Este material cobre o Tópico 3: Matemática Pura 3. Os subtópicos 3.1–3.6 baseiam-se na álgebra, logaritmos, trigonometria, diferenciação, integração e métodos numéricos da Matemática Pura 2, deste modo este material explica o que é novo na Matemática Pura 3 e depois aborda as três grandes áreas novas: vetores, equações diferenciais e números complexos.
Matemática Pura 3
Matemática A-Level · Tópico 3
13:36
Matemática Pura 3
Por séculos, os matemáticos bateram num muro: qual é a raiz quadrada de menos um? Nenhum número comum, elevado ao quadrado, resulta em negativo. Eles chamaram de impossível, e…
Narração em inglês · legendas em inglês e 中文 que você pode alternar
3.1
Álgebra
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • compreender o significado de $|x|$, esboçar o gráfico de $y = |ax + b|$ e usar relações como $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ e $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ ao resolver equações e desigualdades | Gráficos de $y = |\text{f}(x)|$ e $y = \text{f}(|x|)$ para funções não lineares $\text{f}$ não são incluídos. p. ex. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$. |
| • dividir um polinômio, de grau não superior a 4, por um polinômio linear ou quadrático, e identificar o quociente e o restante (que podem ser zero) | |
| • usar o teorema do fator e o teorema do restante | p. ex. para encontrar fatores e restantes, resolver equações polinomiais ou avaliar coeficientes desconhecidos. Incluindo fatores da forma $(ax + b)$ em que o coeficiente de $x$ não é unidade, e incluindo cálculo de restantes. |
| • recordar uma forma adequada para expressar funções racionais em frações parciais, e realizar a decomposição, em casos em que o denominador não é mais complicado do que – $(ax + b)(cx + d)(ex + f)$ – $(ax + b)(cx + d)^2$ – $(ax + b)(cx^2 + d)$ | Excluindo casos em que o grau do numerador excede o do denominador |
| • use a expansão de $(1 + x)^n$, onde $n$ é um número racional e $|x| < 1$. | A determinação do termo geral em uma expansão não está incluída. Adaptar as séries padrão para expandir p.ex. $(2 - \frac{1}{2}x)^{-1}$ está incluído, e determinar o conjunto de valores de $x$ para os quais a expansão é válida nesses casos também está incluído. |
Fonte: Programa Cambridge International
Duas novas ferramentas se juntam à álgebra da Pure 2.
Frações parciais
Uma fração única com denominador fatorável pode ser decomposta em uma soma de frações mais simples. Isso é chamado de escrever em frações parciais, e facilita a integração ou expansão de uma função racional (fração de polinômios). Combine a forma com o denominador:
$$\frac{1}{(ax+b)(cx+d)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}, \qquad \frac{1}{(ax+b)(cx+d)^2} = \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} + \frac{C}{(cx+d)^2}.$$
Primeiro, verifique se o numerador tem grau menor que o denominador. Se não tiver, divida o polinômio primeiro: a divisão fornece um quociente mais um resto sobre o denominador original, e você decompõe apenas a fração própria restante.
Exemplo resolvido. Expresse $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)}$ em frações parciais.
Escreva $\dfrac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \dfrac{A}{x+1} + \dfrac{B}{x-2}$, então $x + 4 = A(x-2) + B(x+1)$. Substitua $x = 2$: $6 = 3B$, então $B = 2$. Substitua $x = -1$: $3 = -3A$, então $A = -1$. Logo
$$\frac{x+4}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}.$$
Exemplo resolvido: fator repetido. Expresse $\dfrac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2}$ em frações parciais.
Um fator quadrado exige duas frações, uma sobre $(x+2)$ e outra sobre $(x+2)^2$:
$$\frac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2} + \frac{C}{(x+2)^2},$$
logo $5x+4 = A(x+2)^2 + B(x-1)(x+2) + C(x-1)$. Substitua $x = 1$: $9 = 9A$, logo $A = 1$. Substitua $x = -2$: $-6 = -3C$, logo $C = 2$. Nenhum valor de $x$ anula tanto $A$ quanto $C$; portanto, compare os termos de $x^2$: $0 = A + B$, logo $B = -1$. Assim,
$$\frac{5x+4}{(x-1)(x+2)^2} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+2} + \frac{2}{(x+2)^2}.$$
Verifique com $x = 0$: o lado esquerdo é $\dfrac{4}{(-1)(4)} = -1$ e o direito é $-1 - \tfrac12 + \tfrac12 = -1$.
Erros comuns. Omitir o termo $\dfrac{B}{x+2}$ para um fator quadrado, e separar uma fração desequilibrada sem dividir primeiro.
Polinômios e módulo (de Matemática Pura 2)
O teorema do fator diz que $(x - a)$ é um fator de $p(x)$ se, e somente se, $p(a) = 0$. O teorema do resto diz que a divisão de $p(x)$ por $(x - a)$ deixa o resto $p(a)$.
Exemplo resolvido. $p(x) = 2x^3 + ax^2 - 13x + 6$ tem um fator $(x - 2)$. Encontre $a$, fatore $p(x)$ completamente e encontre o resto da divisão de $p(x)$ por $(x + 1)$.
$p(2) = 16 + 4a - 26 + 6 = 4a - 4 = 0$, portanto $a = 1$. A divisão por $(x - 2)$ fornece $p(x) = (x - 2)(2x^2 + 5x - 3) = (x - 2)(2x - 1)(x + 3)$. O resto da divisão por $(x + 1)$ é $p(-1) = -2 + 1 + 13 + 6 = 18$.
Exemplo resolvido: uma inequação modular. Resolva $|2x - 1| < |x + 1|$.
Ambos os lados são sempre não negativos, portanto elevá-los ao quadrado mantém o sentido da desigualdade:
$$4x^2 - 4x + 1 < x^2 + 2x + 1 \;\Rightarrow\; 3x^2 - 6x < 0 \;\Rightarrow\; 3x(x - 2) < 0.$$
Portanto, $0 < x < 2$. Um esboço de $y = |2x - 1|$ e $y = |x + 1|$ mostra a mesma coisa: os gráficos em forma de V se cruzam em $x = 0$ e $x = 2$.
A expansão binomial para uma potência racional
A expansão binomial também funciona quando o expoente é uma fração ou negativo, desde que $|x| < 1$:
$$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots$$
Por exemplo $(1 + x)^{1/2} = 1 + \tfrac12 x - \tfrac18 x^2 + \cdots$ para $|x| < 1$.
Exemplo resolvido. Desenvolva $(4 - x)^{-1/2}$ até o termo em $x^2$ e indique os valores de $x$ para os quais é válido.
A fórmula requer um $1$ à frente; extraia primeiro o $4$, elevado à mesma potência:
$$(4 - x)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2} = \frac12\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2}.$$
Agora aplique $n = -\tfrac12$ com $-\tfrac{x}{4}$ no lugar de $x$:
$$\left(1 - \frac{x}{4}\right)^{-1/2} = 1 + \left(-\tfrac12\right)\left(-\frac{x}{4}\right) + \frac{\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{2!}\left(-\frac{x}{4}\right)^2 + \cdots = 1 + \frac{x}{8} + \frac{3x^2}{128} + \cdots$$
Multiplique por $\tfrac12$: $(4 - x)^{-1/2} = \dfrac12 + \dfrac{x}{16} + \dfrac{3x^2}{256} + \cdots$. É válido quando $\left|\tfrac{x}{4}\right| < 1$, isto é, $|x| < 4$.
Erros comuns. Escrever $4(1 - \tfrac{x}{4})^{-1/2}$ (o $4$ também deve estar elevado à potência $-\tfrac12$); perder o sinal negativo dentro de $\left(-\tfrac{x}{4}\right)^2$ nos termos subsequentes; e indicar a validade como $|x| < 1$ em vez de $|x| < 4$.
Explorar
Curvas recíprocas
y = a/(x − b) + c
Frações parciais dividem uma fração difícil em partes recíprocas simples — cada uma com uma assíntota vertical e uma horizontal.
Vocabulário
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| English | Português |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Matemática Pura |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | frações parciais |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | função racional |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | quociente |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | resto |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | teorema do fator |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | teorema do resto |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | expansão binomial |
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | mudança de sinal |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | fórmula iterativa |
| reciprocals/rɪˈsɪprəklz/ | recíprocos |
3.2 3.3 3.6
Logaritmos, trigonometria e métodos numéricos (de Pure 2)
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a relação entre logaritmos e índices, e usar as leis dos logaritmos (excluindo mudança de base) | |
| compreender a definição e as propriedades de $e^x$ e $\ln x$, incluindo sua relação como funções inversas e seus gráficos | Incluindo conhecimento do gráfico de $y = e^{kx}$ para valores positivos e negativos de $k$. |
| use logarithms para resolver equações e inequações nas quais a incógnita aparece nos indices | p.ex. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$. |
| usar logaritmos para transformar uma relação dada em forma linear, e assim determinar constantes desconhecidas considerando a inclinação e/ou interceptação. | p. ex. $y = kx^n$ resulta em $\ln y = \ln k + n \ln x$ que é linear em $\ln x$ e $\ln y$. $y = k(a^x)$ resulta em $\ln y = \ln k + x \ln a$ que é linear em $x$ e $\ln y$. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a relação das funções secante, cossecante e cotangente com cosseno, seno e tangente, e usar propriedades e gráficos de todas as seis funções trigonométricas para ângulos de qualquer magnitude | |
| use identidades trigonométricas para a simplificação e avaliação exata de expressões, e no curso da resolução de equações, e selecione uma identidade ou identidades apropriadas ao contexto, demonstrando familiaridade em particular com o uso de: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ e $\cosec^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – as expansões de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ e $\tan(A \pm B)$ – as fórmulas para $\sin 2A$, $\cos 2A$ e $\tan 2A$ – a expressão de $a \sin \theta + b \cos \theta$ nas formas $R \sin(\theta \pm \alpha)$ e $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | p.ex. simplificando $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. p.ex. resolvendo $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • localizar aproximadamente uma raiz de uma equação, por meio de considerações gráficas e/ou busca por uma mudança de sinal | p.ex. encontrar um par de inteiros consecutivos entre os quais uma raiz se encontra. |
| • compreender a ideia de, e usar a notação para, uma sequência de aproximações que converge para uma raiz de uma equação | |
| • compreender como uma fórmula iterativa simples dada da forma $x_{n+1} = \text{F}(x_n)$ se relaciona com a equação sendo resolvida, e usar uma iteração dada, ou uma iteração baseada em um rearranjo dado de uma equação, para determinar uma raiz com uma precisão prescrita. | O conhecimento da condição para convergência não é incluído, mas espera-se a compreensão de que uma iteração pode falhar em convergir. |
Fonte: Programa Cambridge International
Os subtópicos 3.2, 3.3 e 3.6 são as mesmas habilidades que você encontrou em Pure 2: as leis dos logaritmos com $e^x$ e $\ln x$; as identidades $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ e $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$, as fórmulas de ângulo composto e duplo, e a forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$; e resolver uma equação numericamente por mudança de sinal e uma fórmula iterativa $x_{n+1} = F(x_n)$. Use-as exatamente como antes.
As três novas funções trigonométricas são os recíprocos das conhecidas: a secante $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, o cosseno reverso $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ e a cotangente $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ para $\sin\theta\ne0$. Ela equivale a $1/\tan\theta$ sempre que ambas as expressões estiverem definidas. (Dica mnemônica: combine a terceira letra — sec com coseno.) As duas identidades pitagóricas acima derivam diretamente da divisão de $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ por $\cos^2\theta$ ou $\sin^2\theta$. Para um método numérico, uma iteração $x_{n+1}=F(x_n)$ converge se seus valores tendem a um limite finito. Mudanças sucessivas menores por si só não provam convergência; quando $F$ é contínua nesse limite, este é um ponto fixo. Verifique-o na equação original.
Exemplo resolvido: redução à forma linear. Supõe-se que duas variáveis obedeçam a $y = kx^n$. Um gráfico de $\ln y$ em função de $\ln x$ é uma reta que passa por $(0.5, 2.1)$ e $(2.0, 4.5)$. Encontre $k$ e $n$.
Aplique logaritmos: $\ln y = n\ln x + \ln k$. Isso é $Y = nX + c$ com $Y = \ln y$ e $X = \ln x$, portanto $n$ é o coeficiente angular e $\ln k$ é o coeficiente linear:
$$n = \frac{4.5 - 2.1}{2.0 - 0.5} = 1.6, \qquad \ln k = 2.1 - 1.6 \times 0.5 = 1.3, \qquad k = e^{1.3} = 3.67.$$
Para $y = Ab^x$, em vez disso, represente $\ln y$ em função de $x$ (não $\ln x$): $\ln y = x\ln b + \ln A$, portanto o coeficiente angular é $\ln b$ e o coeficiente linear é $\ln A$.
Exemplo resolvido: a forma $R$. Expresse $3\sin\theta + 4\cos\theta$ como $R\sin(\theta + \alpha)$ e resolva $3\sin\theta + 4\cos\theta = 2$ para $0^\circ < \theta < 360^\circ$.
Desenvolva: $R\sin\theta\cos\alpha + R\cos\theta\sin\alpha$, portanto $R\cos\alpha = 3$ e $R\sin\alpha = 4$. Então $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ e $\tan\alpha = \tfrac43$, $\alpha = 53.13^\circ$.
Agora $\sin(\theta + 53.13^\circ) = 0.4$. O intervalo de valores de $\theta + 53.13^\circ$ vai de $53.13^\circ$ a $413.13^\circ$, portanto $\theta + 53.13^\circ = 156.42^\circ$ ou $383.58^\circ$, resultando em $\theta = 103.3^\circ$ ou $330.4^\circ$. O maior valor da expressão é $R = 5$.
Exemplo resolvido: localização de uma raiz e iteração. Mostre que $x^3 + x - 3 = 0$ tem uma raiz entre $1$ e $2$ e use $x_{n+1} = \sqrt[3]{3 - x_n}$ com $x_1 = 1.2$ para encontrá-la com 3 casas decimais.
Seja $f(x) = x^3 + x - 3$. $f(1) = -1 < 0$ e $f(2) = 7 > 0$: $f$ é contínua e muda de sinal, portanto há uma raiz entre $1$ e $2$. Os valores iterados são $1.2164$, $1.2127$, $1.2136$, $1.2134$, $1.2134$, portanto a raiz é $1.213$ com 3 casas decimais. A fórmula iterativa é uma reorganização da equação: $x = \sqrt[3]{3 - x}$ elevado ao cubo resulta em $x^3 = 3 - x$.
Explorar
Círculo unitário
(cos θ, sin θ)
A fórmula R reescreve a sin θ + b cos θ como uma única onda — e tudo isso reside neste círculo.
Vocabulário
Treinar
| English | Português |
|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | secante |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | cossecante |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | cotangente |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | convergente |
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | coeficiente angular |
3.4
Diferenciação
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| usar as derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\tan^{-1} x$, juntamente com múltiplos constantes, somas, diferenças e compostas | Derivadas de $\sin^{-1} x$ e $\cos^{-1} x$ não são necessárias. |
| diferenciar produtos e quocientes | p. ex. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1-x^2}$. |
| encontrar e usar a primeira derivada de uma função definida parametricamente ou implicitamente. | p. ex. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. p. ex. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Incluindo uso em problemas envolvendo tangentes e normais. |
Fonte: Programa Cambridge International
Os métodos são os de Pure 2 (regra do produto, quociente e cadeia, com curvas paramétricas e implícitas). Uma derivada é adicionada — a tangente inversa:
$$\frac{d}{dx}\tan^{-1} x = \frac{1}{1 + x^2}.$$
Exemplo resolvido. Derive $y = \tan^{-1}(3x)$.
Use a regra da cadeia com o resultado acima: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{1 + (3x)^2} \times 3 = \dfrac{3}{1 + 9x^2}.$
Exemplo resolvido: uma curva paramétrica. Uma curva tem $x = t^2 + 1$, $y = t^3 - 3t$. Encontre a tangente em $t = 2$ e os pontos em que a tangente é horizontal.
Para uma curva definida parametricamente, $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt} = \dfrac{3t^2 - 3}{2t}$. Em $t = 2$ o ponto é $(5, 2)$ e o coeficiente angular é $\dfrac{9}{4}$, portanto a tangente é $y - 2 = \tfrac94(x - 5)$. A tangente é horizontal onde $3t^2 - 3 = 0$, portanto $t = \pm1$: os pontos $(2, -2)$ e $(2, 2)$.
Exemplo resolvido: uma curva implícita. Encontre o coeficiente angular de $x^2 + xy + y^2 = 7$ em $(1, 2)$.
Derive implicitamente, usando a regra do produto em $xy$ e a regra da cadeia em $y^2$:
$$2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \;\Rightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{2x + y}{x + 2y}.$$
Em $(1, 2)$: $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4}{5}$. (Primeiro, verifique se o ponto pertence à curva: $1 + 2 + 4 = 7$.)
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A inclinação num ponto
gradiente = dy/dx
Implícita ou não, a derivada ainda é a inclinação da tangente — deslize o ponto para vê-la.
3.5
Integração
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| estender a ideia de 'diferenciação reversa' para incluir a integração de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$, $\sec^2(ax + b)$ e $\frac{1}{x^2 + a^2}$ | Incluindo exemplos como $\frac{1}{2 + 3x^2}$. |
| usar relações trigonométricas ao realizar integração | p. ex. uso de fórmulas de ângulo duplo para integrar $\sin^2 x$ ou $\cos^2(2x)$. |
| integrar funções racionais por meio de decomposição em frações parciais | Restrito aos tipos de frações parciais especificados no tópico 3.1 acima. |
| reconhecer um integrando da forma $\frac{k f'(x)}{f(x)}$, e integrar tais funções | p.ex. integração de $\frac{x}{x^2 + 1}$, $\tan x$. |
| reconhecer quando um integrando pode ser útilmente considerado como um produto, e usar a integração por partes | p.ex. integração de $x \sin 2x$, $x^2 e^{-x}$, $\ln x$, $x \tan^{-1} x$. |
| usar uma substituição dada para simplificar e avaliar uma integral definida ou indeterminada. | p.ex. para integrar $\sin^2 2x \cos x$ usando a substituição $u = \sin x$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Pure 3 adiciona vários métodos poderosos.
- Uma nova integral padrão: $\displaystyle\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}\frac{x}{a} + C$.
- Frações parciais: divida uma função racional primeiro, depois integre cada parte como um logaritmo.
- O padrão $\dfrac{k\,f'(x)}{f(x)}$: isso integra para $k\ln|f(x)| + C$. Por exemplo $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C$.
- Integração por partes, usada para um produto: $\displaystyle\int u\,\frac{dv}{dx}\,dx = uv - \int v\,\frac{du}{dx}\,dx$.
- Integração por substituição: uma mudança de variável dada transforma uma integral difícil em uma fácil.
Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int x\cos x\,dx$.
Use integração por partes com $u = x$ e $\dfrac{dv}{dx} = \cos x$, então $\dfrac{du}{dx} = 1$ e $v = \sin x$:
$$\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.$$
Exemplo resolvido: substituição. Use a substituição $u = x + 1$ para encontrar $\displaystyle\int_0^3 \frac{x}{\sqrt{x+1}}\,dx$.
Altere as três partes: $x = u - 1$, $dx = du$ e os limites $x = 0$ e $x = 3$ tornam-se $u = 1$ e $u = 4$:
$$\int_1^4 \frac{u-1}{\sqrt u}\,du = \int_1^4 \left(u^{1/2} - u^{-1/2}\right)du = \Big[\tfrac23 u^{3/2} - 2u^{1/2}\Big]_1^4 = \left(\tfrac{16}{3} - 4\right) - \left(\tfrac23 - 2\right) = \frac83.$$
O erro comum é manter os antigos limites $0$ e $3$ após mudar para $u$.
Exemplo resolvido: frações parciais. Mostre que $\displaystyle\int_3^4 \frac{x+4}{(x+1)(x-2)}\,dx = \ln\frac{16}{5}$.
Use as frações parciais encontradas anteriormente e integre cada parte como um logaritmo:
$$\int_3^4 \left(\frac{2}{x-2} - \frac{1}{x+1}\right)dx = \Big[2\ln(x-2) - \ln(x+1)\Big]_3^4 = (2\ln 2 - \ln 5) - (0 - \ln 4).$$
Isso resulta em $2\ln 2 + 2\ln 2 - \ln 5 = \ln 16 - \ln 5 = \ln\dfrac{16}{5}$. Como a resposta é fornecida, apresente as leis dos logaritmos passo a passo.
Explorar
A área sob a curva
área = ∫ f(x) dx
Todo método de integração mede esta área — arraste os limites para somá-la.
3.7
Vetores
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • usar notações padrão para vetores, ou seja, $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j}$, $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, $\overrightarrow{AB}$, $\mathbf{a}$ | |
| • realize adição e subtração de vetores e multiplicação de um vetor por um scalar, e interprete essas operações em termos geométricos | p.ex. ‘$OABC$ is a parallelogram’ é equivalente a $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$. A forma geral do ratio theorem não está incluída, mas espera-se que a compreensão de que o ponto médio de $AB$ tem vetor posição $\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$ seja adquirida. |
| • calcular a magnitude de um vetor, e usar vetores unitários, vetores deslocamento e vetores posição | Em 2 ou 3 dimensões. |
| • compreender o significado de todos os símbolos usados quando a equação de uma reta é expressa na forma $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$, e encontrar a equação de uma linha, dadas informações suficientes | p.ex. encontrando a equação de uma reta dado o vetor posição de um ponto na reta e um vetor direção, ou os vetores posição de dois pontos na reta. |
| • determinar se duas retas são paralelas, se intersectam ou são reversas (skew), e encontrar o ponto de interseção de duas retas quando existir | O cálculo da menor distância entre duas retas reversas não é exigido. Encontrar a equação da perpendicular comum a duas retas reversas também não é exigido. |
| • usar fórmulas para calcular o produto escalar de dois vetores, e usar produtos escalares em problemas envolvendo linhas e pontos. | p.ex. encontrando o ângulo entre duas retas, e encontrando o pé da perpendicular de um ponto a uma reta; as questões podem envolver objetos 3D como cuboides, tetraedros (pirâmides), etc. Conhecimento do produto vetorial não é exigido. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um vetor tem tanto tamanho quanto direção. Escreva-o como uma coluna, ou como $x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, ou como $\overrightarrow{AB}$.
- A magnitude (comprimento) de $\mathbf{v} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ é $|\mathbf{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
- Um vetor unitário tem módulo $1$; divida um vetor não nulo pelo seu módulo para obter um.
- Um vetor posição indica o local de um ponto em relação à origem; um vetor deslocamento $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ vai de um ponto a outro. Multiplicar por um escalar (um número simples) estica um vetor.
Somar vetores significa seguir um e depois o outro (“ponta com cauda”). Se $\overrightarrow{AB} = k\,\overrightarrow{CD}$, as retas $AB$ e $CD$ são paralelas, e $AB$ tem $k$ vezes o comprimento. O ponto médio de $AB$ tem vetor posição $\tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{b})$.
Exemplo resolvido: geometria com vetores. $OABC$ é um paralelogramo com $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ e $\overrightarrow{OC} = \mathbf{c}$. Mostre que suas diagonais se dividem ao meio.
$\overrightarrow{OB} = \mathbf{a} + \mathbf{c}$ (ao longo de $OA$, depois de $AB$, que é igual a $OC$). O ponto médio $M$ da outra diagonal $AC$ tem $\overrightarrow{OM} = \mathbf{a} + \tfrac12(\mathbf{c} - \mathbf{a}) = \tfrac12(\mathbf{a} + \mathbf{c}) = \tfrac12\overrightarrow{OB}$. Portanto, $M$ também é o ponto médio de $OB$: as diagonais se dividem ao meio.
Linhas e o produto escalar
Uma reta que passa pelo ponto $\mathbf{a}$ na direção $\mathbf{b}$ tem a equação vetorial $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$. Duas retas podem ser paralelas, se interceptar em um ponto, ou serem retas reversas (não paralelas e nunca se encontrando).
O produto escalar (produto ponto) de $\mathbf{a}$ e $\mathbf{b}$ é
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\cos\theta,$$
onde $\theta$ é o ângulo entre eles. Então $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = 0$ significa que os vetores são perpendiculares.
Exemplo resolvido. Encontre o ângulo entre $\mathbf{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ e $\mathbf{b} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = (1)(2) + (2)(2) + (2)(1) = 8, \qquad |\mathbf{a}| = |\mathbf{b}| = 3.$$
Então $\cos\theta = \dfrac{8}{3\times 3} = \dfrac{8}{9}$, dando $\theta = 27.3^\circ$.
Exemplo resolvido: duas retas se encontram? A reta $l$ é $\mathbf{r} = \mathbf{i} + 3\mathbf{j} + t(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k})$ e a reta $m$ é $\mathbf{r} = -\mathbf{j} + \mathbf{k} + s(3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k})$. Mostre que elas se intersectam e encontre o ponto.
As direções não são múltiplos uma da outra, logo as retas não são paralelas. Use uma letra diferente para o parâmetro de cada reta e iguale os componentes:
$$x:\ 1 + t = 3s, \qquad y:\ 3 - t = -1 + 2s, \qquad z:\ 2t = 1 + 3s.$$
Some as equações $x$ e $y$: $4 = -1 + 5s$, assim $s = 1$ e então $t = 2$. Agora teste a terceira equação: $2(2) = 4$ e $1 + 3(1) = 4$. Ela é válida, logo as retas se encontram em $\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2(\mathbf{i} - \mathbf{j} + 2\mathbf{k}) = 3\mathbf{i} + \mathbf{j} + 4\mathbf{k}$, no ponto $(3, 1, 4)$.
Se a terceira equação tivesse falhado, as retas seriam reversas. Sempre use a equação que você não resolveu como verificação.
Exemplo resolvido: o pé da perpendicular. Encontre o ponto $F$ na reta $\mathbf{r} = \mathbf{i} + \mathbf{k} + t(\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k})$ mais próximo de $P(4, 1, 3)$ e a menor distância de $P$ até a reta.
Um ponto genérico da reta é $(1 + t,\ t,\ 1 + t)$, portanto $\overrightarrow{PF} = (t - 3)\mathbf{i} + (t - 1)\mathbf{j} + (t - 2)\mathbf{k}$. No ponto mais próximo, $\overrightarrow{PF}$ é perpendicular à direção $\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}$:
$$(t - 3) + (t - 1) + (t - 2) = 0 \;\Rightarrow\; t = 2.$$
Portanto, $F = (3, 2, 3)$, $\overrightarrow{PF} = -\mathbf{i} + \mathbf{j}$, e a menor distância é $|\overrightarrow{PF}| = \sqrt2$.
Explorar
Somando vetores e o produto escalar
Arraste os dois vetores. Veja o resultante (ponta-cauda) e o produto escalar, que é zero quando são perpendiculares.
Vocabulário
Treinar
| English | Português |
|---|---|
| intercept/ˌɪntəˈsept/ | intercepto |
| inverse tangent/ɪnˈvɜːs ˈtændʒənt/ | tangente inversa |
| parametrically | parametricamente |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | implicitamente |
| Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | Integração por partes |
| Integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | Integração por substituição |
| vector/ˈvektə/ | vetor |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | módulo |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | módulo |
| unit vector/ˈjuːnɪt ˈvektə/ | vetor unitário |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | vetor posição |
| displacement vector/dɪˈspleɪsmənt ˈvektə/ | vetor deslocamento |
| scalar/ˈskeɪlə/ | escalar |
| parallel/ˈpærəlel/ | paralelo |
| intersect/ˌɪntəˈsekt/ | intersecção |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | retas reversas |
| scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/ | produto escalar |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendicular |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | equação diferencial |
| separable/ˈsepərəbl/ | separável |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solução geral |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condição inicial |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solução particular |
| complex number/ˈkɒmpleks ˈnʌmbə/ | número complexo |
| real part/rɪəl pɑːt/ | parte real |
| imaginary part/ɪˈmædʒɪnəri pɑːt/ | parte imaginária |
| Cartesian form/kɑːˈtiːzɪən fɔːm/ | forma cartesiana |
| conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | conjugado |
3.8
Equações diferenciais
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| formular uma afirmação simples envolvendo uma taxa de variação como uma equação diferencial | A introdução e avaliação de uma constante de proporcionalidade, quando necessário, está incluída. |
| encontrar por integração uma forma geral de solução para uma equação diferencial de primeira ordem cujas variáveis são separáveis | Incluindo qualquer uma das técnicas de integração do tópico 3.5 acima. |
| usar uma condição inicial para encontrar uma solução particular | |
| interpretar a solução de uma equação diferencial no contexto de um problema modelado pela equação. | Onde uma equação diferencial é usada para modelar uma situação 'real', nenhum conhecimento especializado do contexto será exigido. |
Fonte: Programa Cambridge International
Uma equação diferencial relaciona uma quantidade à sua taxa de variação. Para resolver uma equação de primeira ordem cujas variáveis são separáveis, coloque todos os termos $y$ de um lado e todos os termos $x$ do outro, então integre ambos os lados. Isso fornece a solução geral, que contém uma constante. Uma condição inicial (um valor conhecido) fixa a constante e fornece a solução particular.
Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx} = xy$, dado que $y = 1$ quando $x = 0$.
Separe as variáveis e integre:
$$\int \frac{1}{y}\,dy = \int x\,dx \;\Rightarrow\; \ln y = \tfrac12 x^2 + c \;\Rightarrow\; y = A e^{x^2/2}.$$
Usando $y = 1$ em $x = 0$ dá $A = 1$, então $y = e^{x^2/2}$.
Exemplo resolvido: formando a equação. Água vaza de um tanque. A profundidade $h$ cm diminui a uma taxa proporcional a $\sqrt h$. Em $t = 0$ minutos a profundidade é $16$ cm, e em $t = 10$ é $9$ cm. Quando o tanque fica vazio?
“Diminui a uma taxa proporcional a $\sqrt h$” fornece $\dfrac{dh}{dt} = -k\sqrt h$, com $k > 0$. Separe e integre:
$$\int h^{-1/2}\,dh = \int -k\,dt \;\Rightarrow\; 2\sqrt h = -kt + c.$$
Em $t = 0$: $2\sqrt{16} = c$, logo $c = 8$. Em $t = 10$: $2\sqrt9 = -10k + 8$, logo $k = 0.2$. O tanque está vazio quando $h = 0$: $0 = -0.2t + 8$, logo $t = 40$ minutos.
Interpretação da solução. A solução é $\sqrt h = 4 - 0.1t$, portanto $h = (4 - 0.1t)^2$ para $0 \le t \le 40$. A profundidade diminui rapidamente no início e mais lentamente à medida que o tanque esvazia, pois a taxa depende de $\sqrt h$. O modelo termina em $t = 40$: para valores maiores de $t$, a fórmula faria $h$ aumentar novamente, o que é impossível. Uma parte de uma questão de prova como “o que acontece com $h$ quando $t$ cresce muito?” pede uma frase como esta, no contexto do problema.
Erros comuns. Esquecer o sinal negativo para uma diminuição, e adicionar a constante apenas após reorganizar (escrevendo $y = e^{x^2/2} + c$ em vez de $y = Ae^{x^2/2}$ no exemplo acima).
Explorar
Um campo de inclinações
Cada pequena linha mostra o gradiente $\frac{dy}{dx}$ ali. Uma curva solução segue as setas — altere o ponto inicial para ver outra diferente.
3.9
Números complexos
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a ideia de um número complexo, recordar o significado dos termos parte real, parte imaginária, módulo, argumento, conjugado, e usar o fato de que dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais e imaginárias forem iguais | As notações $\text{Re } z$, $\text{Im } z$, $|z|$, $\arg z$, $z^*$ devem ser conhecidas. O argumento de um número complexo referir-se-á geralmente a um ângulo $\theta$ tal que $-\pi < \theta \leqslant \pi$, mas em alguns casos o intervalo $0 \leqslant \theta < 2\pi$ pode ser mais conveniente. Respostas podem usar qualquer intervalo a menos que a questão especifique o contrário. |
| realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão de dois números complexos expressos em forma cartesiana $x + \text{i}y$ | Para cálculos envolvendo multiplicação ou divisão, detalhes completos do desenvolvimento devem ser mostrados. |
| usar o resultado de que, para uma equação polinomial com coeficientes reais, quaisquer raízes não-reais ocorrem em pares conjugados | p.ex. ao resolver uma equação cúbica ou quártica onde uma raiz complexa é dada. |
| representar números complexos geometricamente por meio de um diagrama de Argand | |
| realizar operações de multiplicação e divisão de dois números complexos expressos em forma polar $r(\cos \theta + \text{i}\sin \theta) \equiv r\text{e}^{\text{i}\theta}$ | Incluindo os resultados $|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$ e $\arg(z_1 z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2)$, e resultados correspondentes para divisão. |
| encontrar as duas raízes quadradas de um número complexo | p.ex. as raízes quadradas de $5 + 12\text{i}$ em forma cartesiana exata. Detalhes completos do desenvolvimento devem ser mostrados. |
| compreender em termos simples os efeitos geométricos de conjugar um número complexo e de somar, subtrair, multiplicar e dividir dois números complexos | |
| ilustrar equações e desigualdades simples envolvendo números complexos por meio de loci em um diagrama de Argand | p.ex. $|z - a| < k$, $|z - a| = |z - b|$, $\arg(z - a) = \alpha$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um número complexo tem a forma $z = x + iy$, onde $i^2 = -1$. Aqui $x$ é a parte real e $y$ é a parte imaginária. Esta $x + iy$ é a forma cartesiana. Dois números complexos são iguais apenas quando suas partes reais coincidem e suas partes imaginárias coincidem.
- O conjugado de $z = x + iy$ é $z^* = x - iy$. Para um polinômio com coeficientes reais, quaisquer raízes não-real vêm em pares conjugados.
- O módulo é $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ (sua distância da origem) e, para $z\ne0$, o argumento é o ângulo formado pelo ponto, medido a partir do semieixo real positivo. Zero não tem argumento.
- Você pode plotar $z$ como um ponto em um diagrama de Argand (plano complexo).
- A forma polar é $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, onde $r = |z|$ e $\theta$ é o argumento. Multiplicar multiplica os módulos e soma os argumentos.
- Os loci de pontos satisfazendo uma condição em $z$ são desenhados no diagrama de Argand — ex. $|z - a| = r$ é um círculo, $|z - a| = |z - b|$ uma mediatriz, e $\arg(z - a) = \theta$ um semirraio. As raízes quadradas de um número complexo vêm de resolver $w^2 = z$.
Para dividir, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo resolvido: forma polar. $z_1 = 2\left(\cos\tfrac{\pi}{3} + i\sin\tfrac{\pi}{3}\right)$ e $z_2 = 4\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\right)$. Encontre $z_1z_2$ e $\dfrac{z_1}{z_2}$.
Multiplique os módulos e some os argumentos: $z_1z_2 = 8\left(\cos\tfrac{\pi}{2} + i\sin\tfrac{\pi}{2}\right) = 8i$. Divida os módulos e subtraia os argumentos: $\dfrac{z_1}{z_2} = \tfrac12\left(\cos\tfrac{\pi}{6} + i\sin\tfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{4} + \dfrac14 i$.
Exemplo resolvido. Escreva $\dfrac{3 + i}{1 - i}$ na forma $x + iy$.
$$\frac{3 + i}{1 - i} = \frac{(3 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + i + i^2}{1 + 1} = \frac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i.$$
Exemplo resolvido: módulo e argumento. Encontre o módulo e o argumento de $z = -1 + \sqrt3\,i$.
$|z| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt3)^2} = 2$. O ponto $(-1, \sqrt3)$ está no segundo quadrante, logo desenhe-o antes de usar a calculadora. O ângulo com o eixo real negativo é $\tan^{-1}\sqrt3 = \tfrac{\pi}{3}$, logo $\arg z = \pi - \tfrac{\pi}{3} = \tfrac{2\pi}{3}$. Portanto $z = 2\left(\cos\tfrac{2\pi}{3} + i\sin\tfrac{2\pi}{3}\right)$.
O $\tan^{-1}\!\left(\tfrac{\sqrt3}{-1}\right)$ de uma calculadora retorna $-\tfrac{\pi}{3}$, que está no quadrante errado. Da mesma forma $\arg(-1 - i) = -\tfrac{3\pi}{4}$, não $\tfrac{\pi}{4}$.
Exemplo resolvido: raiz quadrada. Encontre as raízes quadradas de $3 + 4i$.
Seja $(a + bi)^2 = 3 + 4i$ com $a$ e $b$ reais. Então $a^2 - b^2 + 2abi = 3 + 4i$, logo compare as partes reais e imaginárias:
$$a^2 - b^2 = 3, \qquad 2ab = 4.$$
Substitua $b = \dfrac{2}{a}$: $a^2 - \dfrac{4}{a^2} = 3$, logo $a^4 - 3a^2 - 4 = 0$, resultando em $(a^2 - 4)(a^2 + 1) = 0$. Como $a$ é real, $a^2 = 4$, logo $a = 2$ com $b = 1$, ou $a = -2$ com $b = -1$. As raízes quadradas são $\pm(2 + i)$. Verifique: $(2 + i)^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.
Uma equação ou desigualdade em $z$ descreve um lugar geométrico (uma trajetória ou região) no diagrama de Argand. Por exemplo $|z - a| = r$ é um círculo de raio $r$ centrado em $a$.
Explorar
Diagrama de Argand
Arraste o ponto. Um número complexo $a + bi$ é um ponto no plano; seu módulo é a distância até a origem e seu argumento é o ângulo.
Vocabulário
Treinar
| English | Português |
|---|---|
| argument/ˈɑːɡjuːmənt/ | argumento |
| Argand diagram/ˈɑːɡænd ˈdaɪəɡræm/ | diagrama de Argand |
| polar form/ˈpəʊlə fɔːm/ | forma polar |
| locus/ˈləʊkəs/ | lugar geométrico |
3.9
Dicas de prova
- Divida uma função racional em frações parciais antes de integrar ou expandir.
- Escolha a técnica de integração correta (substituição, por partes ou frações parciais) baseada na forma do integrando.
- Use o produto escalar (ponto) para o ângulo entre vetores e para testar perpendicularidade; escreva uma linha como $\mathbf{r} = \mathbf{a} + t\mathbf{b}$.
- Dê números complexos na forma solicitada (cartesiana ou módulo-argumento) e mostre-os em um diagrama de Argand.
- Quando uma resposta for “exata”, mantenha $\ln$, $e$, $\pi$ e radicais nela; forneça valores decimais apenas quando solicitado.
- Para encontrar $k$ e $n$ a partir de um gráfico logarítmico, primeiro escreva a equação logarítmica na forma $Y = mX + c$, depois leia o coeficiente angular e o coeficiente linear.
- Para encontrar o pé de uma perpendicular, escreva um ponto genérico da reta com seu parâmetro e iguale a zero o produto escalar com a direção.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.