área

Uma integral definida possui limites e resulta em um número:

Para $p<q$, uma integral definida conta contribuições acima do eixo $x$ positivamente e aquelas abaixo negativamente. Ela equivale à área geométrica apenas quando a curva é não-negativa em toda parte. Para área total, divida nas raízes e some as magnitudes de cada integral. Para a área entre duas curvas, integre (curva superior $-$ curva inferior), dividindo sempre que sua ordem mudar. Inverter os limites inverte o sinal da integral.

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ cruza o eixo $x$ novamente em $x = 16$. Encontre a área entre a curva e o eixo $x$ de $x = 0$ a $x = 4$.

Uma integral imprópria tem um limite infinito ou um extremo onde o integrando não está definido; avalie-a como um limite. Por exemplo,

e $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\lim_{a\to0^+}\left[2x^{1/2}\right]_a^{1}=2$, que é finito mesmo quando o integrando tende ao infinito em $x=0$.

Volume de revolução

Quando uma região é girada completamente em torno de um eixo, ela gera um sólido. O volume de revolução em torno do eixo $x$ é

e em torno do eixo $y$ é $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Por exemplo, a região sob $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ a $x = 4$, girada em torno do eixo $x$, tem volume $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

Uma curva a partir de duas condições

Se $y''=6x$ e $(1,4)$ é um ponto estacionário, integre uma vez para $y'=3x^2+A$. A inclinação é zero lá, então $A=-3$. Integre novamente para $y=x^3-3x+B$; usando o ponto dá $B=6$. Duas integrações exigem duas constantes determinadas separadamente. Verifique o resultado diferenciando.

Área total com sinal e área geométrica

Para $y=x^2-1$ de $x=-1$ a 2, a integral com sinal é zero. Divida em $x=1$: a contribuição em $[-1,1]$ é $-4/3$, e a contribuição em $[1,2]$ é $4/3$. A área geométrica é $4/3+4/3=8/3$ unidades quadradas.

Uma imprópria é finita apenas se seu valor limite existir como número real. Por exemplo, $\int_0^1x^{-2}dx=\lim_{a\to0^+}(1/a-1)$ não tem valor finito. O símbolo de infinito é um limite descrito por um limite, não um número a ser substituído.

Uma lacuna entre curvas ou uma tangente e uma curva

As curvas $y=2x$ e $y=x^2$ se intersectam em $x=0,2$. A reta está acima da parábola entre elas, então a área delimitada é $\int_0^2(2x-x^2)dx=4/3$ unidades quadradas. Se as curvas superior e inferior trocarem de lugar, divida a integral nessa interseção.

Para $y=2x-x^2$, a tangente em $(1,1)$ é $y=1$. Em $0\le x\le1$, a área sob a curva é $2/3$ e o retângulo sob a tangente tem área 1. A lacuna é $1-2/3=1/3$. Encontre a equação de uma tangente e os interceptos relevantes antes de selecionar os limites em uma questão de área composta.

Rotação com furo e rotação em torno de qualquer eixo

A região não precisa tocar o eixo de rotação. Uma fatia tem então raio externo $R$ e raio interno $r$; sua área da seção transversal é $\pi(R^2-r^2)$, não $\pi(R-r)^2$.

Entre $y=4-x^2$ e $y=1$, as interseções ocorrem em $x=\pm\sqrt3$. A rotação em torno do eixo $x$ resulta em

Sobre o eixo $y$, use fatias horizontais e expresse os raios em termos de $y$: $V=\pi\int(R(y)^2-r(y)^2)dy$. A região delimitada por $0\le x\le\sqrt y$, $0\le y\le4$, gera $V=\pi\int_0^4y\,dy=8\pi$. Os limites devem ser valores de $y$ ao integrar em relação a $y$. Inclua qualquer raio interno e indique unidades cúbicas.

• Mostre todas as linhas de álgebra — perdem-se pontos de método ao pular etapas; use o discriminante $b^2 - 4ac$ para determinar o número de raízes reais.
• Trabalhe em radianos para medidas circulares (arco $= r\theta$, área do setor $= \frac{1}{2}r^2\theta$).
• Para diferenciação, igualize $\frac{dy}{dx} = 0$ para pontos estacionários e use a derivada segunda para classificá-los.
• Para integração, adicione $+ c$ a uma integral indefinida e use limites para área; uma área abaixo do eixo resulta em uma integral negativa.