Logarithms, trigonometry and numerical methods (Pure 3) · Logaritmos, trigonometria e métodos numéricos (Pure 3)
| English | Português |
|---|---|
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | logaritmo |
| exponential equation/ˌekspəˈnenʃl ɪˈkweɪʒn/ | equação exponencial |
| decay/dɪˈkeɪ/ | decaimento |
| linearise/ˈlɪnɪəraɪz/ | linearizar |
| convergence/kənˈvɜːdʒəns/ | convergência |
Building on what you know
- Pure 3 doesn't introduce entirely new ideas — it deepens and extends the skills from Pure 2.
- Logarithms 对数, trigonometry, and numerical methods return with harder problems and richer applications.
Construído sobre o que você já sabe
- Pure 3 não introduz ideias totalmente novas — aprofunda e estende as habilidades do Pure 2.
- Logaritmos 对数, trigonometria e métodos numéricos retornam com problemas mais difíceis e aplicações mais ricas.
Logarithms revisited
- The log laws with $e^x$ and $\ln x$ return in harder contexts: solving exponential equations 指数方程, modelling growth and decay 衰减, and linearising 线性化 data.
- Key skill: when the unknown is in the power, take logs of both sides.
Worked example. Solve $5e^{2x} = 30$. Divide: $e^{2x} = 6$. Take $\ln$: $2x = \ln 6$, so $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
A line r = a + t b: start at a, then slide by t lots of the direction b
Logaritmos revisitados
- As leis dos logs com $e^x$ e $\ln x$ retornam em contextos mais complexos: resolvendo equações exponenciais 指数方程, modelando crescimento e decaimento 衰减, e linearizando 线性化 dados.
- Habilidade chave: quando a incógnita está no expoente, tire log de ambos os lados.
Exemplo resolvido. Resolva $5e^{2x} = 30$. Divida: $e^{2x} = 6$. Tire $\ln$: $2x = \ln 6$, logo $x = \dfrac{\ln 6}{2} \approx 0.896$.
Uma linha r = a + t b: comece em a, depois deslize por t unidades na direção b
What is ln(e³)? · Qual é ln(e³)?
ln and e are inverses, so ln(e³) = 3. · ln e e são inversas, logo ln(e³) = 3.
Solve 5e^(2x) = 30 for x (2 dp). · Resolva 5e^(2x) = 30 para x (2 casas decimais).
e^(2x) = 6, so 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90. · e^(2x) = 6, então 2x = ln 6, x = (ln 6)/2 ≈ 0.896 ≈ 0.90.
Trigonometry revisited
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- The compound- and double-angle formulae, and the $R$-form of $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- These identities are essential for integration and solving trig equations.
Don't mix up the identities. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (plus sign), not $1 - \tan^2\theta$. The sign comes from dividing $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ by $\cos^2\theta$.
Trigonometria revisitada
- $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$, $\csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta$.
- As fórmulas de ângulo composto e duplo, e a forma $R$ de $a\sin\theta + b\cos\theta$.
- Essas identidades são essenciais para integração e resolução de equações trigonométricas.
Não confunda as identidades. $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ (sinal de mais), não $1 - \tan^2\theta$. O sinal vem de dividir $\sin^2\theta + \cos^2\theta \equiv 1$ por $\cos^2\theta$.
The unit circle · Círculo unitário
(cos θ, sin θ)
The · A R-formula rewrites a sin θ + b cos θ as one wave — and it all lives on this circle. · A fórmula R reescreve a sin θ + b cos θ como uma única onda — e tudo isso reside neste círculo.
Using sec²θ ≡ 1 + tan²θ, if tan θ = 3, what is sec²θ? · Usando sec²θ ≡ 1 + tan²θ, se tan θ = 3, qual é sec²θ?
sec²θ = 1 + 3² = 1 + 9 = 10.
sec²θ ≡ 1 − tan²θ.
The correct identity is sec²θ ≡ 1 + tan²θ (plus, not minus). · A identidade correta é sec²θ ≡ 1 + tan²θ (soma, não subtração).
Numerical methods revisited
- A sign change to trap a root, then an iterative formula $x_{n+1} = F(x_n)$.
- Convergence 收敛 requires $|F'(x)| < 1$ near the root.
allow_no_figure: Review lesson consolidating Pure 2 skills (logarithms, trigonometry, numerical methods) — no new visual concepts introduced.
Métodos numéricos revisitados
- Uma mudança de sinal para aprisionar uma raiz, seguida de uma fórmula iterativa $x_{n+1} = F(x_n)$.
- A convergência 收敛 exige $|F'(x)| < 1$ perto da raiz.
allow_no_figure: Aula de revisão consolidando habilidades do Pure 2 (logaritmos, trigonometria, métodos numéricos) — nenhum novo conceito visual introduzido.
A numerical root is found by a sign change, then repeatedly applying: · Uma raiz numérica é encontrada por uma mudança de sinal, seguida pela aplicação repetida de:
Iteration applies x_{n+1} = F(x_n) until the values converge to the root. · A iteração aplica x_{n+1} = F(x_n) até que os valores converjam para a raiz.
Worked example — R-formula application
- Express $3\sin\theta + 4\cos\theta$ in the form $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- So $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- Maximum value is $5$ (when $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- Plotting $\ln y$ against $x$ gives a line whose gradient and intercept find the constants (using indices and inverse functions); know the reciprocal trig functions secant, cosecant, cotangent; and iteration $x_{n+1}=F(x_n)$ shows convergence to a root.
Exemplo resolvido — aplicação da fórmula R
- Expresse $3\sin\theta + 4\cos\theta$ na forma $R\sin(\theta + \alpha)$.
- $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. $\tan\alpha = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \alpha \approx 53.1^{\circ}$.
- Então $3\sin\theta + 4\cos\theta = 5\sin(\theta + 53.1^{\circ})$.
- Valor máximo é $5$ (quando $\sin(\theta + 53.1^{\circ}) = 1$).
- Plotar $\ln y$ contra $x$ resulta em uma linha cuja inclinação e intercepto encontram as constantes (usando índices e funções inversas); conheça as funções trigonométricas recíprocas secante, cossecante, cotangente; e iteração $x_{n+1}=F(x_n)$ mostra convergência para uma raiz.
For 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), what is R? · Para 3 sin θ + 4 cos θ = R sin(θ + α), qual é R?
R = √(3² + 4²) = √25 = 5.
You've got it
- 3.2 logs, 3.3 trig identities/angle formulae, 3.6 numerical methods = the Pure 2 skills
- use $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ and the R-formula as before
- find roots by a sign change then iteration $x_{n+1} = F(x_n)$
Entendeu?
- 3.2 logs, 3.3 identidades/trig/fórmulas de ângulo, 3.6 métodos numéricos = as habilidades do Pure 2
- use $\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta$ e a fórmula R como antes
- encontre raízes por uma mudança de sinal seguido de iteração $x_{n+1} = F(x_n)$