Differentiation · Diferenciação
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|---|---|
| differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | diferenciação |
| power rule/ˈpaʊə ruːl/ | regra da potência |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | regra da cadeia |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | ponto estacionário |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | segunda derivada |
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | otimização |
The speed of change
- How fast is a rocket accelerating at the exact moment its fuel runs out? How steep is a roller coaster at its highest point?
- Differentiation 微分 answers these questions — it finds the instantaneous rate of change at any point on a curve.
A velocidade de mudança
- Com que aceleração um foguete está viajando no exato momento em que o combustível acaba? Quão íngreme é uma montanha-russa no seu ponto mais alto?
- Diferenciação 微分 responde a essas perguntas — ela encontra a taxa de variação instantânea em qualquer ponto de uma curva.
The power rule 幂法则 and chain rule 链式法则
- Differentiation finds the gradient of a curve at each point — the derivative 导数 $f'(x)$ or $\dfrac{dy}{dx}$.
- The power rule: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (any rational $n$).
- Chain rule for a function inside a function: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.
The derivative $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ gives the gradient at any point: at $x = 2$, the gradient is $4$.
Worked example. $y = (3x+1)^4$. Let $u = 3x+1$, so $y = u^4$. Chain rule: $\dfrac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$.
Regra da potência 幂法则 e regra da cadeia 链式法则
- Diferenciação encontra a inclinação de uma curva em cada ponto — a derivada 导数 $f'(x)$ ou $\dfrac{dy}{dx}$.
- Regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$ (qualquer racional $n$).
- Regra da cadeia para uma função dentro de outra: $\dfrac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$.
A derivada $\dfrac{dy}{dx} = 2x$ dá a inclinação em qualquer ponto: em $x = 2$, a inclinação é $4$.
Exemplo resolvido. $y = (3x+1)^4$. Seja $u = 3x+1$, logo $y = u^4$. Regra da cadeia: $\dfrac{dy}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+1)^3$.
The gradient at a point · A inclinação num ponto
gradient = dy/dx = f ′(x) · inclinação = dy/dx = f ′(x)
Slide the point along the curve — the tangent · tangente's slope IS the gradient f ′(x) there. · Deslize o ponto ao longo da curva — a inclinação da tangente É a inclinação f ′(x) naquele ponto.
If y = x³, then dy/dx = 3x². What is the gradient at x = 2? · Se y = x³, então dy/dx = 3x². Qual é a inclinação em x = 2?
dy/dx = 3x² = 3 × 2² = 3 × 4 = 12.
If y = (2x + 1)³, then dy/dx = 6(2x + 1)². What is dy/dx at x = 1? · Se y = (2x + 1)³, então dy/dx = 6(2x + 1)². Qual é dy/dx em x = 1?
At x = 1: dy/dx = 6(2(1) + 1)² = 6(3)² = 6 × 9 = 54. · Em x = 1: dy/dx = 6(2(1) + 1)² = 6(3)² = 6 × 9 = 54.
Stationary points 驻点
- A stationary point is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (the tangent is flat).
- Test with the second derivative 二阶导数:
- $f''(x) > 0$ → minimum,
- $f''(x) < 0$ → maximum.
- Also: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → increasing; $< 0$ → decreasing.
Don't forget the chain rule. When differentiating $(ax+b)^n$, you must multiply by the derivative of the inside: $\dfrac{d}{dx}(ax+b)^n = an(ax+b)^{n-1}$, not just $n(ax+b)^{n-1}$.
At a maximum or minimum the gradient dy/dx is zero
Pontos estacionários 驻点
- Um ponto estacionário é onde $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (a tangente é plana).
- Testar com a segunda derivada 二阶导数:
- $f''(x) > 0$ → mínimo,
- $f''(x) < 0$ → máximo.
- Também: $\dfrac{dy}{dx} > 0$ → crescente; $< 0$ → decrescente.
Não esqueça a regra da cadeia. Ao derivar $(ax+b)^n$, você deve multiplicar pela derivada do interior: $\dfrac{d}{dx}(ax+b)^n = an(ax+b)^{n-1}$, não apenas $n(ax+b)^{n-1}$.
Em um máximo ou mínimo a inclinação dy/dx é zero
The curve y = x² − 6x + 5 has a stationary point. At what x value? · A curva y = x² − 6x + 5 tem um ponto estacionar. Em que valor de x?
dy/dx = 2x − 6 = 0 gives x = 3. · dy/dx = 2x − 6 = 0 resulta em x = 3.
At a stationary point, if the second derivative f″(x) > 0, the point is a: · Em um ponto estacionar, se a segunda derivada f″(x) > 0, o ponto é um:
f″ > 0 means the curve bends upward — a minimum; f″ < 0 gives a maximum. · f″ > 0 significa que a curva se curva para cima — um mínimo; f″ < 0 dá um máximo.
If dy/dx > 0 for all x in an interval, the function is increasing on that interval. · Se dy/dx > 0 para todo x em um intervalo, a função é crescente nesse intervalo.
A positive derivative means the function is rising — it is increasing. · Uma derivada positiva significa que a função está subindo — ela é crescente.
For y = x³ − 6x² + 9x + 2, the second derivative at x = 3 is: · Para y = x³ − 6x² + 9x + 2, a segunda derivada em x = 3 é:
d²y/dx² = 6x − 12. At x = 3: 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6 > 0, so it's a minimum. · d²y/dx² = 6x − 12. Em x = 3: 6(3) − 12 = 18 − 12 = 6 > 0, logo é um mínimo.
Worked example — finding stationary points
- $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
- Stationary points at $x = 1$ and $x = 3$.
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: at $x=1$, $f'' = -6 < 0$ (maximum); at $x=3$, $f'' = 6 > 0$ (minimum).
Exemplo resolvido — encontrando pontos estacionários
- $y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$.
- $\dfrac{dy}{dx} = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$.
- Pontos estacionários em $x = 1$ e $x = 3$.
- $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 6x - 12$: em $x=1$, $f'' = -6 < 0$ (máximo); em $x=3$, $f'' = 6 > 0$ (mínimo).
Applications of differentiation
- Optimisation 最优化: find the maximum profit or minimum cost by setting $\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Rates of change: velocity is the derivative of displacement; acceleration is the derivative of velocity.
- Curve sketching: stationary points and the sign of $\dfrac{dy}{dx}$ reveal the shape.
- The derivative also gives the gradient of normals (perpendicular to the tangent).
Aplicações da diferenciação
- Otimização 最优化: encontrar lucro máximo ou custo mínimo definindo $\dfrac{dy}{dx} = 0$.
- Taxas de variação: velocidade é a derivada do deslocamento; aceleração é a derivada da velocidade.
- Esboço de curvas: pontos estacionários e o sinal de $\dfrac{dy}{dx}$ revelam a forma.
- A derivada também fornece a inclinação de normais (perpendiculares à tangente).
You've got it
- power rule: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$; chain rule for nested functions
- stationary point: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- second-derivative test: $f'' > 0$ minimum, $f'' < 0$ maximum
- increasing when $\dfrac{dy}{dx} > 0$; decreasing when $\dfrac{dy}{dx} < 0$
Entendeu?
- regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n) = n x^{n-1}$; regra da cadeia para funções aninhadas
- ponto estacionário: $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- teste da segunda derivada: $f'' > 0$ mínimo, $f'' < 0$ máximo
- crescente quando $\dfrac{dy}{dx} > 0$; decrescente quando $\dfrac{dy}{dx} < 0$