Series · Séries
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|---|---|
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | converge |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | série geométrica |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | expansão binomial |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coeficiente binomial |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | progressão aritmética |
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | razão comum |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | progressão geométrica |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | razão comum |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | soma para o infinito |
The infinite sum that converges 收敛
- Add $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ forever. The total? Exactly $2$.
- This is a geometric series 等比级数 with ratio $\dfrac{1}{2}$. Not all infinite sums behave this nicely — but the ones that do are powerful tools in finance, physics, and computing.
A soma infinita que converge 收敛
- Somar $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$ infinitamente. O total? Exatamente $2$.
- Esta é uma série geométrica 等比级数 com razão $\dfrac{1}{2}$. Nem todas as somas infinitas se comportam assim — mas as que convergem são ferramentas poderosas em finanças, física e computação.
The binomial expansion 二项展开式
- For a positive integer $n$:
- where $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ is a binomial coefficient 二项式系数.
Worked example. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. The coefficients $1, 4, 6, 4, 1$ are the 4th row of Pascal's triangle.
Expansão binomial 二项展开式
- Para um inteiro positivo $n$:
- onde $\binom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ é um coeficiente binomial 二项式系数.
Exemplo resolvido. $(1+x)^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4$. Os coeficientes $1, 4, 6, 4, 1$ correspondem à 4ª linha do triângulo de Pascal.
What is the binomial coefficient C(5, 2) = 5! / (2! 3!)? · Qual é o coeficiente binomial C(5, 2) = 5! / (2! 3!)?
C(5,2) = 120/(2×6) = 120/12 = 10.
Arithmetic progressions 等差数列 (AP)
- An AP adds a constant common difference 公差 $d$ each step: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- $n$th term: $u_n = a + (n-1)d$.
- Sum of first $n$ terms: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
Progressões aritméticas 等差数列 (AP)
- Uma PA adiciona uma constante razão comum 公差 $d$ em cada passo: $a, a+d, a+2d, \ldots$
- Termo $n$-ésimo: $u_n = a + (n-1)d$.
- Soma dos primeiros $n$ termos: $S_n = \dfrac{n}{2}\big(2a + (n-1)d\big)$.
An AP has first term a = 3 and common difference d = 4. What is the 5th term? · Uma PA tem primeiro termo a = 3 e razão comum d = 4. Qual é o 5º termo?
u₅ = a + (n−1)d = 3 + 4×4 = 3 + 16 = 19.
An AP has a = 2 and d = 3. What is the sum of the first 5 terms? · Uma PA tem a = 2 e d = 3. Qual é a soma dos primeiros 5 termos?
S₅ = (5/2)(2×2 + 4×3) = (5/2)(4 + 12) = (5/2)(16) = 40.
Geometric progressions 等比数列 (GP)
- A GP multiplies by a constant common ratio 公比 $r$ each step: $a, ar, ar^2, \ldots$
- $n$th term: $u_n = ar^{n-1}$.
- Sum of first $n$ terms: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (for $r \neq 1$).
AP grows linearly (add $d$); GP grows exponentially (multiply by $r$). For $r > 1$, the GP eventually dwarfs the AP.
Progressões geométricas 等比数列 (GP)
- Uma PG multiplica por uma constante razão comum 公比 $r$ em cada passo: $a, ar, ar^2, \ldots$
- Termo $n$-ésimo: $u_n = ar^{n-1}$.
- Soma dos primeiros $n$ termos: $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ (para $r \neq 1$).
PA cresce linearmente (soma $d$); PG cresce exponencialmente (multiplica por $r$). Para $r > 1$, a PG eventualmente supera a PA.
Build a sequence · Construir uma sequência
uₙ = a · rⁿ⁻¹
Each term multiplies by r. When |r| < 1 the terms shrink and the sum to infinity converges. · Cada termo multiplica por r. Quando |r| < 1 os termos diminuem e a soma infinita converge.
A GP has a = 2 and r = 3. What is the 4th term? · Uma PG tem a = 2 e r = 3. Qual é o 4º termo?
u₄ = ar³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54.
Sum to infinity 无穷和
- A GP converges when $|r| < 1$ — the terms get smaller and smaller.
- Sum to infinity: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ is essential. If $|r| \geq 1$, the terms don't shrink and the infinite sum diverges (grows without bound). The formula $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ only applies when the series converges.
- An arithmetic progression has a common difference; a geometric progression a common ratio. A convergent geometric progression ($|r|<1$) shows convergence to a sum to infinity.
Soma até o infinito 无穷和
- Uma PG converge quando $|r| < 1$ — os termos ficam menores e menores.
- Soma até o infinito: $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
$|r| < 1$ é essencial. Se $|r| \geq 1$, os termos não diminuem e a soma infinita diverge (cresce sem limite). A fórmula $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$ só se aplica quando a série converge.
- Uma progressão aritmética tem razão comum; uma progressão geométrica tem razão comum. Uma progressão geométrica convergente ($|r|<1$) demonstra convergência para uma soma até o infinito.
A GP has a = 8 and r = 0.5. What is the sum to infinity? · Uma PG tem a = 8 e r = 0.5. Qual é a soma até o infinito?
S∞ = a/(1−r) = 8/(1−0.5) = 8/0.5 = 16.
A geometric series with r = 1.5 has a finite sum to infinity. · Uma série geométrica com r = 1.5 possui uma soma finita até o infinito.
The sum to infinity formula only applies when |r| < 1. With r = 1.5, the series diverges. · A fórmula da soma ao infinito só se aplica quando |r| < 1. Com r = 1.5, a série diverge.
Match each formula to what it computes. · Combine cada fórmula com o que ela calcula.
d marks the arithmetic family, r the geometric one — recognising the formula is half the exam question. · d marca a família aritmética, r a geométrica — reconhecer a fórmula é metade da questão de prova.
You've got it
- binomial expansion: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- AP: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- GP: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- if $|r|<1$, sum to infinity $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$
Entendeu?
- expansão binomial: $(a+b)^n = \sum \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$
- PA: $u_n = a + (n-1)d$, $S_n = \dfrac{n}{2}(2a+(n-1)d)$
- PG: $u_n = ar^{n-1}$, $S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$
- se $|r|<1$, soma até o infinito $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$