Rational Functions and Zeros · Fonctions rationnelles et racines
| English | Français |
|---|---|
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | fonction rationnelle |
| zeros/ˈzɪərəʊz/ | zéros |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numérateur |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | dénominateur |
When is a fraction zero?
- Think of $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$, and $\frac{5}{0}$: only the first is zero.
- A fraction is zero exactly when its top is zero — the bottom just cannot be zero too.
- Rational functions follow the same simple rule.
- So finding their zeros means looking only at the numerator.
Quand une fraction vaut-elle zéro ?
- Pensez à $\frac{0}{5}$, $\frac{5}{5}$ et $\frac{5}{0}$ : seul le premier est zéro.
- Une fraction est zéro exactement quand son haut est zéro — le bas ne doit simplement pas être zéro aussi.
- Les fonctions rationnelles suivent cette règle simple.
- Donc trouver leurs zéros signifie regarder uniquement le numérateur.
Zeros come from the numerator
- A rational function 有理函数 is $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Its zeros 零点 are the inputs that make the whole thing equal $0$.
- That happens only where the numerator 分子 equals $0$.
- So set the top equal to zero and solve — those are your candidate x-intercepts.
Les zéros viennent du numérateur
- Une fonction rationnelle 有理函数 est $\frac{\text{numerator}}{\text{denominator}}$.
- Ses zéros 零点 sont les entrées qui font que l'ensemble vaut $0$.
- Cela n'arrive que là où le numérateur 分子 vaut $0$.
- Donc posez le haut égal à zéro et résolvez — ce sont vos candidates aux intersections avec l'axe x.
A fraction equals zero · zéro exactly when… · Une fraction vaut zéro exactement lorsque…
A fraction is zero only when its top is zero (and its bottom is not). $\frac{0}{5} = 0$, but $\frac{5}{0}$ is undefined. · Une fraction n'est zéro que lorsque son numérateur est zéro (et que son dénominateur ne l'est pas). $\frac{0}{5} = 0$, mais $\frac{5}{0}$ est indéfini.
…but only if they are allowed
- A candidate zero counts only if the value is in the domain 定义域 of the function.
- If it also makes the denominator 分母 zero, the function is undefined there — no zero.
- So check each numerator zero against the bottom before you trust it.
…mais seulement si elles sont autorisées
- Une candidate zéro ne compte que si la valeur est dans le domaine 定义域 de la fonction.
- Si elle rend aussi le dénominateur 分母 zéro, la fonction est indéfinie là — pas de zéro.
- Donc vérifiez chaque zéro du numérateur contre le dénominateur avant de lui faire confiance.
Where does it cross, and where does it break? · Où coupe-t-elle, et où casse-t-elle ?
y = a/(x − b) + c
The curve crosses the x-axis at its zero, but breaks at x = b where the denominator is zero. Those are two different places. · La courbe traverse l'axe x à sa racine, mais se brise en x = b où le dénominateur est nul. Ce sont deux endroits différents.
A numerator zero is a real zero of the function only if that value lies in the ____ of the function. · Un zéro du numérateur est une racine réelle de la fonction uniquement si cette valeur se trouve dans le ____ de la fonction.
If a value makes both top and bottom zero, it is not in the domain, so it is a hole, not a zero. · Si une valeur annule à la fois le numérateur et le dénominateur, elle n'est pas dans le domaine, c'est donc un trou, pas une racine.
Excluded values are not zeros
- A value that makes only the denominator zero is excluded from the domain.
- There the function is undefined — it produces a vertical asymptote or a hole, not a zero.
- Never call an excluded value an x-intercept.
- Zero on top → a zero of the function; zero on the bottom → trouble, not a zero.
Les valeurs exclues ne sont pas des zéros
- Une valeur qui rend seulement le dénominateur zéro est exclue du domaine.
- Là, la fonction est indéfinie — elle produit une asymptote verticale ou un trou, pas un zéro.
- N'appeliez jamais une valeur exclue une intersection avec l'axe x.
- Zéro en haut → un zéro de la fonction ; zéro en bas → un problème, pas un zéro.
A value that makes the denominator zero is a zero of the function. · Une valeur qui rend le dénominateur nul est une racine de la fonction.
A denominator zero is excluded from the domain — the function is undefined there, not zero. · Un zéro du dénominateur est exclu du domaine — la fonction y est indéfinie, pas zéro.
Verify by evaluating
- To confirm a zero, substitute the value and check that the function really gives $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ at $x = 4$: $\frac{0}{5} = 0$. Yes — $x = 4$ is a zero.
- The same test rejects an excluded value, because you would be dividing by zero.
- Evaluating is the reliable final check.
Vérifier par évaluation
- Pour confirmer un zéro, substituez la valeur et vérifiez que la fonction donne vraiment $0$.
- $f(x) = \frac{x-4}{x+1}$ à $x = 4$ : $\frac{0}{5} = 0$. Oui — $x = 4$ est un zéro.
- Le même test rejette une valeur exclue, car vous diviseriez par zéro.
- L'évaluation est la vérification finale fiable.
How many zeros does $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$ have? · Combien de racines $f(x) = \dfrac{(x-3)(x+2)}{x^2+1}$ a-t-elle ?
The numerator is zero at $x = 3$ and · et $x = -2$; the denominator $x^2+1$ is never zero, so both are valid — $2$ zeros. · Le numérateur est nul à $x = 3$ et $x = -2$ ; le dénominateur $x^2+1$ n'est jamais nul, donc les deux sont valides — $2$ zéros.
Select all · tout true statements about zeros of a rational function. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant les racines d'une fonction rationnelle.
A denominator zero is excluded, not an x-intercept. The other three are correct. · Un zéro du dénominateur est exclu, pas une intersection avec l'axe x. Les trois autres sont corrects.
Do not confuse a numerator zero (a real zero, an x-intercept) with a denominator zero (an excluded value). They are opposite: one is where the graph touches the axis, the other is where the graph breaks.
Ne confondez pas un zéro de numérateur (un vrai zéro, une intersection avec l'axe) avec un zéro de dénominateur (une valeur exclue). Ce sont des opposés : l'un est là où la courbe touche l'axe, l'autre est là où la courbe se brise.
Find the zeros of $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- Numerator zero candidates: $x = 2$ and $x = -3$.
- But $x = 2$ also makes the denominator zero, so it is excluded — a hole, not a zero.
- Only $x = -3$ is a real zero of the function.
Trouvez les zéros de $f(x) = \dfrac{(x-2)(x+3)}{x-2}$.
- Candidates zéros du numérateur : $x = 2$ et $x = -3$.
- Mais $x = 2$ rend aussi le dénominateur zéro, donc il est exclu — un trou, pas un zéro.
- Seul $x = -3$ est un vrai zéro de la fonction.
The zeros of a rational function are the zeros of its numerator that lie in the domain. A value that makes the denominator zero is excluded, not a zero. Always check numerator zeros against the bottom, and verify by evaluating.
Les zéros d'une fonction rationnelle sont les zéros de son numérateur situés dans le domaine. Une valeur qui rend le dénominateur zéro est exclue, pas un zéro. Vérifiez toujours les zéros du numérateur contre le dénominateur, et vérifiez par évaluation.