Mecânica

Uma força é um empurrão ou puxão. É um vetor, logo possui magnitude e direção. Por ser um vetor, você pode decompor uma força em componentes (geralmente horizontal e vertical), e somar várias forças em uma única resultante.

Uma partícula está em equilíbrio quando as forças estão equilibradas: a soma vetorial das forças é zero. Na prática, isso significa que as componentes em qualquer direção somam zero.

Desenho de um diagrama de forças. Represente o corpo como um ponto ou um bloco simples e acrescente uma seta para cada força que age sobre ele, identificando cada uma:

• seu peso $mg$, verticalmente para baixo (a massa é medida em kg; o peso é uma força, medida em newtons);
• uma força normal $R$ perpendicular a cada superfície que ele toca;
• o atrito $F$ ao longo de uma superfície rugosa, contrário ao sentido em que o corpo se move ou se moveria;
• uma tração $T$ ao longo de cada fio, puxando para longe do corpo;
• qualquer força aplicada, força motriz ou resistência dada na questão.

As forças que o corpo exerce sobre outros objetos não entram em seu diagrama. Em seguida, escolha duas direções perpendiculares para decompor as forças: horizontal e vertical, ou paralela e perpendicular ao plano inclinado.

Atrito

Quando duas superfícies se tocam, a força de contato entre elas tem duas componentes: a força normal $R$, perpendicular à superfície, e o atrito $F$, ao longo da superfície, que se opõe ao deslizamento. Uma superfície “lisa” é um modelo sem atrito.

O atrito só pode crescer até um máximo. Nesse máximo, o corpo está em equilíbrio limite, prestes a deslizar, e o atrito é atrito limite. O máximo é determinado pelo coeficiente de atrito $\mu$:

Pela terceira lei de Newton, as duas superfícies empurram-se mutuamente com forças iguais e opostas.

Exemplo resolvido. Um bloco de peso $20\text{ N}$ repousa sobre uma mesa horizontal rugosa com coeficiente de atrito $\mu = 0.4$. Encontre a maior força horizontal que pode ser aplicada antes que o bloco deslize.

A reação normal da mesa equilibra o peso, logo $R = 20\text{ N}$. O bloco está no limiar de deslizamento quando o atrito atinge seu valor máximo $F = \mu R = 0.4 \times 20 = 8\text{ N}$. Em equilíbrio, a força aplicada é igual ao atrito, logo a maior força que ele pode resistir é $8\text{ N}$.

Exemplo resolvido: resolução. Uma partícula de peso $20\text{ N}$ está em equilíbrio suspensa por duas cordas. Uma corda faz um ângulo $30^\circ$ com a horizontal e a outra $60^\circ$, em lados opostos. Encontre as duas tensões $T_1$ e $T_2$.

Resolva horizontalmente e verticalmente; cada direção deve somar zero:

A primeira equação dá $T_2 = T_1\dfrac{\cos 30^\circ}{\cos 60^\circ} = \sqrt3\,T_1$. Substitua: $\tfrac12 T_1 + \sqrt3 T_1\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} = 2T_1 = 20$, logo $T_1 = 10\text{ N}$ e $T_2 = 10\sqrt3 = 17.3\text{ N}$. A corda mais íngreme suporta mais do peso, como se espera.

Exemplo resolvido: ele deslizará? Um bloco de massa $4\ \text{kg}$ é colocado sobre um plano rugoso inclinado a $30^\circ$ em relação à horizontal, com $\mu = 0.3$. Mostre que ele desliza, encontre sua aceleração e determine a menor força paralela ao plano que o manteria em repouso.

Decomponha as forças na direção perpendicular ao plano: $R = 40\cos 30^\circ = 34.64\ \text{N}$, portanto o maior atrito disponível é $\mu R = 0.3 \times 34.64 = 10.39\ \text{N}$. A componente do peso para baixo ao longo do plano é $40\sin 30^\circ = 20\ \text{N}$. Ela é maior que $10.39\ \text{N}$, portanto o atrito não consegue segurar o bloco: ele desliza. Para baixo ao longo do plano, $F = ma$ fornece $20 - 10.39 = 4a$, portanto $a = 2.40\ \text{m s}^{-2}$.

Para mantê-lo em repouso com a menor força $P$ para cima ao longo do plano, o atrito ajuda $P$ e está em seu limite, atuando para cima ao longo do plano: $P + 10.39 = 20$, portanto $P = 9.61\ \text{N}$. (Para empurrá-lo para cima do plano, o atrito atuaria para baixo ao longo do plano, e $P$ teria que superar $20 + 10.39 = 30.4\ \text{N}$.)

Erros comuns. Confundir $\sin$ e $\cos$: a componente adjacente ao ângulo usa $\cos$. Confira com o ângulo que você desenhou, não com o da questão. Escrever $F = \mu R$ quando o corpo não está prestes a deslizar: no equilíbrio comum, o atrito tem apenas a intensidade necessária, $F < \mu R$.

Distância e velocidade escalar são grandezas escalares (apenas magnitude). Deslocamento, velocidade vetorial e aceleração são grandezas vetoriais (magnitude e direção).

Em um gráfico velocidade-tempo, a área sob a curva é o deslocamento e a inclinação é a aceleração (desaceleração significa aceleração oposta à velocidade, reduzindo a rapidez). Em um gráfico de deslocamento-tempo, a inclinação é a velocidade. De forma geral, diferencie em relação ao tempo para passar do deslocamento à velocidade e à aceleração, e integre para voltar.

Para movimento com aceleração constante, use estas fórmulas (as equações de movimento uniformemente variado):

Exemplo resolvido. Um carro parte do repouso e acelera a $2.5\ \text{m s}^{-2}$ durante $4\ \text{s}$. Encontre sua velocidade e a distância percorrida.

Exemplo resolvido: um gráfico de velocidade em função do tempo. Um trem parte do repouso e acelera uniformemente até $20\ \text{m s}^{-1}$ em $40\ \text{s}$. Ele viaja nessa velocidade por $T$ segundos e depois desacelera uniformemente até parar em $20\ \text{s}$. A distância total é $2.4\ \text{km}$. Encontre $T$ e a desaceleração.

Esboce o gráfico: um trapézio. A distância é a área sob ele:

A desaceleração é o módulo do coeficiente angular da última parte: $20 \div 20 = 1\ \text{m s}^{-2}$.

Exemplo resolvido: movimento vertical. Uma bola é lançada verticalmente para cima a $15\ \text{m s}^{-1}$ de um ponto $2\ \text{m}$ acima do solo. Encontre sua altura máxima acima do solo e o tempo até atingir o solo.

Considere para cima como positivo, portanto $a = -10\ \text{m s}^{-2}$. No ponto mais alto $v = 0$: $0 = 15^2 - 20s$, portanto $s = 11.25\ \text{m}$, e a altura máxima é $11.25 + 2 = 13.25\ \text{m}$. Ela atinge o solo quando seu deslocamento é $s = -2$:

considerando a raiz positiva. Uma equação descreve todo o percurso, na subida e na descida, desde que os sinais sejam mantidos.

Exemplo resolvido: aceleração variável. Uma partícula move-se numa linha reta com velocidade $v = 6t - t^2\ \text{m s}^{-1}$ durante $0 \leqslant t \leqslant 6$. Encontre sua maior rapidez e a distância percorrida.

A aceleração não é constante, portanto as equações suvat não se aplicam; use cálculo. Diferencie: $a = \dfrac{dv}{dt} = 6 - 2t$, que é zero em $t = 3$, logo a maior velocidade é $v = 18 - 9 = 9\ \text{m s}^{-1}$. A velocidade nunca é negativa neste intervalo, então a distância é

Se $v$ trocasse de sinal, você integraria cada parte separadamente e somaria os valores absolutos.

Exemplo resolvido: quando a velocidade muda de sinal. Uma partícula tem $v = t^2 - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3)$ para $0 \leqslant t \leqslant 3$. Encontre seu deslocamento e a distância total percorrida.

A partícula para e inverte o sentido em $t = 1$. Integre cada parte:

O deslocamento é $\tfrac43 - \tfrac43 = 0$: a partícula termina onde começou. A distância é $\tfrac43 + \tfrac43 = \tfrac83\ \text{m}$. Uma única integral de $0$ até $3$ forneceria o deslocamento, não a distância.

O momento linear de um corpo é $\text{mass} \times \text{velocity}$. É uma grandeza vetorial. Em uma colisão direta entre dois corpos, o momento total permanece inalterado quando o impulso externo líquido é nulo ou desprezível. Este é o princípio da conservação do momento linear:

Exemplo resolvido. Um corpo de massa $2\ \text{kg}$ movendo-se a $3\ \text{m s}^{-1}$ colide com um corpo estacionário de massa $1\ \text{kg}$, e eles se unem. Encontre a velocidade comum deles depois disso.

Exemplo resolvido: movimento de encontro. Um corpo $3\ \text{kg}$ movendo-se a $4\ \text{m s}^{-1}$ encontra um corpo $2\ \text{kg}$ movendo-se a $5\ \text{m s}^{-1}$ em direção oposta. Após a colisão, o corpo $3\ \text{kg}$ move-se a $0.5\ \text{m s}^{-1}$ na sua direção original. Encontre a velocidade do corpo $2\ \text{kg}$.

Considere a direção do corpo $3\ \text{kg}$ como positiva, então a velocidade do outro corpo antes da colisão é $-5$:

É positivo, então o corpo de massa $2\ \text{kg}$ agora move-se na direção original do corpo de massa $3\ \text{kg}$. Esquecer o sinal negativo para a direção oposta é o erro usual.

As leis de Newton do movimento relacionam força e aceleração. A principal é: força resultante $=$ massa $\times$ aceleração,

O peso de um corpo é a força da gravidade sobre ele: $W = mg$. As forças em um problema podem incluir peso, atrito, tensão em uma corda, tração (empurrão) em uma haste e resistência do ar.

Para movimento em um plano inclinado, decomponha cada força em uma componente paralela à rampa e uma perpendicular a ela, depois aplique $F = ma$ ao longo da rampa. Para partículas conectadas (ligadas por uma corda), aplique $F = ma$ a cada corpo ou ao sistema todo.

Exemplo resolvido. Um bloco de massa $12\ \text{kg}$ é puxado para cima de um plano rugoso por uma corda paralela à rampa. O plano está a $20^\circ$ em relação à horizontal, o coeficiente de atrito é $0.4$, e a aceleração é $2\ \text{m s}^{-2}$. Encontre a tensão na corda.

A reação normal é $R = mg\cos 20^\circ = 120\cos 20^\circ = 112.8\ \text{N}$, logo o atrito é $F = \mu R = 0.4 \times 112.8 = 45.1\ \text{N}$. Ao longo da rampa, $T - mg\sin 20^\circ - F = ma$:

Exemplo resolvido: um elevador. Uma mulher de massa $60\ \text{kg}$ está em um elevador que acelera para cima a $0.5\ \text{m s}^{-2}$. Encontre a força normal exercida pelo piso. Para cima, $R - 600 = 60(0.5)$, portanto $R = 630\ \text{N}$. Pela terceira lei de Newton, ela empurra o piso para baixo com $630\ \text{N}$, mais que seu peso; se o elevador acelerasse para baixo a $0.5\ \text{m s}^{-2}$, $R$ seria $570\ \text{N}$.

Exemplo resolvido: partículas conectadas. Bloco $A$ de massa $5\ \text{kg}$ repousa sobre uma mesa horizontal áspera ($\mu = 0.2$). Uma corda leve e inextensível o liga, passando por uma polia lisa na borda da mesa, ao bloco $B$ de massa $3\ \text{kg}$, que pende livremente. O sistema é solto do repouso. Encontre a aceleração e a tensão.

Para $A$, $R = 5g = 50\text{ N}$, logo o atrito é $0.2 \times 50 = 10\text{ N}$. Escreva $F = ma$ para cada bloco em sua própria direção de movimento:

Some-os: $20 = 8a$, depois $a = 2.5\ \text{m s}^{-2}$ e, por fim, $T = 30 - 3(2.5) = 22.5\text{ N}$. Verifique com $A$: $22.5 - 10 = 12.5 = 5(2.5)$. Note que $T$ tem peso menor que o de $B$; se fossem iguais, $B$ não aceleraria.

O trabalho realizado por uma força constante é o produto escalar entre força e deslocamento — a força vezes a distância percorrida na direção da força: $W = Fd\cos\theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre a força e o movimento. O trabalho mede-se em joules (J).

A energia vem em formas que você pode calcular:

• Energia cinética (energia de movimento): $\text{KE} = \tfrac12 mv^2$.
• Energia potencial gravitacional (energia de altura): $\text{PE} = mgh$.

O trabalho líquido realizado sobre uma partícula iguala sua variação de energia cinética. Quando apenas a gravidade realiza trabalho, a soma da energia cinética e da energia potencial gravitacional permanece constante. De modo geral, a energia total é conservada quando todos os transferências, incluindo aquecimento por atrito e trabalho de outras forças, são considerados — a conservação da energia.

Potência é a taxa de realização de trabalho. Para uma força puxando na direção do movimento, $P = Fv$ (potência $=$ força $\times$ velocidade). A potência mede-se em watts (W).

Exemplo resolvido. O motor de um carro opera a $12\ \text{kW}$ enquanto o carro se move a $20\ \text{m s}^{-1}$ em uma estrada plana. Encontre a força motriz.

Exemplo resolvido: energia com atrito. Uma caixa de $5\ \text{kg}$ desliza do repouso $10\ \text{m}$ abaixo numa rampa inclinada $30^\circ$ em relação à horizontal. Uma força de atrito constante de $12\ \text{N}$ atua. Encontre sua velocidade no fundo.

A caixa desce uma altura $h = 10\sin 30^\circ = 5\ \text{m}$, portanto perde $mgh = 5(10)(5) = 250\ \text{J}$ de energia potencial. O trabalho realizado contra o atrito é $12 \times 10 = 120\ \text{J}$. O restante torna-se energia cinética:

Use a altura vertical para a energia potencial ($5$ m), mas a distância ao longo da rampa para o trabalho contra o atrito ($10$ m).

Exemplo resolvido: potência em uma subida. Um carro de massa $1200\ \text{kg}$ sobe uma ladeira inclinada a $\alpha$ em relação à horizontal, onde $\sin\alpha = 0.05$. O motor opera a $30\ \text{kW}$ e a resistência ao movimento é uma constante $600\ \text{N}$. Encontre a aceleração instantânea quando a velocidade é $15\ \text{m s}^{-1}$ e a maior velocidade possível nessa subida.

Em $15\ \text{m s}^{-1}$ a força motriz é $F = \dfrac{P}{v} = \dfrac{30000}{15} = 2000\ \text{N}$. Para cima ao longo da subida:

À medida que o carro acelera, $F = P/v$ diminui, portanto a aceleração também diminui. A velocidade máxima é atingida quando $a = 0$: então $F = 600 + 600 = 1200\ \text{N}$, portanto $v = \dfrac{30000}{1200} = 25\ \text{m s}^{-1}$.

• Desenhe um diagrama de forças claro e decomponha em componentes perpendiculares; para o equilíbrio, cada direção soma zero.
• Use SUVAT apenas para aceleração constante e mantenha uma direção positiva consistente.
• Aplique $F = ma$ na direção do movimento, incluindo o atrito: $F\leqslant\mu R$ para contato estático, com igualdade no atrito limite; use o modelo de atrito de deslizamento declarado durante o movimento.
• Enuncie suas suposições (corda leve e inextensível, polia lisa, partícula) — elas frequentemente valem uma marca.
• Para encontrar uma distância a partir de $v$ em função de $t$, primeiro encontre onde $v = 0$ e integre cada parte separadamente.
• Com potência constante, a força motriz é $P/v$, portanto ela muda com a velocidade; a maior velocidade ocorre quando a força motriz equilibra exatamente as resistências.
• Em uma questão de movimento vertical, escolha um sentido positivo e mantenha $a = -10$ (ou $+10$) durante todo o percurso.