Rational Functions and End Behavior · Fonctions rationnelles et comportement aux extrémités
| English | Français |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fonction rationnelle |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numérateur |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | dénominateur |
| horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote horizontale |
| slant asymptote/slænt ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote oblique |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | division longue de polynômes |
A tug-of-war between top and bottom
- A fraction like $\frac{2x^2}{x^2+1}$ has a polynomial pulling from the top and one from the bottom.
- Far from the origin, whichever grows faster decides where the value settles.
- The result is often a flat line the graph hugs but never quite reaches.
- Reading that line is how you describe a rational function's ends.
Une lutte entre le haut et le bas
- Une fraction comme $\frac{2x^2}{x^2+1}$ a un polynôme qui tire d'en haut et un d'en bas.
- Loin de l'origine, celui qui grandit le plus vite décide où la valeur se stabilise.
- Le résultat est souvent une ligne plate que le graphique longe mais n'atteint jamais tout à fait.
- Lire cette ligne est comment vous décrivez les extrémités d'une fonction rationnelle.
What a rational function is
- A rational function 有理函数 is one polynomial divided by another: $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- The numerator 分子 is the top; the denominator 分母 is the bottom.
- Its end behavior is a contest between the two degrees.
- Compare the highest powers of top and bottom — that alone sets the ends.
Ce qu'est une fonction rationnelle
- Une fonction rationnelle 有理函数 est un polynôme divisé par un autre : $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Le numérateur 分子 est le haut ; le dénominateur 分母 est le bas.
- Son comportement en extrémité est une course entre les deux degrés.
- Comparez les puissances les plus élevées du numérateur et du dénominateur — c'est cela seul qui fixe les extrémités.
Compare the degrees
- Bottom bigger: the fraction shrinks toward $0$, so $y = 0$ is a horizontal asymptote 水平渐近线.
- Equal degrees: the ends approach the ratio of the leading coefficients.
- Top bigger by one: the ends follow a slant asymptote 斜渐近线 (a tilted line).
- Top bigger by more: no asymptote — it grows like a polynomial.
Comparer les degrés
- Dénominateur plus grand : la fraction tend vers $0$, donc $y = 0$ est une asymptote horizontale 水平渐近线.
- Degrés égaux : les extrémités s'approchent du rapport des coefficients dominants.
- Numérateur plus grand d'un : les extrémités suivent une asymptote oblique 斜渐近线 (une ligne inclinée).
- Numérateur plus grand de plus : aucune asymptote — cela croît comme un polynôme.
Slide the horizontal asymptote up and down · Faites glisser l'asymptote horizontale vers le haut et vers le bas
y = a/(x − b) + c
Change c and the whole curve levels off at a new height y = c far out — that horizontal line is the end behavior. · Changez c et toute la courbe se stabilise à une nouvelle hauteur y = c très loin — cette ligne horizontale est le comportement aux extrémités.
If the denominator has a higher degree than the numerator, the end behavior approaches… · Si le dénominateur a un degré supérieur à celui du numérateur, le comportement aux extrémités tend vers…
A bigger bottom overpowers the top, so the fraction shrinks toward $0$: the x-axis is a horizontal asymptote. · Un dénominateur plus grand domine le numérateur, donc la fraction diminue vers $0$ : l'axe x est une asymptote horizontale.
If numerator and denominator have equal · égales degrees, the horizontal asymptote is… · Si le numérateur et le dénominateur ont des degrés égaux, l'asymptote horizontale est…
For · Pour $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$ the ends approach $y = 3/1 = 3$ — the ratio of the leading coefficients. · Pour $\frac{3x^2+\dots}{x^2+\dots}$, les extrémités tendent vers $y = 3/1 = 3$ — le rapport des coefficients dominants.
The horizontal or slant line
- An asymptote 渐近线 is a line the graph approaches but never crosses far out.
- Same degree → horizontal asymptote at a non-zero height; bottom wins → horizontal asymptote at $y = 0$.
- Degree of top one more than bottom → a slant asymptote instead of a horizontal one.
- Either way, the ends of the graph settle onto that line.
La ligne horizontale ou oblique
- Une asymptote 渐近线 est une ligne que la courbe approche mais ne traverse jamais loin.
- Mêmes degrés → asymptote horizontale à une hauteur non nulle ; dénominateur gagnant → asymptote horizontale à $y = 0$.
- Degré du numérateur supérieur d'un au dénominateur → une asymptote oblique au lieu d'une horizontale.
- De toute façon, les extrémités de la courbe se fixent sur cette ligne.
When the numerator degree is exactly one more than the denominator, the graph has a ____ asymptote. · Lorsque le degré du numérateur est exactement un de plus que celui du dénominateur, le graphique a une asymptote ____.
The end behavior follows a tilted line — a slant asymptote — which polynomial long division reveals. · Le comportement aux extrémités suit une ligne inclinée — une asymptote oblique — révélée par la division polynomiale longue.
Which end-behavior outcomes are possible for a rational function? · Quels résultats de comportement aux extrémités sont possibles pour une fonction rationnelle ?
A rational function can have a horizontal asymptote, a slant asymptote, or neither — but never two at the same end. · Une fonction rationnelle peut avoir une asymptote horizontale, une asymptote oblique, ou aucune — mais jamais deux au même endroit.
Long division makes it obvious
- Polynomial long division 多项式长除法 rewrites $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ as quotient $+$ remainder/bottom.
- Far out, the remainder term vanishes, leaving just the quotient.
- If the quotient is a number, that is the horizontal asymptote; if it is a line, that is the slant asymptote.
- Limits say the same thing: $\lim_{x\to\infty} f(x)$ equals that quotient.
La division longue rend ça évident
- La division euclidienne 多项式长除法 réécrit $\frac{\text{top}}{\text{bottom}}$ en quotient $+$ reste/dénominateur.
- Loin, le terme reste disparaît, ne laissant que le quotient.
- Si le quotient est un nombre, c'est l'asymptote horizontale ; si c'est une ligne, c'est l'asymptote oblique.
- Les limites disent la même chose : $\lim_{x\to\infty} f(x)$ égale ce quotient.
Polynomial long division can rewrite a rational function to reveal its asymptotic behavior. · La division polynomiale longue peut réécrire une fonction rationnelle pour révéler son comportement asymptotique.
Dividing gives "quotient + remainder/denominator"; the quotient is the line or curve the ends follow. · La division donne « quotient + reste/dénominateur » ; le quotient est la ligne ou la courbe suivie par les extrémités.
Only the leading terms of the top and bottom control end behavior — the smaller terms fade away far from the origin. So compare degrees first; do not be distracted by the constants or middle terms.
Seuls les termes dominants du haut et du bas contrôlent le comportement en extrémité — les autres termes s'estompent loin de l'origine. Donc comparez d'abord les degrés ; ne vous laissez pas distraire par les constantes ou les termes du milieu.
Find the end behavior of $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$.
- Top and bottom both have degree $2$ — an equal-degree tie.
- The horizontal asymptote is the ratio of leading coefficients: $y = \frac{3}{1} = 3$.
- So $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$: the graph flattens toward the line $y = 3$.
Trouvez le comportement en extrémité de $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5}{x^2 + 4}$.
- Le haut et le bas ont tous deux le degré $2$ — une égalité de degrés.
- L'asymptote horizontale est le rapport des coefficients dominants : $y = \frac{3}{1} = 3$.
- Donc pour $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = 3$ : la courbe s'aplatit vers la ligne $y = 3$.
For a rational function, compare the degrees of numerator and denominator: bottom bigger → horizontal asymptote $y = 0$; equal → horizontal asymptote at the ratio of leading coefficients; top bigger by one → slant asymptote. Polynomial long division reveals the line the ends follow.
Pour une fonction rationnelle, comparez les degrés du numérateur et du dénominateur : dénominateur plus grand → asymptote horizontale $y = 0$ ; égal → asymptote horizontale au rapport des coefficients dominants ; numérateur plus grand d'un → asymptote oblique. La division euclidienne révèle la ligne que suivent les extrémités.