Coordinate geometry · Geometria analítica
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|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | gradiente |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | perpendiculares |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | ponto médio |
| perpendicular bisector/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə baɪˈsektə/ | mediana perpendicular |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
The mathematics of location
- GPS satellites pinpoint your location to within a few metres using coordinate geometry.
- Every map, every blueprint, every computer graphic relies on the same core ideas: lines, circles, and the distances between points.
A matemática da localização
- Satélites GPS pinpointam sua localização com poucos metros de precisão usando geometria analítica.
- Todo mapa, cada projeto, cada gráfico computacional depende das mesmas ideias centrais: linhas, círculos e distâncias entre pontos.
Straight lines
- Gradient 斜率 of the line through $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Line equations: $y = mx + c$ (slope-intercept form), or $y - y_1 = m(x - x_1)$ (point-slope form).
- Parallel lines have equal gradients; perpendicular 垂直 lines have gradients that multiply to $-1$.
Worked example. Line through $(2, 3)$ and $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Equation: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Perpendicular gradient trap. If a line has gradient $2$, the perpendicular gradient is $-\dfrac{1}{2}$, not $-2$. You must flip the fraction and change the sign.
Linhas retas
- Inclinação 斜率 da linha através de $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
- Equações de linha: $y = mx + c$ (forma inclinação-intercepto), ou $y - y_1 = m(x - x_1)$ (forma ponto-inclinação).
- Linhas paralelas têm inclinações iguais; linhas perpendiculares 垂直 têm inclinações que multiplicam para $-1$.
Exemplo resolvido. Linha através de $(2, 3)$ e $(6, 11)$: $m = \dfrac{11-3}{6-2} = \dfrac{8}{4} = 2$. Equação: $y - 3 = 2(x - 2) \Rightarrow y = 2x - 1$.
Armadilha de inclinação perpendicular. Se uma linha tem inclinação $2$, a inclinação perpendicular é $-\dfrac{1}{2}$, não $-2$. Você deve invertê-la e mudar o sinal.
The straight line · A reta
y = ax + b
The · A gradient a tilts the line; the intercept b slides it up and down. · A inclinação a inclina a reta; o intercepto b desliza-a para cima e para baixo.
What is the gradient of the line through (2, 3) and (6, 11)? · Qual é a inclinação da reta que passa por (2, 3) e (6, 11)?
m = (11 − 3) / (6 − 2) = 8/4 = 2.
A line has gradient 2. What is the gradient of a line perpendicular to it? · Uma reta tem inclinação 2. Qual é a inclinação de uma reta perpendicular a ela?
Perpendicular gradients multiply to −1, so the gradient is −1/2 = −0.5. · Os coeficientes angulares de retas perpendiculares multiplicam-se para dar −1, logo o coeficiente angular é −1/2 = −0.5.
Midpoints 中点 and parallel lines
- The midpoint of $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- The perpendicular bisector 垂直平分线 passes through the midpoint with the perpendicular gradient.
Pontos médios 中点 e linhas paralelas
- O ponto médio de $(x_1, y_1)$ e $(x_2, y_2)$ é $\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$.
- A bissetriz perpendicular 垂直平分线 passa pelo ponto médio com a inclinação perpendicular.
The midpoint of (2, 3) and (8, 7) has x-coordinate: · A coordenada x do ponto médio entre (2, 3) e (8, 7) é:
Midpoint x = (2 + 8)/2 = 5. · Ponto médio x = (2 + 8)/2 = 5.
Circles
- A circle, centre $(a, b)$, radius $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- An expanded form (e.g. $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → complete the square in $x$ and $y$ to find the centre and radius.
The equation $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ describes a circle with centre $(3, -2)$ and radius $5$.
Círculos
- Um círculo, centro $(a, b)$, raio $r$: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.
- Uma forma expandida (ex. $x^2 + y^2 - 6x + 10y - 27 = 0$) → complete o quadrado em $x$ e $y$ para encontrar o centro e raio.
A equação $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ descreve um círculo com centro $(3, -2)$ e raio $5$.
The circle (x − 3)² + (y + 2)² = 25 has what radius? · A circunferência (x − 3)² + (y + 2)² = 25 tem qual raio?
r² = 25, so r = 5; the centre is (3, −2). · r² = 25, logo r = 5; o centro é (3, −2).
The circle x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 has centre: · A circunferência x² + y² − 6x + 10y − 27 = 0 tem centro:
Complete the square: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. Centre is (3, −5). · Completar o quadrado: (x−3)² + (y+5)² = 9 + 25 + 27 = 61. Centro é (3, −5).
Tangents 切线 to circles
- A tangent touches the circle once and is perpendicular to the radius there.
- This right-angle fact solves most circle problems: find the radius gradient, then the tangent gradient is $-\dfrac{1}{m}$.
Tangentes 切线 a círculos
- Uma tangente toca o círculo uma vez e é perpendicular ao raio ali.
- Este fato do ângulo reto resolve a maioria dos problemas de círculo: encontre a inclinação do raio, então a inclinação da tangente é $-\dfrac{1}{m}$.
A tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point where it touches. · Uma tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de contato.
This right-angle fact solves most circle problems. · Este fato do ângulo reto resolve a maioria dos problemas de circunferência.
You've got it
- gradient $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; perpendicular gradients multiply to $-1$
- circle: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centre $(a,b)$, radius $r$
- a tangent is perpendicular to the radius at the point of contact
- midpoint $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$
Entendeu?
- inclinação $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$; inclinações perpendiculares multiplicam para $-1$
- círculo: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, centro $(a,b)$, raio $r$
- uma tangente é perpendicular ao raio no ponto de contato
- ponto médio $= \left(\dfrac{x_1+x_2}{2}, \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$