Rates of Change · Taux de variation
| English | Français |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux de variation |
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | taux moyen de variation |
| interval/ˈɪntəvl/ | intervalle |
| slope/sləʊp/ | pente |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | corde |
| constant/ˈkɒnstənt/ | constante |
How fast, exactly?
- A car's speedometer answers a question the odometer cannot: not how far, but how fast right now.
- "How fast is the output changing?" is the central question of this whole course.
- The answer is a number called a rate of change 变化率.
- This lesson measures it two ways: over a stretch, and at a single instant.
Vite, exactement ?
- Un compteur de vitesse répond à une question qu'un compte-kilomètres ne peut pas : non combien de distance, mais à quelle vitesse maintenant.
- « À quelle vitesse la sortie change-t-elle ? » est la question centrale de tout ce cours.
- La réponse est un nombre appelé taux de variation 变化率.
- Cette leçon le mesure de deux façons : sur un segment, et à un instant précis.
Average rate of change
- Over an interval 区间 from $x = a$ to $x = b$, compare how much the output changed to how much the input changed.
- The average rate of change 平均变化率 is $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — change in output over change in input.
- It is a ratio, so it always carries units: metres per second, dollars per year, °C per minute.
- Example in words: if temperature rose 12°C over 4 hours, the average rate was 3°C per hour.
Taux de variation moyen
- Sur un intervalle 区间 de $x = a$ à $x = b$, comparez combien la sortie a changé par rapport à combien l'entrée a changé.
- Le taux de variation moyen 平均变化率 est $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ — variation de la sortie divisée par variation de l'entrée.
- C'est un rapport, donc il porte toujours des unités : mètres par seconde, dollars par an, °C par minute.
- Exemple en mots : si la température a augmenté de 12°C en 4 heures, le taux moyen était de 3°C par heure.
The · Le average rate of change of $f$ over the interval $[a, b]$ equals… · Le taux de variation moyen de $f$ sur l'intervalle $[a, b]$ est égal à…
It is the change in output divided by the change in input — a ratio, so it carries units of output per unit of input. · C'est le changement de sortie divisé par le changement d'entrée — un ratio, donc il porte des unités de sortie par unité d'entrée.
It is the slope of a secant line
- Draw the straight line joining the two endpoints $(a, f(a))$ and $(b, f(b))$: that is the secant line 割线.
- Its slope 斜率 — rise over run — is exactly the average rate of change.
- Steeper secant → faster average change; a downhill secant → a negative rate.
C'est la pente d'une sécante
- Tracez la ligne droite reliant les deux extrémités $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ : c'est la sécante 割线.
- Sa pente 斜率 — lever sur course — est exactement le taux de variation moyen.
- Sécante plus raide → variation moyenne plus rapide ; sécante descendante → taux négatif.
A runner's distance is $f(t)$ metres. If $f(2) = 10$ and · et $f(5) = 40$, what is the average speed over $[2, 5]$? · La distance parcourue par un coureur est de $f(t)$ mètres. Si $f(2) = 10$ et $f(5) = 40$, quelle est la vitesse moyenne sur $[2, 5]$ ?
Average speed $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s — the secant slope over that interval. · Vitesse moyenne $= \dfrac{40 - 10}{5 - 2} = \dfrac{30}{3} = 10$ m/s -- la pente de la sécante sur cet intervalle.
On a graph, the average rate of change over $[a, b]$ is the slope of the… · Sur un graphique, le taux de variation moyen sur $[a, b]$ est la pente de la…
The · Le secant line joins $(a, f(a))$ and · et $(b, f(b))$; its slope is exactly the average rate of change. · La sécante relie $(a, f(a))$ et $(b, f(b))$ ; sa pente est exactement le taux de variation moyen.
The rate at a single point
- A secant needs two points. To get the rate at just one point, shrink the interval.
- Take average rates over smaller and smaller intervals around the point.
- As the interval closes toward zero, the secant tips over into a tangent — its slope is the rate at that exact point.
- This "rate at an instant" is the idea that grows into calculus next year.
Le taux à un point unique
- Une sécante nécessite deux points. Pour obtenir le taux à seulement un point, réduisez l'intervalle.
- Calculez les taux moyens sur des intervalles de plus en plus petits autour du point.
- Alors que l'intervalle se ferme vers zéro, la sécante bascule vers une tangente — sa pente est le taux à ce point exact.
- Ce « taux à un instant » est l'idée qui donnera naissance au calcul différentiel l'année prochaine.
Shrink the interval until the secant becomes a tangent · Réduisez l'intervalle jusqu'à ce que la sécante devienne une tangente
f(x) = 0.5x²
Drag the point to read the slope at a single spot — this is the limit of the average rate of change as the interval shrinks to zero. · Glissez le point pour lire la pente en un seul endroit — c'est la limite du taux de variation moyen lorsque l'intervalle se réduit vers zéro.
To estimate the rate of change at a single point, average rates are taken over very ____ intervals around it. · Pour estimer le taux de variation en un point unique, on prend des taux moyens sur des intervalles très ____ autour de celui-ci.
As the interval shrinks toward zero, the secant slope approaches the slope at that exact point. · Quand l'intervalle se réduit vers zéro, la pente de la sécante approche la pente à ce point exact.
Sign, size, and units
- A positive rate means the output is rising; a negative rate means it is falling; zero means no change.
- A bigger number (ignoring sign) means faster change.
- For a straight line the rate is the same everywhere — it is constant 常数.
- Always state the units: a rate of change with no units is only half an answer.
Signe, magnitude et unités
- Un taux positif signifie que la sortie monte ; un taux négatif signifie qu'elle descend ; zéro signifie aucune variation.
- Un nombre plus grand (en ignorant le signe) signifie une variation plus rapide.
- Pour une ligne droite, le taux est le même partout — il est constant 常数.
- Indiquez toujours les unités : un taux de variation sans unité n'est qu'une moitié de réponse.
A negative · négative average rate of change means the output decreased over the interval. · Un négatif taux de variation moyen signifie que la sortie a diminué sur l'intervalle.
A negative ratio means the output ended lower than it started — the function fell, on average, across the interval. · Un ratio négatif signifie que la sortie est arrivée plus bas qu'elle n'a commencé — la fonction a baissé, en moyenne, sur l'intervalle.
Select all · tout true statements about average rate of change. · Sélectionnez tous les énoncés vrais sur le taux de variation moyen.
It can be positive, negative, or zero. Everything else is true: it is a slope, it carries units, and it approximates a point rate over small intervals. · Il peut être positif, négatif ou nul. Tout le reste est vrai : c'est une pente, il porte des unités, et il approxime un taux ponctuel sur de petits intervalles.
Average rate of change is about the two endpoints only — it ignores everything in between. A hiker who climbs then descends back to the same height has an average rate of zero, even though they were moving the whole time.
Le taux de variation moyen ne concerne que les deux extrémités — il ignore tout ce qui est entre les deux. Un randonneur qui monte puis redescend à la même altitude a un taux moyen de zéro, bien qu'il ait marché tout le temps.
A car travels 150 km between 1:00 and 3:00.
- Average speed $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ km/h.
- That is the secant slope of the distance–time graph over those two hours.
- The car's actual speed changed constantly — 75 km/h is just the average.
Une voiture parcourt 150 km entre 1 h 00 et 3 h 00.
- Vitesse moyenne $= \dfrac{150 \text{ km}}{2 \text{ h}} = 75$ km/h.
- C'est la pente de la sécante du graphique distance-temps sur ces deux heures.
- La vitesse réelle de la voiture a constamment varié — 75 km/h n'est que la moyenne.
The average rate of change over $[a, b]$ is $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, the slope of the secant line through the endpoints. Shrink the interval toward zero and it becomes the rate at a single point. Always report the units.
Le taux de variation moyen sur $[a, b]$ est $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$, la pente de la sécante passant par les extrémités. Réduisez l'intervalle vers zéro et cela devient le taux à un point unique. Indiquez toujours les unités.