Rational Functions and Holes · Fonctions rationnelles et trous
| English | Français |
|---|---|
| hole/həʊl/ | trou |
| factor/ˈfæktə/ | facteur |
| numerator/ˈnjuːməreɪtə/ | numérateur |
| denominator/dɪˈnɒmɪneɪtə/ | dénominateur |
| removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ | discontinuité removable |
| domain/dəˈmeɪn/ | domaine |
A single missing point
- Most rational graphs break dramatically at vertical asymptotes.
- But sometimes the graph is a perfectly ordinary line or curve — with just one point punched out.
- That tiny gap is called a hole, and it is easy to miss.
- It appears for a very specific algebraic reason.
Un seul point manquant
- La plupart des graphiques rationnels se cassent dramatiquement aux asymptotes verticales.
- Mais parfois la courbe est une ligne ou une courbe parfaitement ordinaire — avec juste un point percé.
- Cette petite lacune est appelée un trou, et elle est facile à manquer.
- Elle apparaît pour une raison algébrique très spécifique.
Where holes come from
- A hole 空心 appears when a factor 因式 cancels from both the numerator and the denominator.
- Take $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$: the $(x-1)$ cancels, leaving $x+2$.
- The simplified graph is the smooth line $y = x + 2$.
- But at $x = 1$ the original fraction was $\frac{0}{0}$ — undefined — so a point is missing.
D'où viennent les trous
- Un trou 空心 apparaît quand un facteur 因式 s'annule dans le numérateur et le dénominateur.
- Prenons $\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)}$ : le $(x-1)$ s'annule, laissant $x+2$.
- Le graphique simplifié est la ligne lisse $y = x + 2$.
- Mais à $x = 1$, la fraction originale était $\frac{0}{0}$ — indéfinie — donc un point manque.
A hole in a rational graph appears where… · Un trou sur un graphique rationnel apparaît où…
A common factor top and bottom cancels, so the simplified graph is smooth — but the original value is still excluded, leaving a hole. · Un facteur commun haut et bas se simplifie, donc le graphique simplifié est lisse — mais la valeur originale reste exclue, laissant un trou.
Hole versus vertical asymptote
- Both come from a denominator 分母 zero, but they behave oppositely.
- Cancels with the numerator 分子 → a removable discontinuity 可去间断点: a hole.
- Does not cancel → a vertical asymptote where the graph shoots off.
- So always factor and simplify first, then see which zeros cancel.
Trou versus asymptote verticale
- Tous deux viennent d'un zéro de dénominateur 分母, mais ils se comportent de manière opposée.
- S'annule avec le numérateur 分子 → une discontinuité amovible 可去间断点 : un trou.
- Ne s'annule pas → une asymptote verticale où la courbe part.
- Donc factorisez et simplifiez toujours d'abord, puis voyez quels zéros s'annulent.
The simplified function is just a line — with one point removed · La fonction simplifiée est simplement une droite — avec un point supprimé
y = ax + b
This is the simplified form of (x²−1)/(x−1). The graph is the line y = x + 1, but the real function has a hole at x = 1 where the original was undefined. · Ceci est la forme simplifiée de (x²−1)/(x−1). Le graphique est la droite y = x + 1, mais la fonction réelle a un trou en x = 1 où l'original était non défini.
What distinguishes a hole from a vertical asymptote? · Quoi distingue un trou d'une asymptote verticale ?
Cancelled factor → removable hole; surviving denominator zero → vertical asymptote where values blow up. · Facteur simplifié → trou amovible ; zéro du dénominateur subsistant → asymptote verticale où les valeurs explosent.
To find a hole's coordinates, cancel the common factor, then evaluate the ____ function at the excluded value. · Pour trouver les coordonnées d'un trou, simplifiez le facteur commun, puis évaluez la fonction ____ à la valeur exclue.
The simplified function gives the y-value the graph would have there — that is the hole's height. · La fonction simplifiée donne la valeur y que le graphique aurait à cet endroit — c'est la hauteur du trou.
Finding the hole's coordinates
- Cancel the common factor to get the simplified function.
- Substitute the excluded x-value into that simplified function to get the y-value.
- For $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ at $x = 1$: simplified is $x+2$, giving $y = 3$.
- So the hole sits at $(1, 3)$ — the point the graph "should" have passed through.
Trouver les coordonnées du trou
- Annulez le facteur commun pour obtenir la fonction simplifiée.
- Substituez la valeur x exclue dans cette fonction simplifiée pour obtenir la valeur y.
- Pour $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ à $x = 1$ : simplifié est $x+2$, donnant $y = 3$.
- Donc le trou est situé à $(1, 3)$ — le point que la courbe "aurait" dû traverser.
Even after the factor cancels, the hole's x-value is still excluded from the domain. · Même après que le facteur se soit simplifié, la valeur x du trou reste exclue du domaine.
The original function was never defined there, so cancelling in algebra does not add the point back — the domain still has a gap. · La fonction originale n'y était jamais définie, donc simplifier algébriquement ne réajoute pas le point — le domaine a toujours une lacune.
Select all · tout true statements about a hole. · Sélectionnez toutes les affirmations vraies concernant un trou.
A hole does not · non send the function to infinity — that is an asymptote. The other three are true. · Un trou ne fait pas aller la fonction vers l'infini — c'est une asymptote. Les trois autres sont vraies.
Still excluded from the domain
- Cancelling is algebra; it does not restore the missing input.
- The original function was undefined at that x, so it stays out of the domain 定义域.
- The simplified formula agrees with the original everywhere except that one point.
- That is exactly what "removable" means: you can patch the single gap, but it was still there.
Toujours exclu du domaine
- Annuler est de l'algèbre ; cela ne restaure pas l'entrée manquante.
- La fonction originale était indéfinie à cette valeur de x, donc elle reste exclue du domaine 定义域.
- La formule simplifiée est conforme à l'original partout sauf en ce point précis.
- C'est exactement ce que signifie « amovible » : on peut combler le seul écart, mais il existait bien.
Simplifying $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ to $x+2$ is only valid for $x \neq 1$. Never drop the restriction — the two expressions are equal everywhere except at the hole, and forgetting that loses a point from the domain.
Simplifier $\frac{(x-1)(x+2)}{x-1}$ en $x+2$ n'est valide que pour $x \neq 1$. Ne jamais omettre la restriction — les deux expressions sont égales partout sauf au trou, et l'oublier revient à retirer un point du domaine.
Locate any hole of $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- Factor the top: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, and cancel $(x-2)$ → simplified $x + 2$.
- Excluded value $x = 2$; simplified value there is $2 + 2 = 4$.
- So there is a hole at $(2, 4)$, and no vertical asymptote.
Repérer tout trou dans $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- Factoriser le numérateur : $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$, puis simplifier $(x-2)$ → expression simplifiée $x + 2$.
- Valeur exclue $x = 2$ ; valeur simplifiée là-bas est $2 + 2 = 4$.
- Il y a donc un trou à $(2, 4)$, et aucune asymptote verticale.
A hole is a removable discontinuity: a factor that cancels from numerator and denominator. Find it by simplifying and evaluating at the excluded x-value. The x stays out of the domain — cancelling patches the graph but never adds the point back.
Un trou est une discontinuité amovible : un facteur qui s'annule entre le numérateur et le dénominateur. On le trouve en simplifiant et en évaluant à la valeur de x exclue. Le x reste hors du domaine — simplifier comble le graphique mais ne réinsère jamais le point.