Este material cobre o Tópico 2: Matemática Pura 纯数学 2. Adiciona módulo e álgebra polinomial, logaritmos 对数 e a função exponencial 指数函数, mais trigonometria e novas formas de diferenciar e integrar.
Matemática Pura 2
Matemática do A-Level · Tópico 2
12:32
Matemática Pura 2
Em dois mil e onze, um terremoto ao largo do Japão mediu nove na escala Richter. Um abalo menor poderia medir seis. Apenas três pontos de diferença — mas o primeiro…
Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas
2.1
Álgebra
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender o significado de $|x|$, esboçar o gráfico de $y = |ax + b|$ e usar relações como $|a| = |b| \iff a^2 = b^2$ e $|x - a| < b \iff a - b < x < a + b$ ao resolver equações e desigualdades | Gráficos de $y = |f(x)|$ e $y = f(|x|)$ para funções não lineares $f$ não são incluídos. p. ex. $|3x - 2| = |2x + 7|$, $2x + 5 < |x + 1|$ |
| dividir um polinômio, de grau não superior a 4, por um polinômio linear ou quadrático, e identificar o quociente e o restante (que podem ser zero) | |
| usar o teorema do fator e o teorema do restante. | p. ex. para encontrar fatores e restantes, resolver equações polinomiais ou avaliar coeficientes desconhecidos. Incluindo fatores da forma $(ax + b)$ em que o coeficiente de $x$ não é unidade, e incluindo cálculo de restantes. |
Fonte: Programa Cambridge International
O módulo
O módulo 绝对值 $|x|$ é o tamanho de um número sem seu sinal, logo $|x| \geqslant 0$ sempre. O gráfico de $y = |ax + b|$ tem formato de "V" que reflete no eixo $x$. Duas regras úteis para resolver equações e desigualdades são
$$|a| = |b| \;\Leftrightarrow\; a^2 = b^2, \qquad |x - a| < b \;\Leftrightarrow\; a - b < x < a + b.$$
Exemplo resolvido. Resolva $|3x + 8| < 9$.
Usando a segunda regra com a desigualdade escrita como $-9 < 3x + 8 < 9$:
$$-9 < 3x + 8 < 9 \;\Rightarrow\; -17 < 3x < 1 \;\Rightarrow\; -\tfrac{17}{3} < x < \tfrac13.$$
Divisão polinomial e os teoremas do fator e do resto
Um polinômio 多项式 é uma soma de potências de $x$, tal como $2x^4 + 3x^2 - 5$. Seu grau 次数 é a maior potência. Ao dividir um polinômio por outro, obtém-se um quociente 商 e um resto 余数.
- Teorema do resto 余数定理: o resto quando $p(x)$ é dividido por $(x - a)$ é $p(a)$.
- Teorema do fator 因式定理: $(x - a)$ é um fator de $p(x)$ exatamente quando $p(a) = 0$.
Exemplo resolvido. O polinômio $p(x) = 2x^4 + kx^3 + kx^2 + 17x + 18$ tem o fator $(x + 2)$. Encontre $k$.
Pelo teorema do fator $p(-2) = 0$:
$$2(16) + k(-8) + k(4) + 17(-2) + 18 = 0 \;\Rightarrow\; 16 - 4k = 0 \;\Rightarrow\; k = 4.$$
Explorar
A função módulo
y = a|x − b| + c
O módulo cria uma forma em V. Mova seu vértice com b e c; altere como as pernas são íngremes com a.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | 纯数学 | chún shù xué |
| logarithms/ˈlɒɡərɪθəmz/ | 对数 | duì shù |
| exponential function/ˌekspəˈnenʃl ˈfʌŋkʃn/ | 指数函数 | zhǐ shù hán shù |
| modulus/ˈmɒdjʊləs/ | 绝对值 | jué duì zhí |
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 多项式 | duō xiàng shì |
| degree/dɪˈɡriː/ | 次数 | cì shù |
| quotient/ˈkwəʊʃənt/ | 商 | shāng |
| remainder/rɪˈmeɪndə/ | 余数 | yú shù |
| remainder theorem/rɪˈmeɪndə ˈθɪərəm/ | 余数定理 | yú shù dìng lǐ |
| factor theorem/ˈfæktə ˈθɪərəm/ | 因式定理 | yīn shì dìng lǐ |
| indices/ˈɪndɪsiːz/ | 指数 | zhǐ shù |
| laws of logarithms/lɔːz ɒv ˈlɒɡərɪθəmz/ | 对数定律 | duì shù dìng lǜ |
| natural logarithm/ˈnætʃərəl ˈlɒɡərɪθəm/ | 自然对数 | zì rán duì shù |
| linear form/ˈlɪnɪə fɔːm/ | 线性形式 | xiàn xìng xíng shì |
2.2
Funções logarítmicas e exponenciais
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a relação entre logaritmos e índices, e usar as leis dos logaritmos (excluindo mudança de base) | |
| compreender a definição e as propriedades de $e^x$ e $\ln x$, incluindo sua relação como funções inversas e seus gráficos | Incluindo conhecimento do gráfico de $y = e^{kx}$ para valores positivos e negativos de $k$. |
| usar logarithms para resolver equações e inequações nas quais a incógnita aparece nos indices | p.ex. $2^x < 5$, $3 \times 2^{3x-1} < 5$, $3^{x+1} = 4^{2x-1}$ |
| usar logaritmos para transformar uma relação dada em forma linear, e assim determinar constantes desconhecidas considerando a inclinação e/ou interceptação. | p. ex. $y = kx^n$ resulta em $\ln y = \ln k + n \ln x$ que é linear em $\ln x$ e $\ln y$ $y = k(a^x)$ resulta em $\ln y = \ln k + x \ln a$ que é linear em $x$ e $\ln y$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Um logaritmo responde à pergunta "qual potência?". Se $a^x = y$ então $x = \log_a y$. Logaritmos e índices 指数 (potências) são ideias inversas. As leis dos logaritmos 对数定律 são
$$\log(mn) = \log m + \log n, \qquad \log\!\frac{m}{n} = \log m - \log n, \qquad \log(m^k) = k\log m.$$
A função exponencial $e^x$ e o logaritmo natural 自然对数 $\ln x$ são funções inversas, logo $\ln(e^x) = x$ e $e^{\ln x} = x$. Quando a incógnita está no expoente, aplique logaritmos em ambos os lados.
Exemplo resolvido. Resolva $4^x < 0.05$.
$$4^x < 0.05 \;\Rightarrow\; x\ln 4 < \ln 0.05 \;\Rightarrow\; x < \frac{\ln 0.05}{\ln 4} = -2.16 \ (\text{3 s.f.}).$$
Forma linear 线性形式: uma relação como $y = Ax^n$ torna-se uma linha reta se tirar logaritmos: $\ln y = \ln A + n\ln x$. Plotar $\ln y$ contra $\ln x$ resulta em uma linha com inclinação $n$ e interceptação $\ln A$, permitindo encontrar as constantes desconhecidas.
Explorar
Crescimento exponencial
y = a·bˣ
Altere a base b: quando b > 1 a curva cresce, quando 0 < b < 1 ela decage — e sempre passa por (0, a).
2.3
Trigonometria
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| compreender a relação das funções secante, cossecante e cotangente com cosseno, seno e tangente, e usar propriedades e gráficos de todas as seis funções trigonométricas para ângulos de qualquer magnitude | |
| use identidades trigonométricas para a simplificação e avaliação exata de expressões, e no curso da resolução de equações, e selecione uma identidade ou identidades apropriadas ao contexto, demonstrando familiaridade em particular com o uso de: – $\sec^2 \theta \equiv 1 + \tan^2 \theta$ e $\csc^2 \theta \equiv 1 + \cot^2 \theta$ – as expansões de $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$ e $\tan(A \pm B)$ – as fórmulas para $\sin 2A$, $\cos 2A$ e $\tan 2A$ – a expressão de $a \sin \theta + b \cos \theta$ nas formas $R \sin(\theta \pm \alpha)$ e $R \cos(\theta \pm \alpha)$. | p.ex. simplificando $\cos(x - 30^\circ) - 3 \sin(x - 60^\circ)$. p.ex. resolvendo $\tan \theta + \cot \theta = 4$, $2 \sec^2 \theta - \tan \theta = 5$, $3 \cos \theta + 2 \sin \theta = 1$. |
Fonte: Programa Cambridge International
Existem três funções adicionais, cada uma sendo o recíproco de uma que você já conhece: a secante 正割 $\sec\theta = \dfrac{1}{\cos\theta}$, a cossecante 余割 $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$ e a cotangente 余切 $\cot\theta = \dfrac{1}{\tan\theta}$.
Você deve conhecer estas identidades trigonométricas 三角恒等式 e escolher a correta para cada problema:
$$\sec^2\theta \equiv 1 + \tan^2\theta, \qquad \csc^2\theta \equiv 1 + \cot^2\theta.$$
Você também usa as fórmulas de ângulo composto 复合角 para $\sin(A \pm B)$, $\cos(A \pm B)$, $\tan(A \pm B)$, as fórmulas de ângulo duplo 二倍角
$$\sin 2A = 2\sin A\cos A, \quad \cos 2A = 2\cos^2 A - 1, \quad \tan 2A = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A},$$
e a fórmula R 辅助角公式 $a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)$, onde $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ e $\tan\alpha = \dfrac{b}{a}$.
Exemplo resolvido. Resolva $2\tan^2\theta + 3\sec\theta = 18$ para $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Substitua $\tan^2\theta$ por $\sec^2\theta - 1$ para obter uma única função:
$$2(\sec^2\theta - 1) + 3\sec\theta = 18 \;\Rightarrow\; 2\sec^2\theta + 3\sec\theta - 20 = 0 \;\Rightarrow\; (2\sec\theta - 5)(\sec\theta + 4) = 0.$$
Assim $\sec\theta = \tfrac52$ ou $\sec\theta = -4$, resultando em $\cos\theta = \tfrac25$ ou $\cos\theta = -\tfrac14$. As soluções são $\theta = \pm 66.4^\circ$ e $\theta = \pm 104.5^\circ$.
Explorar
Círculo unitário
Arraste o ângulo para ver como $\sin$, $\cos$ e $\tan$ se relacionam — a chave para resolver equações trigonométricas.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| secant/ˈsiːkənt/ | 正割 | zhèng gē |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | 余割 | yú gē |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | 余切 | yú qiē |
| trigonometric identities/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk aɪˈdentɪtiz/ | 三角恒等式 | sān jiǎo héng děng shì |
| compound angle/ˈkɒmpaʊnd ˈæŋɡl/ | 复合角 | fù hé jiǎo |
| double angle/ˈdʌbl ˈæŋɡl/ | 二倍角 | èr bèi jiǎo |
| R-formula/ɑː ˈfɔːmjʊlə/ | 辅助角公式 | fǔ zhù jiǎo gōng shì |
| product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ | 乘积法则 | chéng jī fǎ zé |
| quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ | 商法则 | shāng fǎ zé |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 参数方程 | cān shù fāng chéng |
| implicitly/ɪmˈplɪsɪtli/ | 隐式 | yǐn shì |
2.4
Diferenciação
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| usar as derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, juntamente com múltiplos constantes, somas, diferenças e compostas | |
| diferenciar produtos e quocientes | p. ex. $\frac{2x - 4}{3x + 2}$, $x^2 \ln x$, $x e^{1 - x^2}$. |
| encontrar e usar a primeira derivada de uma função definida parametricamente ou implicitamente. | p. ex. $x = t - e^{2t}$, $y = t + e^{2t}$. p. ex. $x^2 + y^2 = xy + 7$. Incluindo uso em problemas envolvendo tangentes e normais. |
Fonte: Programa Cambridge International
Aprenda estas derivadas padrão:
$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \quad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.$$
Para um produto ou quociente de duas funções, use:
- a regra do produto 乘积法则: $(uv)' = u'v + uv'$;
- a regra do quociente 商法则: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
Quando uma curva é dada por equações paramétricas 参数方程 $x = x(t)$, $y = y(t)$, a inclinação é $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy/dt}{dx/dt}$. Quando $y$ está definida implicitamente 隐式 (não isolada), diferencie todos os termos em relação a $x$, usando a regra da cadeia nos termos $y$, e resolva para $\dfrac{dy}{dx}$.
Exemplo resolvido. Dado $y = 6x\cos(x^2 + 1)$, encontre $\dfrac{dy}{dx}$.
Use a regra do produto com $u = 6x$ e $v = \cos(x^2 + 1)$ (e a regra da cadeia para $v$):
$$\frac{dy}{dx} = 6\cos(x^2 + 1) + 6x\cdot\big(-2x\sin(x^2 + 1)\big) = 6\cos(x^2 + 1) - 12x^2\sin(x^2 + 1).$$
Explorar
Tangente e gradiente
y = ax³ + bx² + cx + d
Mova o ponto: a linha tangente é a derivada naquele x. Onde a curva muda de direção, o gradiente é zero.
2.5
Integração
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • estender a ideia de 'diferenciação reversa' para incluir a integração de $e^{ax + b}$, $\frac{1}{ax + b}$, $\sin(ax + b)$, $\cos(ax + b)$ e $\sec^2(ax + b)$ | Conhecimento do método geral de integração por substituição não é necessário. |
| • usar relações trigonométricas ao realizar integração | p. ex. uso de fórmulas de ângulo duplo para integrar $\sin^2 x$ ou $\cos^2(2x)$. |
| • compreender e usar a regra do trapézio para estimar o valor de uma integral definida. | Incluindo uso de gráficos esboçados em casos simples para determinar se a regra do trapézio fornece uma superestimação ou subestimação. |
Fonte: Programa Cambridge International
A integração é diferenciação reversa — inverta cada nova derivada; integrais mais difíceis podem exigir integração por substituição 换元积分 (desenvolvida em Pure 3). Para uma função linear interna $(ax + b)$:
$$\int e^{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax+b} + C, \qquad \int \frac{1}{ax+b}\,dx = \frac{1}{a}\ln|ax + b| + C,$$
$$\int \sin(ax+b)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax+b) + C, \qquad \int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b) + C, \qquad \int \sec^2(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\tan(ax+b) + C.$$
Para integrar uma potência de $\sin$ ou $\cos$, primeiro use uma identidade para remover a potência. Quando não for possível integrar exatamente, a regra do trapézio 梯形法则 estima uma integral definida:
$$\int_a^b y\,dx \approx \tfrac{h}{2}\big[y_0 + y_n + 2(y_1 + y_2 + \cdots + y_{n-1})\big].$$
Exemplo resolvido. Encontre $\displaystyle\int 6\sin^2 x\,dx$.
Use $\sin^2 x = \tfrac12(1 - \cos 2x)$:
$$\int 6\sin^2 x\,dx = \int (3 - 3\cos 2x)\,dx = 3x - \tfrac32\sin 2x + C.$$
Explorar
A área sob a curva
área = ∫ f(x) dx
A integral ainda mede área — arraste a e b para somar a faixa sob a curva.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| trapezium rule/trəˈpiːzɪəm ruːl/ | 梯形法则 | tī xíng fǎ zé |
| root/ruːt/ | 根 | gēn |
2.6
Solução numérica de equações
Programa
| Os candidatos devem ser capazes de: | Notas e exemplos |
|---|---|
| • localizar aproximadamente uma raiz de uma equação, por meio de considerações gráficas e/ou busca por uma mudança de sinal | p. ex. encontrando um par de inteiros consecutivos entre os quais uma raiz se encontra. |
| • compreender a ideia de, e usar a notação para, uma sequência de aproximações que converge para uma raiz de uma equação | |
| • compreender como uma fórmula de iteração simples dada da forma $x_{n + 1} = \text{F}(x_n)$ se relaciona com a equação sendo resolvida, e usar uma iteração dada, ou uma iteração baseada em um rearranjo dado de uma equação, para determinar uma raiz com um grau prescrito de precisão. | Conhecimento da condição para convergência não é incluído, mas espera-se uma compreensão de que uma iteração pode falhar em convergir. |
Fonte: Programa Cambridge International
Muitas equações não podem ser resolvidas exatamente. Duas ideias ajudam a encontrar uma raiz 根 (uma solução).
- Troca de sinal 变号: se $f(a)$ e $f(b)$ têm sinais opostos (e o gráfico não tem interrupções entre eles), uma raiz está entre $a$ e $b$.
- Iteração 迭代: reorganize a equação na forma $x = F(x)$, depois use a fórmula iterativa 迭代公式 $x_{n+1} = F(x_n)$. Comece com uma primeira estimativa $x_0$ e repita. Se os valores forem convergentes, eles se estabilizam e convergem 收敛 para uma raiz. Continue até que a resposta esteja estável na precisão solicitada.
Exemplo resolvido. Uma raiz $\beta$ de uma equação satisfaz $x = \sqrt[3]{-2x - 4.5}$, e $-1.4 < \beta < -1.0$. Use a iteração $x_{n+1} = \sqrt[3]{-2x_n - 4.5}$ com $x_0 = -1.2$.
$$x_1 = \sqrt[3]{-2(-1.2) - 4.5} = \sqrt[3]{-2.1} = -1.281, \qquad x_2 = \sqrt[3]{-2(-1.281) - 4.5} = -1.247, \quad \ldots$$
Os valores estabilizam perto de $-1.26$, então $\beta = -1.26$ (3 s.f.).
Explorar
Onde está a raiz?
y = ax³ + bx² + cx + d
Uma raiz é onde a curva cruza zero. Uma mudança de sinal em f(x) aprisiona uma raiz entre dois valores de x.
Vocabulário
Treinar
| Inglês | Chinês | Pinyin |
|---|---|---|
| sign change/saɪn tʃeɪndʒ/ | 变号 | biàn hào |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | 迭代 | dié dài |
| iterative formula/ˈɪtərətɪv ˈfɔːmjʊlə/ | 迭代公式 | dié dài gōng shì |
| converge/kənˈvɜːdʒ/ | 收敛 | shōu liǎn |
| integration by substitution/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 换元积分 | huàn yuán jī fēn |
2.6
Dicas de prova
- Use as leis dos logaritmos para resolver equações; lembre-se que $\ln$ e $e^x$ são inversas.
- Para métodos numéricos, mostre uma troca de sinal para localizar uma raiz, apresente a iteração claramente e dê a resposta com a precisão declarada.
- Aprenda as regras da cadeia, produto e quociente e identifique qual a função requer.
- Resolva equações de módulo $|f(x)| = g(x)$ considerando os casos positivo e negativo, e esboce para verificar.
Aulas interativas sobre este tópico
Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.