Matemática do A-Level

Uma quadrática 二次式 é uma expressão da forma $ax^2 + bx + c$, onde $a \neq 0$. As letras $a$, $b$, $c$ são os coeficientes 系数 (os números fixos). gran parte desta seção trata de resolver a equação $ax^2 + bx + c = 0$.

Completando o quadrado

Completar o quadrado 配方 significa escrever a quadrática na forma

Essa forma é útil: mostra o vértice 顶点 (ponto de inversão) da curva em $(-p,\ q)$, e fornece um método rápido para resolver a equação.

Exemplo resolvido. Escreva $9x^2 - 36x + 8$ na forma $p(x + q)^2 + r$.

Tire o fator $9$ dos dois primeiros termos, depois complete o quadrado dentro:

Assim $p = 9$, $q = -2$, $r = -28$.

O discriminante

O discriminante 判别式 de $ax^2 + bx + c$ é

Ele diz quantas raízes reais 实根 (soluções reais) a equação $ax^2 + bx + c = 0$ tem:

Discriminante	Raízes
$b^2 - 4ac > 0$	duas raízes reais distintas 相异
$b^2 - 4ac = 0$	uma raiz real repetida
$b^2 - 4ac < 0$	nenhuma raiz real

Exemplo resolvido. Encontre os valores da constante $k$ para os quais $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ tem duas raízes reais distintas.

Aqui $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Para duas raízes reais distintas você precisa $b^2 - 4ac > 0$:

Fatorizar: $(k - 4)(k - 16) > 0$, logo $k < 4$ ou $k > 16$. Você também precisa $a \neq 0$, logo $k \neq 0$.

Equações e desigualdades quadráticas

Para resolver uma equação quadrática 二次方程, fatorar, completar o quadrado ou usar a fórmula

Para resolver uma desigualdade quadrática 二次不等式 como $(k - 4)(k - 16) > 0$, encontre as duas raízes e depois decida qual lado de cada raiz torna a afirmação verdadeira. Um esboço da parábola 抛物线 ajuda: a curva está acima do eixo $x$ (positivo) fora das raízes e abaixo dele (negativo) entre elas.

Equações simultâneas

Para resolver um par de equações simultâneas 联立方程 onde uma é linear e a outra é quadrática, use substituição 代入: reorganize a equação linear para uma letra, depois insira-a na quadrática. Isso resulta em uma única equação quadrática para resolver.

Equações que são quadráticas disfarçadas

Algumas equações são quadráticas em alguma função de $x$. Por exemplo, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ é quadrática em $x^2$: deixe $u = x^2$, resolva $u^2 - 5u + 4 = 0$, depois volte para $x$. Você usará essa ideia novamente em trigonometria.

Uma função 函数 é uma regra que envia cada entrada para exatamente uma saída. Escreva-a como $f(x)$. A composição de funções 复合函数 $fg(x)$ significa aplicar $g$ primeiro, depois aplicar $f$ ao resultado.

• O domínio 定义域 é o conjunto de entradas permitidas $x$.
• O contradomínio (ou imagem/alcance) 值域 é o conjunto de saídas que a função realmente produz.

Uma função é injetora (um-para-um) 一一对应 se entradas diferentes sempre produzirem saídas diferentes. (Nenhuma saída se repete.) Apenas uma função injetora possui uma função inversa 反函数 $f^{-1}$, que inverte a regra.

A composição 复合 de duas funções significa fazer uma após a outra. $fg(x)$ significa "faça $g$ primeiro, depois $f$": $fg(x) = f(g(x))$. A função composta $fg$ existe apenas quando o contradomínio de $g$ está contido no domínio de $f$.

Encontrando uma inversa

Para encontrar $f^{-1}$: escreva $y = f(x)$, deixe $x$ como tema (sujeito), depois troque as letras.

Exemplo resolvido. A função $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ está definida para $x \geqslant 0$. Encontre $f^{-1}(x)$.

Escreva $y = (x + 3)^2 - 12$ e resolva para $x$:

Você tira a raiz positiva porque $x \geqslant 0$ significa $x + 3 \geqslant 3 > 0$. Então

Gráficos de inversas e transformações

O gráfico de $y = f^{-1}(x)$ é o reflexo 反射 de $y = f(x)$ na linha $y = x$.

Você deve conhecer essas transformações 变换 de $y = f(x)$:

Nova equação	Efeito no gráfico
$y = f(x) + a$	translação 平移 para cima em $a$
$y = f(x + a)$	translação para a esquerda em $a$
$y = a\,f(x)$	alongamento 伸缩 na direção do eixo $y$, fator de escala $a$
$y = f(ax)$	alongamento na direção do eixo $x$, fator de escala $\tfrac{1}{a}$

Quando duas transformações são combinadas, a ordem pode importar. Descreva cada uma completamente (tipo, direção e quantidade).

Geometria analítica 坐标几何 estuda retas e círculos usando suas equações.

Retas

A declive (inclinação) 斜率 da reta que liga $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é

Você pode escrever a equação de uma reta 直线方程 em qualquer uma destas formas: Duas retas são paralelas 平行 quando seus declives são iguais, e perpendiculares 垂直 (em ângulo reto) quando o produto dos seus declives é $-1$.

Círculos

O círculo 圆 com centro 圆心 $(a, b)$ e raio 半径 $r$ tem equação

Uma forma expandida como $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$ é o mesmo círculo: complete o quadrado em $x$ e em $y$ para encontrar o centro e o raio.

Uma tangente 切线 a um círculo toca-o em um único ponto e é perpendicular ao raio naquele ponto. Este fato do ângulo reto resolve a maioria dos problemas de círculos.

Exemplo resolvido. Os pontos $P(1, 1)$ e $Q(7, 11)$ são as extremidades de um diâmetro 直径 de um círculo. Encontre a equação do círculo.

O centro é o ponto médio de $PQ$:

O raio é metade do comprimento de $PQ$: Então o círculo é $(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 34$.

Radianos

Um radiano 弧度 é outra forma de medir ângulos. Um radiano é o ângulo no centro de um círculo que subdivide um arco 弧 igual em comprimento ao raio. A relação entre radianos e graus 度 é

Portanto, para converter graus em radianos, multiplique por $\dfrac{\pi}{180}$; para converter radianos em graus, multiplique por $\dfrac{180}{\pi}$.

Comprimento de arco e área de setor

Para um setor 扇形 com raio $r$ e ângulo $\theta$ em radianos:

Uma corda 弦 divide o setor em um triângulo e um segmento 弓形. A área do segmento é a área do setor menos a área do triângulo:

Exemplo resolvido. Um setor tem centro $O$ e o ângulo em $O$ é $\tfrac{2}{3}\pi$ radianos. Mostre que a área do segmento cortado pela corda é cerca de $0.614 r^2$.

Gráficos e valores exatos

Você precisa saber o formato dos gráficos das funções seno 正弦, cosseno 余弦 e tangente 正切 (escritas $\sin$, $\cos$, $\tan$). Os gráficos do seno e cosseno oscilam entre $-1$ e $1$ e se repetem a cada $360^\circ$ ($2\pi$). Aprenda estes valores exatos:

$\theta$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\sin\theta$	$\tfrac12$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$
$\cos\theta$	$\tfrac{\sqrt3}{2}$	$\tfrac{1}{\sqrt2}$	$\tfrac12$
$\tan\theta$	$\tfrac{1}{\sqrt3}$	$1$	$\sqrt3$

As notações $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ significam o ângulo invertido (o valor principal 主值).

Identidades

Uma identidade 恒等式 é verdadeira para todo valor do ângulo. As duas que você deve saber são

Use-as para reescrever uma equação para que contenha apenas uma função trigonométrica.

Resolvendo equações trigonométricas

Para resolver uma equação trigonométrica 三角方程, primeiro reduza-a a uma única função, depois encontre todas as soluções no intervalo dado.

Exemplo resolvido. Resolva $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Multiplique toda a expressão por $\sin\theta$ para eliminar a fração. Isso cria uma quadrática em $\sin\theta$:

Então $\sin\theta = \tfrac23$ ou $\sin\theta = -\tfrac12$.

• $\sin\theta = \tfrac23$: $\theta = 41.8^\circ$ ou $\theta = 180^\circ - 41.8^\circ = 138.2^\circ$.
• $\sin\theta = -\tfrac12$: $\theta = -30^\circ$ ou $\theta = -150^\circ$.

As quatro soluções são $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.

Expansão binomial

Para um inteiro positivo $n$, a expansão binomial 二项展开式 é

onde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n - r)!}$ é um coeficiente binomial 二项式系数.

Exemplo resolvido. Encontre os primeiros três termos, em potências crescentes de $x$, de $(2 - px)^5$.

Progressões aritméticas e geométricas

Uma progressão 数列 (sequência) é uma lista de termos seguindo uma regra.

• Uma progressão aritmética 等差数列 (PA) adiciona uma diferença comum 公差 fixa $d$ a cada etapa. O $n$º termo 项 é $u_n = a + (n - 1)d$, e a soma dos primeiros $n$ termos é $S_n = \tfrac{n}{2}\big(2a + (n - 1)d\big)$.
• Uma progressão geométrica 等比数列 (PG) multiplica por uma razão comum 公比 fixa $r$ a cada etapa. O $n$º termo é $u_n = ar^{\,n-1}$, e $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$.

Uma PG é convergente — ela converge 收敛 (assenta-se num limite) — quando $|r| < 1$. Então ela tem uma soma ao infinito 无穷和

Exemplo resolvido. O terceiro termo de uma PG é $18$ e a soma dos primeiros três termos é $26$. A razão comum é negativa. Encontre a soma ao infinito.

De $ar^2 = 18$ você obtém $a = \dfrac{18}{r^2}$. Coloque isso em $a(1 + r + r^2) = 26$:

A razão é negativa, então $r = -\tfrac34$ e $a = \dfrac{18}{(3/4)^2} = 32$. Então

Diferenciação 微分 encontra o declive de uma curva 曲线斜率 em cada ponto. O declive é o limite 极限 dos declives de cordas cada vez menores, chamado de derivada 导数.

As regras

Escreva a derivada como $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$. A regra básica é

Diferencie somas termo a termo, e use a regra da cadeia 链式法则 para uma função dentro de outra função: Diferenciar novamente resulta na derivada segunda 二阶导数 $f''(x)$ ou $\dfrac{d^2y}{dx^2}$.

Usando a derivada

• Tangente e normal. A inclinação da curva num ponto é a inclinação da tangente nesse ponto. A normal 法线 é perpendicular à tangente, logo sua inclinação é $-\dfrac{1}{\text{(tangent gradient)}}$.
• Crescente ou decrescente. A função é uma função crescente 增函数 onde $\dfrac{dy}{dx} > 0$, e uma função decrescente 减函数 onde $\dfrac{dy}{dx} < 0$.
• Taxa de variação. Uma derivada é uma taxa de variação 变化率. Taxas ligadas usam a regra da cadeia, ex: $\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$.

Pontos estacionários

Um ponto estacionário 驻点 é onde $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Teste sua natureza com a derivada segunda: $f''(x) > 0$ indica um ponto de mínimo 极小值点, e $f''(x) < 0$ indica um ponto de máximo 极大值点. Quando $f''(x) = 0$ o teste é inconclusivo: o ponto pode ser um ponto de inflexão 拐点, onde a curva muda de concavidade (o sentido em que se curva) – verifique o sinal de $\dfrac{dy}{dx}$ pouco antes e depois para decidir.

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ tem um ponto de máximo em $x = a$. Encontre $a$.

Assim $a = 4$.

Integração 积分 é o inverso da diferenciação. Inverter a regra da potência resulta em

A $+\,C$ é a constante de integração 积分常数. Se você conhece um ponto na curva, substitua-o para encontrar $C$.

Integrais definidas e área

Uma integral definida 定积分 possui limites e resulta em um número:

A área da região 区域 entre uma curva e o eixo $x$, de $x = p$ a $x = q$, é $\displaystyle\int_p^q y \, dx$. Para a área entre duas curvas, integre (curva superior $-$ menos curva inferior).

Exemplo resolvido. A curva $y = 4x^{1/2} - x$ cruza o eixo $x$ novamente em $x = 16$. Encontre a área entre a curva e o eixo $x$ de $x = 0$ a $x = 4$.

Uma integral imprópria 广义积分 tem um limite infinito ou uma extremidade onde o integrando não está definido; avalie-a como um limite. Por exemplo,

e $\displaystyle\int_0^{1}x^{-1/2}\, dx=\left[2x^{1/2}\right]_0^{1}=2$, que é finito mesmo quando o integrando tende ao infinito em $x=0$.

Volume de revolução

Quando uma região gira completamente em torno de um eixo, ela varre um sólido. O volume de revolução 旋转体体积 em torno do eixo $x$ é

e em torno do eixo $y$ é $V = \pi \displaystyle\int x^2 \, dy$. Por exemplo, a região sob $y = \sqrt{x}$ de $x = 0$ a $x = 4$, girada em torno do eixo $x$, tem volume $\pi\displaystyle\int_0^4 x\, dx = \pi\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4 = 8\pi$.

• Mostre todas as linhas de álgebra — perdem-se pontos de método ao pular etapas; use o discriminante $b^2 - 4ac$ para determinar o número de raízes reais.
• Trabalhe em radianos para medidas circulares (arco $= r\theta$, área de setor $= \frac{1}{2}r^2\theta$) e para cálculo de funções trigonométricas.
• Para diferenciação, igualize $\frac{dy}{dx} = 0$ para pontos estacionários e use a derivada segunda para classificá-los.
• Para integração, adicione $+ c$ a uma integral indefinida e use limites para área; uma área abaixo do eixo resulta em uma integral negativa.

O módulo

O módulo 绝对值 $|x|$ é o tamanho de um número sem seu sinal, logo $|x| \geqslant 0$ sempre. O gráfico de $y = |ax + b|$ tem formato de "V" que reflete no eixo $x$. Duas regras úteis para resolver equações e desigualdades são

Exemplo resolvido. Resolva $|3x + 8| < 9$.

Usando a segunda regra com a desigualdade escrita como $-9 < 3x + 8 < 9$:

Divisão polinomial e os teoremas do fator e do resto

Um polinômio 多项式 é uma soma de potências de $x$, tal como $2x^4 + 3x^2 - 5$. Seu grau 次数 é a maior potência. Ao dividir um polinômio por outro, obtém-se um quociente 商 e um resto 余数.

• Teorema do resto 余数定理: o resto quando $p(x)$ é dividido por $(x - a)$ é $p(a)$.
• Teorema do fator 因式定理: $(x - a)$ é um fator de $p(x)$ exatamente quando $p(a) = 0$.

Exemplo resolvido. O polinômio $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ tem o fator $(x + 2)$. Encontre $k$.

Pelo teorema do fator $p(-2) = 0$:

Um logaritmo responde à pergunta "qual potência?". Se $a^x = y$ então $x = \log_a y$. Logaritmos e índices 指数 (potências) são ideias inversas. As leis dos logaritmos 对数定律 são

A função exponencial $e^x$ e o logaritmo natural 自然对数 $\ln x$ são funções inversas, logo $\ln(e^x) = x$ e $e^{\ln x} = x$. Quando a incógnita está no expoente, aplique logaritmos em ambos os lados.

Exemplo resolvido. Resolva $4^x < 0.05$.

Forma linear 线性形式: uma relação como $y = Ax^n$ torna-se uma linha reta se tirar logaritmos: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Plotar $\ln y$ contra $\ln x$ resulta em uma linha com inclinação $n$ e interceptação $\ln A$, permitindo encontrar as constantes desconhecidas.

Existem três funções adicionais, cada uma sendo o recíproco de uma que você já conhece: a secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, a cossecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ e a cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.

Você deve conhecer estas identidades trigonométricas 三角恒等式 e escolher a correta para cada problema:

Você também usa as fórmulas de ângulo composto 复合角 para $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, as fórmulas de ângulo duplo 二倍角 e a fórmula R 辅助角公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, onde $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.

Exemplo resolvido. Resolva $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.

Substitua $\tan^2\theta$ por $\sec^2\theta - 1$ para obter uma única função:

Assim $\sec\theta = \tfrac52$ ou $\sec\theta = -4$, resultando em $\cos\theta = \tfrac25$ ou $\cos\theta = -\tfrac14$. As soluções são $\theta = \pm 66.4^\circ$ e $\theta = \pm 104.5^\circ$.

Aprenda estas derivadas padrão:

Para um produto ou quociente de duas funções, use:

• a regra do produto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$;
• a regra do quociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Quando uma curva é dada por equações paramétricas 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, a inclinação é $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Quando $y$ está definida implicitamente 隐式 (não isolada), diferencie todos os termos em relação a $x$, usando a regra da cadeia nos termos $y$, e resolva para $\dfrac{dy}{dx}$.

Exemplo resolvido. Dado $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, encontre $\dfrac{dy}{dx}$.

Use a regra do produto com $u = 6x$ e $v = \cos(x^2 + 1)$ (e a regra da cadeia para $v$):

A integração é diferenciação reversa — inverta cada nova derivada; integrais mais difíceis podem exigir integração por substituição 换元积分 (desenvolvida em Pure 3). Para uma função linear interna $(ax + b)$:

Para integrar uma potência de $\sin$ ou $\cos$, primeiro use uma identidade para remover a potência. Quando não for possível integrar exatamente, a regra do trapézio 梯形法则 estima uma integral definida:

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.

Use $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:

Muitas equações não podem ser resolvidas exatamente. Duas ideias ajudam a encontrar uma raiz 根 (uma solução).

• Troca de sinal 变号: se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos (e o gráfico não tem interrupções entre eles), uma raiz está entre $a$ e $b$.
• Iteração 迭代: reorganize a equação na forma $x = F(x)$, depois use a fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Comece com uma primeira estimativa $x_0$ e repita. Se os valores forem convergentes, eles se estabilizam e convergem 收敛 para uma raiz. Continue até que a resposta esteja estável na precisão solicitada.

Exemplo resolvido. Uma raiz $\beta$ de uma equação satisfaz $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, e $-1.4 < \beta < -1.0$. Use a iteração $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ com $x_0 = -1.2$.

Os valores estabilizam perto de $-1.26$, então $\beta = -1.26$ (3 s.f.).

• Use as leis dos logaritmos para resolver equações; lembre-se que $\ln$ e $e^x$ são inversas.
• Para métodos numéricos, mostre uma troca de sinal para localizar uma raiz, apresente a iteração claramente e dê a resposta com a precisão declarada.
• Aprenda as regras da cadeia, produto e quociente e identifique qual a função requer.
• Resolva equações de módulo $|f(x)| = g(x)$ considerando os casos positivo e negativo, e esboce para verificar.

Duas novas ferramentas se juntam à álgebra da Pure 2.

Frações parciais

Uma única fração com um denominador fatorado pode ser dividida em uma soma de frações mais simples. Isso é chamado de escrevê-la em frações parciais 部分分式, e torna uma função racional 有理函数 (uma fração de polinômios) fácil de integrar ou expandir. Combine a forma com o denominador:

Primeiro verifique se o numerador tem grau menor que o denominador. Se não for ("numeriador pesado"), divida o polinômio primeiro: a divisão resulta em um quociente 商 mais um resto 余数 sobre o denominador original, e você divide apenas essa fração própria restante.

Uma fração com denominador fatorado se divide em uma soma de frações mais simples.

Exemplo resolvido. Expresse $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ em frações parciais.

Escreva $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, então $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Substitua $x = 2$: $6 = 3B$, então $B = 2$. Substitua $x = -1$: $3 = -3A$, então $A = -1$. Logo

A expansão binomial para uma potência racional

A expansão binomial 二项展开式 também funciona quando a potência é uma fração ou negativa, desde que $|x| < 1$:

Por exemplo $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ para $|x| < 1$.

Os subtópicos 3.2, 3.3 e 3.6 são as mesmas habilidades encontradas na Pure 2: as leis dos logaritmos com $e^x$ e $\ln x$; as identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ e $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, as fórmulas de ângulo composto e duplo, e a forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$; e resolver uma equação numericamente por uma mudança de sinal 变号 e uma fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Use-as exatamente como antes.

As três novas funções trigonométricas são os recíprocos 倒数 das conhecidas: a secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, a cossecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ e a cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$. (Dica mnemônica: combine a terceira letra — sec vai com cosine.) As duas identidades pitagóricas acima vêm diretamente de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ por $\cos^2\theta$ ou $\sin^2\theta$. Para um método numérico, uma iteração $x_{n+1}=F(x_n)$ converge 收敛 para a raiz quando valores sucessivos se aproximam uns dos outros.

Os métodos são os da Pure 2 (regra do produto, quociente e cadeia, com curvas paramétricas e implícitas). Uma derivada é adicionada — a tangente inversa 反正切:

Exemplo resolvido. Derive $y = \tan^{-1}(3x)$.

Use a regra da cadeia com o resultado acima: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$

Pure 3 adiciona vários métodos poderosos.

• Uma nova integral padrão: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
• Frações parciais: divida uma função racional primeiro, depois integre cada parte como um logaritmo.
• O padrão $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: isso integra para $k\ln|f(x)| + C$. Por exemplo $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
• Integração por partes 分部积分, usada para um produto: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
• Integração por substituição 换元积分: uma mudança de variável dada transforma uma integral difícil em uma fácil.

Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.

Use integração por partes com $u = x$ e $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, então $\dfrac{du}{dx} = 1$ e $v = \sin x$:

Um vetor 向量 tem tanto magnitude quanto direção. Escreva-o como uma coluna, ou como $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, ou como $\overrightarrow{AB}$.

• A magnitude 模长 (comprimento) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ é $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Um vetor unitário 单位向量 tem magnitude $1$; divida um vetor pela sua magnitude para criar um.
• Um vetor posição 位置向量 dá o lugar de um ponto em relação à origem; um vetor deslocamento 位移向量 $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ vai de um ponto a outro. Multiplicar por um escalar 标量 (um número comum) estica um vetor.

Linhas e o produto escalar

Uma linha reta pelo ponto $\mathbf{a}$ na direção $\mathbf{b}$ tem a equação vetorial $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Duas linhas podem ser paralelas 平行, podem intersecionar 相交 em um ponto, ou podem ser linhas reversas/esquisitas 异面直线 (não paralelas e nunca se encontrando).

O produto escalar 数量积 (produto ponto) de $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ é

onde $\theta$ é o ângulo entre eles. Então $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que os vetores são perpendiculares.

Exemplo resolvido. Encontre o ângulo entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ e $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.

Então $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, dando $\theta = 27.3^\circ$.

Uma equação diferencial 微分方程 conecta uma quantidade à sua taxa de variação. Para resolver uma equação de primeira ordem cujas variáveis são separáveis 可分离变量, coloque todos os termos $y$ de um lado e todos os termos $x$ do outro, depois integre ambos os lados. Isso fornece a solução geral 通解, que contém uma constante. Uma condição inicial 初始条件 (um valor conhecido) fixa a constante e fornece a solução particular 特解.

Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx} = xy$, dado que $y = 1$ quando $x = 0$.

Separe as variáveis e integre:

Usando $y = 1$ em $x = 0$ dá $A = 1$, então $y = e^{x^2/2}$.

Um número complexo 复数 tem a forma $z = x + iy$, onde $i^2 = -1$. Aqui $x$ é a parte real 实部 e $y$ é a parte imaginária 虚部. Esta $x + iy$ é a forma cartesiana 直角坐标形式. Dois números complexos são iguais apenas quando suas partes reais coincidem e suas partes imaginárias coincidem.

• O conjugado 共轭 de $z = x + iy$ é $z^* = x - iy$. Para um polinômio com coeficientes reais, quaisquer raízes não-real vem em pares conjugados.
• O módulo 模 é $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (sua distância da origem) e o argumento 辐角 é o ângulo que o ponto faz, medido a partir do eixo real positivo.
• Você pode plotar $z$ como um ponto em um diagrama de Argand 阿干图 (o plano complexo).
• A forma polar 极坐标形式 é $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, onde $r = |z|$ e $\theta$ é o argumento. Multiplicar multiplica os módulos e soma os argumentos.
• Os loci de pontos satisfazendo uma condição em $z$ são desenhados no diagrama de Argand — ex. $|z - a| = r$ é um círculo, $|z - a| = |z - b|$ uma mediatriz, e $\arg(z - a) = \theta$ um semirraio. As raízes quadradas de um número complexo vêm de resolver $w^2 = z$.

Para dividir, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

Exemplo resolvido. Escreva $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ na forma $x + iy$.

Uma equação ou desigualdade em $z$ descreve um lugar geométrico/locus 轨迹 (um caminho ou região) no diagrama de Argand. Por exemplo $|z - a| = r$ é um círculo de raio $r$ centrado em $a$.

• Divida uma função racional em frações parciais antes de integrar ou expandir.
• Escolha a técnica de integração correta (substituição, por partes ou frações parciais) baseada na forma do integrando.
• Use o produto escalar (ponto) para o ângulo entre vetores e para testar perpendicularidade; escreva uma linha como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
• Dê números complexos na forma solicitada (cartesiana ou módulo-argumento) e mostre-os em um diagrama de Argand.

Uma força 力 é um empurrão ou puxão. É um vetor, portanto tem tamanho e direção. Por ser um vetor, você pode dividir uma força em componentes 分量 (geralmente horizontal e vertical), e pode somar várias forças em uma resultante 合力.

Uma partícula está em equilíbrio 平衡 quando as forças estão equilibradas: a soma vetorial das forças é zero. Na prática, isso significa que as componentes em qualquer direção somam zero.

Atrito

Quando duas superfícies se tocam, a força de contato 接触力 entre elas tem duas partes: a reação normal 法向反作用力 $R$, em ângulo reto com a superfície, e o atrito 摩擦力 $F$, ao longo da superfície, que se opõe ao deslizamento. Uma superfície "lisa" é um modelo sem atrito.

O atrito só pode crescer até um máximo. Nesse máximo o corpo está em equilíbrio limite 极限平衡, prestes a escorregar, e o atrito é atrito limite 最大静摩擦力. O máximo é definido pelo coeficiente de atrito 摩擦系数 $\mu$:

Pela terceira lei de Newton 牛顿第三定律, as duas superfícies exercem forças iguais e opostas uma sobre a outra.

Exemplo resolvido. Um bloco de peso $20\text{ N}$ repousa sobre uma mesa horizontal rugosa com coeficiente de atrito $\mu = 0.4$. Encontre a maior força horizontal que pode ser aplicada antes que o bloco deslize.

A reação normal da mesa equilibra o peso, logo $R = 20\text{ N}$. O bloco está no limiar de deslizamento quando o atrito atinge seu valor máximo $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. Em equilíbrio, a força aplicada é igual ao atrito, logo a maior força que ele pode resistir é $8\text{ N}$.

Distância 距离 e velocidade escalar 速率 são grandezas escalares (apenas magnitude). Deslocamento 位移, velocidade vetorial 速度 e aceleração 加速度 são grandezas vetoriais (magnitude e direção).

Em um gráfico velocidade-tempo 速度时间图, a área sob a curva é o deslocamento e a inclinação é a aceleração (uma aceleração negativa é uma desaceleração 减速度). Em um gráfico deslocamento-tempo, a inclinação é a velocidade. De modo geral, derive em relação ao tempo para ir do deslocamento à velocidade e depois à aceleração, e integre para voltar.

Para movimentos com aceleração constante 匀加速, use estas fórmulas (as equações "suvat"):

Exemplo resolvido. Um carro parte do repouso e acelera a $2.5\ \text{m s}^{-2}$ durante $4\ \text{s}$. Encontre sua velocidade e a distância percorrida.

O momento linear 动量 de um corpo é $\text{mass} \times \text{velocity}$. É uma grandeza vetorial. Em uma colisão direta entre dois corpos, o momento total permanece inalterado. Esta é a conservação do momento linear 动量守恒:

Exemplo resolvido. Um corpo de massa $2\ \text{kg}$ movendo-se a $3\ \text{m s}^{-1}$ colide com um corpo estacionário de massa $1\ \text{kg}$, e eles se unem. Encontre a velocidade comum deles depois disso.

As leis de Newton do movimento 牛顿运动定律 conectam força e aceleração. A principal delas é: força resultante $=$ massa 质量 $\times$ aceleração,

O peso 重力 de um corpo é a força da gravidade atuando sobre ele: $W = mg$. Forças em um problema podem incluir peso, atrito, tensão 张力 em uma corda, empuxo 推力 (empurrão) em uma barra, e resistência do ar 空气阻力.

Para movimento em um plano inclinado 斜面, decomponha cada força em uma componente paralela ao declive e uma perpendicular a ele, então aplique $F = ma$ ao longo do declive. Para partículas conectadas 连接质点 (unidas por uma corda), aplique $F = ma$ a cada corpo ou ao sistema todo.

Exemplo resolvido. Um bloco de massa $12\ \text{kg}$ é puxado para cima de um plano rugoso por uma corda paralela à rampa. O plano está a $20^\circ$ em relação à horizontal, o coeficiente de atrito é $0.4$, e a aceleração é $2\ \text{m s}^{-2}$. Encontre a tensão na corda.

A reação normal é $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, logo o atrito é $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Ao longo da rampa, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:

O trabalho realizado 功 por uma força constante é o produto escalar de força e deslocamento — a força vezes a distância percorrida na direção da força: $W = Fd\cos\theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre a força e o movimento. O trabalho é medido em joules (J).

A energia vem em formas que você pode calcular:

• Energia cinética 动能 (energia de movimento): $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
• Energia potencial gravitacional 重力势能 (energia de altura): $\text{PE} = mgh$.

O trabalho feito pelas forças externas é igual à mudança na energia total. Quando não há atrito, a energia total permanece a mesma — a conservação de energia 能量守恒.

Potência 功率 é a taxa de realização de trabalho. Para uma força puxando na direção do movimento, $P = Fv$ (potência $=$ força $\times$ velocidade). A potência é medida em watts (W).

Exemplo resolvido. O motor de um carro opera a $12\ \text{kW}$ enquanto o carro se move a $20\ \text{m s}^{-1}$ em uma estrada plana. Encontre a força motriz.

• Desenhe um diagrama de forças claro e decomponha em componentes perpendiculares; para o equilíbrio, cada direção soma zero.
• Use SUVAT apenas para aceleração constante e mantenha uma direção positiva consistente.
• Aplique $F = ma$ ao longo da direção do movimento, incluindo o atrito ($F = \mu R$) em uma superfície rugosa.
• Enuncie suas suposições (corda leve e inextensível, polia lisa, partícula) — elas frequentemente valem uma marca.

Escolha um diagrama que se adapte aos dados. Você deve ser capaz de desenhar e ler:

• um diagrama de caule e folhas 茎叶图 (mantém os valores originais e mostra a forma); dois conjuntos de dados são comparados com uma versão back-to-back 背靠背 — um caule central compartilhado, as folhas de um conjunto aumentando para a esquerda e as do outro para a direita, permitindo comparar medianas e amplitudes de um relance;
• um gráfico de caixa e bigodes 箱线图 (mostra o valor mínimo, os três quartis e o valor máximo);
• um histograma 直方图 (para dados agrupados, onde a área de cada barra mostra a frequência);
• um gráfico de frequência acumulada 累积频数 (totais cumulativos, usado para estimar a mediana e os quartis).

Médias e dispersão

Uma medida de tendência central 集中趋势 é um único valor "central":

• a média aritmética 平均数 $\bar{x} = \dfrac{\sum x}{n}$ (a média);
• a mediana 中位数 (o valor central quando os dados estão em ordem);
• a moda 众数 (o valor mais frequente).

Uma medida de variação 离散程度 mostra como os dados estão espalhados:

• a amplitude (dos dados) 极差 (máximo $-$ mínimo);
• a amplitude interquartil 四分位距 (quartil superior $-$ quartil inferior);
• o desvio padrão 标准差 $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum x^2}{n} - \bar{x}^2}$.

Você muitas vezes trabalha com os totais $\sum x$ e $\sum x^2$. O quadrado do desvio padrão é a variância 方差.

Exemplo resolvido. Para $10$ valores, $\sum x = 50$ e $\sum x^2 = 300$. Encontre a média e o desvio padrão.

Codificação 编码 facilita números grandes. Substitua cada valor por $t=x-a$ para uma média assumida 假定平均数 conveniente $a$. Então $\bar{x}=a+\bar{t}$, enquanto o desvio padrão é inalterado (mudar todos os valores não espalha os dados). Assim, a partir dos totais codificados $\sum(x-a)$ e $\sum(x-a)^2$ você obtém $\bar x$ e $\sigma$ diretamente, e dois conjuntos de dados podem ser comparados através de seus totais codificados.

Uma permutação 排列 é um arranjo onde a ordem importa; uma combinação 组合 é uma seleção onde a ordem não importa. Os números são

Para arrange objetos em uma linha quando alguns são repetidos, divida pelo fatorial de cada contagem de repetição.

Exemplo resolvido. Quantos arranjos diferentes existem das letras da palavra NEEDLESS?

Há $8$ letras, com E repetido $3$ vezes e S repetido $2$ vezes:

Encontre uma probabilidade contando resultados igualmente prováveis, ou usando permutações e combinações. Combine probabilidades com estas regras:

• adição para "ou": $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
• multiplicação para "e" quando os eventos são independentes: $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$.

Dois eventos são eventos mutuamente exclusivos 互斥事件 se não puderem acontecer ambos, e eventos independentes 独立事件 se a ocorrência de um não mudar a chance do outro. Para testar independência, verifique se $P(A \cap B) = P(A)\times P(B)$. Uma probabilidade condicional 条件概率 é a chance de $A$ dado que $B$ ocorreu: $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$.

Exemplo resolvido. Eventos têm $P(A) = 0.5$, $P(B) = 0.4$ e $P(A \cap B) = 0.2$. São $A$ e $B$ independentes?

Teste: $P(A)\times P(B) = 0.5 \times 0.4 = 0.2 = P(A \cap B)$. Os valores são iguais, logo $A$ e $B$ são independentes.

Uma variável aleatória discreta 离散型随机变量 $X$ assume valores separados, cada um com uma probabilidade. Liste-os em uma tabela de distribuição de probabilidade 概率分布表; as probabilidades devem somar $1$. Então a expectativa 期望 (média) e a variância são

Dois modelos especiais:

• a distribuição binomial 二项分布 $X \sim B(n, p)$, para o número de sucessos em $n$ ensaios independentes: $P(X = r) = \binom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$, com $E(X) = np$ e $\mathrm{Var}(X) = np(1-p)$;
• a distribuição geométrica 几何分布, para o ensaio em que ocorre o primeiro sucesso: $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$, com $E(X) = \dfrac{1}{p}$.

Exemplo resolvido. $X \sim B(10, 0.3)$. Encontre $P(X = 2)$ e $E(X)$.

A distribuição normal 正态分布 modela uma variável aleatória contínua 连续型随机变量 com formato de sino simétrico. Escreva $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, onde $\mu$ é a média e $\sigma$ é o desvio padrão. Para usar as tabelas, por padronização 标准化, converta para a variável $Z \sim N(0, 1)$:

Então $P(X < x) = P\!\left(Z < \dfrac{x - \mu}{\sigma}\right)$, que você lê na tabela normal $\Phi$.

A distribuição normal também é uma boa aproximação 近似 à binomial quando $n$ é grande. Como você substitui uma variável discreta por uma contínua, aplique uma correção de continuidade 连续性校正 (ajuste em $0.5$).

Exemplo resolvido. Sacos de arroz têm massa $X \sim N(\mu, 0.14^2)$. Dado que $P(X < 1.48) = 0.22$, encontre $\mu$.

Da tabela, $P(Z < z) = 0.22$ resulta em $z = -0.772$. Portanto,

• Decida se a ordem importa: permutações ($^nP_r$) quando importa, combinações ($^nC_r$) quando não importa.
• Para uma variável aleatória discreta, verifique se as probabilidades somam $1$ e use $E(X) = \sum x\,P(X=x)$.
• Para a distribuição normal, padronize com $z = (x - \mu)/\sigma$, esboce e sombreie, depois leia a tabela.
• Aplique uma correção de continuidade ao aproximar uma variável discreta pela normal.

*Pessoas chegando aleatoriamente em uma fila seguem uma distribuição Poisson.

A distribuição Poisson 泊松分布 $X \sim \mathrm{Po}(\lambda)$ modela o número de eventos aleatórios em um intervalo fixo, quando os eventos ocorrem a uma taxa média estável $\lambda$:

Para uma variável Poisson, a média e a variância são ambas iguais a $\lambda$. A distribuição Poisson é uma boa aproximação 近似 à distribuição binomial quando $n$ é grande e $p$ é pequena. A distribuição normal (com correção de continuidade) aproxima a Poisson quando $\lambda$ é grande.

Exemplo resolvido. $X \sim \mathrm{Po}(3)$. Encontre $P(X = 2)$.

Ao alterar uma variável por uma regra linear, a expectativa 期望 (média) e a variância 方差 seguem estas regras:

Para duas variáveis independentes $X$ e $Y$: Dois fatos úteis: se $X$ tem uma distribuição normal 正态分布, então $aX + b$ também tem; e a soma de variáveis Poisson independentes é novamente Poisson.

Exemplo resolvido. $X$ tem média $5$ e variância $4$. Encontre $E(3X - 1)$ e $\mathrm{Var}(3X - 1)$.

Uma variável aleatória contínua 连续型随机变量 pode assumir qualquer valor em um intervalo. Suas probabilidades vêm de uma função de densidade de probabilidade 概率密度函数 $f(x)$, com duas propriedades principais:

Uma probabilidade é a área sob $f$, e a média é encontrada por integração:

A função de distribuição acumulada 累积分布函数 é $F(x) = P(X \leqslant x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$; a mediana 中位数 resolve $F(m) = 0.5$, e outros percentis 百分位数 resolvem $F(x) = p$.

Exemplo resolvido. Uma variável contínua tem $f(x) = \tfrac12 x$ para $0 \leqslant x \leqslant 2$ (e $0$ em outro lugar). Encontre $E(X)$.

A variância usa a mesma ideia, $\mathrm{Var}(X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)\,dx-\big(E(X)\big)^2$. Para a mesma $f(x)=\tfrac12 x$ em $[0,2]$: $\displaystyle\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12 x\,dx=\left[\tfrac{x^4}{8}\right]_0^2=2$, logo $\mathrm{Var}(X)=2-\left(\tfrac43\right)^2=2-\tfrac{16}{9}=\tfrac{2}{9}$.

*Estatística estuda uma amostra para aprender sobre toda uma população.

Uma amostra 样本 é um pequeno grupo escolhido de toda a população 总体. Uma amostra aleatória precisa de aleatoriedade 随机性, para que cada membro tenha chance justa de ser selecionado.

Alguns métodos são insatisfatórios porque são viesados 有偏: amostrar apenas voluntários, ou as primeiras 20 pessoas a chegarem, superrepresenta certos tipos de pessoas. Uma amostra genuinamente aleatória usa números aleatórios – numerar cada membro da população, depois extrair números (de uma tabela ou gerador) para decidir quem está na amostra.

A média amostral $\bar{X}$ é ela própria uma variável aleatória, com

Pelo Teorema Central Limite 中心极限定理, para uma amostra grande $\bar{X}$ é aproximadamente normal, independente da forma da população.

De uma amostra, você pode encontrar estimativas não viesadas 无偏估计 da média e variância populacionais. Um intervalo de confiança 置信区间 fornece uma faixa que provavelmente contém a média verdadeira. Quando a população é normal com $\sigma$ conhecido (ou a amostra é grande), um intervalo $95\%$ é

*Um intervalo de confiança $95\%$ se estende $1.96$ erros padrão de cada lado da média amostral.

Você também pode encontrar um intervalo de confiança para uma proporção populacional 总体比例 a partir de uma amostra grande.

Exemplo resolvido. Uma amostra de $n = 64$ tem média $\bar{x} = 50$, de uma população com $\sigma = 8$. Encontre um intervalo de confiança $95\%$ para a média populacional.

Um teste de hipótese 假设检验 usa dados amostrais para julgar uma afirmação. Você estabelece duas declarações: a hipótese nula 原假设 $H_0$ (a afirmação sendo testada, geralmente "sem mudança") e a hipótese alternativa 备择假设 $H_1$ (o que você suspeita em vez disso). O teste é unilateral 单尾 se $H_1$ aponta para um lado (ex: $\mu > 50$) e bilateral 双尾 se permite ambos os sentidos ($\mu \neq 50$).

Você define um nível de significância 显著性水平 (frequentemente $5\%$), calcula uma estatística de teste 检验统计量 a partir dos dados e verifica se ela cai na região de rejeição 拒绝域 (também chamada de região crítica); se cair, você rejeita $H_0$, caso contrário, a estatística está na região de aceitação.

Dois erros são possíveis: um Erro Tipo I 第一类 erro é rejeitar $H_0$ quando ele é realmente verdadeiro; um Erro Tipo II 第二类 erro é aceitar $H_0$ quando ele é realmente falso. Você pode encontrar suas probabilidades a partir da região de rejeição: $P(\text{Type I})=P(\text{statistic in the rejection region}\mid H_0)$ – isso equivale ao nível de significância – e $P(\text{Type II})=P(\text{statistic in the acceptance region}\mid H_1$ verdadeiro para um valor declarado$)$, calculado a partir da distribuição binomial, Poisson ou normal.

Exemplo resolvido. Afirma-se que uma população tem média $50$, com $\sigma = 8$. Uma amostra de $n = 64$ dá $\bar{x} = 52$. Teste no nível $5\%$ se a média mudou.

$H_0\!: \mu = 50$ e $H_1\!: \mu \neq 50$ (bilateral). A estatística de teste é

O valor crítico em $5\%$ (bilateral) é $1.96$. Como $2 > 1.96$, você rejeita $H_0$: há evidências de que a média mudou.

Exemplo resolvido (um teste binomial). Uma moeda é dita justa, mas suspeita de cair coroa raramente demais: $H_0\!:p=0.5$, $H_1\!:p<0.5$. Em $n=30$ lançamentos, você vê $X=9$ coroas. Sob $H_0$, $X\sim B(30,0.5)$, então a probabilidade unilateral da cauda é

Como $0.021<0.05$, rejeita-se $H_0$: a moeda parece realmente tendenciosa contra coroas. (Para grandes $n$, a binomial é aproximada por uma normal; um teste Poisson funciona da mesma forma para eventos raros. E aqui, se a regra é "rejeitar quando $X\leqslant 9$", então $P(\text{Type I})=P(X\leqslant 9\mid p=0.5)\approx0.021$.)

• Use a distribuição Poisson para eventos raros, aleatórios e independentes; sua média iguala sua variância ($= \lambda$).
• Ao combinar variáveis aleatórias independentes, variâncias se somam (elas nunca se subtraem).
• Para um teste de hipótese, declare $H_0$ e $H_1$, o nível de significância, a estatística de teste e uma conclusão no contexto.
• Para um intervalo de confiança, use o valor correto de $z$ (ou $t$) e interprete-o com palavras.