Circular measure · Medida circular
| English | Português |
|---|---|
| radians/ˈreɪdɪənz/ | radianos |
| arc length/ɑːk leŋθ/ | comprimento de arco |
| sector area/ˈsektə ˈeərɪə/ | área do setor |
| segment/ˈseɡmənt/ | segmento |
Why radians 弧度?
- Engineers measure angles in degrees. Mathematicians prefer radians — and for good reason.
- A radian is the natural unit: it's the angle that cuts off an arc equal to the radius.
- With radians, the formulas for arc length 弧长 and sector area 扇形面积 become beautifully simple.
Por que radianos 弧度?
- Engenheiros medem ângulos em graus. Matemáticos preferem radianos — e por bons motivos.
- Um radiano é a unidade natural: é o ângulo que corta um arco igual ao raio.
- Com radianos, as fórmulas para comprimento de arco 弧长 e área de setor 扇形 área tornam-se bellamente simples.
What is a radian?
- A radian is the angle that cuts off an arc equal to the radius.
- The link: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
- degrees → radians: multiply by $\dfrac{\pi}{180}$; radians → degrees: multiply by $\dfrac{180}{\pi}$.
Common conversions. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ rad; $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ rad; $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad; $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ rad.
O que é um radiano?
- Um radiano é o ângulo que corta um arco igual ao raio.
- A ligação: $\pi \text{ radians} = 180^\circ$.
- graus → radianos: multiplique por $\dfrac{\pi}{180}$; radianos → graus: multiplique por $\dfrac{180}{\pi}$.
Conversões comuns. $90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ rad; $\;60^\circ = \dfrac{\pi}{3}$ rad; $\;45^\circ = \dfrac{\pi}{4}$ rad; $\;30^\circ = \dfrac{\pi}{6}$ rad.
π radians equals how many degrees? · π radianos equivalem a quantos graus?
By definition, π radians = 180°. · Por definição, π radianos = 180°.
60° in radians is: · 60° em radianos é:
60° × π/180 = 60π/180 = π/3.
Arc length and sector area
- For a sector with radius $r$ and angle $\theta$ in radians:
- arc length $s = r\theta$,
- sector area $A = \tfrac12 r^2 \theta$.
The elegance of radians: arc length $= r\theta$ and sector area $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. No messy $\dfrac{\theta}{360}$ fractions needed.
Radians only. The formulas $s = r\theta$ and $A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ work only when $\theta$ is in radians. If your angle is in degrees, convert first.
Comprimento de arco e área de setor
- Para um setor com raio $r$ e ângulo $\theta$ em radianos:
- comprimento de arco $s = r\theta$,
- área do setor $A = \tfrac12 r^2 \theta$.
A elegância dos radianos: comprimento do arco $= r\theta$ e área do setor $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$. Não são necessárias frações complicadas de $\dfrac{\theta}{360}$.
Apenas radianos. As fórmulas $s = r\theta$ e $A = \tfrac{1}{2}r^2\theta$ funcionam apenas quando $\theta$ está em radianos. Se o seu ângulo estiver em graus, converta primeiro.
The sector · O setor
s = rθ · A = ½r²θ
Drag the angle · ângulo θ (in radians) and the radius · raio r — the arc length and · e sector area follow. · Arraste o ângulo θ (em radianos) e o raio r — o comprimento do arco e a área do setor seguem.
A sector has radius 5 and angle 2 radians. What is the arc length (s = rθ)? · Um setor tem raio 5 e ângulo 2 radianos. Qual é o comprimento do arco (s = rθ)?
s = rθ = 5 × 2 = 10.
A sector has radius 4 and angle 0.5 radians. What is its area (A = ½r²θ)? · Um setor circular tem raio 4 e ângulo de 0.5 radianos. Qual é a sua área (A = ½r²θ)?
A = ½ × 4² × 0.5 = ½ × 16 × 0.5 = 4.
The formula s = rθ works when θ is measured in degrees. · A fórmula s = rθ funciona quando θ é medido em graus.
s = rθ only works when θ is in radians. Convert degrees to radians first. · s = rθ só funciona quando θ está em radianos. Converta graus para radianos primeiro.
Segment 弓形 area
- A segment is the region between a chord and the arc.
- Segment area = sector − triangle = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
- The triangle area is $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (using the sine rule for area).
A tangent meets the circle once and is perpendicular to the radius there
Área do segmento circular
- Um segmento é a região entre uma corda e o arco.
- Área do segmento = setor − triângulo = $\tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$.
- A área do triângulo é $\tfrac{1}{2}r^2\sin\theta$ (usando a regra do seno para área).
Uma tangente toca o círculo em um ponto e é perpendicular ao raio nesse local
A segment has r = 6 and θ = π/3 radians. The segment area is ½r²(θ − sin θ). Find it (2 dp). · Um segmento tem r = 6 e θ = π/3 radianos. A área do segmento é ½r²(θ − sin θ). Encontre-a (2 casas decimais).
½ × 36 × (π/3 − sin(π/3)) = 18 × (1.0472 − 0.8660) = 18 × 0.1812 = 3.26. · ½ × 36 × (π/3 − sen(π/3)) = 18 × (1.0472 − 0.8660) = 18 × 0.1812 = 3.26.
Worked example
- Sector: $r = 5$, $\theta = 2$ rad.
- Arc length $= 5 \times 2 = 10$.
- Sector area $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
- Segment area $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.
Exemplo resolvido
- Setor: $r = 5$, $\theta = 2$ rad.
- Comprimento do arco $= 5 \times 2 = 10$.
- Área do setor $= \tfrac{1}{2}(5^2)(2) = 25$.
- Área do segmento $= \tfrac{1}{2}(25)(2 - \sin 2) = 12.5(2 - 0.909) = 13.6$.
You've got it
- $\pi$ radians $= 180^\circ$; convert by $\times\dfrac{\pi}{180}$ or $\times\dfrac{180}{\pi}$
- arc length $s = r\theta$; sector area $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ in radians)
- segment $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$
Entendeu?
- $\pi$ radianos $= 180^\circ$; converter por $\times\dfrac{\pi}{180}$ ou $\times\dfrac{180}{\pi}$
- comprimento do arco $s = r\theta$; área do setor $A = \tfrac12 r^2\theta$ ($\theta$ em radianos)
- segmento $= \tfrac12 r^2(\theta - \sin\theta)$