AP Pré-calcul

Objectif d'apprentissage 1.1.A : Décrire comment les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction varient ensemble en comparant les valeurs de la fonction.

• 1.1.A.1 Une fonction est une relation mathématique qui associe un ensemble de valeurs d'entrée à un ensemble de valeurs de sortie de sorte que chaque valeur d'entrée est associée à exactement une valeur de sortie. L'ensemble des valeurs d'entrée est appelé le domaine de la fonction, et l'ensemble des valeurs de sortie est appelé l'image de la fonction. La variable représentant les valeurs d'entrée est appelée la variable indépendante, et la variable représentant les valeurs de sortie est appelée la variable dépendante.
• 1.1.A.2 Les valeurs d'entrée et de sortie d'une fonction varient conjointement selon la règle de fonction, qui peut être exprimée graphiquement, numériquement, analytiquement ou verbalement.
• 1.1.A.3 Une fonction est croissante sur un intervalle de son domaine si, lorsque les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie augmentent toujours. C'est-à-dire, pour tout $a$ et $b$ dans l'intervalle, si $a < b$, alors $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Une fonction est décroissante sur un intervalle de son domaine si, lorsque les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie diminuent toujours. C'est-à-dire, pour tout $a$ et $b$ dans l'intervalle, si $a < b$, alors $f(a) > f(b)$.

Objectif d'apprentissage 1.1.B : Construire un graphique représentant deux quantités qui varient l'une par rapport à l'autre dans un contexte donné.

• 1.1.B.1 Le graphique d'une fonction affiche un ensemble de paires entrée-sortie et montre comment les valeurs d'entrée et de sortie de la fonction varient.
• 1.1.B.2 Une description verbale de la façon dont certains aspects des phénomènes changent ensemble peut servir de base à la construction d'un graphique.
• 1.1.B.3 Le graphique d'une fonction est concave vers le haut sur les intervalles où le taux de variation augmente.
• 1.1.B.4 Le graphique d'une fonction est concave vers le bas sur les intervalles où le taux de variation diminue.
• 1.1.B.5 Le graphique coupe l'axe $x$ lorsque la valeur de sortie est nulle. Les valeurs d'entrée correspondantes sont dites être des zéros de la fonction.

Objectif d'apprentissage 1.2.A : Comparer les taux de variation en deux points à l'aide de taux de variation moyens près des points.

• 1.2.A.1 Le taux de variation moyen d'une fonction sur un intervalle du domaine de cette fonction est le taux de variation constant qui produit le même changement dans les valeurs de sortie que celui obtenu par la fonction sur cet intervalle du domaine. C'est le rapport du changement des valeurs de sortie au changement des valeurs d'entrée sur cet intervalle.
• 1.2.A.2 Le taux de variation d'une fonction en un point quantifie la vitesse à laquelle les valeurs de sortie changeraient si les valeurs d'entrée changeaient à ce point. Le taux de variation en un point peut être approximé par les taux de variation moyens de la fonction sur de petits intervalles contenant ce point, si de telles valeurs existent.
• 1.2.A.3 Les taux de variation en deux points peuvent être comparés à l'aide d'approximations du taux de variation moyen sur des intervalles suffisamment petits contenant chaque point, si de telles valeurs existent.

Objectif d'apprentissage 1.2.B : Décrire comment deux quantités varient ensemble à différents points et sur différents intervalles d'une fonction.

• 1.2.B.1 Les taux de variation quantifient la manière dont deux quantités varient ensemble.
• 1.2.B.2 Un taux de variation positif indique qu'alors qu'une quantité augmente ou diminue, l'autre quantité fait de même.
• 1.2.B.3 Un taux de variation négatif indique qu'alors qu'une quantité augmente, l'autre diminue.

Objectif d'apprentissage 1.3.A : Déterminer les taux de variation moyens pour les suites et les fonctions, y compris les fonctions linéaires, quadratiques et d'autres types de fonctions.

• 1.3.A.1 Pour une fonction linéaire, le taux de variation moyen sur n'importe quel intervalle de longueur de valeur d'entrée est constant.
• 1.3.A.2 Pour une fonction quadratique, les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction linéaire.
• 1.3.A.3 Le taux de variation moyen sur l'intervalle fermé $[a, b]$ est la pente de la sécante passant du point $(a, f(a))$ à $(b, f(b))$.

Objectif d'apprentissage 1.3.B : Déterminer le changement des taux de variation moyens pour les fonctions linéaires, quadratiques et d'autres types de fonctions.

• 1.3.B.1 Pour une fonction linéaire, puisque les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction constante, ces taux de variation moyens pour une fonction linéaire changent à un taux de zéro.
• 1.3.B.2 Pour une fonction quadratique, puisque les taux de variation moyens sur des intervalles consécutifs de longueur égale de valeurs d'entrée peuvent être donnés par une fonction linéaire, ces taux de variation moyens pour une fonction quadratique changent à un taux constant.
• 1.3.B.3 Lorsque le taux de variation moyen sur des intervalles de valeurs d'entrée de longueur égale augmente pour tous les intervalles de petite longueur, la courbe de la fonction est convexe. Lorsque le taux de variation moyen sur des intervalles de valeurs d'entrée de longueur égale diminue pour tous les intervalles de petite longueur, la courbe de la fonction est concave.

Objectif d'apprentissage 1.4.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions polynomiales liées aux taux de variation.

• 1.4.A.1 Une fonction polynomiale non constante de $x$ est toute représentation fonctionnelle équivalente à la forme analytique $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, où $n$ est un entier positif, $a_i$ est un nombre réel pour chaque $i$ allant de $1$ à $n$, et $a_n$ est non nul. Le polynôme a pour degré $n$, son terme dominant est $a_n x^n$, et son coefficient dominant est $a_n$. Une constante est également une fonction polynomiale de degré zéro.
• 1.4.A.2 Là où une fonction polynomiale change entre croissante et décroissante, ou à l'extrémité incluse d'un polynôme à domaine restreint, la fonction polynomiale aura une valeur de sortie maximale ou minimale locale, ou relative. De tous les maxima locaux, le plus grand est appelé maximum global, ou absolu. De même, le plus petit de tous les minima locaux est appelé minimum global, ou absolu.
• 1.4.A.3 Entre deux zéros réels distincts d'une fonction polynomiale non constante, il doit y avoir au moins une valeur d'entrée correspondant à un maximum local ou un minimum local.
• 1.4.A.4 Les fonctions polynomiales de degré pair auront soit un maximum global, soit un minimum global.
• 1.4.A.5 Les points d'inflexion d'une fonction polynomiale se situent aux valeurs d'entrée où le taux de variation de la fonction passe d'augmentant à décroissant ou de décroissant à croissant. Cela se produit lorsque la courbe d'une fonction polynomiale passe de convexe à concave ou de concave à convexe.

Objectif d'apprentissage 1.5.A : Identifier les caractéristiques clés d'une fonction polynomiale liées à ses zéros lorsque des factorisations appropriées sont disponibles ou avec l'aide d'un logiciel.

• 1.5.A.1 Oui $a$ est un nombre complexe et $p(a) = 0$, alors $a$ est appelé un zéro de la fonction polynomiale $p$, ou une racine de $p(x) = 0$. Si $a$ est un nombre réel, alors $(x - a)$ est un facteur linéaire de $p$ si et seulement si $a$ est un zéro de $p$.
• 1.5.A.2 Si un facteur linéaire $(x - a)$ est répété $n$ fois, le zéro correspondant de la fonction polynomiale a une multiplicité $n$. Une fonction polynomiale de degré $n$ possède exactement $n$ zéros complexes en comptant les multiplicités.
• 1.5.A.3 Oui $a$ est un zéro réel d'une fonction polynomiale $p$, alors la courbe de $y = p(x)$ présente une intersection avec l'axe $x$ au point $(a, 0)$. Par conséquent, les zéros réels d'un polynôme peuvent servir d'extrémités aux intervalles satisfaisant les inégalités polynomiales.
• 1.5.A.4 Oui $a + bi$ est un zéro non réel d'une fonction polynomiale $p$, alors son conjugué $a - bi$ est également un zéro de $p$.
• 1.5.A.5 Si le zéro réel, $a$, d'une fonction polynomiale a une multiplicité paire, alors les signes des valeurs de sortie sont les mêmes pour les valeurs d'entrée proches de $x = a$. Pour ces fonctions polynomiales, la courbe sera tangente à l'axe $x$ au point $x = a$.
• 1.5.A.6 Le degré d'une fonction polynomiale peut être déterminé en examinant les différences successives des valeurs de sortie sur des valeurs d'entrée à intervalles égaux. Le degré de la fonction polynomiale est égal à la plus petite valeur $n$ pour laquelle les différences $n$-ièmes successives sont constantes.

Objectif d'apprentissage 1.5.B : Déterminer si une fonction polynomiale est paire ou impaire.

• 1.5.B.1 Une fonction paire est symétrique graphiquement par rapport à la droite $x = 0$ et possède analytiquement la propriété $f(-x) = f(x)$. Si $n$ est paire, alors un polynôme de la forme $p(x) = a_n x^n$, où $n \geq 1$ et $a_n \neq 0$, est une fonction paire.
• 1.5.B.2 Une fonction impaire est symétrique graphiquement par rapport au point $(0, 0)$ et possède analytiquement la propriété $f(-x) = -f(x)$. Si $n$ est impair, alors un polynôme de la forme $p(x) = a_n x^n$, où $n \geq 1$ et $a_n \neq 0$, est une fonction impaire.

Objectif d'apprentissage 1.6.A : Décrire les comportements asymptotiques des fonctions polynomiales.

• 1.6.A.1 Lorsque les valeurs d'entrée d'une fonction polynomiale non constante augmentent sans limite, les valeurs de sortie augmenteront ou diminueront sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 Lorsque les valeurs d'entrée d'une fonction polynomiale non constante diminuent sans limite, les valeurs de sortie augmenteront ou diminueront sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 Le degré et le signe du terme dominant d'un polynôme déterminent le comportement asymptotique de la fonction polynomiale, car lorsque les valeurs d'entrée augmentent ou diminuent sans limite, les valeurs du terme dominant dominent celles de tous les termes de degré inférieur.

Objectif d'apprentissage 1.7.A : Décrire les comportements asymptotiques des fonctions rationnelles.

• 1.7.A.1 Une fonction rationnelle est représentée analytiquement comme un quotient de deux fonctions polynomiales et donne une mesure de la taille relative de la fonction polynomiale au numérateur par rapport à la fonction polynomiale au dénominateur pour chaque valeur dans le domaine de la fonction rationnelle.
• 1.7.A.2 Le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle sera le plus affecté par le polynôme ayant le plus grand degré, car ses valeurs domineront celles de la fonction rationnelle pour les valeurs d'entrée de grande magnitude. Pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, un polynôme est dominé par son terme dominant. Par conséquent, le comportement asymptotique d'une fonction rationnelle peut être compris en examinant le quotient correspondant des termes dominants.
• 1.7.A.3 Si le polynôme au numérateur domine celui au dénominateur pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est un polynôme non constant, et la fonction rationnelle originale a le comportement asymptotique de ce polynôme. Si ce polynôme est linéaire, alors la courbe de la fonction rationnelle a une asymptote oblique parallèle à la courbe de la droite.
• 1.7.A.4 Si aucun des polynômes d'une fonction rationnelle ne domine l'autre pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est une constante, et cette constante indique l'emplacement d'une asymptote horizontale de la courbe de la fonction rationnelle originale.
• 1.7.A.5 Si le polynôme au dénominateur domine celui au numérateur pour les valeurs d'entrée de grande magnitude, alors le quotient des termes dominants est une fonction rationnelle avec une constante au numérateur et un polynôme non constant au dénominateur, et la courbe de la fonction rationnelle originale a une asymptote horizontale à $y = 0$.
• 1.7.A.6 Lorsque la courbe d'une fonction rationnelle $r$ a une asymptote horizontale à $y = b$, où $b$ est une constante, les valeurs de sortie de la fonction rationnelle se rapprochent arbitrairement de $b$ et restent arbitrairement proches de $b$ lorsque les valeurs d'entrée augmentent ou diminuent sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ ou $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Objectif d'apprentissage 1.8.A : Déterminer les zéros des fonctions rationnelles.

• 1.8.A.1 Les zéros réels d'une fonction rationnelle correspondent aux zéros réels du numérateur pour de telles valeurs dans son domaine.
• 1.8.A.2 Les zéros réels des deux fonctions polynomiales d'une fonction rationnelle $r$ sont des extrémités ou des asymptotes pour les intervalles satisfaisant les inégalités de la fonction rationnelle $r(x) \geq 0$ ou $r(x) \leq 0$.

Objectif d'apprentissage 1.9.A : Déterminer les asymptotes verticales des graphes de fonctions rationnelles.

• 1.9.A.1 Si la valeur $a$ est un zéro réel de la fonction polynomiale au dénominateur d'une fonction rationnelle et n'est pas aussi un zéro réel de la fonction polynomiale au numérateur, alors la courbe de la fonction rationnelle a une asymptote verticale à $x = a$. De plus, une asymptote verticale se produit également à $x = a$ si la multiplicité de $a$ en tant que zéro réel dans le dénominateur est supérieure à sa multiplicité en tant que zéro réel dans le numérateur.
• 1.9.A.2 Près d'une asymptote verticale, $x = a$, d'une fonction rationnelle, les valeurs de la fonction polynomiale au dénominateur sont arbitrairement proches de zéro, donc les valeurs de la fonction rationnelle $r$ augmentent ou diminuent sans limite. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ pour les valeurs d'entrée proches de $a$ et supérieures à $a$, et $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ pour les valeurs d'entrée proches de $a$ et inférieures à $a$.

Objectif d'apprentissage 1.10.A : Déterminer les trous dans les graphiques de fonctions rationnelles.

• 1.10.A.1 Si la multiplicité d'une racine réelle du numérateur est supérieure ou égale à sa multiplicité dans le dénominateur, alors le graphique de la fonction rationnelle présente un trou à la valeur d'entrée correspondante.
• 1.10.A.2 Si le graphique d'une fonction rationnelle $r$ présente un trou en $x = c$, alors l'emplacement du trou peut être déterminé en examinant les valeurs de sortie correspondant aux valeurs d'entrée suffisamment proches de $c$. Si des valeurs d'entrée suffisamment proches de $c$ correspondent à des valeurs de sortie arbitrairement proches de $L$, alors le trou est situé au point de coordonnées $(c, L)$. La notation mathématique correspondante est $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Il convient de noter que $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Objectif d'apprentissage 1.11.A : Réécrire les expressions polynomiales et rationnelles sous une forme équivalente.

• 1.11.A.1 Puisque la forme factorisée d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle fournit facilement des informations sur les racines réelles, elle peut révéler des informations sur les $x$-intercepts, les asymptotes, les trous, le domaine et l'image.
• 1.11.A.2 La forme standard d'un polynôme ou d'une fonction rationnelle peut révéler des informations sur les comportements aux bornes de la fonction.
• 1.11.A.3 Les informations extraites de différentes représentations analytiques du même polynôme ou de la même fonction rationnelle peuvent être utilisées pour répondre à des questions en contexte.

Objectif d'apprentissage 1.11.B : Déterminer le quotient de deux fonctions polynomiales à l'aide de la division longue.

• 1.11.B.1 La division longue de polynômes est un processus algébrique similaire à la division longue numérique impliquant un quotient et un reste. Si le polynôme $f$ est divisé par le polynôme $g$, alors $f$ peut être réécrit comme $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, où $q$ est le quotient, $r$ est le reste, et le degré de $r$ est inférieur au degré de $g$.
• 1.11.B.2 Le résultat de la division longue de polynômes est utile pour trouver les équations des asymptotes obliques des graphiques de fonctions rationnelles.

Objectif d'apprentissage 1.11.C : Réécrire le produit répété de binômes en utilisant le théorème du binôme.

• 1.11.C.1 Le théorème du binôme utilise les entrées d'une seule ligne du triangle de Pascal pour développer plus facilement des expressions de la forme $(a + b)^n$, y compris des fonctions polynomiales de la forme $p(x) = (x + c)^n$, où $c$ est une constante.

Objectif d'apprentissage 1.12.A : Construire une fonction qui est une transformation additive et/ou multiplicative d'une autre fonction.

• 1.12.A.1 La fonction $g(x) = f(x) + k$ est une transformation additive de la fonction $f$ qui entraîne une translation verticale du graphique de $f$ de $k$ unités.
• 1.12.A.2 La fonction $g(x) = f(x + h)$ est une transformation additive de la fonction $f$ qui entraîne une translation horizontale du graphique de $f$ de $-h$ unités.
• 1.12.A.3 La fonction $g(x) = a f(x)$, où $a \neq 0$, est une transformation multiplicative de la fonction $f$ qui entraîne une dilatation verticale du graphique de $f$ par un facteur de $|a|$. Si $a < 0$, la transformation implique une réflexion par rapport à l'axe $x$.
• 1.12.A.4 La fonction $g(x) = f(bx)$, où $b \neq 0$, est une transformation multiplicative de la fonction $f$ qui entraîne une dilatation horizontale du graphique de $f$ par un facteur de $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Si $b < 0$, la transformation implique une réflexion par rapport à l'axe $y$.
• 1.12.A.5 Les transformations additives et multiplicatives peuvent être combinées, résultant en des combinaisons de translations horizontales et verticales ainsi que de dilations.
• 1.12.A.6 Le domaine et l'image d'une fonction qui est une transformation d'une fonction mère peuvent être différents de ceux de la fonction mère.

Objectif d'apprentissage 1.13.A : Identifier un type de fonction approprié pour construire un modèle fonctionnel pour un scénario donné.

• 1.13.A.1 Les fonctions linéaires modélisent des ensembles de données ou des aspects de scénarios contextuels qui présentent approximativement des taux de variation constants.
• 1.13.A.2 Les fonctions quadratiques modélisent des ensembles de données ou des aspects de scénarios contextuels qui présentent approximativement des taux de variation linéaires, ou des ensembles de données approximativement symétriques avec une valeur maximale ou minimale unique.
• 1.13.A.3 Les contextes géométriques impliquant une aire ou deux dimensions peuvent souvent être modélisés par des fonctions quadratiques. Les contextes géométriques impliquant un volume ou trois dimensions peuvent souvent être modélisés par des fonctions cubiques.
• 1.13.A.4 Les fonctions polynomiales modélisent des ensembles de données ou des scénarios contextuels présentant plusieurs racines réelles ou plusieurs maxima ou minima.
• 1.13.A.5 Une fonction polynomiale de degré $n$ modélise des ensembles de données ou des scénarios contextuels qui présentent approximativement des $n$ièmes différences constantes non nulles.
• 1.13.A.6 Une fonction polynomiale de degré $n$ ou moins peut être utilisée pour modéliser un graphique de $n + 1$ points avec des valeurs d'entrée distinctes.
• 1.13.A.7 Une fonction définie par morceaux consiste en un ensemble de fonctions définies sur des intervalles de domaine non chevauchants et est utile pour modéliser un ensemble de données ou un scénario contextuel qui présente des caractéristiques différentes sur différents intervalles.

Objectif d'apprentissage 1.13.B : Décrire les hypothèses et restrictions liées à la construction d'un modèle fonctionnel.

• 1.13.B.1 Un modèle peut avoir des hypothèses sous-jacentes sur ce qui est constant dans le modèle.
• 1.13.B.2 Un modèle peut avoir des hypothèses sous-jacentes sur la manière dont les quantités varient ensemble.
• 1.13.B.3 Un modèle peut nécessiter des restrictions de domaine basées sur des indices mathématiques, des indices contextuels ou des valeurs extrêmes dans l'ensemble de données.
• 1.13.B.4 Un modèle peut nécessiter des restrictions d'image, telles que l'arrondi des valeurs, basé sur des indices mathématiques, des indices contextuels ou des valeurs extrêmes dans l'ensemble de données.

Objectif d'apprentissage 1.14.A : Construire un modèle linéaire, quadratique, cubique, quartique, polynomiale de degré $n$, ou une fonction définie par morceaux associée.

• 1.14.A.1 Un modèle peut être construit sur la base de restrictions identifiées dans un scénario mathématique ou contextuel.
• 1.14.A.2 Un modèle d'un ensemble de données ou d'un scénario contextuel peut être construit à l'aide de transformations de la fonction mère.
• 1.14.A.3 Un modèle d'un ensemble de données peut être construit à l'aide de technologies et de régressions, y compris des régressions linéaires, quadratiques, cubiques et quartiques.
• 1.14.A.4 Un modèle de fonction définie par morceaux peut être construit par une combinaison de techniques de modélisation.

Objectif d'apprentissage 1.14.B : Construire un modèle de fonction rationnelle basé sur un contexte.

• 1.14.B.1 Les ensembles de données et les aspects de scénarios contextuels impliquant des quantités inversement proportionnelles peuvent souvent être modélisés par des fonctions rationnelles. Par exemple, les grandeurs de la force gravitationnelle et électromagnétique entre des objets sont inversement proportionnelles au carré de la distance entre ces objets.

Objectif d'apprentissage 1.14.C : Appliquer un modèle fonctionnel pour répondre à des questions concernant un ensemble de données ou un scénario contextuel.

• 1.14.C.1 Un modèle peut être utilisé pour tirer des conclusions sur l'ensemble de données ou le scénario contextuel modélisé, y compris répondre à des questions clés et prédire des valeurs, des taux de variation, des taux de variation moyens et des taux de variation changeants. Des unités de mesure appropriées doivent être extraites ou déduites du contexte donné.

Objectif d'apprentissage 2.1.A : Exprimer les suites arithmétiques trouvées dans des scénarios mathématiques et contextuels comme des fonctions des nombres entiers.

• 2.1.A.1 Une suite est une fonction des nombres entiers vers les nombres réels. Par conséquent, la courbe d'une suite consiste en des points discrets au lieu d'une courbe.
• 2.1.A.2 Les termes consécutifs d'une suite arithmétique ont une différence commune, ou un taux de variation constant.
• 2.1.A.3 Le terme général d'une suite arithmétique avec une raison commune $d$ est noté $a_n$ et est donné par $a_n = a_0 + dn$, où $a_0$ est la valeur initiale, ou par $a_n = a_k + d(n - k)$, où $a_k$ est le $k$ème terme de la suite.

Objectif d'apprentissage 2.1.B : Exprimer les suites géométriques trouvées dans des scénarios mathématiques et contextuels comme des fonctions des nombres entiers.

• 2.1.B.1 Les termes consécutifs d'une suite géométrique ont un rapport commun, ou une variation proportionnelle constante.
• 2.1.B.2 Le terme général d'une suite géométrique avec un rapport commun $r$ est désigné par $g_n$ et est donné par $g_n = g_0 r^n$, où $g_0$ est la valeur initiale, ou par $g_n = g_k r^{(n-k)}$, où $g_k$ est le $k$-ème terme de la suite.
• 2.1.B.3 Les suites arithmétiques croissantes augmentent également à chaque étape, tandis que les suites géométriques croissantes augmentent d'une quantité plus grande à chaque étape successive.

Objectif d'apprentissage 2.2.A : Construire des fonctions des nombres réels comparables aux suites arithmétiques et géométriques.

• 2.2.A.1 Les fonctions linéaires de la forme $f(x) = b + mx$ sont similaires aux suites arithmétiques de la forme $a_n = a_0 + dn$, car les deux peuvent s'exprimer comme une valeur initiale ($b$ ou $a_0$) plus une addition répétée d'un taux de changement constant, la pente ($m$ ou $d$).
• 2.2.A.2 Similaire aux suites arithmétiques de la forme $a_n = a_k + d(n - k)$, qui sont basées sur une différence connue, $d$, et un $k$ème terme, les fonctions linéaires peuvent être exprimées sous la forme $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ basée sur une pente connue, $m$, et un point, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Les fonctions exponentielles de la forme $f(x) = ab^x$ sont similaires aux suites géométriques de la forme $g_n = g_0 r^n$, car toutes deux peuvent être exprimées comme une valeur initiale ($a$ ou $g_0$) multipliée par une multiplication répétée par une proportion constante ($b$ ou $r$).
• 2.2.A.4 Similaires aux suites géométriques de la forme $g_n = g_k r^{(n-k)}$, qui sont basées sur un rapport connu, $r$, et un terme $k$, les fonctions exponentielles peuvent s'exprimer sous la forme $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ basée sur un rapport connu, $r$, et un point, $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Les suites et leurs fonctions correspondantes peuvent avoir des domaines différents.

Objectif d'apprentissage 2.3.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions exponentielles.

• 2.3.A.1 La forme générale d'une fonction exponentielle est $f(x) = ab^x$, avec la valeur initiale $a$, où $a \neq 0$, et la base $b$, où $b > 0$, et $b \neq 1$. Quand $a > 0$ et $b > 1$, la fonction exponentielle est dite démontrer une croissance exponentielle. Quand $a > 0$ et $0 < b < 1$, la fonction exponentielle est dite démontrer une décroissance exponentielle.
• 2.3.A.2 Lorsque les entiers naturels sont les valeurs d'entrée dans une fonction exponentielle, la valeur d'entrée spécifie le nombre de facteurs de la base à appliquer à la valeur initiale de la fonction. Le domaine d'une fonction exponentielle est l'ensemble des nombres réels.
• 2.3.A.3 Puisque les valeurs de sortie des fonctions exponentielles sous forme générale sont proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs d'entrée, les fonctions exponentielles sont toujours croissantes ou toujours décroissantes, et leurs graphiques sont toujours concaves vers le haut ou toujours concaves vers le bas. Par conséquent, les fonctions exponentielles n'ont pas d'extrema sauf sur un intervalle fermé, et leurs graphiques ne présentent pas de points d'inflexion.
• 2.3.A.4 Si les valeurs de la fonction de transformation additive $g(x) = f(x) + k$ d'une fonction quelconque $f$ sont proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs d'entrée, alors $f$ est exponentielle.

Objectif d'apprentissage 2.4.A : Réécrire les expressions exponentielles sous formes équivalentes.

• 2.4.A.1 La propriété du produit pour les exposants stipule que $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Graphiquement, cette propriété implique que toute translation horizontale d'une fonction exponentielle, $f(x) = b^{(x+k)}$, est équivalente à une dilatation verticale, $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, où $a = b^k$.
• 2.4.A.2 La propriété de puissance pour les exposants stipule que $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Graphiquement, cette propriété implique que toute dilatation horizontale d'une fonction exponentielle, $f(x) = b^{(cx)}$, est équivalente à un changement de la base d'une fonction exponentielle, $f(x) = \left(b^c\right)^x$, où $b^c$ est une constante et $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 La propriété de l'exposant négatif stipule que $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 La valeur d'une expression exponentielle impliquant une fraction unitaire exponentielle, telle que $b^{(1/k)}$ où $k$ est un entier naturel, est la racine $k$ de $b$, lorsqu'elle existe.

Objectif d'apprentissage 2.5.A : Construire un modèle pour des situations impliquant des valeurs de sortie proportionnelles sur des intervalles de longueur égale de valeurs d'entrée.

• 2.5.A.1 Les fonctions exponentielles modélisent les modèles de croissance où les valeurs de sortie successives sur des intervalles de longueur égale de valeurs d'entrée sont proportionnelles. Lorsque les valeurs d'entrée sont des nombres entiers, les fonctions exponentielles modélisent des situations de multiplication répétée d'une constante à une valeur initiale.
• 2.5.A.2 Une constante peut devoir être ajoutée aux valeurs de la variable dépendante d'un ensemble de données pour révéler un modèle de croissance proportionnel.
• 2.5.A.3 Un modèle de fonction exponentielle peut être construit à partir d'un rapport approprié et d'une valeur initiale, ou à partir de deux paires entrée-sortie. La valeur initiale et la base peuvent être trouvées en résolvant un système d'équations résultant des deux paires entrée-sortie.
• 2.5.A.4 Les modèles de fonctions exponentielles peuvent être construits en appliquant des transformations à $f(x) = ab^x$ en se basant sur les caractéristiques d'un scénario contextuel ou d'un ensemble de données.
• 2.5.A.5 Les modèles de fonctions exponentielles peuvent être construits pour un ensemble de données à l'aide de technologies par régression exponentielle.
• 2.5.A.6 La base naturelle $e$, qui est approximativement $2.718$, est souvent utilisée comme base dans les fonctions exponentielles modélisant des scénarios contextuels.

Objectif d'apprentissage 2.6.A : Construire des modèles linéaires, quadratiques et exponentiels basés sur un ensemble de données.

• 2.6.A.1 Deux variables dans un ensemble de données qui démontrent un taux de changement légèrement variable peuvent être modélisées par des modèles de fonctions linéaires, quadratiques et exponentielles.
• 2.6.A.2 Les modèles peuvent être comparés en se basant sur des indices contextuels et leur applicabilité pour déterminer quel modèle est le plus approprié.

Objectif d'apprentissage 2.6.B : Valider un modèle construit à partir d'un ensemble de données.

• 2.6.B.1 Un modèle est justifié comme étant approprié pour un ensemble de données si le graphique des résidus d'une régression, le nuage de points des résidus, apparaît sans motif.
• 2.6.B.2 La différence entre les valeurs prédites et réelles est l'erreur dans le modèle. Selon l'ensemble de données et le contexte, il peut être plus approprié d'avoir une sous-estimation ou une surestimation pour tout intervalle donné.

Objectif d'apprentissage 2.7.A : Évaluer la composition de deux ou plusieurs fonctions pour des valeurs données.

• 2.7.A.1 Oui $f$ et $g$ sont des fonctions, la fonction composée $f \circ g$ mappe un ensemble de valeurs d'entrée vers un ensemble de valeurs de sortie tel que les valeurs de sortie de $g$ sont utilisées comme valeurs d'entrée de $f$. Pour cette raison, le domaine de la fonction composée est restreint aux valeurs d'entrée de $g$ pour lesquelles la valeur de sortie correspondante se trouve dans le domaine de $f$. $(f \circ g)(x)$ peut également être représenté comme $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Les valeurs pour la fonction composée $f \circ g$ peuvent être calculées ou estimées à partir des représentations graphiques, numériques, analytiques ou verbales de $f$ et $g$ en utilisant les valeurs de sortie de $g$ comme valeurs d'entrée pour $f$.
• 2.7.A.3 La composition de fonctions n'est pas commutative ; c'est-à-dire que $f \circ g$ et $g \circ f$ sont généralement des fonctions différentes ; par conséquent, $f(g(x))$ et $g(f(x))$ sont généralement des valeurs différentes.
• 2.7.A.4 Si la fonction $f(x) = x$ est composée avec n'importe quelle fonction $g$, la fonction composée résultante est la même que $g$ ; c'est-à-dire, $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. La fonction $f(x) = x$ est appelée la fonction identité. Lors de la composition de deux fonctions, la fonction identité agit de la même manière que $0$, l'identité additive, lors de l'addition de deux nombres et $1$, l'identité multiplicative, lors de la multiplication de deux nombres.

Objectif d'apprentissage 2.7.B : Construire une représentation de la composition de deux ou plusieurs fonctions.

• 2.7.B.1 La composition de fonctions est utile pour relier deux quantités qui ne sont pas directement liées par une formule existante.
• 2.7.B.2 Lorsque des représentations analytiques des fonctions $f$ et $g$ sont disponibles, une représentation analytique de $f(g(x))$ peut être construite en substituant $g(x)$ pour chaque occurrence de $x$ dans $f$.
• 2.7.B.3 Une représentation numérique ou graphique de $f \circ g$ peut souvent être construite en calculant ou estimant des valeurs pour $(x, f(g(x)))$.

Objectif d'apprentissage 2.7.C : Réécrire une fonction donnée comme une composition de deux ou plusieurs fonctions.

• 2.7.C.1 Les fonctions données analytiquement peuvent souvent être décomposées en fonctions moins complexes. Lorsqu'elles sont correctement décomposées, la variable dans une fonction doit remplacer chaque occurrence de la fonction avec laquelle elle a été composée.
• 2.7.C.2 Une transformation additive d'une fonction, $f$, qui entraîne des translations verticales et horizontales peut être comprise comme la composition de $g(x) = x + k$ avec $f$.
• 2.7.C.3 Une transformation multiplicative d'une fonction, $f$, qui entraîne des dilatations verticales et horizontales peut être comprise comme la composition de $g(x) = kx$ avec $f$.

Objectif d'apprentissage 2.8.A : Déterminer les paires entrée-sortie de la réciproque d'une fonction.

• 2.8.A.1 Sur un domaine spécifié, une fonction, $f$, possède une fonction réciproque, ou est inversible, si chaque valeur de sortie de $f$ est mappée depuis une valeur d'entrée unique. Le domaine d'une fonction peut être restreint de nombreuses manières pour rendre la fonction inversible.
• 2.8.A.2 Une fonction réciproque peut être considérée comme une mapping inverse de la fonction. Une fonction réciproque, $f^{-1}$, mappe les valeurs de sortie d'une fonction, $f$, sur son domaine inversible vers leurs valeurs d'entrée correspondantes ; c'est-à-dire, si $f(a) = b$, alors $f^{-1}(b) = a$. Alternativement, sur son domaine inversible, si une fonction consiste en des paires entrée-sortie $(a, b)$, alors la fonction réciproque consiste en des paires entrée-sortie $(b, a)$.

Objectif d'apprentissage 2.8.B : Déterminer la réciproque d'une fonction sur un domaine inversible.

• 2.8.B.1 La composition d'une fonction, $f$, et de sa fonction réciproque, $f^{-1}$, est la fonction identité ; c'est-à-dire, $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 Sur le domaine inversible d'une fonction, l'image et le domaine de la fonction sont respectivement le domaine et l'image de la fonction réciproque. La réciproque du tableau de valeurs de $y = f(x)$ peut être trouvée en inversant les paires entrée-sortie ; c'est-à-dire, $(a, b)$ correspond à $(b, a)$.
• 2.8.B.3 La réciproque du graphique de la fonction $y = f(x)$ peut être trouvée en inversant les rôles des axes $x$ et $y$ ; c'est-à-dire, en reflétant le graphique de la fonction sur le graphique de la fonction identité $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 La réciproque de la fonction peut être trouvée en déterminant les opérations inverses pour inverser le mapping. Une méthode pour trouver la réciproque de la fonction $f$ consiste à inverser les rôles de $x$ et $y$ dans l'équation $y = f(x)$, puis à résoudre pour $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 En plus de limiter le domaine d'une fonction pour obtenir une fonction réciproque, des restrictions contextuelles peuvent également limiter l'applicabilité d'une fonction réciproque.

Objectif d'apprentissage 2.9.A : Évaluer des expressions logarithmiques.

• 2.9.A.1 L'expression logarithmique $\log_b c$ est égale à, ou représente, la valeur à laquelle la base $b$ doit être élevée exponentiellement pour obtenir la valeur $c$. C'est-à-dire, $\log_b c = a$ si et seulement si $b^a = c$, où $a$ et $c$ sont des constantes, $b > 0$, et $b \neq 1$. (lorsque la base d'une expression logarithmique n'est pas spécifiée, elle est comprise comme le logarithme commun avec une base de $10$)
• 2.9.A.2 Les valeurs de certaines expressions logarithmiques sont facilement accessibles par l'arithmétique de base tandis que d'autres valeurs peuvent être estimées grâce à l'utilisation de la technologie.
• 2.9.A.3 Sur une échelle logarithmique, chaque unité représente un changement multiplicatif de la base du logarithme. Par exemple, sur une échelle standard, les unités pourraient être $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, tandis que sur une échelle logarithmique, utilisant la base logarithmique $10$, les unités pourraient être $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Objectif d'apprentissage 2.10.A : Construire des représentations de l'inverse d'une fonction exponentielle avec une valeur initiale de 1.

• 2.10.A.1 La forme générale d'une fonction logarithmique est $f(x) = a\log_b x$, avec une base $b$, où $b > 0$, $b \neq 1$, et $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 La manière dont les valeurs d'entrée et de sortie varient ensemble présente une relation inverse dans les fonctions exponentielles et logarithmiques. Les valeurs de sortie des fonctions exponentielles à forme générale changent proportionnellement lorsque les valeurs d'entrée augmentent par des intervalles de longueur égale. Cependant, les valeurs d'entrée des fonctions logarithmiques à forme générale changent proportionnellement lorsque les valeurs de sortie augmentent par des intervalles de longueur égale. Alternativement, la croissance exponentielle est caractérisée par des valeurs de sortie qui changent multiplicativement alors que les valeurs d'entrée changent additivement, tandis que la croissance logarithmique est caractérisée par des valeurs de sortie qui changent additivement alors que les valeurs d'entrée changent multiplicativement.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ et $g(x) = b^x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, sont des fonctions inverses. C'est-à-dire, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 Le graphique de la fonction logarithmique $f(x) = \log_b x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, est le symétrique du graphique de la fonction exponentielle $g(x) = b^x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, par rapport au graphique de la fonction identité $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Oui $(s, \; t)$ est un couple ordonné de la fonction exponentielle $g(x) = b^x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$, alors $(t, \; s)$ est un couple ordonné de la fonction logarithmique $f(x) = \log_b x$, où $b > 0$ et $b \neq 1$.

Objectif d'apprentissage 2.11.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions logarithmiques.

• 2.11.A.1 Le domaine d'une fonction logarithmique sous forme générale est tout nombre réel supérieur à zéro, et son image est l'ensemble des nombres réels.
• 2.11.A.2 Puisque les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles, elles sont toujours croissantes ou toujours décroissantes, et leurs graphiques sont soit toujours concaves vers le haut, soit toujours concaves vers le bas. Par conséquent, les fonctions logarithmiques n'ont pas d'extrema sauf sur un intervalle fermé, et leurs graphiques ne présentent pas de points d'inflexion.
• 2.11.A.3 La fonction de transformation additive $g(x) = f(x + k)$, où $k \neq 0$, d'une fonction logarithmique $f$ sous forme générale ne possède pas de valeurs d'entrée proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs de sortie. Cependant, si les valeurs d'entrée de la fonction de transformation additive, $g(x) = f(x + k)$, d'une fonction quelconque $f$ sont proportionnelles sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs de sortie, alors $f$ est logarithmique.
• 2.11.A.4 Avec leur domaine limité, les fonctions logarithmiques sous forme générale sont asymptotiques verticalement à $x = 0$, avec un comportement en bout non borné. C'est-à-dire, pour une fonction logarithmique sous forme générale, $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ et $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Objectif d'apprentissage 2.12.A : Réécrire les expressions logarithmiques sous formes équivalentes.

• 2.12.A.1 La propriété du produit pour les logarithmes stipule que $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Graphiquement, cette propriété implique que toute dilatation horizontale d'une fonction logarithmique, $f(x) = \log_b(kx)$, est équivalente à une translation verticale, $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, où $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 La propriété de puissance pour les logarithmes stipule que $\log_b x^n = n\log_b x$. Graphiquement, cette propriété implique qu'élever l'entrée d'une fonction logarithmique à une puissance, $f(x) = \log_b x^k$, résulte en une dilatation verticale, $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 La propriété de changement de base pour les logarithmes stipule que $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, où $a > 0$ et $a \neq 1$. Cela implique que toutes les fonctions logarithmiques sont des dilatations verticales les unes des autres.
• 2.12.A.4 La fonction $f(x) = \ln x$ est une fonction logarithmique avec la base naturelle $e$ ; c'est-à-dire, $\ln x = \log_e x$.

Objectif d'apprentissage 2.13.A : Résoudre les équations et inégalités exponentielles et logarithmiques.

• 2.13.A.1 Les propriétés des exposants, les propriétés des logarithmes et la relation réciproque entre les fonctions exponentielles et logarithmiques peuvent être utilisées pour résoudre les équations et inégalités impliquant des exposants et des logarithmes.
• 2.13.A.2 Lors de la résolution d'équations exponentielles et logarithmiques obtenues par des méthodes analytiques ou graphiques, les résultats doivent être examinés pour détecter les solutions étrangères exclues par les limites mathématiques ou contextuelles.
• 2.13.A.3 Les logarithmes peuvent être utilisés pour réécrire des expressions impliquant des fonctions exponentielles de différentes manières qui peuvent révéler des informations utiles. Spécifiquement, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Objectif d'apprentissage 2.13.B : Construire la fonction réciproque pour les fonctions exponentielles et logarithmiques.

• 2.13.B.1 La fonction $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ est une combinaison de transformations additives d'une fonction exponentielle sous forme générale. L'inverse de $y = f(x)$ peut être trouvé en déterminant les opérations inverses pour annaler la correspondance.
• 2.13.B.2 La fonction $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ est une combinaison de transformations additives d'une fonction logarithmique sous forme générale. L'inverse de $y = f(x)$ peut être trouvé en déterminant les opérations inverses pour annaler la correspondance.

Objectif d'apprentissage 2.14.A : Construire un modèle de fonction logarithmique.

• 2.14.A.1 Les fonctions logarithmiques sont les réciproques des fonctions exponentielles et peuvent être utilisées pour modéliser des situations impliquant une croissance proportionnelle, ou une multiplication répétée, où les valeurs d'entrée changent proportionnellement sur des intervalles de longueur égale pour les valeurs de sortie. Alternativement, si la valeur de sortie est un entier, elle indique combien de fois la valeur initiale a été multipliée par la proportion.
• 2.14.A.2 Un modèle de fonction logarithmique peut être construit à partir d'une proportion appropriée et d'un zéro réel, ou à partir de deux couples entrée-sortie.
• 2.14.A.3 Les modèles de fonctions logarithmiques peuvent être construits en appliquant des transformations à $f(x) = a\log_b x$ en se basant sur les caractéristiques d'un contexte ou d'un ensemble de données.
• 2.14.A.4 Les modèles de fonctions logarithmiques peuvent être construits pour un ensemble de données utilisant la technologie via des régressions logarithmiques.
• 2.14.A.5 La fonction logarithme naturel est souvent utile pour modéliser des phénomènes du monde réel.
• 2.14.A.6 Les modèles de fonctions logarithmiques peuvent être utilisés pour prédire des valeurs pour la variable dépendante.

Objectif d'apprentissage 2.15.A : Déterminer si un modèle exponentiel est approprié en examinant un tracé semi-logarithmique d'un ensemble de données.

• 2.15.A.1 Dans un tracé semi-logarithmique, un des axes est gradué logarithmiquement. Lorsque l'axe $y$ d'un tracé semi-logarithmique est gradué logarithmiquement, les données ou fonctions démontrant des caractéristiques exponentielles apparaîtront linéaires.
• 2.15.A.2 Un avantage des tracés semi-logarithmiques est qu'il n'est jamais nécessaire d'ajouter une constante aux valeurs de la variable dépendante pour révéler qu'un modèle exponentiel est approprié.

Objectif d'apprentissage 2.15.B : Construire la linéarisation de données exponentielles.

• 2.15.B.1 Les techniques utilisées pour modéliser des fonctions linéaires peuvent être appliquées à un graphique semi-logarithmique.
• 2.15.B.2 Pour un modèle exponentiel de la forme $y = ab^x$, le modèle linéaire correspondant pour le tracé semi-logarithmique est $y = (\log_n b)x + \log_n a$, où $n > 0$ et $n \neq 1$. Spécifiquement, le taux de variation linéaire est $\log_n b$, et la valeur linéaire initiale est $\log_n a$.

Objectif d'apprentissage 3.1.A : Construire des graphiques de relations périodiques basés sur des représentations verbales.

• 3.1.A.1 Une relation périodique peut être identifiée entre deux aspects d'un contexte si, à mesure que les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie démontrent un motif répété sur des intervalles de longueur égue successifs.
• 3.1.A.2 Le graphique d'une relation périodique peut être construit à partir du graphique d'un seul cycle de la relation.

Objectif d'apprentissage 3.1.B : Décrire les caractéristiques clés d'une fonction périodique basée sur une représentation verbale.

• 3.1.B.1 La période de la fonction est la plus petite valeur positive $k$ telle que $f(x + k) = f(x)$ pour toute $x$ dans le domaine. Par conséquent, le comportement d'une fonction périodique est entièrement déterminé par n'importe quel intervalle de largeur $k$.
• 3.1.B.2 La période peut être estimée en examinant les valeurs de sortie successives de longueur égale et en trouvant où le motif commence à se répéter.
• 3.1.B.3 Les fonctions périodiques présentent des caractéristiques d'autres fonctions, telles que des intervalles d'augmentation et de diminution, des concavités différentes et divers taux de changement. Cependant, avec les fonctions périodiques, toutes les caractéristiques trouvées dans une période de la fonction seront présentes dans chaque période de la fonction.

Objectif d'apprentissage 3.2.A : Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle à l'aide du cercle unité.

• 3.2.A.1 Dans le plan cartésien, un angle est en position standard lorsque son sommet coïncide avec l'origine et qu'un de ses rayons coïncide avec l'axe $x$ positif. L'autre rayon est appelé le rayon terminal. Les mesures d'angles positives et négatives indiquent des rotations à partir de l'axe $x$ positif dans le sens antihoraire et horaire, respectivement. Les angles en position standard partageant un rayon terminal diffèrent par un nombre entier de révolutions.
• 3.2.A.2 La mesure en radians d'un angle en position standard est le rapport de la longueur de l'arc d'un cercle centré à l'origine subtendu par l'angle au rayon de ce même cercle. Pour un cercle unité, qui a un rayon de $1$, la mesure en radians est la même que la longueur de l'arc subtendu.
• 3.2.A.3 Étant donné un angle en position standard et un cercle centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. Le sinus de l'angle est le rapport du déplacement vertical de $P$ par rapport à l'axe $x$ à la distance entre l'origine et le point $P$. Par conséquent, pour un cercle unité, le sinus de l'angle est la coordonnée $y$ du point $P$.
• 3.2.A.4 Étant donné un angle en position standard et un cercle centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. Le cosinus de l'angle est le rapport du déplacement horizontal de $P$ par rapport à l'axe $y$ à la distance entre l'origine et le point $P$. Par conséquent, pour un cercle unité, le cosinus de l'angle est la coordonnée $x$ du point $P$.
• 3.2.A.5 Étant donné un angle en position standard, la tangente de l'angle est la pente, si elle existe, du rayon terminal. Puisque la pente du rayon terminal est le rapport du déplacement vertical sur le déplacement horizontal sur n'importe quel intervalle, la tangente de l'angle est le rapport de la coordonnée $y$ à la coordonnée $x$ du point où le rayon terminal intersecte le cercle unité ; alternativement, c'est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus.

Objectif d'apprentissage 3.3.A : Déterminer les coordonnées de points sur un cercle centré à l'origine.

• 3.3.A.1 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle de rayon $r$ centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. Les coordonnées du point $P$ sont $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 La géométrie des triangles isocèles rectangles et équilatéraux, tout en tenant compte des signes des valeurs selon le quadrant de l'angle, peut être utilisée pour trouver des valeurs exactes pour le cosinus et le sinus des angles qui sont des multiples de $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ radians et dont les rayons terminaux ne reposent pas sur un axe.

Objectif d'apprentissage 3.4.A : Construire des représentations des fonctions sinus et cosinus à l'aide du cercle unité.

• 3.4.A.1 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle unité centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. La fonction sinus, $f(\theta) = \sin\theta$, donne la coordonnée $y$, ou le déplacement vertical par rapport à l'axe $x$, du point $P$. Le domaine de la fonction sinus est l'ensemble des nombres réels.
• 3.4.A.2 À mesure que les valeurs d'entrée, ou mesures d'angles, de la fonction sinus augmentent, les valeurs de sortie oscillent entre $-1$ et $1$, prenant chaque valeur intermédiaire et suivant la distance verticale des points sur le cercle unité par rapport à l'axe $x$.
• 3.4.A.3 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle unité centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. La fonction cosinus, $f(\theta) = \cos\theta$, donne la coordonnée $x$, ou le déplacement horizontal par rapport à l'axe $y$, du point $P$. Le domaine de la fonction cosinus est l'ensemble des nombres réels.
• 3.4.A.4 À mesure que les valeurs d'entrée, ou mesures d'angles, de la fonction cosinus augmentent, les valeurs de sortie oscillent entre $-1$ et $1$, prenant chaque valeur intermédiaire et suivant la distance horizontale des points sur le cercle unité par rapport à l'axe $y$.

Objectif d'apprentissage 3.5.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions sinus et cosinus.

• 3.5.A.1 Une fonction sinusoïdale est toute fonction impliquant des transformations additives et multiplicatives de $f(\theta) = \sin\theta$. Les fonctions sinus et cosinus sont toutes deux des fonctions sinusoïdales, avec $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 La période et la fréquence d'une fonction sinusoïdale sont des inverses. La période de $f(\theta) = \sin\theta$ et $g(\theta) = \cos\theta$ est $2\pi$, et la fréquence est $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 L'amplitude d'une fonction sinusoïdale est la moitié de la différence entre ses valeurs maximales et minimales. L'amplitude de $f(\theta) = \sin\theta$ et $g(\theta) = \cos\theta$ est $1$.
• 3.5.A.4 La ligne médiane du graphe d'une fonction sinusoïdale est déterminée par la moyenne arithmétique des valeurs maximales et minimales de la fonction. La ligne médiane des graphes de $y = \sin\theta$ et $y = \cos\theta$ est $y = 0$.
• 3.5.A.5 À mesure que les valeurs d'entrée augmentent, les graphes des fonctions sinusoïdales oscillent entre concave vers le bas et concave vers le haut.
• 3.5.A.6 Le graphique de $y = \sin\theta$ possède une symétrie rotationnelle par rapport à l'origine et est donc une fonction impaire. Le graphique de $y = \cos\theta$ présente une symétrie axiale par rapport à l'axe des $y$ et est donc une fonction paire.

Objectif d'apprentissage 3.6.A : Identifier l'amplitude, le décalage vertical, la période et le décalage de phase d'une fonction sinusoidale.

• 3.6.A.1 Les fonctions qui peuvent s'écrire sous la forme $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ ou $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, où $a, b, c,$ et $d$ sont des nombres réels et $a \neq 0$, sont des fonctions sinusoidales et constituent des transformations des fonctions sinus et cosinus. Les transformations additives et multiplicatives sont les mêmes pour le sinus et le cosinus car la fonction cosinus est un décalage de phase de la fonction sinus de $-\dfrac{\pi}{2}$ unités.
• 3.6.A.2 Le graphique de la transformation additive $g(\theta) = \sin\theta + d$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une translation verticale du graphique de $f$, y compris sa ligne médiane, de $d$ unités. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.3 Le graphique de la transformation additive $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une translation horizontale, ou décalage de phase, du graphique de $f$ de $-c$ unités. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.4 Le graphique de la transformation multiplicative $g(\theta) = a\sin\theta$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une dilatation verticale du graphique de $f$ et diffère en amplitude par un facteur de $|a|$. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.5 Le graphique de la transformation multiplicative $g(\theta) = \sin(b\theta)$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une dilatation horizontale du graphique de $f$ et diffère en période par un facteur de $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.6 Le graphique de $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ a une amplitude de $|a|$ unité, une période de $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unités, un décalage vertical de la ligne médiane de $d$ unités par rapport à $y = 0$, et un décalage de phase de $-c$ unités. Les mêmes transformations appliquées à la fonction cosinus produisent les mêmes résultats.

Objectif d'apprentissage 3.7.A : Construire des modèles de fonctions sinusoidales pour des phénomènes périodiques.

• 3.7.A.1 L'intervalle minimal de valeurs d'entrée sur lequel les valeurs de sortie maximales ou minimales commencent à se répéter, c'est-à-dire l'intervalle de valeurs d'entrée entre deux maxima consécutifs ou deux minima consécutifs, peut être utilisé pour déterminer ou estimer la période et la fréquence d'un modèle de fonction sinusoidale.
• 3.7.A.2 Les valeurs de sortie maximales et minimales peuvent être utilisées pour déterminer ou estimer l'amplitude et le décalage vertical d'un modèle de fonction sinusoidale.
• 3.7.A.3 Une paire réelle de valeurs d'entrée-sortie peut être comparée aux paires de valeurs d'entrée-sortie produites par un modèle de fonction sinusoidale pour déterminer ou estimer un décalage de phase pour le modèle.
• 3.7.A.4 Des modèles de fonctions sinusoidales peuvent être construits pour un ensemble de données à l'aide d'une technologie en estimant des valeurs clés ou en effectuant des régressions sinusoidales.
• 3.7.A.5 Les fonctions sinusoidales qui modélisent un ensemble de données ne sont souvent utiles que dans leur domaine contextuel et peuvent être utilisées pour prédire des valeurs de la variable dépendante à partir de valeurs de la variable indépendante.

Objectif d'apprentissage 3.8.A : Construire des représentations de la fonction tangente à l'aide du cercle trigonométrique.

• 3.8.A.1 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle trigonométrique centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. La fonction tangente, $f(\theta) = \tan\theta$, donne la pente du rayon terminal.
• 3.8.A.2 Puisque la pente du rayon terminal est le rapport du changement des valeurs de $y$ au changement des valeurs de $x$ entre deux points quelconques sur le rayon, la fonction tangente est également le rapport de la fonction sinus à la fonction cosinus. Par conséquent, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, où $\cos\theta \neq 0$.

Objectif d'apprentissage 3.8.B : Décrire les caractéristiques principales de la fonction tangente.

• 3.8.B.1 Puisque les valeurs de pente du rayon terminal se répètent toutes les demi-révolution du cercle, la fonction tangente a une période de $\pi$.
• 3.8.B.2 La fonction tangente présente un comportement asymptotique périodique aux valeurs d'entrée $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, pour des valeurs entières de $k$, parce que $\cos\theta = 0$ à ces valeurs.
• 3.8.B.3 La fonction tangente augmente et son graphique passe de convexe vers concave entre deux asymptotes consécutives.

Objectif d'apprentissage 3.9.A : Construire des représentations analytiques et graphiques de l'inverse des fonctions sinus, cosinus et tangente sur un domaine restreint.

• 3.9.A.1 Pour les fonctions trigonométriques inverses, les valeurs d'entrée et de sortie sont inversées par rapport à leurs fonctions trigonométriques correspondantes, de sorte que la valeur de sortie d'une fonction trigonométrique inverse est souvent interprétée comme une mesure d'angle et l'entrée est une valeur dans l'image de la fonction trigonométrique correspondante.
• 3.9.A.2 Les fonctions trigonométriques inverses sont appelées arc sinus, arc cosinus et arc tangente (également représentées par $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ et $\tan^{-1}x$). Puisque les fonctions trigonométriques correspondantes sont périodiques, elles ne sont inversibles que si elles ont des domaines restreints.
• 3.9.A.3 Afin de définir leurs fonctions inverses respectives, le domaine de la fonction sinus est restreint à $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, celui de la fonction cosinus à $[0, \pi]$, et celui de la fonction tangente à $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Objectif d'apprentissage 3.10.A : Résoudre des équations et inégalités impliquant des fonctions trigonométriques.

• 3.10.A.1 Les fonctions trigonométriques réciproques sont utiles pour résoudre des équations et inégalités impliquant des fonctions trigonométriques, mais les solutions peuvent nécessiter des modifications en raison de restrictions de domaine.
• 3.10.A.2 Parce que les fonctions trigonométriques sont périodiques, il y a souvent une infinité de solutions aux équations trigonométriques.
• 3.10.A.3 Dans les équations et inégalités trigonométriques issues d'un scénario contextuel, il y a souvent une restriction de domaine qui peut être implicite du contexte, ce qui limite le nombre de solutions.

Objectif d'apprentissage 3.11.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions impliquant des quotients des fonctions sinus et cosinus.

• 3.11.A.1 La fonction sécante, $f(\theta) = \sec\theta$, est le reciprocal de la fonction cosinus, où $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 La fonction cosécante, $f(\theta) = \csc\theta$, est le reciprocal de la fonction sinus, où $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Les graphiques des fonctions sécante et cosécante ont des asymptotes verticales là où le cosinus et le sinus s'annulent, respectivement, et ont une image de $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 La fonction cotangente, $f(\theta) = \cot\theta$, est l'inverse de la fonction tangente, où $\tan\theta \neq 0$. De manière équivalente, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, où $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 Le graphe de la fonction cotangente présente des asymptotes verticales pour les valeurs du domaine où $\tan\theta = 0$ et est décroissant entre deux asymptotes consécutives.

Objectif d'apprentissage 3.12.A : Réécrire des expressions trigonométriques sous une forme équivalente en utilisant l'identité pythagoricienne.

• 3.12.A.1 Le théorème de Pythagore peut être appliqué aux triangles rectangles avec des points sur le cercle unité aux coordonnées $(\cos\theta, \sin\theta)$, ce qui donne l'identité pythagoricienne : $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 L'identité pythagoricienne peut être manipulée algébriquement pour obtenir d'autres formes impliquant des fonctions trigonométriques, telles que $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, et peut être utilisée pour établir d'autres relations trigonométriques, comme $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, avec les restrictions de domaine appropriées.

Objectif d'apprentissage 3.12.B : Réécrire des expressions trigonométriques sous une forme équivalente en utilisant les identités d'addition du sinus et du cosinus.

• 3.12.B.1 L'identité d'addition pour le sinus est $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 L'identité d'addition pour le cosinus est $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Les identités d'addition pour le sinus et le cosinus peuvent également être utilisées comme identités de différence et d'angle double.
• 3.12.B.4 Les propriétés des fonctions trigonométriques, les identités trigonométriques connues et d'autres propriétés algébriques peuvent être utilisées pour vérifier d'autres identités trigonométriques.

Objectif d'apprentissage 3.12.C : Résoudre des équations en utilisant des représentations analytiques équivalentes des fonctions trigonométriques.

• 3.12.C.1 Une forme équivalente spécifique impliquant des expressions trigonométriques peut rendre l'information plus accessible.
• 3.12.C.2 Les formes trigonométriques équivalentes peuvent être utiles pour résoudre des équations et inégalités trigonométriques.

Objectif d'apprentissage 3.13.A : Déterminer l'emplacement d'un point dans le plan à l'aide de coordonnées rectangulaires et polaires.

• 3.13.A.1 Le système de coordonnées polaires est basé sur un quadrillage de cercles centrés à l'origine et sur des droites passant par l'origine. Les coordonnées polaires sont définies comme un couple ordonné, $(r, \theta)$, tel que $|r|$ représente le rayon du cercle sur lequel se trouve le point, et $\theta$ représente la mesure d'un angle en position standard dont le rayon terminal inclut le point. Dans le système de coordonnées polaires, le même point peut être représenté de nombreuses façons.
• 3.13.A.2 Les coordonnées d'un point dans le système de coordonnées polaires, $(r, \theta)$, peuvent être converties en coordonnées dans le système de coordonnées rectangulaires, $(x, y)$, en utilisant $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Les coordonnées d'un point dans le système de coordonnées rectangulaires, $(x, y)$, peuvent être converties en coordonnées dans le système de coordonnées polaires, $(r, \theta)$, en utilisant $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ pour $x > 0$ ou $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ pour $x < 0$.
• 3.13.A.4 Un nombre complexe peut être compris comme un point dans le plan complexe et peut être déterminé par ses coordonnées rectangulaires ou polaires correspondantes. Lorsque le nombre complexe a les coordonnées rectangulaires $(a, b)$, il peut s'exprimer sous la forme $a + bi$. Lorsque le nombre complexe a les coordonnées polaires $(r, \theta)$, il peut s'exprimer sous la forme $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Objectif d'apprentissage 3.14.A : Construire des graphes de fonctions polaires.

• 3.14.A.1 Le graphe de la fonction $r = f(\theta)$ en coordonnées polaires consiste en des paires d'entrées-sorties de valeurs où les valeurs d'entrée sont des mesures d'angles et les valeurs de sortie sont des rayons.
• 3.14.A.2 Le domaine de la fonction polaire $r = f(\theta)$, donné graphiquement, peut être restreint à une portion souhaitée de la fonction en sélectionnant des extrémités correspondant à l'angle et au rayon désirés.
• 3.14.A.3 Lors du traçage de fonctions polaires sous la forme $r = f(\theta)$, les changements dans les valeurs d'entrée correspondent à des changements dans la mesure de l'angle par rapport à l'axe $x$ positif, et les changements dans les valeurs de sortie correspondent à des changements dans la distance par rapport à l'origine.

Objectif d'apprentissage 3.15.A : Décrire les caractéristiques du graphe d'une fonction polaire.

• 3.15.A.1 Si une fonction polaire, $r = f(\theta)$, est positive et croissante ou négative et décroissante, alors la distance entre $f(\theta)$ et l'origine augmente.
• 3.15.A.2 Si une fonction polaire, $r = f(\theta)$, est positive et décroissante ou négative et croissante, alors la distance entre $f(\theta)$ et l'origine diminue.
• 3.15.A.3 Pour une fonction polaire, $r = f(\theta)$, si la fonction passe d'une croissance à une décroissance ou d'une décroissance à une croissance sur un intervalle, alors la fonction présente un extremum relatif sur cet intervalle correspondant à un point relativement le plus proche ou le plus éloigné de l'origine.
• 3.15.A.4 Le taux de variation moyen de $r$ par rapport à $\theta$ sur un intervalle de $\theta$ est le rapport du changement dans les valeurs de rayon sur le changement dans $\theta$ sur un intervalle de $\theta$. Graphiquement, le taux de variation moyen indique la vitesse à laquelle le rayon change par radian.
• 3.15.A.5 Le taux de variation moyen de $r$ par rapport à $\theta$ sur un intervalle de $\theta$ peut être utilisé pour estimer les valeurs de la fonction à l'intérieur de l'intervalle.

Objectif d'apprentissage 4.1.A : Construire un graphique ou un tableau de valeurs pour une fonction paramétrique représentée analytiquement.

• 4.1.A.1 Une fonction paramétrique dans $\mathbb{R}^2$, l'ensemble de tous les couples ordonnés de deux nombres réels, consiste en un ensemble de deux équations paramétriques dans lesquelles deux variables dépendantes, $x$ et $y$, dépendent d'une seule variable indépendante, $t$, appelée paramètre.
• 4.1.A.2 Puisque les variables $x$ et $y$ dépendent de la variable indépendante, $t$, les coordonnées $(x_i,\, y_i)$ à l'instant $t_i$ peuvent s'écrire comme des fonctions de $t$ et peuvent être exprimées comme la seule fonction paramétrique $f(t) = (x(t),\, y(t))$, où dans ce cas $x$ et $y$ sont des noms de deux fonctions.
• 4.1.A.3 Un tableau numérique de valeurs peut être généré pour la fonction paramétrique $f(t) = (x(t),\, y(t))$ en évaluant $x_i$ et $y_i$ à plusieurs valeurs de $t_i$ dans le domaine.
• 4.1.A.4 Un graphique d'une fonction paramétrique peut être esquissé en reliant plusieurs points du tableau numérique de valeurs par ordre de valeur croissante de $t$.
• 4.1.A.5 Le domaine de la fonction paramétrique $f$ est souvent restreint, ce qui entraîne des points de départ et de fin sur le graphique de $f$.

Objectif d'apprentissage 4.2.A : Identifier les caractéristiques clés d'une fonction de mouvement plan paramétrique liées à la position.

• 4.2.A.1 Une fonction paramétrique donnée par $f(t) = (x(t),\, y(t))$ peut servir à modéliser le mouvement d'une particule dans le plan. Le graphique de cette fonction indique la position d'une particule au temps $t$.
• 4.2.A.2 Les extrema horizontaux et verticaux du mouvement d'une particule peuvent être déterminés en identifiant les valeurs maximales et minimales des fonctions $x(t)$ et $y(t)$, respectivement.
• 4.2.A.3 Les zéros réels de la fonction $x(t)$ correspondent aux intersections avec l'axe $y$, et les zéros réels de $y(t)$ correspondent aux intersections avec l'axe $x$.

Objectif d'apprentissage 4.3.A : Identifier les caractéristiques clés d'une fonction de mouvement plan paramétrique liées à la direction et au taux de variation.

• 4.3.A.1 Lorsque le paramètre augmente, la direction du mouvement plan d'une particule peut être analysée en termes de $x$ et $y$ indépendamment. Si $x(t)$ augmente ou diminue, la direction du mouvement est vers la droite ou vers la gauche, respectivement. Si $y(t)$ augmente ou diminue, la direction du mouvement est vers le haut ou vers le bas, respectivement.
• 4.3.A.2 À un point donné du plan, la direction du mouvement plan peut être différente pour différentes valeurs de $t$.
• 4.3.A.3 Une même courbe dans le plan peut être paramétrée de différentes manières et parcourue dans différentes directions avec des fonctions paramétriques distinctes.
• 4.3.A.4 Sur un intervalle donné $[t_1,\, t_2]$ dans le domaine, le taux de variation moyen peut être calculé pour $x(t)$ et $y(t)$ indépendamment. Le rapport du taux de variation moyen de $y$ sur le taux de variation moyen de $x$ donne la pente du graphique entre les points de la courbe correspondant à $t_1$ et $t_2$, tant que le taux de variation moyen de $x(t) \neq 0$.

Objectif d'apprentissage 4.4.A : Exprimer un mouvement autour d'un cercle ou le long d'un segment de droite de manière paramétrique.

• 4.4.A.1 Un tour complet antihoraire autour du cercle unité qui commence et se termine à $(1,\, 0)$ et centré à l'origine peut être modélisé par $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ avec pour domaine $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 Les transformations de la fonction paramétrique $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ peuvent modéliser n'importe quelle trajectoire circulaire parcourue dans le plan.
• 4.4.A.3 Un chemin linéaire le long du segment de droite reliant le point $(x_1,\, y_1)$ au point $(x_2,\, y_2)$ peut être paramétré de nombreuses façons, y compris en utilisant une position initiale $(x_1,\, y_1)$ et des taux de variation pour $x$ par rapport à $t$ et $y$ par rapport à $t$.

Objectif d'apprentissage 4.5.A : Tracer un graphique d'une équation impliquant deux variables.

• 4.5.A.1 Une équation impliquant deux variables peut décrire implicitement une ou plusieurs fonctions.
• 4.5.A.2 Une équation impliquant deux variables peut être tracée en trouvant les solutions de l'équation.
• 4.5.A.3 Résoudre l'une des variables dans une équation impliquant deux variables peut définir une fonction dont le graphique fait partie ou l'intégralité du graphique de l'équation.

Objectif d'apprentissage 4.5.B : Déterminer comment les deux quantités liées dans une fonction implicitement définie varient ensemble.

• 4.5.B.1 Pour les paires ordonnées situées sur le graphique d'une fonction implicitement définie qui sont proches les unes des autres, si le rapport du changement des deux variables est positif, alors les deux variables augmentent simultanément ou diminuent toutes deux ; inversement, si le rapport est négatif, alors qu'une variable augmente, l'autre diminue.
• 4.5.B.2 Le taux de variation de $x$ par rapport à $y$ ou de $y$ par rapport à $x$ peut être nul, indiquant des intervalles verticaux ou horizontaux, respectivement.

Objectif d'apprentissage 4.6.A : Représenter analytiquement des coniques présentant une symétrie horizontale ou verticale.

• 4.6.A.1 Une parabole avec sommet $(h,\, k)$ peut, si $a \neq 0$, être représentée analytiquement comme $x - h = a(y - k)^2$ si elle s'ouvre vers la gauche ou la droite, ou comme $y - k = a(x - h)^2$ si elle s'ouvre vers le haut ou le bas.
• 4.6.A.2 Une ellipse centrée à $(h,\, k)$ avec un rayon horizontal $a$ et un rayon vertical $b$ peut être représentée analytiquement comme $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$. Un cercle est un cas particulier d'une ellipse où $a = b$.
• 4.6.A.3 Une hyperbole centrée à $(h,\, k)$ avec des axes de symétrie verticaux et horizontaux peut être représentée algébriquement comme $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ pour une hyperbole s'ouvrant vers la gauche et la droite, ou comme $\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ pour une hyperbole s'ouvrant vers le haut et le bas. Les asymptotes sont $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$.

Objectif d'apprentissage 4.7.A : Représenter une courbe dans le plan de manière paramétrique.

• 4.7.A.1 Une paramétrisation $(x(t),\, y(t))$ pour une fonction implicitement définie satisfera, lorsque $x(t)$ et $y(t)$ sont substitués à $x$ et $y$, respectivement, l'équation correspondante pour toute valeur de $t$ dans le domaine.
• 4.7.A.2 Oui $f$ est une fonction de $x$, alors $y = f(x)$ peut être paramétré comme $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. Si $f$ est inversible, son inverse peut être paramétré comme $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ pour un intervalle approprié de $t$.

Objectif d'apprentissage 4.7.B : Représenter les coniques de manière paramétrique.

• 4.7.B.1 Une parabole peut être paramétrée de la même façon que toute équation pouvant être résolue pour $x$ ou $y$. Les équations pouvant être résolues pour $x$ peuvent être paramétrées comme $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ en résolvant pour $x$ et en remplaçant $y$ par $t$. Les équations pouvant être résolues pour $y$ peuvent être paramétrées comme $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ en résolvant pour $y$ et en remplaçant $x$ par $t$.
• 4.7.B.2 Une ellipse peut être paramétrée en utilisant les fonctions trigonométriques $x(t) = h + a\cos t$ et $y(t) = k + b\sin t$ pour $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 Une hyperbole peut être paramétrée en utilisant des fonctions trigonométriques. Pour une hyperbole s'ouvrant vers la gauche et la droite, les fonctions sont $x(t) = h + a\sec t$ et $y(t) = k + b\tan t$ pour $0 \leq t \leq 2\pi$. Pour une hyperbole s'ouvrant vers le haut et le bas, les fonctions sont $x(t) = h + a\tan t$ et $y(t) = k + b\sec t$ pour $0 \leq t \leq 2\pi$.

Objectif d'apprentissage 4.8.A : Identifier les caractéristiques d'un vecteur.

• 4.8.A.1 Un vecteur est un segment orienté. Lorsqu'un vecteur est placé dans le plan, le point au début du segment est appelé la file d'attente, et le point à la fin du segment est appelé la tête. La longueur du segment est la magnitude (ou norme) du vecteur.
• 4.8.A.2 Un vecteur $\overrightarrow{P_1 P_2}$ à deux composantes peut être tracé dans le plan $xy$ de $P_1 = (x_1, y_1)$ à $P_2 = (x_2, y_2)$. Le vecteur est identifié par $a$ et $b$, où $a = x_2 - x_1$ et $b = y_2 - y_1$. Le vecteur peut s'exprimer comme $\langle a,\, b \rangle$. Un vecteur nul $\langle 0,\, 0 \rangle$ est le cas trivial lorsque $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 La direction du vecteur est parallèle au segment reliant l'origine au point de coordonnées $(a,\, b)$. La magnitude du vecteur est la racine carrée de la somme des carrés des composantes.
• 4.8.A.4 Pour un vecteur représenté géométriquement dans le plan, les composantes du vecteur peuvent être trouvées en utilisant la trigonométrie.

Objectif d'apprentissage 4.8.B : Déterminer des sommes et produits impliquant des vecteurs.

• 4.8.B.1 La multiplication d'une constante et d'un vecteur aboutit à un nouveau vecteur dont les composantes sont obtenues en multipliant la constante par chacune des composantes du vecteur original. Le nouveau vecteur est parallèle au vecteur original.
• 4.8.B.2 La somme de deux vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ est un nouveau vecteur dont les composantes sont obtenues en additionnant les composantes correspondantes des vecteurs originaux. Le nouveau vecteur peut être représenté graphiquement comme un vecteur dont la queue correspond à la queue du premier vecteur et dont la tête correspond à la tête du second vecteur lorsque la queue du second vecteur est placée à la tête du premier vecteur.
• 4.8.B.3 Le produit scalaire de deux vecteurs est la somme des produits de leurs composantes correspondantes. C'est-à-dire, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

Objectif d'apprentissage 4.8.C : Déterminer un vecteur unitaire pour un vecteur donné.

• 4.8.C.1 Un vecteur unitaire est un vecteur de magnitude $1$. Un vecteur unitaire dans la même direction qu'un vecteur non nul donné peut être trouvé en multipliant le vecteur par la réciproque de sa magnitude.
• 4.8.C.2 Le vecteur $\langle a,\, b \rangle$ peut s'exprimer comme $a\vec{i} + b\vec{j}$ dans $\mathbb{R}^2$, où $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont des vecteurs unitaires dans les directions $x$ et $y$, respectivement. C'est-à-dire, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ et $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

Objectif d'apprentissage 4.8.D : Déterminer les mesures d'angles entre des vecteurs et les magnitudes des vecteurs impliqués dans l'addition vectorielle.

• 4.8.D.1 Le produit scalaire est géométriquement équivalent au produit des normes des deux vecteurs et du cosinus de l'angle entre eux. Par conséquent, si le produit scalaire de deux vecteurs non nuls est nul, alors les vecteurs sont perpendiculaires.
• 4.8.D.2 La loi des sinus et la loi des cosinus peuvent être utilisées pour déterminer les longueurs de côtés et les mesures d'angles de triangles formés par l'addition vectorielle.

Objectif d'apprentissage 4.9.A : Représenter un mouvement plan en termes de fonctions à valeurs vectorielles.

• 4.9.A.1 La position d'une particule se déplaçant dans un plan donnée par la fonction paramétrique $f(t) = (x(t),\, y(t))$ peut être exprimée comme une fonction à valeurs vectorielles, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ ou $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. La norme du vecteur position à l'instant $t$ donne la distance de la particule à l'origine.
• 4.9.A.2 La fonction à valeurs vectorielles $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ peut être utilisée pour exprimer la vitesse d'une particule se déplaçant dans un plan à différents instants, $t$. À l'instant $t$, le signe de $x(t)$ indique si la particule se déplace vers la droite ou vers la gauche, et le signe de $y(t)$ indique si elle se déplace vers le haut ou vers le bas. La norme du vecteur vitesse à l'instant $t$ donne la vitesse (vitesse scalaire) de la particule.

Objectif d'apprentissage 4.10.A : Déterminer le produit de deux matrices.

• 4.10.A.1 Une matrice $n \times m$ est un tableau consisting of $n$ lignes et $m$ colonnes.
• 4.10.A.2 Deux matrices peuvent être multipliées si le nombre de colonnes dans la première matrice est égal au nombre de lignes dans la seconde matrice. Le produit des matrices est une nouvelle matrice dans laquelle le composant à la $i$ème ligne et à la $j$ème colonne est le produit scalaire de la $i$ème ligne de la première matrice et de la $j$ème colonne de la seconde matrice.

Objectif d'apprentissage 4.11.A : Déterminer l'inverse d'une matrice $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 La matrice identité, $I$, est une matrice carrée composée de $1$s sur la diagonale allant du coin supérieur gauche au coin inférieur droit et de $0$s partout ailleurs.
• 4.11.A.2 Multiplier une matrice carrée par sa matrice identité correspondante donne la matrice carrée originale.
• 4.11.A.3 Le produit d'une matrice carrée et de son inverse, lorsqu'il existe, est la matrice identité de la même taille.
• 4.11.A.4 L'inverse d'une matrice $2 \times 2$, lorsqu'il existe, peut être calculé avec ou sans technologie.

Objectif d'apprentissage 4.11.B : Appliquer la valeur du déterminant à l'inversibilité et aux vecteurs.

• 4.11.B.1 Le déterminant de la matrice $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ est $ad - bc$. Le déterminant peut être calculé avec ou sans technologie et est noté $\det(A)$.
• 4.11.B.2 Si une matrice $2 \times 2$ est constituée de deux vecteurs colonne ou ligne de $\mathbb{R}^2$, alors la valeur absolue non nulle du déterminant de la matrice est l'aire du parallélogramme engendré par les vecteurs représentés dans les colonnes ou les lignes de la matrice. Si le déterminant est égal à $0$, alors les vecteurs sont parallèles.
• 4.11.B.3 La matrice carrée $A$ a une inverse si et seulement si $\det(A) \neq 0$.

Objectif d'apprentissage 4.12.A : Déterminer les vecteurs de sortie d'une transformation linéaire en utilisant une matrice $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 Une transformation linéaire est une fonction qui transforme un vecteur d'entrée en un vecteur de sortie tel que chaque composante du vecteur de sortie est la somme de multiples constants des composantes du vecteur d'entrée.
• 4.12.A.2 Une transformation linéaire transformera le vecteur nul en le vecteur nul.
• 4.12.A.3 Un seul vecteur dans $\mathbb{R}^2$ peut être exprimé comme une matrice $2 \times 1$. Un ensemble de $n$ vecteurs dans $\mathbb{R}^2$ peut être exprimé comme une matrice $2 \times n$.
• 4.12.A.4 Pour une transformation linéaire, $L$, de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}^2$, il existe une unique matrice $2 \times 2$, $A$, telle que $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ pour les vecteurs dans $\mathbb{R}^2$. Réciproquement, pour une matrice donnée $2 \times 2$, $A$, la fonction $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ est une transformation linéaire de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 La multiplication d'une matrice de transformation $2 \times 2$, $A$, et d'une matrice $2 \times n$ de $n$ vecteurs d'entrée donne une matrice $2 \times n$ des $n$ vecteurs de sortie pour la transformation linéaire $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

Objectif d'apprentissage 4.13.A : Déterminer l'association entre une transformation linéaire et une matrice.

• 4.13.A.1 La transformation linéaire mapping $\langle x,\, y \rangle$ vers $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ est associée à la matrice $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 La transformation des vecteurs unitaires dans une transformation linéaire fournit des informations précieuses pour déterminer la matrice associée.
• 4.13.A.3 La matrice $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ est associée à une transformation linéaire des vecteurs qui tourne chaque vecteur d'un angle $\theta$ dans le sens antihoraire autour de l'origine.
• 4.13.A.4 La valeur absolue du déterminant d'une matrice de transformation $2 \times 2$ donne l'amplitude de la dilatation des régions dans $\mathbb{R}^2$ sous la transformation.

Objectif d'apprentissage 4.13.B : Déterminer la composition de deux transformations linéaires.

• 4.13.B.1 La composition de deux transformations linéaires est une transformation linéaire.
• 4.13.B.2 La matrice associée à la composition de deux transformations linéaires est le produit des matrices associées à chaque transformation linéaire.

Objectif d'apprentissage 4.13.C : Déterminer l'inverse d'une transformation linéaire.

• 4.13.C.1 Deux transformations linéaires sont des inverses si leur composition envoie tout vecteur sur lui-même.
• 4.13.C.2 Si une transformation linéaire, $L$, est donnée par $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, alors sa transformation inverse est donnée par $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, où $A^{-1}$ est l'inverse de la matrice $A$.

Objectif d'apprentissage 4.14.A : Construire un modèle d'un scénario impliquant des transitions entre deux états à l'aide de matrices.

• 4.14.A.1 Un scénario contextuel peut indiquer le taux de transitions entre les états sous forme de pourcentages. Une matrice peut être construite à partir de ces taux pour modéliser l'évolution des états sur des intervalles discrets.

Objectif d'apprentissage 4.14.B : Appliquer des modèles matriciels pour prédire des états futurs et passés après $n$ étapes de transition.

• 4.14.B.1 Le produit d'une matrice modélisant les transitions entre états et d'un vecteur d'état correspondant peut prédire les états futurs.
• 4.14.B.2 La multiplication répétée d'une matrice modélisant les transitions entre états et des vecteurs d'état résultants correspondants permet de prédire l'état stationnaire, soit une répartition entre les états qui ne change pas d'une étape à l'autre.
• 4.14.B.3 Le produit de l'inverse d'une matrice modélisant les transitions entre états et d'un vecteur d'état correspondant peut prédire les états passés.