Differential equations · Equações diferenciais
| English | Português |
|---|---|
| decay/dɪˈkeɪ/ | decaimento |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | equação diferencial |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taxa de variação |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | condição inicial |
| separable/ˈsepərəbl/ | separável |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante de integração |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | solução particular |
| general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/ | solução geral |
The equation that predicts the future
- How fast does a population grow? How quickly does a radioactive substance decay 衰减? How does a cup of coffee cool?
- All these questions lead to differential equations 微分方程 — equations that link a quantity to its rate of change 变化率. Solving them predicts the future.
A equação que prediz o futuro
- Quão rápido uma população cresce? Quão rapidamente uma substância radioativa decai 衰减? Como uma xícara de café esfria?
- Todas essas questões levam às equações diferenciais 微分方程 — equações que ligam uma quantidade à sua taxa de variação 变化率. Resolvê-las prediz o futuro.
What is a differential equation?
- A differential equation links a quantity to its rate of change.
- Example: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ says the rate of growth is proportional to the current value — exponential growth.
Real-world example. Newton's law of cooling: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. The rate of cooling is proportional to how much hotter the object is than its surroundings.
The constant gives a family of curves; an initial condition 初始条件 picks out one
O que é uma equação diferencial?
- Uma equação diferencial liga uma quantidade à sua taxa de variação.
- Exemplo: $\dfrac{dy}{dx} = ky$ diz que a taxa de crescimento é proporcional ao valor atual — crescimento exponencial.
Exemplo do mundo real. Lei do resfriamento de Newton: $\dfrac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{room}})$. A taxa de resfriamento é proporcional a quanto o objeto está mais quente que seu entorno.
A constante gera uma família de curvas; uma condição inicial 初始条件 seleciona uma delas
The slope field · Campo de inclinações
dy/dx = a y
A differential equation gives the slope · inclinação everywhere — the solution is the curve that follows those slopes from y₀. · Uma equação diferencial fornece a inclinação em todos os pontos — a solução é a curva que segue essas inclinações partindo de y₀.
A differential equation links a quantity to its rate of change. · Uma equação diferencial relaciona uma quantidade à sua taxa de variação.
That is the defining feature: the equation involves both y and dy/dx (or higher derivatives). · Essa é a característica definidora: a equação envolve tanto y quanto dy/dx (ou derivadas superiores).
Separable 可分离变量 equations
- For a separable first-order equation: put all $y$ terms on one side, all $x$ terms on the other, then integrate both sides.
- Example: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
Don't forget the constant of integration 积分常数. When you integrate both sides, add $+C$ to one side. This constant determines which particular solution 特解 you get.
Equações separáveis 可分离变量
- Para uma equação separável de primeira ordem: coloque todos os termos $y$ de um lado, todos os termos $x$ do outro, e integre ambos os lados.
- Exemplo: $\dfrac{dy}{dx} = xy \Rightarrow \dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx \Rightarrow \ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
Não esqueça a constante de integração 积分常数. Quando integra ambos os lados, adicione $+C$ a um deles. Esta constante determina qual solução particular 特解 você obtém.
To solve a separable first-order differential equation, you: · Para resolver uma equação diferencial separável de primeira ordem, você:
Separate the variables, then integrate each side. · Separe as variáveis, depois integre cada lado.
General vs particular solutions
- The general solution 通解 contains a constant (a whole family of curves).
- An initial condition (a known value) fixes the constant → the particular solution.
Solução geral vs. soluções particulares
- A solução geral 通解 contém uma constante (uma família inteira de curvas).
- Uma condição inicial (valor conhecido) fixa a constante → a solução particular.
An initial condition is used to: · Uma condição inicial é usada para:
A known value fixes the arbitrary constant, turning the general solution into the particular one. · Um valor conhecido fixa a constante arbitrária, transformando a solução geral na particular.
The general solution of a differential equation contains an arbitrary constant. · A solução geral de uma equação diferencial contém uma constante arbitrária.
Integrating introduces a constant, so the general solution is a whole family of curves. · A integração introduz uma constante, portanto a solução geral é uma família inteira de curvas.
Worked example
- Solve $\dfrac{dy}{dx} = xy$ with $y = 1$ at $x = 0$.
- Separate: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Integrate: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Apply $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- So $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Differential equations are solved algebraically — the solution process (separation of variables, integration) is the key content, not a diagram.
- Solve a first order differential equation to model real-life rates of change.
Exemplo resolvido
- Resolva $\dfrac{dy}{dx} = xy$ com $y = 1$ em $x = 0$.
- Separe: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$. Integre: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2} + C$.
- Aplique $y(0) = 1$: $\ln 1 = 0 + C \Rightarrow C = 0$.
- Então $\ln y = \dfrac{x^2}{2} \Rightarrow y = e^{x^2/2}$.
allow_no_figure: Equações diferenciais são resolvidas algebricamente — o processo de solução (separação de variáveis, integração) é o conteúdo chave, não um diagrama.
- Resolva uma equação diferencial de primeira ordem para modelar taxas de variação do mundo real.
Solve dy/dx = xy with y(0) = 1. At x = 2, y = e^(x²/2). Find y (2 dp). · Resolva dy/dx = xy com y(0) = 1. Em x = 2, y = e^(x²/2). Encontre y (2 casas decimais).
y = e^(x²/2). At x = 2: y = e² ≈ 7.39. · y = e^(x²/2). Em x = 2: y = e² ≈ 7.39.
If ln y = x²/2 + C and y(0) = 1, what is C? · Se ln y = x²/2 + C e y(0) = 1, qual é o valor de C?
ln 1 = 0 + C, so C = 0. · ln 1 = 0 + C, logo C = 0.
You've got it
- solve a separable equation by splitting variables and integrating both sides
- the general solution has a constant; an initial condition gives the particular solution
- a differential equation links a quantity to its rate of change
Entendeu?
- resolva uma equação separável dividindo variáveis e integrando ambos os lados
- a solução geral tem uma constante; uma condição inicial fornece a solução particular
- uma equação diferencial liga uma quantidade à sua taxa de variação