Integration · Integração
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|---|---|
| integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | integração |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | constante de integração |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | integral definida |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | volume de revolução |
The area under the curve
- How much fuel does a rocket burn if its thrust varies over time? How much land does a curved field cover?
- Integration 积分 answers these questions — it finds the total accumulated quantity from a rate of change.
A área sob a curva
- Quanto combustível um foguete consome se seu empuxo varia com o tempo? Qual área uma campo curvo cobre?
- Integração 积分 responde a essas questões — ela encontra a quantidade total acumulada a partir de uma taxa de variação.
Indefinite integration
- Integration reverses differentiation:
- The $+\,C$ is the constant of integration 积分常数 — find it from a known point.
Worked example. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. If the curve passes through $(1, 5)$: $1^3 + C = 5$, so $C = 4$ and $y = x^3 + 4$.
A definite integral 定积分 measures the shaded area between the curve and the x-axis
Integração indefinida
- Integração inverte a diferenciação:
- A $+\,C$ é a constante de integração 积分常数 — encontre-a a partir de um ponto conhecido.
Exemplo resolvido. $\int 3x^2\,dx = x^3 + C$. Se a curva passa por $(1, 5)$: $1^3 + C = 5$, então $C = 4$ e $y = x^3 + 4$.
Uma integral definida 定积分 mede a área sombreada entre a curva e o eixo x
The area under the curve · A área sob a curva
area = ∫ f(x) dx · área = ∫ f(x) dx
Drag the limits a and b — the shaded area · área between the curve and the x-axis is the definite integral. · Arraste os limites a e b — a área sombreada entre a curva e o eixo x é a integral definida.
Why does an indefinite integral include "+ C"? · Por que uma integral indefinida inclui "+ C"?
Differentiating a constant gives 0, so the original could have had any constant — hence + C. · Diferenciar uma constante resulta em 0, logo a original poderia ter tido qualquer constante — daí + C.
If dy/dx = 4x and the curve passes through (1, 7), what is C in y = 2x² + C? · Se dy/dx = 4x e a curva passa por (1, 7), qual é C em y = 2x² + C?
y = 2x² + C. At (1, 7): 7 = 2(1)² + C → C = 5. · y = 2x² + C. Em (1, 7): 7 = 2(1)² + C → C = 5.
Definite integrals
- A definite integral gives a number: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- The area under a curve from $p$ to $q$ is $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ (for two curves, integrate top − bottom).
The definite integral $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. The shaded area is $9$ square units.
Area below the x-axis is negative. If the curve dips below the axis, the integral gives a negative value. To find the total area, split at the roots and take the absolute value of each part.
Integrais definidas
- Uma integral definida fornece um número: $\displaystyle\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$.
- A área sob uma curva de $p$ a $q$ é $\displaystyle\int_p^q y\,dx$ (para duas curvas, integre topo − fundo).
A integral definida $\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = 9 - 0 = 9$. A área sombreada é $9$ unidades quadradas.
Área abaixo do eixo x é negativa. Se a curva desce abaixo do eixo, a integral resulta em valor negativo. Para encontrar a área total, divida nas raízes e toma o valor absoluto de cada parte.
Evaluate the definite integral of 2x from 0 to 3 (∫₀³ 2x dx). · Avalie a integral definida de 2x de 0 a 3 (∫₀³ 2x dx).
∫2x dx = x², so [x²]₀³ = 9 − 0 = 9. · ∫2x dx = x², logo [x²]₀³ = 9 − 0 = 9.
Evaluate ∫₀² 3x² dx. · Avalie ∫₀² 3x² dx.
∫3x² dx = x³, so [x³]₀² = 8 − 0 = 8. · ∫3x² dx = x³, logo [x³]₀² = 8 − 0 = 8.
If a curve is below the x-axis, the definite integral gives a negative value. · Se uma curva está abaixo do eixo x, a integral definida resulta em um valor negativo.
Area below the x-axis contributes negatively to the integral. Take the absolute value to find the actual area. · Área abaixo do eixo x contribui negativamente para a integral. Tire o valor absoluto para encontrar a área real.
Volume of revolution 旋转体体积
- Volume of revolution about the $x$-axis: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- Think of it as stacking infinitely thin discs of radius $y$ and thickness $dx$.
Rotating the region under a curve around the x-axis sweeps out a solid, summed as thin discs
Volume de revolução 旋转体体积
- Volume de revolução em torno do eixo $x$: $V = \pi\displaystyle\int_p^q y^2\,dx$.
- Pense nisso como empilhar discos infinitamente finos de raio $y$ e espessura $dx$.
Rotacionar a região sob uma curva em torno do eixo x gera um sólido, somado como discos finos
The volume of revolution of y = x about the x-axis from 0 to 2 is π∫₀² x² dx. Find the value (without π). · O volume de revolução de y = x em torno do eixo x de 0 a 2 é π∫₀² x² dx. Encontre o valor (sem π).
∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 ≈ 2.67.
Worked example
- Find the area under $y = x^2$ from $x = 0$ to $x = 3$:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- An improper integral has an infinite limit or an unbounded integrand.
Exemplo resolvido
- Encontre a área sob $y = x^2$ de $x = 0$ a $x = 3$:
- $\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac{27}{3} - 0 = 9$.
- Uma integral imprópria tem um limite infinito ou um integrando ilimitado.
You've got it
- integration reverses differentiation; remember the $+\,C$
- a definite integral $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = the area under the curve
- volume of revolution about the $x$-axis $= \pi\int y^2\,dx$
- area below the axis is negative — split and take absolute values for total area
Entendeu?
- a integração inverte a derivação; lembre-se do $+\,C$
- uma integral definida $\int_p^q f(x)\,dx = F(q) - F(p)$ = a área sob a curva
- volume de revolução em torno do eixo $x$ $= \pi\int y^2\,dx$
- área abaixo do eixo é negativa — divida e tome valores absolutos para a área total