Fonctions polynomiales et rationnelles

AP Pré-calcul · Sujet 1

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1.1

Changement en tandem

Programme

Objectif d'apprentissage 1.1.A : Décrire comment les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction varient ensemble en comparant les valeurs de la fonction.

1.1.A.1 Une fonction est une relation mathématique qui associe un ensemble de valeurs d'entrée à un ensemble de valeurs de sortie de sorte que chaque valeur d'entrée est associée à exactement une valeur de sortie. L'ensemble des valeurs d'entrée est appelé le domaine de la fonction, et l'ensemble des valeurs de sortie est appelé l'image de la fonction. La variable représentant les valeurs d'entrée est appelée la variable indépendante, et la variable représentant les valeurs de sortie est appelée la variable dépendante.
1.1.A.2 Les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction varient conjointement selon la règle de fonction, qui peut être exprimée graphiquement, numériquement, analytiquement ou verbalement.
1.1.A.3 Une fonction est croissante sur un intervalle de son domaine si, lorsque les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie augmentent toujours. C'est-à-dire, pour tout $a$ et $b$ dans l'intervalle, si $a < b$, alors $f(a) < f(b)$.
1.1.A.4 Une fonction est décroissante sur un intervalle de son domaine si, lorsque les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie diminuent toujours. C'est-à-dire, pour tout $a$ et $b$ dans l'intervalle, si $a < b$, alors $f(a) > f(b)$.

Objectif d'apprentissage 1.1.B : Construire un graphique représentant deux quantités qui varient l'une par rapport à l'autre dans un contexte donné.

1.1.B.1 Le graphique d'une fonction affiche un ensemble de paires entrée-sortie et montre comment les valeurs d'entrée et de sortie de la fonction varient.
1.1.B.2 Une description verbale de la façon dont certains aspects des phénomènes changent ensemble peut servir de base à la construction d'un graphique.
1.1.B.3 Le graphique d'une fonction est concave vers le haut sur les intervalles où le taux de variation augmente.
1.1.B.4 Le graphique d'une fonction est concave vers le bas sur les intervalles où le taux de variation diminue.
1.1.B.5 Le graphique coupe l'axe $x$ lorsque la valeur de sortie est nulle. Les valeurs d'entrée correspondantes sont dites être des zéros de la fonction.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pourquoi c’est important. Lorsqu’une nouvelle chanson sort, son nombre total d’écoutes augmente rapidement pendant les premières semaines, puis plus lentement. Une maison de disques qui souhaite prévoir le total du mois suivant ou déterminer quand la chanson a atteint son sommet a besoin d’une fonction qui corresponde à l’évolution des chiffres. Cette unité porte sur l’interprétation de cette évolution à l’aide des taux de variation et sur le choix de fonctions polynomiales et rationnelles pour la modéliser.

Graphique schématique du nombre total d’écoutes en fonction du nombre de semaines depuis la sortie, augmentant rapidement au début puis plus lentement — Le nombre augmente constamment, mais son taux d’augmentation diminue.

Une fonction est une règle qui associe à chaque entrée exactement une sortie. L'ensemble des entrées autorisées est le domaine ; l'ensemble des sorties est l'image. La variable d'entrée est la variable indépendante et la variable de sortie est la variable dépendante. Une règle de fonction peut être représentée graphiquement, numériquement, analytiquement (une formule) ou verbalement.

Alors que l'entrée change, la sortie change "en tandem" – ensemble. Sur un intervalle, une fonction est :

croissante si, chaque fois que $a<b$, alors $f(a)<f(b)$ (entrée plus grande, sortie plus grande);
décroissante si, chaque fois que $a<b$, alors $f(a)>f(b)$ (entrée plus grande, sortie plus petite).

Un graphique d'une fonction montre toutes ses paires entrée-sortie, de sorte que vous pouvez lire ce comportement directement sur l'image.

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Observer deux quantités évoluer ensemble

y = ax² + bx + c

La pré-calcul étudie comment une sortie évolue en tandem avec son entrée. Lisez la courbe de gauche à droite : là où elle est raide, $y$ change beaucoup pour un petit changement de $x$ ; là où elle est plate, $y$ bouge à peine.

Vocabulaire Entrainer

English	Français
function/ˈfʌŋkʃn/	fonction
domain/dəˈmeɪn/	domaine de définition
range/reɪndʒ/	ensemble des images
independent variable/ˌɪndɪˈpendənt ˈveərɪəbl/	variable indépendante
dependent variable/dɪˈpendənt ˈveərɪəbl/	variable dépendante
increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/	croissant
decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/	décroissant
average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/	taux de variation moyen
concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/	concave vers le haut
concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/	concave vers le bas
secant line/ˈsiːkənt laɪn/	sécante
linear/ˈlɪnɪə/	linéaire
polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/	polynôme
degree/dɪˈɡriː/	degré
leading term/ˈliːdɪŋ tɜːm/	terme dominant
leading coefficient/ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənt/	coefficient dominant
local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/	extremum local (relatif)
global (absolute) maximum/ˈɡləʊbl ˈmæksɪməm/	maximum global (absolu)
point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/	point d'inflexion
even function/ˈiːvən ˈfʌŋkʃən/	fonction paire
odd function/ɒd ˈfʌŋkʃən/	fonction impaire
zero/ˈzɪərəʊ/	zéro
root/ruːt/	racine
multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/	multiplicité

1.2

Taux de variation

Programme

Objectif d'apprentissage 1.2.A : Comparer les taux de variation en deux points à l'aide de taux de variation moyens près des points.

1.2.A.1 Le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle du domaine de cette fonction est le taux de variation constant qui produit le même changement dans les valeurs de sortie que celui obtenu par la fonction sur cet intervalle du domaine. C'est le rapport du changement des valeurs de sortie au changement des valeurs d'entrée sur cet intervalle.
1.2.A.2 Le taux de variation d'une fonction en un point quantifie la vitesse à laquelle les valeurs de sortie changeraient si les valeurs d'entrée changeaient à ce point. Le taux de variation en un point peut être approximé par les taux de variation moyens de la fonction sur de petits intervalles contenant ce point, si de telles valeurs existent.
1.2.A.3 Les taux de variation en deux points peuvent être comparés à l'aide d'approximations du taux de variation moyen sur des intervalles suffisamment petits contenant chaque point, si de telles valeurs existent.

Objectif d'apprentissage 1.2.B : Décrire comment deux quantités varient ensemble à différents points et sur différents intervalles d'une fonction.

1.2.B.1 Les taux de variation quantifient la manière dont deux quantités varient ensemble.
1.2.B.2 Un taux de variation positif indique qu'alors qu'une quantité augmente ou diminue, l'autre quantité fait de même.
1.2.B.3 Un taux de variation négatif indique qu'alors qu'une quantité augmente, l'autre diminue.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le taux moyen de variation d'une fonction sur un intervalle est le changement en sortie divisé par le changement en entrée – le taux constant unique qui donnerait le même changement total. Sur $[a,b]$ :

$$\text{avg rate} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Graphique de f(x) = x au carré avec des sécantes : pente 3 sur l’intervalle de 1 à 2 et pente 5 sur l’intervalle de 1 à 4 — Le taux de variation moyen change selon l’intervalle, donc f n’est pas linéaire.

Le taux de variation en un point mesure à quelle vitesse la sortie change exactement à cette entrée. Vous l'approximez avec des taux moyens sur de petits intervalles autour du point. En comparant deux points, celui ayant le taux moyen plus grand (sur des intervalles suffisamment petits) change plus vite. Un taux positif signifie que les deux quantités évoluent dans le même sens ; un taux négatif signifie qu'elles évoluent en sens opposé.

Exemple résolu. Pour $f(x)=x^2$, le taux de variation moyen sur $[1,4]$ est $\dfrac{f(4)-f(1)}{4-1}=\dfrac{16-1}{3}=5$. Sur $[1,2]$ il est $\dfrac{4-1}{1}=3$ – le taux lui-même change, ce qui est exactement pourquoi $f$ n'est pas linéaire.

Taux de variation et concavité. Si le taux de variation de $f$ augmente sur un intervalle, la courbe y est concave vers le haut ; si le taux diminue, elle est concave vers le bas. Dans un tableau où les valeurs d’entrée progressent par pas égaux, comparez les variations des valeurs de sortie.

Exemple détaillé. Le volume $f(t)$ d’un réservoir, en litres, est relevé toutes les 2 minutes :

$t$ (min)	$0$	$2$	$4$	$6$	$8$
$f(t)$ (L)	$10$	$14$	$20$	$28$	$38$

Sur chaque intervalle de 2 minutes, le volume augmente de 4, 6, 8, puis 10 litres. La valeur de sortie augmente de quantités croissantes sur des intervalles d’entrée de même longueur, donc les taux de variation moyens (2, 3, 4, 5 L/min) augmentent. $f$ est croissante et sa courbe est concave vers le haut sur $[0,8]$. Les questions à réponse construite demandent précisément ce type de justification : appuyez-vous sur les valeurs du tableau.

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Réduisez l'intervalle jusqu'à ce que la sécante devienne une tangente

f(x) = 0.5x²

Glissez le point pour lire la pente en un seul endroit — c'est la limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle se réduit vers zéro.

1.3

Taux de variation dans les fonctions linéaires et quadratiques

Programme

Objectif d'apprentissage 1.3.A : Déterminer les taux de variation moyens pour les suites et les fonctions, y compris les fonctions linéaires, quadratiques et d'autres types de fonctions.

1.3.A.1 Pour une fonction linéaire, le taux de variation moyen sur n'importe quel intervalle de longueur de valeur d'entrée est constant.
1.3.A.2 Pour une fonction quadratique, les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction linéaire.
1.3.A.3 Le taux de variation moyen sur l'intervalle fermé $[a, b]$ est la pente de la sécante passant du point $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$.

Objectif d'apprentissage 1.3.B : Déterminer le changement des taux de variation moyens pour les fonctions linéaires, quadratiques et d'autres types de fonctions.

1.3.B.1 Pour une fonction linéaire, puisque les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction constante, ces taux de variation moyens pour une fonction linéaire changent à un taux de zéro.
1.3.B.2 Pour une fonction quadratique, puisque les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction linéaire, ces taux de variation moyens pour une fonction quadratique changent à un taux constant.
1.3.B.3 Lorsque le taux de variation moyen sur des intervalles de valeurs d'entrée de longueur égale augmente pour tous les intervalles de petite longueur, la courbe de la fonction est convexe. Lorsque le taux de variation moyen sur des intervalles de valeurs d'entrée de longueur égale diminue pour tous les intervalles de petite longueur, la courbe de la fonction est concave.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le taux moyen de variation sur $[a,b]$ est la pente de la sécante reliant $(a,f(a))$ à $(b,f(b))$.

Compléter le carré donne le sommet d'une parabole

Pour une fonction linéaire, le taux moyen de variation sur tout intervalle est constant – donc le taux de variation du taux est zéro.
Pour une fonction quadratique, les taux moyens de variation sur des intervalles de longueur égale forment eux-mêmes un modèle linéaire – donc ces taux varient à un rythme constant.

Cette idée de "taux du taux" distingue les types de fonctions : une seconde différence constante signale une fonction quadratique.

Exemple résolu. Quel type de fonction correspond à ce tableau (entrées espacées régulièrement) ?

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$1$	$3$	$9$	$19$	$33$
1ièmes différences		$2$	$6$	$10$	$14$
2ndes différences			$4$	$4$	$4$

Les premières différences (les taux moyens par intervalle) ne sont pas constantes, donc ($f$) n'est pas linéaire. Elles augmentent d'une quantité constante ($4$) à chaque étape, donc les secondes différences sont constantes : un modèle quadratique convient. (En fait ($f(x)=2x^2+1$).)

Le Golden Gate Bridge avec son câble principal courbé — Un câble de pont suspendu prend la forme d'une courbe ressemblant à une parabole — une quadratique visible dans l'acier

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Explorer le taux de changement d'une fonction quadratique

y = ax² + bx + c

Déplacez les curseurs et regardez la parabole 抛物线 se pencher. Son taux de changement moyen n'est pas constant — la pente est positive d'un côté du sommet 顶点 et négative de l'autre. Remarquez comment $a$ l'ouvre vers le haut ou vers le bas.

1.4

Fonctions polynomiales et taux de variation

Programme

Objectif d'apprentissage 1.4.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions polynomiales liées aux taux de variation.

1.4.A.1 Une fonction polynomiale non constante de $x$ est toute représentation fonctionnelle équivalente à la forme analytique $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, où $n$ est un entier positif, $a_i$ est un nombre réel pour chaque $i$ allant de $1$ à $n$, et $a_n$ est non nul. Le polynôme a pour degré $n$, son terme dominant est $a_n x^n$, et son coefficient dominant est $a_n$. Une constante est également une fonction polynomiale de degré zéro.
1.4.A.2 Là où une fonction polynomiale change entre croissante et décroissante, ou à l'extrémité incluse d'un polynôme à domaine restreint, la fonction polynomiale aura une valeur de sortie maximale ou minimale locale, ou relative. De tous les maxima locaux, le plus grand est appelé maximum global, ou absolu. De même, le plus petit de tous les minima locaux est appelé minimum global, ou absolu.
1.4.A.3 Entre deux zéros réels distincts d'une fonction polynomiale non constante, il doit y avoir au moins une valeur d'entrée correspondant à un maximum local ou un minimum local.
1.4.A.4 Les fonctions polynomiales de degré pair auront soit un maximum global, soit un minimum global.
1.4.A.5 Les points d'inflexion d'une fonction polynomiale se situent aux valeurs d'entrée où le taux de variation de la fonction passe d'augmentant à décroissant ou de décroissant à croissant. Cela se produit lorsque la courbe d'une fonction polynomiale passe de convexe à concave ou de concave à convexe.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un polynôme non constant a la forme

$$p(x)=a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1 x + a_0,\quad a_n\neq 0.$$

Son degré est $n$, son terme dominant est $a_n x^n$ et son coefficient dominant est $a_n$. Une constante non nulle est un polynôme de degré $0$ ; le polynôme nul n’a pas de degré défini.

Une courbe de pont lisse : les graphiques polynomiaux et rationnels modélisent des formes réelles avec asymptotes et virages

Caractéristiques clés :

Lorsqu’un polynôme passe d’un comportement croissant à décroissant, ou inversement, il présente un extremum local (relatif). Le plus grand maximum local est le maximum global (absolu) uniquement si le polynôme en possède un : tout polynôme de degré impair est non borné aussi bien supérieurement qu’inférieurement, il n’a donc ni maximum global ni minimum global.
Entre deux zéros réels distincts, il y a au moins un extremum local (maximum ou minimum).
Un polynôme de degré pair a soit un maximum global, soit un minimum global.
Un point d’inflexion est un point où la courbe change de concavité, passant d’une concavité vers le haut à une concavité vers le bas ou inversement, c’est-à-dire où le taux de variation passe d’un comportement croissant à décroissant ou inversement.
Une fonction présente une symétrie si elle est paire – $f(-x)=f(x)$, graphique symétrique par rapport à l'axe des $y$ (comme $x^2$, $x^4$) – ou impaire – $f(-x)=-f(x)$, graphique symétrique par rotation autour de l'origine (comme $x^3$, $x^5$). Testez en substituant $-x$ et en simplifiant ; ultérieurement, $\cos\theta$ sera paire et $\sin\theta$ impaire.

Un antenne parabolique monté sur un mur, son réflecteur courbé orienté vers le ciel avec le récepteur maintenu au foyer — Un antenne parabolique est une paraboloïde de révolution : chaque rayon parallèle se réfléchit vers le même foyer

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Modifiez la forme d'un cubique et comptez ses points de retournement

y = ax³ + bx² + cx + d

Ajustez les curseurs. Une courbe de degré 3 peut onduler au maximum deux fois — essayez de lui faire faire trois retournements (vous ne pouvez pas).

1.5

Fonctions polynomiales et zéros complexes

Programme

Objectif d'apprentissage 1.5.A : Identifier les caractéristiques clés d'une fonction polynomiale liées à ses zéros lorsque des factorisations appropriées sont disponibles ou avec l'aide d'un logiciel.

1.5.A.1 Si $a$ est un nombre complexe et $p(a) = 0$, alors $a$ est appelé un zéro de la fonction polynomiale $p$, ou une racine de $p(x) = 0$. Si $a$ est un nombre réel, alors $(x - a)$ est un facteur linéaire de $p$ si et seulement si $a$ est un zéro de $p$.
1.5.A.2 Si un facteur linéaire $(x - a)$ est répété $n$ fois, le zéro correspondant de la fonction polynomiale a une multiplicité $n$. Une fonction polynomiale de degré $n$ possède exactement $n$ zéros complexes en comptant les multiplicités.
1.5.A.3 Si $a$ est un zéro réel d'une fonction polynomiale $p$, alors la courbe de $y = p(x)$ présente une intersection avec l'axe $x$ au point $(a, 0)$. Par conséquent, les zéros réels d'un polynôme peuvent servir d'extrémités aux intervalles satisfaisant les inégalités polynomiales.
1.5.A.4 Si $a + bi$ est un zéro non réel d'une fonction polynomiale $p$, alors son conjugué $a - bi$ est également un zéro de $p$.
1.5.A.5 Si le zéro réel, $a$, d'une fonction polynomiale a une multiplicité paire, alors les signes des valeurs de sortie sont les mêmes pour les valeurs d'entrée proches de $x = a$. Pour ces fonctions polynomiales, la courbe sera tangente à l'axe $x$ au point $x = a$.
1.5.A.6 Le degré d'une fonction polynomiale peut être déterminé en examinant les différences successives des valeurs de sortie sur des valeurs d'entrée à intervalles égaux. Le degré de la fonction polynomiale est égal à la plus petite valeur $n$ pour laquelle les différences $n$-ièmes successives sont constantes.

Objectif d'apprentissage 1.5.B : Déterminer si une fonction polynomiale est paire ou impaire.

1.5.B.1 Une fonction paire est symétrique graphiquement par rapport à la droite $x = 0$ et possède analytiquement la propriété $f(-x) = f(x)$. Si $n$ est paire, alors un polynôme de la forme $p(x) = a_n x^n$, où $n \geq 1$ et $a_n \neq 0$, est une fonction paire.
1.5.B.2 Une fonction impaire est symétrique graphiquement par rapport au point $(0, 0)$ et possède analytiquement la propriété $f(-x) = -f(x)$. Si $n$ est impair, alors un polynôme de la forme $p(x) = a_n x^n$, où $n \geq 1$ et $a_n \neq 0$, est une fonction impaire.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un zéro (ou racine) de $p$ est un nombre $a$ tel que $p(a)=0$. Pour un polynôme réel $a$, $(x-a)$ est un facteur de $p$ exactement lorsque $a$ est un zéro. Si le facteur $(x-a)$ est répété $n$ fois, ce zéro a une multiplicité $n$. En comptant les multiplicités, un polynôme de degré $n$ a exactement $n$ zéros complexes.

Un nombre complexe sur un diagramme d'Argand : le module est la distance, l'argument l'angle

Un zéro réel $a$ donne une ordonnée à l'origine $x$ au point $(a,0)$ ; les zéros réels sont les extrémités des intervalles où $p(x)\ge 0$ ou $\le 0$.
Les zéros non réels apparaissent par paires conjuguées : si $a+bi$ est un zéro, alors $a-bi$ l'est aussi.
À un zéro réel de multiplicité paire, la courbe est tangente à l'axe des $x$ (elle touche mais ne traverse pas) ; à multiplicité impaire, elle traverse.

Exemple résolu. Un polynôme cubique ($p$) a une racine de multiplicité ($2$) en ($x=-1$), une racine en ($x=3$), et ($p(0)=6$). Trouver ($p(x)$) et décrire son graphique.

Chaque racine fournit un facteur, donc ($p(x)=a(x+1)^2(x-3)$). Utilisons le point : ($p(0)=a(1)^2(-3)=-3a=6$), donc ($a=-2$) et

$$p(x)=-2(x+1)^2(x-3).$$

Le graphique touche l'axe ($x$) en ($x=-1$) (multiplicité paire) et le traverse en ($x=3$). Le terme dominant est ($-2x^3$) (négatif, degré impair), donc ($\lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty$) et ($\lim_{x\to-\infty}p(x)=\infty$).

Le degré correspond au plus petit $n$ pour lequel les $n$ièmes différences successives de sorties espacées régulièrement deviennent constantes.

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Une racine complexe et son partenaire miroir

Tracez une racine a + bi. Pour un polynôme réel, son conjugué a − bi (l'image miroir par rapport à l'axe réel) doit aussi être une racine.

Vocabulaire Entrainer

English	Français
complex/ˈkɒmpleks/	nombre complexe
conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/	conjugué

1.6

Fonctions Polynomiales et Comportement Asymptotique

Programme

Objectif d'apprentissage 1.6.A : Décrire les comportements asymptotiques des fonctions polynomiales.

1.6.A.1 Lorsque les valeurs d'entrée d'une fonction polynomiale non constante augmentent sans limite, les valeurs de sortie augmenteront ou diminueront sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
1.6.A.2 Lorsque les valeurs d'entrée d'une fonction polynomiale non constante diminuent sans limite, les valeurs de sortie augmenteront ou diminueront sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
1.6.A.3 Le degré et le signe du terme dominant d'un polynôme déterminent le comportement asymptotique de la fonction polynomiale, car lorsque les valeurs d'entrée augmentent ou diminuent sans limite, les valeurs du terme dominant dominent celles de tous les termes de degré inférieur.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Le comportement aux bornes décrit la tendance de la fonction lorsque l'entrée augmente sans limite. Pour un polynôme non constant, lorsque $x\to\pm\infty$, la sortie tend vers $+\infty$ ou $-\infty$, noté par exemple $\lim_{x\to\infty}p(x)=\infty$. La direction dépend entièrement du terme dominant $a_n x^n$, car pour de grandes valeurs de $|x|$, il domine tous les termes de degré inférieur : le signe de $a_n$ ainsi que la parité de $n$ déterminent les deux extrémités.

Les extrémités de tout polynôme sont déterminées par la parité de son degré et le signe de son coefficient dominant

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Voir comment le terme dominant fixe le comportement aux extrémités

y = ax³ + bx² + cx + d

Le terme dominant détermine les extrémités. Pour une cubique avec $a>0$, la courbe descend à gauche et monte à droite ; changez $a<0$ pour inverser les deux extrémités. Lorsque $x\to\pm\infty$, le terme de plus haut degré domine tous les autres termes.

Vocabulaire Entrainer

English	Français
End behavior/end bɪˈheɪvjə/	comportement terminal
rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/	fonction rationnelle

1.7

Fonctions Rationnelles et Comportement Asymptotique

Programme

Objectif d'apprentissage 1.7.A : Décrire les comportements asymptotiques des fonctions rationnelles.

1.7.A.1 Une fonction rationnelle est représentée analytiquement comme un quotient de deux fonctions polynomiales et donne une mesure de la taille relative de la fonction polynomiale au numérateur par rapport à la fonction polynomiale au dénominateur pour chaque valeur dans le domaine de la fonction rationnelle.
1.7.A.2 Le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle sera le plus affecté par le polynôme ayant le plus grand degré, car ses valeurs domineront celles de la fonction rationnelle pour les valeurs d'entrée de grande magnitude. Pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, un polynôme est dominé par son terme dominant. Par conséquent, le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle peut être compris en examinant le quotient correspondant des termes dominants.
1.7.A.3 Si le polynôme au numérateur domine celui au dénominateur pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est un polynôme non constant, et la fonction rationnelle originale a le comportement asymptotique de ce polynôme. Si ce polynôme est linéaire, alors la courbe de la fonction rationnelle a une asymptote oblique parallèle à la courbe de la droite.
1.7.A.4 Si aucun des polynômes d'une fonction rationnelle ne domine l'autre pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est une constante, et cette constante indique l'emplacement d'une asymptote horizontale de la courbe de la fonction rationnelle originale.
1.7.A.5 Si le polynôme au dénominateur domine celui au numérateur pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est une fonction rationnelle avec une constante au numérateur et un polynôme non constant au dénominateur, et la courbe de la fonction rationnelle originale a une asymptote horizontale à $y = 0$.
1.7.A.6 Lorsque la courbe d'une fonction rationnelle $r$ a une asymptote horizontale à $y = b$, où $b$ est une constante, les valeurs de sortie de la fonction rationnelle se rapprochent arbitrairement de $b$ et restent arbitrairement proches de $b$ lorsque les valeurs d'entrée augmentent ou diminuent sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ ou $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes, $r(x)=\dfrac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$. Son comportement aux bornes est régi par le quotient des termes dominants :

Lorsque le degré du numérateur dépasse de un celui du dénominateur, la courbe s’approche d’une asymptote oblique

Degré du numérateur > degré du dénominateur : le quotient est un polynôme non constant, et $r$ suit le comportement aux bornes de ce polynôme. Si ce quotient est linéaire, le graphique possède une asymptote oblique.
Degrés égaux : le quotient est une constante, donnant une asymptote horizontale $y=$ correspondant au rapport des coefficients dominants.
Degré du numérateur < degré du dénominateur : le quotient tend vers $0$, donc l'asymptote horizontale est $y=0$.

À une asymptote horizontale $y=b$, les sorties se rapprochent et restent arbitrairement proches de $b$ : $\lim_{x\to\pm\infty}r(x)=b$.

Exemple détaillé : limites et équation. Soit $r(x)=\dfrac{3x^2-5}{x^2+2}$.

Comportement aux extrémités : degrés égaux, coefficients dominants 3 et 1, donc $\displaystyle\lim_{x\to\infty}r(x)=3$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}r(x)=3$.
Résolvez $r(x)=1$. Le dénominateur $x^2+2$ n’est jamais nul, donc multipliez les deux membres par celui-ci :

$$3x^2-5=x^2+2\quad\Rightarrow\quad2x^2=7\quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3.5}\approx\pm1.871$$

Pour $g(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$, le degré du numérateur est supérieur, donc $g$ est non bornée : $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$. Écrivez « la limite est infinie », et non « la limite est un nombre ».

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Faites glisser l'asymptote horizontale vers le haut et vers le bas

y = a/(x − b) + c

Changez c et toute la courbe se stabilise à une nouvelle hauteur y = c très loin — cette ligne horizontale est le comportement aux extrémités.

Vocabulaire Entrainer

English	Français
quotient/ˈkwəʊʃənt/	quotient
remainder/rɪˈmeɪndə/	reste
binomial theorem/baɪˈnəʊmɪəl ˈθɪərəm/	théorème du binôme
Pascal's triangle	triangle de Pascal

1.8

Fonctions Rationnelles et Zéros

Programme

Objectif d'apprentissage 1.8.A : Déterminer les zéros des fonctions rationnelles.

1.8.A.1 Les zéros réels d'une fonction rationnelle correspondent aux zéros réels du numérateur pour de telles valeurs dans son domaine.
1.8.A.2 Les zéros réels des deux fonctions polynomiales d'une fonction rationnelle $r$ sont des extrémités ou des asymptotes pour les intervalles satisfaisant les inégalités de la fonction rationnelle $r(x) \geq 0$ ou $r(x) \leq 0$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Les zéros réels d'une fonction rationnelle sont les zéros réels de son numérateur qui appartiennent encore au domaine. Ces zéros, ainsi que ceux du dénominateur, divisent la droite réelle en les intervalles à tester lors de la résolution d'inégalités $r(x)\ge 0$ ou $r(x)\le 0$.

Exemple résolu. Résoudre ($\dfrac{x-2}{x+1}\ge 0$). Le numérateur s'annule en ($x=2$) et le dénominateur en ($x=-1$). Testez une valeur dans chaque intervalle :

Intervalle	$x<-1$	$-1<x<2$	$x>2$
Valeur de test	$x=-2$ : $\tfrac{-4}{-1}=4$	$x=0$ : $\tfrac{-2}{1}=-2$	$x=3$ : $\tfrac{1}{4}$
Signe	$+$	$-$	$+$

Donc $x<-1$ ou $x\ge 2$. Incluez $x=2$ (la valeur $0$ est autorisée), mais jamais $x=-1$, où $r$ est indéfini.

Explorer

Où coupe-t-elle, et où casse-t-elle ?

y = a/(x − b) + c

La courbe traverse l'axe x à sa racine, mais se brise en x = b où le dénominateur est nul. Ce sont deux endroits différents.

1.9

Fonctions Rationnelles et Asymptotes Verticales

Programme

Objectif d'apprentissage 1.9.A : Déterminer les asymptotes verticales des graphes de fonctions rationnelles.

1.9.A.1 Si la valeur $a$ est un zéro réel de la fonction polynomiale au dénominateur d'une fonction rationnelle et n'est pas aussi un zéro réel de la fonction polynomiale au numérateur, alors la courbe de la fonction rationnelle a une asymptote verticale à $x = a$. De plus, une asymptote verticale se produit également à $x = a$ si la multiplicité de $a$ en tant que zéro réel dans le dénominateur est supérieure à sa multiplicité en tant que zéro réel dans le numérateur.
1.9.A.2 Près d'une asymptote verticale, $x = a$, d'une fonction rationnelle, les valeurs de la fonction polynomiale au dénominateur sont arbitrairement proches de zéro, donc les valeurs de la fonction rationnelle $r$ augmentent ou diminuent sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ pour les valeurs d'entrée proches de $a$ et supérieures à $a$, et $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ pour les valeurs d'entrée proches de $a$ et inférieures à $a$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Une asymptote verticale se produit à $x=a$ lorsque $a$ est un zéro du dénominateur mais non annulé par le numérateur — plus précisément, lorsque sa multiplicité dans le dénominateur excède celle dans le numérateur. À proximité, le dénominateur étant quasi nul, $r$ tend vers $\pm\infty$ : $\lim_{x\to a^{\pm}}r(x)=\pm\infty$. Vérifiez chaque côté, car les directions peuvent être opposées.

Exemple résolu. Décrire $r(x)=\dfrac{2x^2+3}{x^2-1}$. Le numérateur et le dénominateur ont des degrés égaux, donc l'asymptote horizontale est $y=\dfrac{2}{1}=2$. Le dénominateur $x^2-1$ s'annule en $x=\pm1$ et ne s'annule pas, donc il y a des asymptotes verticales en $x=1$ et $x=-1$.

Une fonction rationnelle approchant une asymptote verticale et une asymptote horizontale

Explorer

Explorer une asymptote verticale

y = a/(x − b) + c

Ceci est $y = \dfrac{a}{x-b} + c$. La graphique explose vers $\pm\infty$ à l'asymptote verticale 竖直渐近线 $x = b$ (où le dénominateur est zéro) et se stabilise vers l'asymptote horizontale 水平渐近线 $y = c$. Faites glisser $b$ et $c$ pour déplacer chaque ligne.

1.10

Fonctions Rationnelles et Trousses

Programme

Objectif d'apprentissage 1.10.A : Déterminer les trous dans les graphiques de fonctions rationnelles.

1.10.A.1 Si la multiplicité d'une racine réelle du numérateur est supérieure ou égale à sa multiplicité dans le dénominateur, alors le graphique de la fonction rationnelle présente un trou à la valeur d'entrée correspondante.
1.10.A.2 Si le graphique d'une fonction rationnelle $r$ présente un trou en $x = c$, alors l'emplacement du trou peut être déterminé en examinant les valeurs de sortie correspondant aux valeurs d'entrée suffisamment proches de $c$. Si des valeurs d'entrée suffisamment proches de $c$ correspondent à des valeurs de sortie arbitrairement proches de $L$, alors le trou est situé au point de coordonnées $(c, L)$. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Il convient de noter que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Un trou (point amovible) se trouve à $x=c$ lorsqu'un facteur s'annule : la multiplicité du zéro $c$ dans le numérateur est au moins égale à celle dans le dénominateur. Le graphique manque d'un seul point. Sa hauteur correspond à la limite de la fonction simplifiée : si des entrées proches de $c$ donnent des sorties proches de $L$, le trou est situé à $(c,L)$, et $\lim_{x\to c}r(x)=L$.

Exemple résolu. Trouvez toutes les caractéristiques clés de $r(x)=\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}$. Factorisez d'abord :

$$r(x)=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{x+2}{x+1}\quad (x\neq 2).$$

Trou en $x=2$ : le facteur $(x-2)$ s'annule. Sa hauteur provient de la forme simplifiée, $\tfrac{2+2}{2+1}=\tfrac43$, donc le trou est en $\left(2,\tfrac43\right)$.
Asymptote verticale $x=-1$ : une racine du dénominateur qui ne s'annule pas.
Zéro en $x=-2$, donc l’intersection avec l’axe des $x$ est $(-2,0)$.
Asymptote horizontale $y=1$ : degrés égaux, coefficients directeurs $\tfrac11$.

Une erreur fréquente consiste à qualifier $x=2$ d'asymptote verticale car il annule le dénominateur original : vérifiez d'abord si le facteur s'annule.

Explorer

La fonction simplifiée est simplement une droite — avec un point supprimé

y = ax + b

Ceci est la forme simplifiée de (x²−1)/(x−1). Le graphique est la droite y = x + 1, mais la fonction réelle a un trou en x = 1 où l'original était non défini.

1.11

Représentations Équivalentes des Expressions Polynomiales et Rationnelles

Programme

Objectif d'apprentissage 1.11.A : Réécrire les expressions polynomiales et rationnelles sous une forme équivalente.

1.11.A.1 Puisque la forme factorisée d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle fournit facilement des informations sur les racines réelles, elle peut révéler des informations sur les $x$-intercepts, les asymptotes, les trous, le domaine et l'image.
1.11.A.2 La forme standard d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle peut révéler des informations sur les comportements aux bornes de la fonction.
1.11.A.3 Les informations extraites de différentes représentations analytiques du même polynôme ou de la même fonction rationnelle peuvent être utilisées pour répondre à des questions en contexte.

Objectif d'apprentissage 1.11.B : Déterminer le quotient de deux fonctions polynomiales à l'aide de la division longue.

1.11.B.1 La division longue de polynômes est un processus algébrique similaire à la division longue numérique impliquant un quotient et un reste. Si le polynôme $f$ est divisé par le polynôme $g$, alors $f$ peut être réécrit comme $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, où $q$ est le quotient, $r$ est le reste, et le degré de $r$ est inférieur au degré de $g$.
1.11.B.2 Le résultat de la division longue de polynômes est utile pour trouver les équations des asymptotes obliques des graphiques de fonctions rationnelles.

Objectif d'apprentissage 1.11.C : Réécrire le produit répété de binômes en utilisant le théorème du binôme.

1.11.C.1 Le théorème du binôme utilise les entrées d'une seule ligne du triangle de Pascal pour développer plus facilement des expressions de la forme $(a + b)^n$, y compris des fonctions polynomiales de la forme $p(x) = (x + c)^n$, où $c$ est une constante.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

La même expression, écrite différemment, met en évidence différentes caractéristiques :

Graphique de y = x + 2 + 3/(x + 1) s’approchant de l’asymptote oblique y = x + 2, avec une asymptote verticale en x = -1 — La division posée fait apparaître l’asymptote oblique.

La forme factorisée montre les zéros réels, et donc les intersections $x$-axis, les trous, les asymptotes verticales et le domaine.
La forme standard (développée) montre le degré et le terme dominant, et donc le comportement asymptotique.

La division euclidienne permet de réécrire $f(x)=g(x)\,q(x)+r(x)$, où $q$ est le quotient et $r$ le reste (de degré inférieur à $g$). Le quotient fournit l'équation d'une asymptote oblique lorsque le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur d'une unité.

Exemple résolu. Divisez : $x^2+3x+5=(x+1)(x+2)+3$, donc

$$\frac{x^2+3x+5}{x+1}=x+2+\frac{3}{x+1}.$$

Lorsque $x\to\pm\infty$, le terme de reste $\tfrac{3}{x+1}$ tend vers $0$, donc la courbe approche l'asymptote oblique $y=x+2$.

Le théorème du binôme. Développer $(a+b)^n$ terme à terme est lent. Le théorème du binôme utilise la ligne $n$ du triangle de Pascal pour obtenir les coefficients. Chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui :

$n$	coefficients
2	1, 2, 1
3	1, 3, 3, 1
4	1, 4, 6, 4, 1
5	1, 5, 10, 10, 5, 1

Les puissances de $a$ diminuent de $n$ à 0 tandis que les puissances de $b$ augmentent de 0 à $n$.

Exemple détaillé. Développez $(x+2)^4$. Utilisez la ligne 4 :

$$(x+2)^4=x^4+4x^3(2)+6x^2(2)^2+4x(2)^3+2^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$$

Pour $(2x-1)^3$, conservez les parenthèses autour de chaque terme : $(2x)^3+3(2x)^2(-1)+3(2x)(-1)^2+(-1)^3=8x^3-12x^2+6x-1$.

Vocabulaire Entrainer

English	Français
slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/	asymptote oblique
horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/	asymptote horizontale
vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/	asymptote verticale
hole/həʊl/	trou
Polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/	division euclidienne de polynômes

1.12

Transformations de Fonctions

Programme

Objectif d'apprentissage 1.12.A : Construire une fonction qui est une transformation additive et/ou multiplicative d'une autre fonction.

1.12.A.1 La fonction $g(x) = f(x) + k$ est une transformation additive de la fonction $f$ qui entraîne une translation verticale du graphique de $f$ de $k$ unités.
1.12.A.2 La fonction $g(x) = f(x + h)$ est une transformation additive de la fonction $f$ qui entraîne une translation horizontale du graphique de $f$ de $-h$ unités.
1.12.A.3 La fonction $g(x) = a f(x)$, où $a \neq 0$, est une transformation multiplicative de la fonction $f$ qui entraîne une dilatation verticale du graphique de $f$ par un facteur de $|a|$. Si $a < 0$, la transformation implique une réflexion par rapport à l'axe $x$.
1.12.A.4 La fonction $g(x) = f(bx)$, où $b \neq 0$, est une transformation multiplicative de la fonction $f$ qui entraîne une dilatation horizontale du graphique de $f$ par un facteur de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Si $b < 0$, la transformation implique une réflexion par rapport à l'axe $y$.
1.12.A.5 Les transformations additives et multiplicatives peuvent être combinées, résultant en des combinaisons de translations horizontales et verticales ainsi que de dilations.
1.12.A.6 Le domaine et l'image d'une fonction qui est une transformation d'une fonction mère peuvent être différents de ceux de la fonction mère.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Transformations de graphiques

Une transformation crée une nouvelle fonction à partir d'une ancienne $f$ :

Translations (décalages) : $f(x)+k$ déplace verticalement ; $f(x-h)$ déplace horizontalement.
Dilations (étirements) : $a\,f(x)$ étire verticalement par un facteur de $|a|$ ; $f(bx)$ étire horizontalement par un facteur de $\tfrac{1}{|b|}$ (donc $f(2x)$ comprime la courbe à la moitié de sa largeur).
Réflexions : $-f(x)$ reflète par rapport à l'axe des $x$ ; $f(-x)$ reflète par rapport à l'axe des $y$.

Ajouter à la sortie ou à l'entrée déplace la courbe ; un multiplicateur l'étire

Combiner des décalages additifs et des étirements multiplicatifs permet de modéliser des versions décalées et mises à l'échelle d'une forme connue.

Transformer la parabole parente : décalage, étirement et réflexion

Explorer

Explorer les translations, étirements et inversions

Choisissez traduire, réfléchir, tourner ou agrandir et changez la quantité. Regardez quelles caractéristiques restent les mêmes — une transformation 变换 déplace tout le graphique sans changer sa règle sous-jacente.

Vocabulaire Entrainer

English	Français
transformation/trænsfɔːˈmeɪʃn/	transformation
Translations/trænˈsleɪʃnz/	translations
Dilations/daɪˈleɪʃnz/	dilatations
Reflections/rɪˈflekʃnz/	réflexions
model/ˈmɒdl/	modèle
assumptions/əˈsʌmpʃnz/	hypothèses
piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/	fonction définie par morceaux

1.13

Sélection de Modèles et Articulation des Hypothèses

Programme

Objectif d'apprentissage 1.13.A : Identifier un type de fonction approprié pour construire un modèle fonctionnel pour un scénario donné.

1.13.A.1 Les fonctions linéaires modélisent des ensembles de données ou des aspects de scénarios contextuels qui présentent approximativement des taux de variation constants.
1.13.A.2 Les fonctions quadratiques modélisent des ensembles de données ou des aspects de scénarios contextuels qui présentent approximativement des taux de variation linéaires, ou des ensembles de données approximativement symétriques avec une valeur maximale ou minimale unique.
1.13.A.3 Les contextes géométriques impliquant une aire ou deux dimensions peuvent souvent être modélisés par des fonctions quadratiques. Les contextes géométriques impliquant un volume ou trois dimensions peuvent souvent être modélisés par des fonctions cubiques.
1.13.A.4 Les fonctions polynomiales modélisent des ensembles de données ou des scénarios contextuels présentant plusieurs racines réelles ou plusieurs maxima ou minima.
1.13.A.5 Une fonction polynomiale de degré $n$ modélise des ensembles de données ou des scénarios contextuels qui présentent approximativement des $n$ièmes différences constantes non nulles.
1.13.A.6 Une fonction polynomiale de degré $n$ ou moins peut être utilisée pour modéliser un graphique de $n + 1$ points avec des valeurs d'entrée distinctes.
1.13.A.7 Une fonction définie par morceaux consiste en un ensemble de fonctions définies sur des intervalles de domaine non chevauchants et est utile pour modéliser un ensemble de données ou un scénario contextuel qui présente des caractéristiques différentes sur différents intervalles.

Objectif d'apprentissage 1.13.B : Décrire les hypothèses et restrictions liées à la construction d'un modèle fonctionnel.

1.13.B.1 Un modèle peut avoir des hypothèses sous-jacentes sur ce qui est constant dans le modèle.
1.13.B.2 Un modèle peut avoir des hypothèses sous-jacentes sur la manière dont les quantités varient ensemble.
1.13.B.3 Un modèle peut nécessiter des restrictions de domaine basées sur des indices mathématiques, des indices contextuels ou des valeurs extrêmes dans l'ensemble de données.
1.13.B.4 Un modèle peut nécessiter des restrictions d'image, telles que l'arrondi des valeurs, basé sur des indices mathématiques, des indices contextuels ou des valeurs extrêmes dans l'ensemble de données.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Choisir un modèle consiste à associer un type de fonction à la manière dont une grandeur évolue. Un modèle linéaire s'adapte à un taux de variation constant ; un quadratique à une seconde différence constante ; un polynôme aux données présentant plusieurs inflexions. Dans les situations géométriques, le nombre de dimensions sert d'indice fiable : les grandeurs liées à l'aire (deux dimensions) sont généralement quadratiques, et celles liées au volume (trois dimensions) sont généralement cubiques — par exemple, le volume d'une boîte en fonction de la longueur d'une découpe. Énoncez les hypothèses sur lesquelles repose votre modèle (par exemple, que le motif se poursuit), car un modèle n'est valide que tant que ces hypothèses restent vérifiées.

1.14

Construction et Application de Modèles de Fonctions

Programme

Objectif d'apprentissage 1.14.A : Construire un modèle linéaire, quadratique, cubique, quartique, polynomiale de degré $n$, ou une fonction définie par morceaux associée.

1.14.A.1 Un modèle peut être construit sur la base de restrictions identifiées dans un scénario mathématique ou contextuel.
1.14.A.2 Un modèle d'un ensemble de données ou d'un scénario contextuel peut être construit à l'aide de transformations de la fonction mère.
1.14.A.3 Un modèle d'un ensemble de données peut être construit à l'aide de technologies et de régressions, y compris des régressions linéaires, quadratiques, cubiques et quartiques.
1.14.A.4 Un modèle de fonction définie par morceaux peut être construit par une combinaison de techniques de modélisation.

Objectif d'apprentissage 1.14.B : Construire un modèle de fonction rationnelle basé sur un contexte.

1.14.B.1 Les ensembles de données et les aspects de scénarios contextuels impliquant des quantités inversement proportionnelles peuvent souvent être modélisés par des fonctions rationnelles. Par exemple, les grandeurs de la force gravitationnelle et électromagnétique entre des objets sont inversement proportionnelles au carré de la distance entre ces objets.

Objectif d'apprentissage 1.14.C : Appliquer un modèle fonctionnel pour répondre à des questions concernant un ensemble de données ou un scénario contextuel.

1.14.C.1 Un modèle peut être utilisé pour tirer des conclusions sur l'ensemble de données ou le scénario contextuel modélisé, y compris répondre à des questions clés et prédire des valeurs, des taux de variation, des taux de variation moyens et des taux de variation changeants. Des unités de mesure appropriées doivent être extraites ou déduites du contexte donné.

Source : Description du cours et de l'examen AP College Board

Pour construire un modèle, utiliser les caractéristiques données – points, ordonnées à l'origine, zéros avec multiplicités, comportement asymptotique – pour écrire la fonction, puis l'utiliser pour répondre aux questions contextualisées. Toujours vérifier la réponse par rapport au domaine pertinent pour la situation, et interpréter les sorties avec leurs unités réelles.

Une fonction définie par morceaux utilise des règles distinctes sur des intervalles disjoints du domaine. Pour l'évaluer, sélectionnez la branche dont l'intervalle contient l'entrée. Par exemple,

$$f(x)=\begin{cases} x^2, & x<0\\ 2x, & x\ge 0\end{cases}$$

donne $f(-3)=9$ depuis la première branche mais $f(3)=6$ depuis la deuxième – utile lorsque le comportement change à un seuil (un prix échelonné, une limitation de vitesse variable).

Un polynôme de degré inférieur ou égal à $n$ peut passer par n’importe quels $n+1$ points d’abscisses distinctes ; trois points de données déterminent donc une fonction quadratique.

Exemple détaillé : un modèle quadratique à partir de trois points de données

Cet exercice suit le format des questions AP à réponse construite. Le nombre total d’écoutes d’une chanson, en milliers, est de 0 à sa sortie ($t=0$), de 36 après 2 mois et de 56 après 4 mois. Le modèle est $D(t)=at^2+bt+c$.

(a) Trois équations. Remplacez par les coordonnées de chaque point de données :

$$D(0)=c=0$$

$$D(2)=4a+2b+c=36$$

$$D(4)=16a+4b+c=56$$

(b) Résolution. Avec $c=0$ : $4a+2b=36$ et $16a+4b=56$. En doublant la première équation, on obtient $8a+4b=72$. Par soustraction, $8a=-16$, donc $a=-2$ puis $b=22$. Le modèle est $D(t)=-2t^2+22t$.

(c) Taux de variation moyen et estimation par une sécante. De $t=0$ à $t=4$ :

$$\frac{D(4)-D(0)}{4-0}=\frac{56-0}{4}=14\text{ thousand plays per month}$$

La droite sécante est $A(t)=0+14t$, donc l’estimation pour $t=1.5$ est de $A(1.5)=21$ milliers d’écoutes. Le modèle donne $D(1.5)=-2(2.25)+33=28.5$.

Une courbe quadratique concave vers le bas se situe au-dessus de sa sécante, donc la sécante sous-estime la valeur ; le maximum marque la fin du domaine — Sur $0<t<4$, la courbe de D, concave vers le bas, se situe au-dessus de sa sécante, donc toute estimation par la sécante est trop faible. Le maximum du modèle marque le point au-delà duquel il cesse d’être pertinent.

(d) Pourquoi l’estimation est trop faible. $D$ est concave vers le bas ($a<0$), donc sur $0<t<4$ sa courbe se situe au-dessus de la sécante passant par $(0,0)$ et $(4,56)$. Toute estimation par cette sécante est inférieure à la valeur du modèle : $A(t)<D(t)$. Pour un modèle concave vers le haut, la sécante se situe au-dessus de la courbe et les estimations sont trop élevées.

(e) Une restriction du domaine. Le sommet est en $t=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{22}{4}=5.5$, où la valeur est de $D(5.5)=60.5$ milliers. Le nombre total d’écoutes ne peut jamais diminuer, mais le modèle décroît après $t=5.5$. Le modèle ne peut donc s’appliquer que pour $0\le t\le5.5$ : son maximum donne la limite d’un domaine pertinent.

1.14

Conseils d'examen

Lire une fonction via son taux de variation : taux moyen = pente de la sécante ; un taux constant implique une linéarité, un taux linéairement variable implique une quadraticité.
Factoriser un polynôme pour trouver les zéros (ordonnées à l'origine) et leur multiplicité ; une multiplicité paire touche, impaire traverse l'axe.
Le comportement asymptotique est fixé par le terme dominant ; les asymptotes d'une fonction rationnelle proviennent des degrés du numérateur et du dénominateur.
Construire des modèles à partir de caractéristiques clés (points, zéros, comportement asymptotique) et énoncer vos hypothèses.
Décrire précisément les transformations : translater $f(x-h)+k$, étirer $af(bx)$, refléter $-f(x)$ / $f(-x)$.

Erreurs fréquentes.

Dire qu’une fonction est concave vers le haut parce qu’elle est croissante. La concavité concerne l’augmentation éventuelle du taux de variation.
Expliquer la concavité à partir d’un tableau sans citer les variations des valeurs de sortie sur des intervalles d’entrée égaux.
Qualifier d’asymptote verticale chaque zéro du dénominateur initial. Factorisez et simplifiez d’abord : il n’y a un trou que si aucun facteur correspondant à ce zéro ne reste au dénominateur.
Écrire $\lim_{x\to\infty}r(x)$ pour une fonction rationnelle dont le numérateur est de degré supérieur sous forme d'un nombre. Il s'agit de $\infty$ ou $-\infty$.
Oublier le signe ou le coefficient dans un binôme : dans $(2x-1)^3$, chaque terme utilise $(2x)$ et $(-1)$.
Utiliser un modèle en dehors de son domaine pertinent, par exemple au-delà d'un maximum lorsque la quantité ne peut pas diminuer.

Pratique.

Les valeurs de $f$ sont $5, 8, 13, 20, 29$ en $x=0,1,2,3,4$. (a) Un modèle linéaire ou quadratique est-il plus approprié ? Justifiez votre réponse à l'aide du tableau. (b) La courbe est-elle concave vers le haut ou vers le bas ? (c) Déterminez la fonction quadratique passant par ces points.
La valeur d'une voiture, en milliers de dollars, est de 24 lorsqu'elle est neuve ($t=0$), de 16 après 2 ans et de 10 après 4 ans. Elle est modélisée par $V(t)=at^2+bt+c$. (a) Écrivez trois équations pour $a$, $b$ et $c$. (b) Résolvez-les. (c) Déterminez le taux de variation moyen de $t=0$ à $t=4$. (d) Utilisez-le pour estimer la valeur en $t=1$ et comparez-la à $V(1)$. Expliquez pourquoi l'estimation par la sécante est trop élevée ou trop faible pour $0<t<4$. (e) Expliquez comment le minimum du modèle limite son domaine.
Pour $r(x)=\dfrac{x^2-9}{x^2-2x-3}$, déterminez les éventuels trous, asymptotes verticales, zéros et asymptote horizontale. Résolvez ensuite $r(x)=2$.
Développez $(x-3)^4$.
Exprimez le comportement aux extrémités à l'aide de limites : (a) $p(x)=-2x^5+x^2$ ; (b) $q(x)=\dfrac{4x-1}{2x+5}$.
Une fonction cubique $p$ admet un zéro de multiplicité 2 en $x=1$, un zéro en $x=-2$ et $p(0)=4$. Déterminez $p(x)$.
Résolvez $\dfrac{x+3}{x-1}<0$.

Réponses.

(a) Quadratique : les différences premières 3, 5, 7, 9 ne sont pas constantes, mais les différences secondes sont toutes égales à 2. (b) Concave vers le haut : les valeurs augmentent de quantités croissantes pour des intervalles égaux. (c) $c=5$ ; $a+b=3$ et $4a+2b=8$ donnent $a=1$, $b=2$ : $f(x)=x^2+2x+5$.
(a) $c=24$ ; $4a+2b+c=16$ ; $16a+4b+c=10$. (b) $4a+2b=-8$ et $16a+4b=-14$ donnent $8a=2$ : $a=0.25$, $b=-4.5$, $c=24$. (c) $\dfrac{10-24}{4}=-3.5$ milliers de dollars par an. (d) $A(1)=24-3.5=20.5$ ; $V(1)=0.25-4.5+24=19.75$. $V$ est concave vers le haut ($a>0$), donc sa courbe se trouve sous la sécante sur $0<t<4$ et l'estimation par la sécante est trop élevée. (e) Le sommet se trouve en $t=\dfrac{4.5}{0.5}=9$. Après ce point, la valeur donnée par le modèle augmente, ce qui ne correspond pas à une voiture vieillissante ; le modèle ne s'applique donc que pour $0\le t\le9$.
$r(x)=\dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+1)}=\dfrac{x+3}{x+1}$ pour $x\ne3$. Trou en $\left(3,\tfrac{6}{4}\right)=(3,1.5)$ ; asymptote verticale $x=-1$ ; zéro $x=-3$ ; asymptote horizontale $y=1$. $\dfrac{x+3}{x+1}=2$ donne $x+3=2x+2$, donc $x=1$ (admissible, puisque $x\ne3,-1$).
La ligne 4 est 1, 4, 6, 4, 1 : $x^4-12x^3+54x^2-108x+81$.
(a) $\displaystyle\lim_{x\to\infty}p(x)=-\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}p(x)=\infty$. (b) $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}q(x)=\tfrac42=2$.
$p(x)=a(x-1)^2(x+2)$ et $p(0)=2a=4$, donc $a=2$ : $p(x)=2(x-1)^2(x+2)$.
Le signe change en $x=-3$ et $x=1$ ; tester $x=0$ donne $\tfrac{3}{-1}<0$. Solution : $-3<x<1$.

Vocabulaire Entrainer

English	Français
quadratic/kwɒˈdrætɪk/	quadratique

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