Quadratics · Quadráticas
| English | Português |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | quadrática |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | completando o quadrado |
| vertex/ˈvɜːteks/ | vértice |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | discriminante |
The path of a thrown ball
- Throw a ball and it traces a parabola 抛物线 — the same curve described by every quadratic 二次式 equation.
- Galileo proved this in 1638. Today, quadratics appear in physics, economics, engineering, and optimization.
- Mastering them means you can find the peak, the roots, and the shape of any parabola.
O trajeto de uma bola lançada
- Lançar uma bola e ela traçar uma parábola 抛物线 — a mesma curva descrita por toda equação quadrática 二次式.
- Galileo provou isso em 1638. Hoje, as quadráticas aparecem em física, economia, engenharia e otimização.
- Dominá-las significa que você pode encontrar o pico, as raízes e a forma de qualquer parábola.
Completing the square 配方法
- A quadratic is $ax^2 + bx + c$ (with $a \neq 0$).
- Completing the square rewrites it as $a(x+p)^2 + q$.
- This reveals the vertex 顶点 (turning point) at $(-p,\ q)$.
- Example: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → vertex $(3, -4)$.
Completing the square reveals the vertex directly: $y = (x-3)^2 - 4$ has its minimum at $(3, -4)$.
Worked example. Complete the square for $2x^2 + 8x + 3$: factor out $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Vertex: $(-2, -5)$.
Completando o quadrado 配方法
- Uma quadrática é $ax^2 + bx + c$ (com $a \neq 0$).
- Completar o quadrado reescreve como $a(x+p)^2 + q$.
- Isso revela o vértice 顶点 (ponto de virada) em $(-p,\ q)$.
- Exemplo: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → vértice $(3, -4)$.
Completar o quadrado revela o vértice diretamente: $y = (x-3)^2 - 4$ tem seu mínimo em $(3, -4)$.
Exemplo resolvido. Complete o quadrado para $2x^2 + 8x + 3$: fatorar $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Vértice: $(-2, -5)$.
Completing the square, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. What is the minimum value q? · Completando o quadrado, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. Qual é o valor mínimo q?
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, so q = −4 (the minimum value). · (x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, logo q = −4 (o valor mínimo).
Complete the square: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. What is p? · Completar o quadrado: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. Qual é p?
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, so p = 2. · 2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, logo p = 2.
The discriminant 判别式
- The discriminant is $\Delta = b^2 - 4ac$. It counts the real roots:
- $b^2 - 4ac > 0$ → two distinct real roots,
- $b^2 - 4ac = 0$ → one repeated root,
- $b^2 - 4ac < 0$ → no real roots.
- The quadratic formula: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
The sign of the discriminant fixes how many times the parabola meets the x-axis: two roots, one, or none
The discriminant is under the square root. If $b^2 - 4ac < 0$, you'd need $\sqrt{\text{negative}}$, which has no real value — so the parabola never crosses the $x$-axis.
A suspension bridge: the main cable hangs in a parabola
O discriminante 判别式
- O discriminante é $\Delta = b^2 - 4ac$. Ele conta as raízes reais:
- $b^2 - 4ac > 0$ → dois raízes reais distintas,
- $b^2 - 4ac = 0$ → uma raiz repetida,
- $b^2 - 4ac < 0$ → nenhuma raiz real.
- A fórmula quadrática: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
O sinal do discriminante fixa quantas vezes a parábola encontra o eixo x: duas raízes, uma ou nenhuma
O discriminante está sob a raiz quadrada. Se $b^2 - 4ac < 0$, você precisaria de $\sqrt{\text{negative}}$, que não tem valor real — então a parábola nunca cruza o eixo $x$.
Uma ponte suspensa: o cabo principal pendura-se em uma parábola
Explore the parabola · Explore a parábola
y = ax² + bx + c
Change a, b and · e c to reshape the curve — and watch the vertex · vértice, roots · raízes and · e intercepts move. · Altere a, b e c para remodelar a curva — e observe o vértice, as raízes e as interceptações moverem-se.
For x² + 4x + 1 = 0, what is the discriminant b² − 4ac? · Para x² + 4x + 1 = 0, qual é o discriminante b² − 4ac?
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, so two distinct real roots). · b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, portanto duas raízes reais distintas).
If b² − 4ac < 0, the quadratic equation has: · Se b² − 4ac < 0, a equação quadrática tem:
A negative discriminant means the parabola never crosses the x-axis — no real roots. · Um discriminante negativo significa que a parábola nunca cruza o eixo x — nenhuma raiz real.
The equation x² + 2x + 5 = 0 has two distinct real roots. · A equação x² + 2x + 5 = 0 tem duas raízes reais distintas.
Discriminant = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, so no real roots. · Discriminante = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, logo nenhuma raiz real.
Solving quadratics
- Factorising: fastest when it works. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ or $x = 3$.
- Completing the square: always works, reveals the vertex.
- Quadratic formula: always works, use when factorising is hard.
Resolvendo quadráticas
- Fatoração: mais rápida quando funciona. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ ou $x = 3$.
- Completar o quadrado: sempre funciona, revela o vértice.
- Fórmula quadrática: sempre funciona, use quando a fatoração for difícil.
Solve x² − 5x + 6 = 0. What is the smaller root? · Resolva x² − 5x + 6 = 0. Qual é a menor raiz?
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, so x = 2 or x = 3; the smaller is 2. · x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, logo x = 2 ou x = 3; a menor é 2.
Linked equations and modelling
- Quadratics model: projectile paths, profit curves, bridge arches, satellite dishes.
- The vertex gives the maximum (if $a < 0$) or minimum (if $a > 0$) value.
- Example: a profit function $P = -2x^2 + 40x - 150$. Maximum at $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- You should solve quadratic equations and quadratic inequalities, and a pair of simultaneous equations (one linear, one quadratic).
Equações ligadas e modelagem
- Quadráticas modelam: trajetórias de projéteis, curvas de lucro, arcos de pontes, antenas parabólicas.
- O vértice dá o máximo (se $a < 0$) ou mínimo (se $a > 0$) valor.
- Exemplo: uma função de lucro $P = -2x^2 + 40x - 150$. Máximo em $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- Você deve resolver equações quadráticas e desigualdades quadráticas, e um par de equações simultâneas (uma linear, uma quadrática).
You've got it
- complete the square: $a(x+p)^2 + q$, vertex at $(-p, q)$
- the discriminant $b^2 - 4ac$ counts real roots (+ two, 0 one, − none)
- solve with factorising, completing the square, or the quadratic formula
- the vertex gives the maximum or minimum value of the quadratic
Entendeu?
- complete o quadrado: $a(x+p)^2 + q$, vértice em $(-p, q)$
- o discriminante $b^2 - 4ac$ conta raízes reais (+ duas, 0 uma, − nenhuma)
- resolva com fatoração, completar o quadrado ou a fórmula quadrática
- o vértice dá o máximo ou mínimo valor da quadrática