Rates of Change in Linear and Quadratic Functions · Taux de variation dans les fonctions linéaires et quadratiques
| English | Français |
|---|---|
| quadratic function/kwɒˈdrætɪk ˈfʌŋkʃn/ | fonction quadratique |
| linear function/ˈlɪnɪə ˈfʌŋkʃn/ | fonction linéaire |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
| slope/sləʊp/ | pente |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux moyen de variation |
Two kinds of climb
- An escalator lifts you at a steady pace: every second gains the same height.
- A jet on the runway is different: each second it gains more speed than the last.
- Both are "increasing", but the way they change is completely different.
- Linear and quadratic functions are the first two members of this story.
Deux types de montée
- Un escalier roulant vous élève à un rythme constant : chaque seconde gagne la même hauteur.
- Un avion sur la piste est différent : chaque seconde il gagne plus de vitesse que la précédente.
- Les deux sont « croissants », mais la manière dont ils changent est complètement différente.
- Les fonctions linéaires et quadratiques sont les deux premiers membres de cette histoire.
A linear function: constant rate
- A linear function 线性函数 graphs as a straight line.
- Its slope 斜率 is the same everywhere, so its average rate of change 平均变化率 is the same over any interval.
- Over $[0, 2]$ or $[10, 12]$ or any other stretch — you always get the identical number.
- That single unchanging rate is what "linear" really means.
Une fonction linéaire : taux constant
- Une fonction linéaire 线性函数 se trace sous forme de ligne droite.
- Sa pente 斜率 est la même partout, donc son taux de variation moyen 平均变化率 est le même sur n'importe quel intervalle.
- Sur $[0, 2]$ ou $[10, 12]$ ou tout autre segment — vous obtenez toujours le même nombre identique.
- Ce taux unique immuable est ce que « linéaire » signifie vraiment.
The average rate of change of a linear function over any interval is… · Le taux de variation moyen d'une fonction linéaire sur n'importe quel intervalle est…
A straight line has one fixed slope, so the average rate of change is the same over every interval — that is what makes it linear. · Une ligne droite a une seule pente fixe, donc le taux de variation moyen est le même sur chaque intervalle — c'est ce qui la rend linéaire.
A quadratic function: a changing rate
- A quadratic function 二次函数 graphs as a curved parabola.
- Because it bends, its slope is different at different places — the rate of change keeps changing.
- Near the vertex it is nearly flat; far from the vertex it is steep.
- So its average rate of change depends on which interval you pick.
Une fonction quadratique : un taux variable
- Une fonction quadratique 二次函数 se trace sous forme de parabole incurvée.
- Comme elle s'incurve, sa pente est différente à différents endroits — le taux de variation change constamment.
- Près du sommet, elle est presque plate ; loin du sommet, elle est raide.
- Son taux de variation moyen dépend donc de quel intervalle vous choisissez.
One slider turns a parabola into a straight line · Un curseur transforme une parabole en une ligne droite
y = ax² + bx + c
Set a = 0 to get a straight line — its slope is constant. Make a ≠ 0 and the curve bends, so now the rate of change keeps changing. · Définissez a = 0 pour obtenir une ligne droite — sa pente est constante. Définissez a ≠ 0 et la courbe s'infléchit, donc maintenant le taux de variation change continuellement.
For a quadratic function, the average rate of change is the same over every interval. · Pour une fonction quadratique, le taux de variation moyen est identique sur tout intervalle.
A parabola bends, so its slope keeps changing — different intervals give different average rates of change. · Une parabole s'infléchit, donc sa pente change constamment — des intervalles différents donnent des taux de variation moyens différents.
Equal steps reveal the pattern
- Take equal steps in the input and list the outputs of $y = x^2$: $0, 1, 4, 9, 16$.
- The jumps between them — the first differences — are $1, 3, 5, 7$.
- Those jumps are not constant, but they grow by the same amount ($2$) every time.
- So a quadratic's rate of change is not fixed, yet it changes in a perfectly steady, linear way.
Des pas égaux révèlent le motif
- Faites des pas égaux dans l'entrée et listez les sorties de $y = x^2$ : $0, 1, 4, 9, 16$.
- Les sauts entre elles — les premières différences — sont $1, 3, 5, 7$.
- Ces sauts ne sont pas constants, mais ils augmentent de la même quantité ($2$) à chaque fois.
- Donc le taux de variation d'une fonction quadratique n'est pas fixe, mais il change d'une manière parfaitement régulière et linéaire.
For · Pour $y = x^2$, the first differences at $x = 1, 2, 3$ are $3, 5, 7$. By what constant amount do they grow each step? · Pour $y = x^2$, les premières différences à $x = 1, 2, 3$ sont $3, 5, 7$. De quelle quantité constante augmentent-elles à chaque étape ?
$5 - 3 = 2$ and · et $7 - 5 = 2$. This constant second difference is the fingerprint of a quadratic. · $5 - 3 = 2$ et $7 - 5 = 2$. Cette différence seconde constante est l'empreinte d'une fonction quadratique.
For a quadratic, equal steps in $x$ give first differences that… · Pour une fonction quadratique, des pas égaux en $x$ produisent des premières différences qui…
The first differences themselves form a linear · linéaire pattern — they grow by the same amount each step. (Doubling each time would be exponential.) · Les premières différences elles-mêmes forment un motif linéaire — elles augmentent de la même quantité à chaque étape. (Le doublement à chaque fois serait exponentiel.)
Every average rate is a secant slope
- Whichever function you have, the average rate of change over $[a, b]$ is the slope of the secant line through its endpoints.
- For a line, every secant lies right on top of the graph — same slope every time.
- For a parabola, each secant tilts differently — that is the visible sign of a changing rate.
- Reading secant slopes is how you compare how two functions change.
Chaque taux moyen est une pente de sécante
- Quelle que soit la fonction, le taux de variation moyen sur $[a, b]$ est la pente de la sécante passant par ses extrémités.
- Pour une ligne, chaque sécante repose exactement sur le graphique — même pente à chaque fois.
- Pour une parabole, chaque sécante s'incline différemment — c'est le signe visible d'un taux variable.
- Lire les pentes des sécantes est la façon dont vous comparez comment deux fonctions changent.
Put the steps for finding an average rate of change over $[a, b]$ in order. · Mettez les étapes pour trouver un taux de variation moyen sur $[a, b]$ dans l'ordre.
Outputs first, then their difference, then divide by the input difference — that is the secant slope. · D'abord les sorties, puis leur différence, puis divisez par la différence d'entrée — c'est la pente de la sécante.
Select all · tout true statements. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies.
A quadratic's rate is not · non constant — it changes steadily (its second difference is constant). The other three statements are true. · Le taux d'une fonction quadratique n'est pas constant — il change régulièrement (sa différence seconde est constante). Les trois autres affirmations sont vraies.
Do not call a quadratic's rate "constant" just because the pattern is predictable. The rate itself changes from interval to interval; it is the change in the rate that is constant. For a straight line, that change in the rate is zero.
Ne qualifiez pas le taux d'une fonction quadratique de « constant » juste parce que le motif est prévisible. Le taux lui-même change d'un intervalle à l'autre ; c'est le changement du taux qui est constant. Pour une ligne droite, ce changement de taux est zéro.
A dropped ball falls a distance $d = 5t^2$ metres after $t$ seconds.
- Distances at $t = 0, 1, 2, 3$: $0, 5, 20, 45$ metres.
- First differences (distance each second): $5, 15, 25$ — growing by a constant $10$.
- The ball's speed rises linearly even though the distance is quadratic.
Une balle tombée parcourt une distance $d = 5t^2$ mètres après $t$ secondes.
- Distances à $t = 0, 1, 2, 3$ : $0, 5, 20, 45$ mètres.
- Premières différences (distance par seconde) : $5, 15, 25$ — augmentant d'une constante $10$.
- La vitesse de la balle augmente linéairement bien que la distance soit quadratique.
A linear function changes at one constant rate — every secant has the same slope. A quadratic function's rate of change is not constant: over equal steps its first differences grow by a fixed amount, so the rate changes steadily. The average rate of change over $[a, b]$ is always the secant slope.
Une fonction linéaire varie à un taux constant — chaque sécante a la même pente. Le taux de variation d'une fonction quadratique n'est pas constant : sur des pas égaux, ses premières différences augmentent d'une quantité fixe, donc le taux change régulièrement. Le taux de variation moyen sur $[a, b]$ est toujours la pente de la sécante.