Rational Functions and Vertical Asymptotes · Fonctions rationnelles et asymptotes verticales
| English | Français |
|---|---|
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | dénominateur |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote verticale |
| asymptote/ˈæsɪmptəʊt/ | asymptote |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numérateur |
| multiplicity/ˌmʌltɪˈplɪsɪti/ | multiplicité |
Dividing by almost nothing
- Try $1 \div 0.1 = 10$, then $1 \div 0.01 = 100$, then $1 \div 0.001 = 1000$.
- As the bottom shrinks toward zero, the answer explodes toward infinity.
- A rational function does exactly this near an input that zeroes its denominator.
- The graph rockets up or down along an invisible vertical line.
Diviser par presque rien
- Essayez $1 \div 0.1 = 10$, puis $1 \div 0.01 = 100$, puis $1 \div 0.001 = 1000$.
- Quand le dénominateur se rapproche de zéro, la réponse explose vers l'infini.
- Une fonction rationnelle fait exactement cela près d'une entrée qui annule son dénominateur.
- La courbe fonce vers le haut ou le bas le long d'une ligne verticale invisible.
Where the denominator hits zero
- A vertical asymptote 竖直渐近线 is a vertical line the graph races along but never crosses.
- It sits at each input that makes the denominator 分母 zero.
- There the function is undefined, and nearby values grow without limit.
- So to find vertical asymptotes, set the bottom equal to zero and solve.
Où le dénominateur touche zéro
- Une asymptote verticale 竖直渐近线 est une ligne verticale que la courbe longe sans jamais la traverser.
- Elle est située à chaque entrée qui rend le dénominateur 分母 zéro.
- Là, la fonction est indéfinie, et les valeurs voisines augmentent sans limite.
- Donc pour trouver les asymptotes verticales, posez le bas égal à zéro et résolvez.
A vertical asymptote of a rational function occurs where… · Une asymptote verticale d'une fonction rationnelle apparaît où…
Dividing by a number heading to $0$ makes the value blow up — so a denominator zero (not cancelled) gives a vertical asymptote. · Diviser par un nombre tendant vers $0$ fait exploser la valeur — donc un zéro du dénominateur (non simplifié) donne une asymptote verticale.
…unless the factor cancels
- If a value zeroes the numerator 分子 too, the shared factor cancels.
- Then that input is a hole, not an asymptote.
- So a vertical asymptote needs a denominator zero that survives the cancelling.
- Always simplify first, then read the leftover denominator zeros.
…sauf si le facteur s'annule
- Si une valeur annule aussi le numérateur 分子, le facteur commun s'annule.
- Alors cette entrée est un trou, pas une asymptote.
- Donc une asymptote verticale nécessite un zéro du dénominateur qui survit à l'annulation.
- Simplifiez toujours d'abord, puis lisez les zéros restants du dénominateur.
Drag the vertical asymptote left and right · Glissez l'asymptote verticale vers la gauche ou la droite
y = a/(x − b) + c
Change b and the vertical break moves to x = b — the exact input that makes the denominator zero. · Changer b fait bouger la rupture verticale vers x = b — l'entrée exacte qui annule le dénominateur.
If a value makes both · les deux the numerator and denominator zero, there may be a hole instead of a vertical asymptote. · Si une valeur annule à la fois le numérateur et le dénominateur, il peut y avoir un trou plutôt qu'une asymptote verticale.
A shared factor cancels, so that input gives a hole (removable). A vertical asymptote needs the denominator zero to survive. · Un facteur commun se simplifie, donc cette entrée crée un trou (discontinuité amovible). Une asymptote verticale nécessite que le zéro du dénominateur subsiste.
Behavior on each side
- An asymptote 渐近线 describes a limiting line; here the limits are infinite.
- Just left of the line, $f(x) \to +\infty$ or $-\infty$; just right, the same choice again.
- Written with limits: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ and $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, for example.
- Checking a value very close on each side tells you which way each branch goes.
Comportement de chaque côté
- Une asymptote 渐近line décrit une ligne limite ; ici les limites sont infinies.
- Juste à gauche de la ligne, $f(x) \to +\infty$ ou $-\infty$ ; juste à droite, le même choix encore.
- Écrit avec des limites : $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$, par exemple.
- Vérifier une valeur très proche de chaque côté vous dit dans quelle direction va chaque branche.
Near a vertical asymptote, the size of $f(x)$ grows without bound toward ____. · Près d'une asymptote verticale, la taille de $f(x)$ croît sans limite vers ____.
On each side $f(x) \to +\infty$ or · ou $-\infty$; the curve races up or down along the asymptote. · De chaque côté $f(x) \to +\infty$ ou $-\infty$ ; la courbe monte ou descend rapidement le long de l'asymptote.
Multiplicity sets the pattern
- The multiplicity 重数 of the denominator zero decides the two-sided pattern.
- Odd multiplicity → the sign flips across the line: one side $+\infty$, the other $-\infty$.
- Even multiplicity → the sign is the same: both sides go the same way.
- So $\frac{1}{x-2}$ (multiplicity 1) diverges oppositely, while $\frac{1}{(x-2)^2}$ goes up on both sides.
La multiplicité définit le motif
- La multiplicité 重数 du zéro du dénominateur décide du motif des deux côtés.
- Impair multiplicité → le signe change de part en part de la ligne : un côté $+\infty$, l'autre $-\infty$.
- Pair multiplicité → le signe est le même : les deux côtés vont dans la même direction.
- Donc $\frac{1}{x-2}$ (multiplicité 1) diverge de manière opposée, tandis que $\frac{1}{(x-2)^2}$ monte des deux côtés.
If a denominator zero has odd multiplicity, the two sides of the asymptote… · Si un zéro du dénominateur a une multiplicité impaire, les deux côtés de l'asymptote…
Odd multiplicity flips the sign as you cross, so the two sides diverge oppositely. Even multiplicity sends both sides the same way. · La multiplicité impaire inverse le signe en traversant, donc les deux côtés divergent en sens opposé. La multiplicité paire envoie les deux côtés dans la même direction.
Select all · tout true statements about vertical asymptotes. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant les asymptotes verticales.
A graph never crosses its vertical asymptote — it only races alongside it. The other three are correct. · Une courbe ne traverse jamais son asymptote verticale — elle la suit seulement. Les trois autres sont corrects.
A denominator zero is only a vertical asymptote if it does not cancel with the numerator. Check for common factors first — otherwise you will draw an asymptote where there is really just a hole.
Un zéro du dénominateur n'est qu'une asymptote verticale s'il ne s'annule pas avec le numérateur. Cherchez les facteurs communs d'abord — sinon vous dessinerez une asymptote là où il n'y a en réalité qu'un trou.
Find the vertical asymptotes of $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- Denominator zeros: $x = 3$ and $x = -1$.
- But $x = -1$ also zeroes the numerator, so that factor cancels — a hole, not an asymptote.
- Only $x = 3$ is a vertical asymptote.
Trouvez les asymptotes verticales de $f(x) = \dfrac{x+1}{(x-3)(x+1)}$.
- Zéros du dénominateur : $x = 3$ et $x = -1$.
- Mais $x = -1$ annule aussi le numérateur, donc ce facteur s'annule — un trou, pas une asymptote.
- Seul $x = 3$ est une asymptote verticale.
A vertical asymptote sits at each surviving zero of the denominator — where the graph shoots toward $\pm\infty$. If a factor cancels with the numerator, that input is a hole instead. The multiplicity of the denominator zero decides whether the two sides diverge the same way or oppositely.
Une asymptote verticale est située à chaque zéro survivant du dénominateur — là où la courbe part vers $\pm\infty$. Si un facteur s'annule avec le numérateur, cette entrée est un trou. La multiplicité du zéro du dénominateur décide si les deux côtés divergent de la même manière ou de manières opposées.