Fonctions trigonométriques et polaires

Objectif d'apprentissage 3.1.A : Construire des graphiques de relations périodiques basés sur des représentations verbales.

• 3.1.A.1 Une relation périodique peut être identifiée entre deux aspects d'un contexte si, à mesure que les valeurs d'entrée augmentent, les valeurs de sortie démontrent un motif répété sur des intervalles de longueur égue successifs.
• 3.1.A.2 Le graphique d'une relation périodique peut être construit à partir du graphique d'un seul cycle de la relation.

Objectif d'apprentissage 3.1.B : Décrire les caractéristiques clés d'une fonction périodique basée sur une représentation verbale.

• 3.1.B.1 La période de la fonction est la plus petite valeur positive $k$ telle que $f(x + k) = f(x)$ pour toute $x$ dans le domaine. Par conséquent, le comportement d'une fonction périodique est entièrement déterminé par n'importe quel intervalle de largeur $k$.
• 3.1.B.2 La période peut être estimée en examinant les valeurs de sortie successives de longueur égale et en trouvant où le motif commence à se répéter.
• 3.1.B.3 Les fonctions périodiques présentent des caractéristiques d'autres fonctions, telles que des intervalles d'augmentation et de diminution, des concavités différentes et divers taux de changement. Cependant, avec les fonctions périodiques, toutes les caractéristiques trouvées dans une période de la fonction seront présentes dans chaque période de la fonction.

Objectif d'apprentissage 3.2.A : Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente d'un angle à l'aide du cercle unité.

• 3.2.A.1 Dans le plan cartésien, un angle est en position standard lorsque son sommet coïncide avec l'origine et qu'un de ses rayons coïncide avec l'axe $x$ positif. L'autre rayon est appelé le rayon terminal. Les mesures d'angles positives et négatives indiquent des rotations à partir de l'axe $x$ positif dans le sens antihoraire et horaire, respectivement. Les angles en position standard partageant un rayon terminal diffèrent par un nombre entier de révolutions.
• 3.2.A.2 La mesure en radians d'un angle en position standard est le rapport de la longueur de l'arc d'un cercle centré à l'origine subtendu par l'angle au rayon de ce même cercle. Pour un cercle unité, qui a un rayon de $1$, la mesure en radians est la même que la longueur de l'arc subtendu.
• 3.2.A.3 Étant donné un angle en position standard et un cercle centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. Le sinus de l'angle est le rapport du déplacement vertical de $P$ par rapport à l'axe $x$ à la distance entre l'origine et le point $P$. Par conséquent, pour un cercle unité, le sinus de l'angle est la coordonnée $y$ du point $P$.
• 3.2.A.4 Étant donné un angle en position standard et un cercle centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. Le cosinus de l'angle est le rapport du déplacement horizontal de $P$ par rapport à l'axe $y$ à la distance entre l'origine et le point $P$. Par conséquent, pour un cercle unité, le cosinus de l'angle est la coordonnée $x$ du point $P$.
• 3.2.A.5 Étant donné un angle en position standard, la tangente de l'angle est la pente, si elle existe, du rayon terminal. Puisque la pente du rayon terminal est le rapport du déplacement vertical sur le déplacement horizontal sur n'importe quel intervalle, la tangente de l'angle est le rapport de la coordonnée $y$ à la coordonnée $x$ du point où le rayon terminal intersecte le cercle unité ; alternativement, c'est le rapport du sinus de l'angle à son cosinus.

Objectif d'apprentissage 3.3.A : Déterminer les coordonnées de points sur un cercle centré à l'origine.

• 3.3.A.1 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle de rayon $r$ centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. Les coordonnées du point $P$ sont $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 La géométrie des triangles isocèles rectangles et équilatéraux, tout en tenant compte des signes des valeurs selon le quadrant de l'angle, peut être utilisée pour trouver des valeurs exactes pour le cosinus et le sinus des angles qui sont des multiples de $\dfrac{\pi}{4}$ et $\dfrac{\pi}{6}$ radians et dont les rayons terminaux ne reposent pas sur un axe.

Objectif d'apprentissage 3.4.A : Construire des représentations des fonctions sinus et cosinus à l'aide du cercle unité.

• 3.4.A.1 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle unité centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. La fonction sinus, $f(\theta) = \sin\theta$, donne la coordonnée $y$, ou le déplacement vertical par rapport à l'axe $x$, du point $P$. Le domaine de la fonction sinus est l'ensemble des nombres réels.
• 3.4.A.2 À mesure que les valeurs d'entrée, ou mesures d'angles, de la fonction sinus augmentent, les valeurs de sortie oscillent entre $-1$ et $1$, prenant chaque valeur intermédiaire et suivant la distance verticale des points sur le cercle unité par rapport à l'axe $x$.
• 3.4.A.3 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle unité centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. La fonction cosinus, $f(\theta) = \cos\theta$, donne la coordonnée $x$, ou le déplacement horizontal par rapport à l'axe $y$, du point $P$. Le domaine de la fonction cosinus est l'ensemble des nombres réels.
• 3.4.A.4 À mesure que les valeurs d'entrée, ou mesures d'angles, de la fonction cosinus augmentent, les valeurs de sortie oscillent entre $-1$ et $1$, prenant chaque valeur intermédiaire et suivant la distance horizontale des points sur le cercle unité par rapport à l'axe $y$.

Objectif d'apprentissage 3.5.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions sinus et cosinus.

• 3.5.A.1 Une fonction sinusoïdale est toute fonction impliquant des transformations additives et multiplicatives de $f(\theta) = \sin\theta$. Les fonctions sinus et cosinus sont toutes deux des fonctions sinusoïdales, avec $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 La période et la fréquence d'une fonction sinusoïdale sont des inverses. La période de $f(\theta) = \sin\theta$ et $g(\theta) = \cos\theta$ est $2\pi$, et la fréquence est $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 L'amplitude d'une fonction sinusoïdale est la moitié de la différence entre ses valeurs maximales et minimales. L'amplitude de $f(\theta) = \sin\theta$ et $g(\theta) = \cos\theta$ est $1$.
• 3.5.A.4 La ligne médiane du graphe d'une fonction sinusoïdale est déterminée par la moyenne arithmétique des valeurs maximales et minimales de la fonction. La ligne médiane des graphes de $y = \sin\theta$ et $y = \cos\theta$ est $y = 0$.
• 3.5.A.5 À mesure que les valeurs d'entrée augmentent, les graphes des fonctions sinusoïdales oscillent entre concave vers le bas et concave vers le haut.
• 3.5.A.6 Le graphique de $y = \sin\theta$ possède une symétrie rotationnelle par rapport à l'origine et est donc une fonction impaire. Le graphique de $y = \cos\theta$ présente une symétrie axiale par rapport à l'axe des $y$ et est donc une fonction paire.

Objectif d'apprentissage 3.6.A : Identifier l'amplitude, le décalage vertical, la période et le décalage de phase d'une fonction sinusoidale.

• 3.6.A.1 Les fonctions qui peuvent s'écrire sous la forme $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ ou $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, où $a, b, c,$ et $d$ sont des nombres réels et $a \neq 0$, sont des fonctions sinusoidales et constituent des transformations des fonctions sinus et cosinus. Les transformations additives et multiplicatives sont les mêmes pour le sinus et le cosinus car la fonction cosinus est un décalage de phase de la fonction sinus de $-\dfrac{\pi}{2}$ unités.
• 3.6.A.2 Le graphique de la transformation additive $g(\theta) = \sin\theta + d$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une translation verticale du graphique de $f$, y compris sa ligne médiane, de $d$ unités. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.3 Le graphique de la transformation additive $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une translation horizontale, ou décalage de phase, du graphique de $f$ de $-c$ unités. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.4 Le graphique de la transformation multiplicative $g(\theta) = a\sin\theta$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une dilatation verticale du graphique de $f$ et diffère en amplitude par un facteur de $|a|$. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.5 Le graphique de la transformation multiplicative $g(\theta) = \sin(b\theta)$ de la fonction sinus $f(\theta) = \sin\theta$ est une dilatation horizontale du graphique de $f$ et diffère en période par un facteur de $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. La même transformation appliquée à la fonction cosinus donne le même résultat.
• 3.6.A.6 Le graphique de $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ a une amplitude de $|a|$ unité, une période de $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ unités, un décalage vertical de la ligne médiane de $d$ unités par rapport à $y = 0$, et un décalage de phase de $-c$ unités. Les mêmes transformations appliquées à la fonction cosinus produisent les mêmes résultats.

Objectif d'apprentissage 3.7.A : Construire des modèles de fonctions sinusoidales pour des phénomènes périodiques.

• 3.7.A.1 L'intervalle minimal de valeurs d'entrée sur lequel les valeurs de sortie maximales ou minimales commencent à se répéter, c'est-à-dire l'intervalle de valeurs d'entrée entre deux maxima consécutifs ou deux minima consécutifs, peut être utilisé pour déterminer ou estimer la période et la fréquence d'un modèle de fonction sinusoidale.
• 3.7.A.2 Les valeurs de sortie maximales et minimales peuvent être utilisées pour déterminer ou estimer l'amplitude et le décalage vertical d'un modèle de fonction sinusoidale.
• 3.7.A.3 Une paire réelle de valeurs d'entrée-sortie peut être comparée aux paires de valeurs d'entrée-sortie produites par un modèle de fonction sinusoidale pour déterminer ou estimer un décalage de phase pour le modèle.
• 3.7.A.4 Des modèles de fonctions sinusoidales peuvent être construits pour un ensemble de données à l'aide d'une technologie en estimant des valeurs clés ou en effectuant des régressions sinusoidales.
• 3.7.A.5 Les fonctions sinusoidales qui modélisent un ensemble de données ne sont souvent utiles que dans leur domaine contextuel et peuvent être utilisées pour prédire des valeurs de la variable dépendante à partir de valeurs de la variable indépendante.

Objectif d'apprentissage 3.8.A : Construire des représentations de la fonction tangente à l'aide du cercle trigonométrique.

• 3.8.A.1 Étant donné un angle de mesure $\theta$ en position standard et un cercle trigonométrique centré à l'origine, il existe un point, $P$, où le rayon terminal intersecte le cercle. La fonction tangente, $f(\theta) = \tan\theta$, donne la pente du rayon terminal.
• 3.8.A.2 Puisque la pente du rayon terminal est le rapport du changement des valeurs de $y$ au changement des valeurs de $x$ entre deux points quelconques sur le rayon, la fonction tangente est également le rapport de la fonction sinus à la fonction cosinus. Par conséquent, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, où $\cos\theta \neq 0$.

Objectif d'apprentissage 3.8.B : Décrire les caractéristiques principales de la fonction tangente.

• 3.8.B.1 Puisque les valeurs de pente du rayon terminal se répètent toutes les demi-révolution du cercle, la fonction tangente a une période de $\pi$.
• 3.8.B.2 La fonction tangente présente un comportement asymptotique périodique aux valeurs d'entrée $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, pour des valeurs entières de $k$, parce que $\cos\theta = 0$ à ces valeurs.
• 3.8.B.3 La fonction tangente augmente et son graphique passe de convexe vers concave entre deux asymptotes consécutives.

Objectif d'apprentissage 3.9.A : Construire des représentations analytiques et graphiques de l'inverse des fonctions sinus, cosinus et tangente sur un domaine restreint.

• 3.9.A.1 Pour les fonctions trigonométriques inverses, les valeurs d'entrée et de sortie sont inversées par rapport à leurs fonctions trigonométriques correspondantes, de sorte que la valeur de sortie d'une fonction trigonométrique inverse est souvent interprétée comme une mesure d'angle et l'entrée est une valeur dans l'image de la fonction trigonométrique correspondante.
• 3.9.A.2 Les fonctions trigonométriques inverses sont appelées arc sinus, arc cosinus et arc tangente (également représentées par $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ et $\tan^{-1}x$). Puisque les fonctions trigonométriques correspondantes sont périodiques, elles ne sont inversibles que si elles ont des domaines restreints.
• 3.9.A.3 Afin de définir leurs fonctions inverses respectives, le domaine de la fonction sinus est restreint à $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, celui de la fonction cosinus à $[0, \pi]$, et celui de la fonction tangente à $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Objectif d'apprentissage 3.10.A : Résoudre des équations et inégalités impliquant des fonctions trigonométriques.

• 3.10.A.1 Les fonctions trigonométriques réciproques sont utiles pour résoudre des équations et inégalités impliquant des fonctions trigonométriques, mais les solutions peuvent nécessiter des modifications en raison de restrictions de domaine.
• 3.10.A.2 Parce que les fonctions trigonométriques sont périodiques, il y a souvent une infinité de solutions aux équations trigonométriques.
• 3.10.A.3 Dans les équations et inégalités trigonométriques issues d'un scénario contextuel, il y a souvent une restriction de domaine qui peut être implicite du contexte, ce qui limite le nombre de solutions.

Objectif d'apprentissage 3.11.A : Identifier les caractéristiques clés des fonctions impliquant des quotients des fonctions sinus et cosinus.

• 3.11.A.1 La fonction sécante, $f(\theta) = \sec\theta$, est le reciprocal de la fonction cosinus, où $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 La fonction cosécante, $f(\theta) = \csc\theta$, est le reciprocal de la fonction sinus, où $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Les graphiques des fonctions sécante et cosécante ont des asymptotes verticales là où le cosinus et le sinus s'annulent, respectivement, et ont une image de $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 La fonction cotangente, $f(\theta) = \cot\theta$, est l'inverse de la fonction tangente, où $\tan\theta \neq 0$. De manière équivalente, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, où $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 Le graphe de la fonction cotangente présente des asymptotes verticales pour les valeurs du domaine où $\tan\theta = 0$ et est décroissant entre deux asymptotes consécutives.

Objectif d'apprentissage 3.12.A : Réécrire des expressions trigonométriques sous une forme équivalente en utilisant l'identité pythagoricienne.

• 3.12.A.1 Le théorème de Pythagore peut être appliqué aux triangles rectangles avec des points sur le cercle unité aux coordonnées $(\cos\theta, \sin\theta)$, ce qui donne l'identité pythagoricienne : $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 L'identité pythagoricienne peut être manipulée algébriquement pour obtenir d'autres formes impliquant des fonctions trigonométriques, telles que $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, et peut être utilisée pour établir d'autres relations trigonométriques, comme $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, avec les restrictions de domaine appropriées.

Objectif d'apprentissage 3.12.B : Réécrire des expressions trigonométriques sous une forme équivalente en utilisant les identités d'addition du sinus et du cosinus.

• 3.12.B.1 L'identité d'addition pour le sinus est $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 L'identité d'addition pour le cosinus est $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Les identités d'addition pour le sinus et le cosinus peuvent également être utilisées comme identités de différence et d'angle double.
• 3.12.B.4 Les propriétés des fonctions trigonométriques, les identités trigonométriques connues et d'autres propriétés algébriques peuvent être utilisées pour vérifier d'autres identités trigonométriques.

Objectif d'apprentissage 3.12.C : Résoudre des équations en utilisant des représentations analytiques équivalentes des fonctions trigonométriques.

• 3.12.C.1 Une forme équivalente spécifique impliquant des expressions trigonométriques peut rendre l'information plus accessible.
• 3.12.C.2 Les formes trigonométriques équivalentes peuvent être utiles pour résoudre des équations et inégalités trigonométriques.

Objectif d'apprentissage 3.13.A : Déterminer l'emplacement d'un point dans le plan à l'aide de coordonnées rectangulaires et polaires.

• 3.13.A.1 Le système de coordonnées polaires est basé sur un quadrillage de cercles centrés à l'origine et sur des droites passant par l'origine. Les coordonnées polaires sont définies comme un couple ordonné, $(r, \theta)$, tel que $|r|$ représente le rayon du cercle sur lequel se trouve le point, et $\theta$ représente la mesure d'un angle en position standard dont le rayon terminal inclut le point. Dans le système de coordonnées polaires, le même point peut être représenté de nombreuses façons.
• 3.13.A.2 Les coordonnées d'un point dans le système de coordonnées polaires, $(r, \theta)$, peuvent être converties en coordonnées dans le système de coordonnées rectangulaires, $(x, y)$, en utilisant $x = r\cos\theta$ et $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Les coordonnées d'un point dans le système de coordonnées rectangulaires, $(x, y)$, peuvent être converties en coordonnées dans le système de coordonnées polaires, $(r, \theta)$, en utilisant $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ et $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ pour $x > 0$ ou $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ pour $x < 0$.
• 3.13.A.4 Un nombre complexe peut être compris comme un point dans le plan complexe et peut être déterminé par ses coordonnées rectangulaires ou polaires correspondantes. Lorsque le nombre complexe a les coordonnées rectangulaires $(a, b)$, il peut s'exprimer sous la forme $a + bi$. Lorsque le nombre complexe a les coordonnées polaires $(r, \theta)$, il peut s'exprimer sous la forme $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Objectif d'apprentissage 3.14.A : Construire des graphes de fonctions polaires.

• 3.14.A.1 Le graphe de la fonction $r = f(\theta)$ en coordonnées polaires consiste en des paires d'entrées-sorties de valeurs où les valeurs d'entrée sont des mesures d'angles et les valeurs de sortie sont des rayons.
• 3.14.A.2 Le domaine de la fonction polaire $r = f(\theta)$, donné graphiquement, peut être restreint à une portion souhaitée de la fonction en sélectionnant des extrémités correspondant à l'angle et au rayon désirés.
• 3.14.A.3 Lors du traçage de fonctions polaires sous la forme $r = f(\theta)$, les changements dans les valeurs d'entrée correspondent à des changements dans la mesure de l'angle par rapport à l'axe $x$ positif, et les changements dans les valeurs de sortie correspondent à des changements dans la distance par rapport à l'origine.

Objectif d'apprentissage 3.15.A : Décrire les caractéristiques du graphe d'une fonction polaire.

• 3.15.A.1 Si une fonction polaire, $r = f(\theta)$, est positive et croissante ou négative et décroissante, alors la distance entre $f(\theta)$ et l'origine augmente.
• 3.15.A.2 Si une fonction polaire, $r = f(\theta)$, est positive et décroissante ou négative et croissante, alors la distance entre $f(\theta)$ et l'origine diminue.
• 3.15.A.3 Pour une fonction polaire, $r = f(\theta)$, si la fonction passe d'une croissance à une décroissance ou d'une décroissance à une croissance sur un intervalle, alors la fonction présente un extremum relatif sur cet intervalle correspondant à un point relativement le plus proche ou le plus éloigné de l'origine.
• 3.15.A.4 Le taux de variation moyen de $r$ par rapport à $\theta$ sur un intervalle de $\theta$ est le rapport du changement dans les valeurs de rayon sur le changement dans $\theta$ sur un intervalle de $\theta$. Graphiquement, le taux de variation moyen indique la vitesse à laquelle le rayon change par radian.
• 3.15.A.5 Le taux de variation moyen de $r$ par rapport à $\theta$ sur un intervalle de $\theta$ peut être utilisé pour estimer les valeurs de la fonction à l'intérieur de l'intervalle.