Transformations of Functions · Transformations de fonctions
| English | Français |
|---|---|
| translation/trænˈsleɪʃn/ | traduction |
| dilation/daɪˈleɪʃn/ | dilatation |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | réflexion |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
| range/reɪndʒ/ | range |
Move it, stretch it, flip it
- Learn the shape of one "parent" function, and you get a whole family for free.
- Slide it, stretch it, or flip it, and the equation changes in a predictable way.
- Every transformed graph is just the parent wearing a small edit.
- Master four moves and you can graph thousands of functions by eye.
Translater, étirer, inverser
- Apprenez la forme d'une seule fonction « parente », et vous obtenez toute une famille gratuitement.
- Glissez-la, étirez-la ou inversez-la, et l'équation change de manière prévisible.
- Chaque graphique transformé n'est qu'une version modifiée de la fonction parente.
- Maîtrisez quatre mouvements et vous pourrez tracer des milliers de fonctions à vue d'œil.
Translations: sliding the graph
- A translation 平移 slides the graph without changing its shape.
- Adding outside, $f(x) + k$, shifts it vertically by $k$ (up if positive).
- Replacing $x$ with $(x - h)$ inside shifts it horizontally by $h$.
- Outside changes act on the output (up/down); inside changes act on the input (left/right).
Traductions : glisser le graphique
- Une traduction 平移 déplace le graphique sans en modifier la forme.
- Ajouter un terme extérieur, $f(x) + k$, le déplace verticalement de $k$ (vers le haut si positif).
- Remplacer $x$ par $(x - h)$ à l'intérieur le déplace horizontalement de $h$.
- Les modifications extérieures agissent sur la sortie (haut/bas) ; les modifications intérieures agissent sur l'entrée (gauche/droite).
Adding a constant outside the function, $f(x) + 3$, shifts the graph… · Ajouter une constante en dehors de la fonction, $f(x) + 3$, déplace le graphique…
Adding outside changes the output directly, so every point rises by 3 — a vertical shift up. · Ajouter en dehors modifie directement la sortie, donc chaque point monte de 3 — une translation verticale vers le haut.
Dilations and reflections
- A dilation 伸缩 stretches or squashes the graph: $a\,f(x)$ with $a > 1$ stretches it taller.
- A reflection 反射 flips it: $-f(x)$ mirrors across the x-axis; $f(-x)$ mirrors across the y-axis.
- A fraction like $0.5\,f(x)$ squashes the graph toward the x-axis.
- These reshape the graph; translations only move it.
Dilatations et réflexions
- Une dilatation 伸缩 étire ou écrase le graphique : $a\,f(x)$ multiplié par $a > 1$ le rend plus haut.
- Une réflexion 反射 l'inverse : $-f(x)$ se reflète par rapport à l'axe x ; $f(-x)$ se reflète par rapport à l'axe y.
- Une fraction comme $0.5\,f(x)$ écrase le graphique vers l'axe x.
- Ces transformations redessinent le graphique ; les traductions le déplacent simplement.
Stretch, flip, and shift a parabola · Étirements, retournements et translations d'une parabole
y = a·f(b(x − h)) + k
Start from y = x². Make a negative to flip it, make a large to stretch it, and change c to slide it up or down. · Commencez avec y = x². Mettez un signe négatif pour le retourner, augmentez une valeur pour l'étirer, et changez c pour la faire glisser vers le haut ou le bas.
Multiplying the whole function by $-1$, giving $-f(x)$, produces a ____ across the x-axis. · Multiplier toute la fonction par $-1$, donnant $-f(x)$, produit une ____ par rapport à l'axe x.
A negative on the outside flips every output's sign, mirroring the graph across the x-axis. · Un signe négatif en dehors inverse le signe de chaque sortie, miroir du graphique par rapport à l'axe x.
The master rule
- Every transformation fits one template: $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = vertical stretch/flip, $b$ = horizontal stretch/flip, $h$ = horizontal shift, $k$ = vertical shift.
- Read the constants straight out of the rule to know exactly what happened.
- Outside the $f$ ($a$ and $k$) is vertical; inside ($b$ and $h$) is horizontal.
La règle maîtresse
- Toute transformation correspond à un modèle unique : $g(x) = a\,f\big(b(x - h)\big) + k$.
- $a$ = dilatation/réflexion verticale, $b$ = dilatation/réflexion horizontale, $h$ = translation horizontale, $k$ = translation verticale.
- Lisez directement les constantes dans la règle pour savoir exactement ce qui s'est passé.
- Tout ce qui est à l'extérieur de $f$ ($a$ et $k$) est vertical ; tout ce qui est à l'intérieur ($b$ et $h$) est horizontal.
Replacing $x$ with $(x - 2)$ inside the function shifts the graph… · Remplacer $x$ par $(x - 2)$ à l'intérieur de la fonction déplace le graphique…
Horizontal shifts work backwards: $(x-2)$ moves the graph right · juste by 2, not left. Inside changes feel reversed. · Les translations horizontales fonctionnent à l'envers : $(x-2)$ déplace le graphique vers la droite de 2, pas vers la gauche. Les changements intérieurs semblent inversés.
Select all · tout correct statements about transformations. · Sélectionnez toutes les affirmations correctes concernant les transformations.
A constant inside shifts horizontally, not vertically. The other three are correct. · Une constante à l'intérieur déplace horizontalement, pas verticalement. Les trois autres sont corrects.
Match each change to its effect on $y = f(x)$. · Associez chaque changement à son effet sur $y = f(x)$.
Outside = vertical (shift, reflect, stretch); inside = horizontal (and reversed). · Extérieur = vertical (translation, réflexion, étirement) ; intérieur = horizontal (et inversé).
Effect on domain and range
- Vertical moves (stretch, shift, reflect over x-axis) reshape the range 值域.
- Horizontal moves (shift, stretch, reflect over y-axis) reshape the domain 定义域.
- A vertical shift up by $3$ adds $3$ to every output — the range rises by $3$.
- Key features (vertex, intercepts, asymptotes) move with the graph.
Effet sur le domaine et l'image
- Les déplacements verticaux (dilatation, translation, réflexion axiale x) modifient l'image 值域.
- Les déplacements horizontaux (translation, dilatation, réflexion axiale y) modifient le domaine 定义域.
- Une translation verticale de $3$ ajoute $3$ à chaque sortie — l'image monte de $3$.
- Les caractéristiques clés (sommet, intersections, asymptotes) suivent le graphique.
A vertical stretch or a vertical shift can change the range of a function. · Un étirement vertical ou une translation verticale peut changer la image d'une fonction.
Vertical transformations act on the outputs, so they reshape the range. Horizontal ones act on inputs and affect the domain instead. · Les transformations verticales agissent sur les sorties, donc elles redessinent l'image. Les horizontales agissent sur les entrées et affectent plutôt le domaine.
Horizontal transformations feel backwards. Inside the function, $(x - 2)$ shifts the graph right (not left), and $f(2x)$ compresses it (not stretches). Inside changes always do the opposite of what the sign suggests.
Les transformations horizontales semblent inversées. À l'intérieur de la fonction, $(x - 2)$ déplace le graphique vers la droite (pas vers la gauche), et $f(2x)$ le comprime (pas l'étire). Les modifications intérieures font toujours l'opposé de ce que suggère le signe.
Describe $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ built from the parent $f(x) = x^2$.
- Inside $(x-1)$ → shift right by 1.
- The $-2$ outside → stretch by 2 and reflect across the x-axis (opens downward).
- The $+4$ outside → shift up by 4, putting the vertex at $(1, 4)$.
Décrivez $g(x) = -2(x-1)^2 + 4$ construit à partir de la fonction parente $f(x) = x^2$.
- Intérieur $(x-1)$ → translation vers la droite de 1.
- Extérieur $-2$ → dilatation par 2 et réflexion par rapport à l'axe x (ouvre vers le bas).
- Extérieur $+4$ → translation vers le haut de 4, plaçant le sommet à $(1, 4)$.
Every graph is a parent function transformed by $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$: a translation (shift), a dilation (stretch), or a reflection (flip). Outside changes are vertical and reshape the range; inside changes are horizontal, reshape the domain, and run backwards.
Chaque graphique est une fonction parente transformée par $g(x) = a\,f(b(x-h)) + k$ : une traduction (déplacement), une dilatation (étirement) ou une réflexion (inversion). Les modifications extérieures sont verticales et modifient l'image ; les modifications intérieures sont horizontales, modifient le domaine, et agissent à l'envers.