Equivalent Representations of Expressions · Représentations équivalentes d'expressions
| English | Français |
|---|---|
| equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/ | forme équivalente |
| factoring/ˈfæktərɪŋ/ | la factorisation |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | zéros |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | division longue de polynômes |
| binomial theorem/baɪˈnəʊmɪəl ˈθɪərəm/ | théorème du binôme |
Same function, many disguises
- The rule $y = (x+1)(x-3)$ and the rule $y = x^2 - 2x - 3$ look different.
- Yet they draw the exact same parabola — they are the same function.
- One expression can be written in several equal-looking-but-equivalent ways.
- The skill is choosing the disguise that shows the feature you want.
Même fonction, multiples apparences
- Les règles $y = (x+1)(x-3)$ et $y = x^2 - 2x - 3$ semblent différentes.
- Pourtant, elles tracent la même parabole — c'est la même fonction.
- Une expression peut s'écrire de plusieurs façons également valables mais d'allure différente.
- L'habileté consiste à choisir l'apparence qui met en évidence la caractéristique recherchée.
Factored and expanded forms
- An equivalent form 等价形式 is a rewrite that gives the same output for every input.
- Factoring 因式分解 turns $x^2 - 2x - 3$ into $(x+1)(x-3)$; expanding does the reverse.
- The factored form shows the zeros 零点 at once: set each factor to zero → $x = -1, 3$.
- The expanded form shows the leading term, and so the end behavior.
Formes factorisées et développées
- Une forme équivalente 等价形式 est une réécriture produisant la même sortie pour chaque entrée.
- La factorisation 因式分解 transforme $x^2 - 2x - 3$ en $(x+1)(x-3)$ ; le développement fait l'inverse.
- La forme factorisée montre immédiatement les zéros 零点 : on pose chaque facteur égal à zéro → $x = -1, 3$.
- La forme développée montre le terme dominant, et donc le comportement aux extrémités.
One parabola, written two ways · Une parabole, écrite de deux façons
y = (x+1)(x−3) = x² − 2x − 3
This curve is y = (x+1)(x−3) and also y = x² − 2x − 3. The factored form shows the zeros −1 and 3; the expanded form shows the leading term. · Cette courbe est y = (x+1)(x−3) et aussi y = x² − 2x − 3. La forme factorisée montre les racines −1 et 3 ; la forme développée montre le terme dominant.
Pick the form that reveals the feature
- Want the zeros or x-intercepts? Use the factored form.
- Want the y-intercept? Any form works — just evaluate at $x = 0$.
- Want the end behavior? Expand and read the leading term.
- Choosing wisely saves work; the answer is the same either way.
Choisir la forme qui met en valeur la caractéristique
- Cherchez les zéros ou les intersections avec l'axe x ? Utilisez la forme factorisée.
- Cherchez l'intersection avec l'axe y ? N'importe quelle forme fonctionne — il suffit d'évaluer en $x = 0$.
- Cherchez le comportement aux extrémités ? Développez et lisez le terme dominant.
- Bien choisir économise du temps ; le résultat est identique peu importe la méthode.
Which form of a polynomial most quickly reveals its zeros? · Quelle forme d'un polynôme révèle le plus rapidement ses racines ?
In factored form $(x-a)(x-b)$, the zeros $a$ and · et $b$ are read off instantly by setting each factor to zero. · En forme factorisée $(x-a)(x-b)$, les racines $a$ et $b$ se lisent instantanément en égalisant chaque facteur à zéro.
Which form most quickly reveals the end behavior? · Quelle forme révèle le plus rapidement le comportement aux bornes ?
The expanded form shows the leading term directly, and the leading term controls end behavior. · La forme développée montre directement le terme dominant, et le terme dominant contrôle le comportement aux bornes.
Long division for rational expressions
- Polynomial long division 多项式长除法 rewrites $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ as a quotient plus a remainder over the bottom.
- That form exposes the horizontal or slant asymptote directly — it is the quotient.
- It is the rational-function version of turning $\frac{7}{2}$ into $3 + \frac{1}{2}$.
- Divide when you need the asymptotic behavior of a fraction.
Division longue pour les expressions rationnelles
- La division euclidienne des polynômes 多项式长除法 réécrit $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ sous la forme quotient plus reste sur dénominateur.
- Cette forme met directement en évidence l'asymptote horizontale ou oblique — c'est le quotient.
- C'est l'équivalent de transformer $\frac{7}{2}$ en $3 + \frac{1}{2}$ pour les fonctions rationnelles.
- Divisez lorsque vous avez besoin du comportement asymptotique d'une fraction.
Polynomial long division rewrites a rational expression as a quotient plus a ____ over the denominator. · La division euclidienne d'un polynôme réécrit une expression rationnelle sous la forme d'un quotient plus un ____ sur le dénominateur.
$\frac{\text{top}}{\text{bottom}} = \text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{bottom}}$ — the form that reveals asymptotic behavior. · $\frac{\text{top}}{\text{bottom}} = \text{quotient} + \frac{\text{remainder}}{\text{bottom}}$ -- la forme qui révèle le comportement asymptotique.
Binomial theorem for powers
- Expanding $(a+b)^n$ by hand gets slow as $n$ grows.
- The binomial theorem 二项式定理 gives every term of the expansion using a fixed pattern of coefficients.
- For example $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
- It is the quick route from a compact power to its expanded form.
Théorème du binôme pour les puissances
- Développer $(a+b)^n$ à la main devient lent lorsque $n$ grandit.
- Le théorème du binôme 二项式定理 donne tous les termes du développement via un motif fixe de coefficients.
- Par exemple $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
- C'est le chemin rapide pour passer d'une puissance compacte à sa forme développée.
The · Le binomial theorem helps you expand expressions of the form… · Le théorème du binôme vous aide à développer des expressions de la forme…
The binomial theorem gives the expanded terms of $(a+b)^n$ without multiplying it out by hand. · Le théorème du binôme donne les termes développés de $(a+b)^n$ sans avoir à le multiplier à la main.
Select all · tout true statements about choosing a form. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant le choix d'une forme.
Equivalent forms never change the output — they only make different features easy to see. · Les formes équivalentes ne changent jamais la sortie — elles rendent simplement différentes caractéristiques faciles à voir.
Two forms are equivalent only on their common domain. Cancelling $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ to $x+2$ changes the domain — the forms match everywhere except the hole. Equivalent means "same output where both are defined", not "identical everywhere".
Deux formes sont équivalentes uniquement sur leur domaine commun. Simplifier $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ en $x+2$ change le domaine — les formes coïncident partout sauf au trou. Équivalent signifie « même sortie là où les deux sont définies », pas « identiques partout ».
Two equivalent forms give the same output for every input in their common domain. · Deux formes équivalentes donnent la même sortie pour toute entrée dans leur domaine commun.
That is what "equivalent" means — identical values everywhere both are defined. Watch for domain gaps a cancellation may hide. · C'est ce que signifie « équivalent » — des valeurs identiques partout où elles sont définies. Surveillez les lacunes de domaine qu'une simplification peut masquer.
Rewrite $x^2 - 5x + 6$ to find its zeros.
- Factor: $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
- Set each factor to zero: $x = 2$ and $x = 3$.
- The expanded form hid these; the factored form hands them over instantly.
Réécrivez $x^2 - 5x + 6$ pour trouver ses zéros.
- Factorisez : $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$.
- Posez chaque facteur égal à zéro : $x = 2$ et $x = 3$.
- La forme développée cachait ces valeurs ; la forme factorisée les livre instantanément.
An equivalent form rewrites an expression without changing its output. Factoring exposes the zeros; expanding exposes the leading term; polynomial long division exposes an asymptote; the binomial theorem expands $(a+b)^n$. Pick the form that reveals what you need.
Une forme équivalente réécrit une expression sans changer sa sortie. La factorisation expose les zéros ; le développement expose le terme dominant ; la division euclidienne des polynômes expose une asymptote ; le théorème du binôme développe $(a+b)^n$. Choisissez la forme qui révèle ce dont vous avez besoin.