Sequências e Séries Infinitas

Uma série infinita soma infinitamente muitos termos, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Seu valor é definido como o limite das somas parciais $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Se $S_N$ se aproxima de um número finito $L$, a série converge para $L$; caso contrário, ela diverge. Toda questão de convergência é realmente uma questão sobre o limite das somas parciais.

Uma série geométrica soma termos obtidos multiplicando por uma razão fixa $r$:

Aqui $a$ é o primeiro termo real. Para termos não nulos, dividir um termo pelo anterior dá $r$. Sua primeira $N$ termos têm soma

Para derivar isso, subtraia $rS_N$ de $S_N$; os termos intermediários cancelam. Quando $r=1$, usa-se $S_N=Na$ em vez disso. Um termo individual não é uma soma parcial.

Para $a\ne0$, a série infinita converge exatamente quando $|r|<1$. Então $r^N\to0$ e

A razão pode ser negativa ou irracional; o que importa é seu módulo. Se $a=0$, todos os termos são zero para qualquer $r$ fixo e finito, então a soma é $0$. Termos nulos não determinam uma razão única por divisão. No caso $r=1$, trate a série nula diretamente, em vez de avaliar $0/0$.

Exemplo resolvido: finito versus infinito. Para $3+3/2+3/4+\cdots$, $a=3$ e $r=1/2$. A soma infinita é $3/(1-1/2)=6$. A soma dos quatro primeiros termos é $3(1-(1/2)^4)/(1-1/2)=5.625$, restando $0.375$ para ser adicionada.

Exemplo resolvido: razão negativa. A série $4-2+1-1/2+\cdots$ tem $r=-1/2$ e soma $4/(1+1/2)=8/3$. Suas somas parciais $4,2,3,2.5,\ldots$ alternam em torno desse limite. Oscilações decrescentes podem convergir. Em contraste, com um primeiro termo não nulo e $r=-1$, as somas parciais alternam entre $a$ e $0$ e não possuem limite. Em $r=1$, elas valem $Na$; para $|r|>1$, os termos não tendem a zero.

Exemplo resolvido: leia o índice inicial. Para $\sum_{n=1}^{\infty}3\cdot2^{-n}$, o primeiro termo é $3/2$, não $3$. A razão é $1/2$, logo a soma é $3$. Para $\sum_{n=2}^{\infty}12(-1/3)^n$, o primeiro termo é $4/3$ e a razão é $-1/3$, resultando em soma $1$.

Uma soma finita existe mesmo quando a série infinita diverge. Para $3+6+12+\cdots$, os três primeiros termos somam $21$, mas a série infinita não possui soma finita. A expressão formal $3/(1-2)=-3$ não é uma soma infinita ordinária desses termos positivos.

Tente agora. Para $\sum_{k=3}^{\infty}16(1/2)^k$, encontre o primeiro termo real, a soma infinita, a soma dos quatro primeiros termos e o valor restante.

Resposta. O primeiro termo é $2$ e a razão é $1/2$. A soma infinita é $4$. Os quatro primeiros termos são $2,1,1/2,1/4$, com soma $15/4=3.75$. O valor restante é $1/4$.

Erros comuns. Usar $\dfrac{a}{1-r}$ quando se deveria usar $|r|\ge 1$ (a série diverge), e aplicar $a$ da fórmula em vez da série: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^n$ começa com $\tfrac12$, portanto sua soma é $\dfrac{1/2}{1-1/2}=1$, não $2$.

Uma série converge quando suas somas parciais $S_n=a_1+\cdots+a_n$ tendem a um limite finito $S$. Como $a_n=S_n-S_{n-1}$, a convergência implica $a_n\to S-S=0$. Portanto, se os termos não tendem a zero, a série diverge. Isso inclui um limite de termos não nulo e finito, termos ilimitados ou um limite de termos que não existe.

Exemplo resolvido: um limite não nulo. Para $a_n=n/(2n+1)$, divida por $n$ para obter $a_n=1/(2+1/n)\to1/2$. Assim, $\sum n/(2n+1)$ diverge pelo Teste do N-ésimo Termo. O número $1/2$ é o limite dos termos, não a soma da série.

Exemplo resolvido: sem limite de termo. Para $a_n=(-1)^{n-1}$, os termos ímpares valem $1$ e os pares valem $-1$. Os termos não têm um único limite, portanto a série diverge. Suas somas parciais alternam entre $1$ e $0$: somas parciais limitadas não precisam convergir.

Um limite de termo igual a zero torna este teste inconclusivo. Tanto $\sum1/n$ quanto $\sum1/2^{n-1}$ têm termos tendendo a zero, contudo o primeiro diverge e o segundo converge para $2$. Na série harmônica, o bloco de $n=2^{k-1}+1$ a $2^k$ contém $2^{k-1}$ termos cada um pelo menos $1/2^k$, assim cada bloco adiciona pelo menos $1/2$. O teorema da série geométrica fornece a soma da segunda série. Estes são argumentos separados; o Teste do N-ésimo Termo isolado decide nenhum deles.

Sinais alternados sozinhos não impedem o limite de termo: $(-1)^{n-1}/n\to0$ porque seu valor absoluto tende a zero. O Teste do N-ésimo Termo também é inconclusivo para esta série. Alterar finitamente muitos termos finitos não altera a convergência.

Tente agora. Aplique apenas o Teste do N-ésimo Termo a $\sum 3n^2/(n^2+4)$, $\sum[2+(-1)^n]$ e $\sum 2/(n+1)$, com $n\ge1$.

Resposta. O primeiro tem limite de termo $3\ne0$, logo diverge. O segundo tem termos ímpares $1$ e pares $3$, portanto seu limite de termo não existe e a série diverge. O terceiro tem limite de termo $0$, então este teste é inconclusivo; outro argumento é necessário para sua classificação.

O teste integral compara a cauda de uma série com uma integral imprópria correspondente. Escolha $f$ com $a_n=f(n)$, e um inteiro $N$ tal que $f$ seja positivo, contínuo e não crescente (decrescente no sentido não estrito) em $[N,\infty)$. Partes planas são permitidas. Então

convergem ou divergem conjuntamente. Seus valores não são a mesma quantidade. Finitamente muitos termos finitos antes da cauda válida não afetam a convergência. Não use automaticamente o limite inferior $1$: a função pode estar indefinida lá.

Comparação retangular. Em $[N,N+m]$, retângulos à esquerda de largura unitária têm total $U=\sum_{k=N}^{N+m-1}f(k)$ e ficam acima da área. Retângulos à direita têm total $L=\sum_{k=N+1}^{N+m}f(k)$ e ficam abaixo. Logo $L\le I\le U$, onde $I=\int_N^{N+m}f(x)\,dx$. Essa comparação limita as somas parciais positivas quando a integral imprópria é finita; se a integral cresce sem limite, a série também o faz.

Exemplo resolvido: uma integral finita. Para $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2$, $f(x)=1/x^2$ é positiva e contínua em $[1,\infty)$, com $f'(x)=-2/x^3<0$. Calcule a integral imprópria como um limite:

A série converge. Sua soma não é $1$, pois seus dois primeiros termos já somam $1.25$. Para comparação, $\int_1^b dx/x=\ln b\to\infty$, logo a série harmônica diverge apesar de seus termos tenderem a zero.

Exemplo resolvido: uma função transladada. Para $\sum_{n=1}^{\infty}1/(n+2)^2$, use $f(x)=1/(x+2)^2$. Ela satisfaz as condições para $x\ge1$, e sua integral imprópria é $[-1/(x+2)]_1^{\infty}=1/3$. A série converge; $1/3$ é o valor da integral, não a soma exata da série.

Exemplo resolvido: escolha do limite inferior. Para $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln n)$, a função correspondente é positiva e contínua para $x\ge2$. Sua derivada é $-(\ln x+1)/[x^2(\ln x)^2]<0$. Como

a série diverge. O limite inferior $1$ seria inválido porque o denominador é zero nesse ponto. Se uma função de comparação escolhida falhar em uma condição de teste, essa falha sozinha não prova divergência.

Tente agora. Use o Teste da Integral para $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^2]$. Explique as condições e a integral.

Resposta. A função correspondente é positiva e contínua em $[2,\infty)$, com derivada $-(\ln x+2)/[x^2(\ln x)^3]<0$. Sua primitiva é $-1/\ln x$, logo a integral imprópria de $2$ é $1/\ln2$, finita. A série converge. Alterar qualquer prefixo finito de termos finitos não altera essa conclusão.

Uma série p tem $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^p$, com $p$ real fixo, converge exatamente quando $p>1$ e diverge para $p\le1$. A série harmônica é o caso limiar $p=1$ e diverge apesar de seus termos tenderem a zero.

Por que a regra vale. Para $p>0$, $f(x)=x^{-p}$ é positivo, contínuo e decrescente em $[1,\infty)$. Se $p\ne1$,

Para $p>1$, a integral imprópria é $1/(p-1)$, finita, então a série converge. Para $0<p<1$, a integral cresce sem limite, então a série diverge. Em $p=1$, use $\int_1^b dx/x=\ln b\to\infty$ separadamente. O valor de uma integral não é a soma exata da série.

Para $p=0$, os termos valem $1$; para $p<0$, eles crescem sem limite. Como esses termos não tendem a zero, o Teste do N-ésimo Termo prova a divergência. Para $p$ negativo, a função correspondente é crescente, logo o Teste Integral de função decrescente não foi justificado.

Reconheça a potência. Como $n\sqrt n=n^{3/2}$, $\sum1/(n\sqrt n)$ converge. Como $\sqrt[3]{n^2}=n^{2/3}$, $\sum1/\sqrt[3]{n^2}$ diverge. Um fator fixo não nulo e uma mudança finita no índice inicial preservam a convergência. Por exemplo,

converge. Um fator zero dá diretamente a série de todos os zeros. A expressão $1/(n^2+1)$ não é exatamente um termo de série p; use comparação em vez de eliminar o $+1$.

A série $\sum1/2^n$ é geométrica, com o índice variando no expoente.

Série harmônica alternada. A série sinalizada $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n$ converge pelo Teste das Séries Alternadas porque suas magnitudes positivas diminuem até zero. Sua série de magnitudes $\sum1/n$ diverge. A regra de séries p positivas sozinha não classifica séries sinalizadas; o teste alternado é explicado abaixo.

Tente agora. Classifique $\sum_{n=4}^{\infty}5/(n\sqrt n)$ e encontre todos os reais $q$ para os quais $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2q-1}$ converge.

Resposta. A primeira tem potência $3/2>1$ e converge; o fator $5$ e o prefixo omitido finito não alteram isso. A segunda requer $2q-1>1$, logo $q>1$. Em $q=1$ ela é harmônica e diverge.

A comparação relaciona uma série desconhecida a uma série p ou geométrica conhecida. Verifique os termos e a direção da desigualdade em uma cauda válida.

• Comparação direta: se $0\le a_n\le b_n$ eventualmente e $\sum b_n$ converge, a menor $\sum a_n$ converge. Se $a_n\ge b_n\ge0$ eventualmente e $\sum b_n$ diverge, a maior $\sum a_n$ diverge.
• Comparação por limite: para termos eventualmente positivos, se $\lim a_n/b_n=L$ com $0<L<\infty$, ambas as séries têm o mesmo comportamento de convergência. Classifique primeiro a série conhecida; o limite em si não diz que ambas convergem.

Cota superior convergente. Como $0<1/(n^2+1)<1/n^2$ para $n\ge1$ e a série p com potência $2$ converge, $\sum1/(n^2+1)$ converge.

Cota inferior divergente. Para $n\ge1$, $n+1\le2n$, logo $1/(n+1)\ge1/(2n)>0$. Metade da série harmônica diverge, e portanto também diverge $\sum1/(n+1)$.

Exemplo resolvido. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}$ converge? Para grandes $n$, os termos se comportam como $\dfrac{1}{n^2}$. A comparação direta indica o caminho errado aqui ($\tfrac{1}{n^2-1}>\tfrac{1}{n^2}$, e ser maior que uma série convergente não prova nada). Use o teste de comparação por limite com $b_n=\dfrac{1}{n^2}$:

um número finito positivo. Como $\sum\dfrac{1}{n^2}$ converge ($p=2>1$), $\displaystyle\sum\frac{1}{n^2-1}$ converge também.

Evite a direção errada. Ser menor que uma série divergente não estabelece divergência: $1/n^2\le1/n$, mas a série menor converge. Ser maior que uma série convergente não estabelece convergência. Uma imagem finita não prova um limite para todo índice posterior.

Avalie a razão completa. Para $a_n=(3n^2+1)/(n^4+5)$ e $b_n=1/n^2$,

Os termos são positivos e a série p de comparação converge, logo a série dada converge. Para $a_n=(2n+1)/(n^2+4)$ e $b_n=1/n$, a razão é $(2+1/n)/(1+4/n^2)\to2$. Positividade e divergência harmônica dão divergência da última série.

Verifique a cauda. Para $n\ge3$, $n^2-4\ge n^2/2$, então $0<1/(n^2-4)\le2/n^2$. Assim, a série começando em $n=3$ converge. Um termo em $n=2$ seria indefinido: invariância de prefixo finito requer termos finitos e definidos. Termos com sinal precisam de argumento separado ou estudo de seus valores absolutos.

Se o limite da razão for $0$ ou infinito, o teorema de Comparação por Limite de valor finito positivo não justifica comportamento igual de convergência. Por exemplo, $(1/n^2)/(1/n)\to0$ embora a série numeradora convirja e a denominador diverja. Escolha outra comparação ou um limite direto válido; esses limites não são vereditos automáticos de divergência. Comparação também não iguala somas exatas.

Tente você. Classifique $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n^2-1)$, $\sum\sqrt n/(n^2+1)$ e $\sum(4n^2+3)/(n^3+2)$.

Resposta. O primeiro é limitado superiormente por $2/n^2$ para $n\ge2$, logo converge. Para o segundo, a comparação com $1/n^{3/2}$ fornece razão $n^2/(n^2+1)\to1$ e convergência. Para o terceiro, a comparação com $1/n$ dá razão $(4+3/n^2)/(1+2/n^3)\to4$ e divergência. Todas as caudas escolhidas são positivas.

Uma série alternada tem sinais que alternam. Escreva $a_n=(-1)^{n-1}b_n$ para um primeiro sinal positivo, ou $a_n=(-1)^n b_n$ para um primeiro sinal negativo. As magnitudes $b_n$ são positivas.

O Teste da Série Alternada fornece condições suficientes: se, a partir de algum índice, $b_{n+1}\le b_n$ e $b_n\to0$, a série converge. Magnitudes consecutivas iguais são permitidas. Um prefixo finito de termos finitos não afeta a convergência.

Por que funciona. No caso de primeiro sinal positivo com magnitudes não crescentes desde o início, as somas parciais pares aumentam e as ímpares diminuem; cada grupo limita o outro. A diferença $S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}$ tende a zero, então ambos os grupos aproximam-se do mesmo limite finito. Aplique esse raciocínio a uma cauda válida para condições eventuais.

Exemplo harmônico alternado. Para $b_n=1/n$, positividade, decrescimento e limite zero valem para $n\ge1$, então $\sum(-1)^{n-1}/n$ converge.

A série harmônica positiva diverge. Começar com $(-1)^n$ multiplica a série com sinal por $-1$ e preserva a convergência. Um limite de termo zero não é a soma exata da série.

Exemplo eventualmente decrescente. Para $b_n=n/(n^2+9)$, $f(x)=x/(x^2+9)$ tem derivada $(9-x^2)/(x^2+9)^2\le0$ para $x\ge3$. Além disso $b_n=(1/n)/(1+9/n^2)\to0$. A série alternada converge embora as primeiras magnitudes aumentem.

Separe duas falhas. Se $b_n=1+1/n$, as magnitudes diminuem mas tendem a $1$; os termos com sinal não aproximam zero, e o Teste do n-ésimo Termo prova divergência. Se apenas o não-crescimento eventual falhar, o Teste da Série Alternada não é justificado; essa falha sozinha não prova divergência.

Por exemplo, seja $b_{2k-1}=1/k$ e $b_{2k}=1/k+1/k^2$. Há aumento de magnitude em cada par. Yet os pares adjacentes de primeiro sinal positivo somam $-1/k^2$. Suas somas parciais pares convergem, e a diferença para a próxima soma ímpar tende a zero, então a série original converge por este argumento separado. Agrupamento adjacente mantém a ordem original.

O teste não classifica por si só a convergência de $\sum b_n$ nem calcula uma soma exata. Convergência absoluta/condicional e limites de erro numérico são tópicos separados abaixo.

Tente. Teste a série alternada com magnitudes positivas $2/\sqrt{n+3}$, $n/(n^2+16)$ e $(3n+1)/(n+2)$, para $n\ge1$.

Resposta. O primeiro decresce para zero e garante convergência. O segundo tende a zero e possui derivada $(16-x^2)/(x^2+16)^2\le0$ em $x=4$, logo sua série alternada converge. O terceiro tem limite de magnitude $3$, então seus termos com sinal não tendem a zero e o Teste do Termos n-ésimos indica divergência.

O teste da razão usa a razão absoluta próxima/atual $q_n=|a_{n+1}/a_n|$. Os termos devem ser não nulos eventualmente para que o quociente esteja definido em uma cauda. Quando $L=\lim q_n$ existe:

• $L<1$: a série converge absolutamente, pois as magnitudes da cauda são eventualmente limitadas por uma série geométrica convergente.
• $L>1$, incluindo $+\infty$: a série diverge.
• $L=1$: o teste é inconclusivo; outro teste é necessário.

Um número finito de termos iniciais finitos, incluindo zeros, não afeta a convergência. Uma cauda inteiramente de zeros converge diretamente; não avalie $0/0$. Denominadores recorrentes nulos ou um limite de razão inexistente exigem outra argumentação, em vez de uma conclusão automática de divergência.

É o teste padrão para séries com fatoriais ou potências de $n$, e é exatamente assim que você encontra o raio de convergência de uma série de potências.

Cancelamento de fatorial. Para $a_n=2^n/n!$, escreva primeiro $a_{n+1}=2^{n+1}/(n+1)!$. Em seguida,

A série converge absolutamente. Use $(n+1)!=(n+1)n!$, não $n!+1$. As razões iniciais não precisam estar todas abaixo de $1$: para $4^n/n!$, a primeira razão é $2$, mas $4/(n+1)\to0$ ainda prova convergência absoluta.

Sinais e direção do quociente. Para $(-2)^n/n!$, a razão com sinal é $-2/(n+1)$; seu valor absoluto tende a zero. Para $(-3)^n$, a razão absoluta é $3>1$, logo a série diverge apesar de sua razão com sinal negativa. Para $n!/2^n$, use o quociente correto $(n+1)/2\to+\infty$, provando divergência. Seu recíproco não é o quociente do Teste da Razão.

Um expoente variável. Para $a_n=n!/n^n$,

Logo a série converge absolutamente. Tanto a base quanto o expoente mudam no próximo denominador.

A fronteira é inconclusiva. Os termos harmônicos têm $q_n=n/(n+1)\to1$ e sua série diverge. Os termos $1/n^2$ têm $q_n=(n/(n+1))^2\to1$ e sua série converge. O teorema das séries p fornece essas classificações. Em particular, uma razão finita abaixo de $1$ em todo índice não é suficiente; a série harmônica é um contraexemplo. O limite da razão não é a soma da série.

Para $c\ne0$ real fixo, $\sum_{n=1}^{\infty}c^n/n!$ tem limite de razão absoluta $0$ e converge absolutamente. Para $c=0$, trata-se de uma série nula que converge diretamente, sem cálculo de razão.

Tente. Aplique o Teste da Razão a $\sum3^n/(n+2)!$, $\sum n^3/5^n$ e $\sum(n+1)!/3^n$, começando em $n=1$.

Resposta. Suas razões absolutas são $3/(n+3)\to0$, $((n+1)/n)^3/5\to1/5$ e $(n+2)/3\to+\infty$. As duas primeiras séries convergem absolutamente; a terceira diverge. Cada termo subsequente altera cada ocorrência do índice.

Erro comum. Interpretar um limite de teste da razão exatamente $1$ como convergência. Tanto $\sum\frac1n$ (diverge) quanto $\sum\frac1{n^2}$ (converge) dão um limite de $1$: o teste é inconclusivo ali, então use outro teste.

Uma série converge absolutamente se $\sum|a_n|$ convergir. Ela converge condicionalmente se $\sum a_n$ convergir mas $\sum|a_n|$ divergir. Uma série alternada divergente pertence a nenhuma dessas categorias convergentes.

Duas questões separadas. Um procedimento útil é testar a série de magnitudes primeiro. Se convergir, a convergência absoluta garante a convergência da série original. Se divergir, teste a série com sinal separadamente: convergência com sinal indica convergência condicional; divergência com sinal indica divergência. A divergência de $\sum|a_n|$ sozinha não distingue esses dois últimos resultados.

Para termos reais, $a_n^+=\max(a_n,0)$ e $a_n^-=\max(-a_n,0)$ satisfazem $0\le a_n^\pm\le|a_n|$. Se a série de magnitudes convergir, ambas as séries de partes convergem por comparação. Como $a_n=a_n^+-a_n^-$, seus limites finitos garantem a convergência da série com sinal.

Exemplo condicional. Para $\sum(-1)^n/n$, a série de magnitudes é a harmônica divergente. A série com sinal passa no Teste da Série Alternada porque suas magnitudes positivas decrescem para zero. Esses dois fatos juntos estabelecem a convergência condicional.

Exemplo absoluto. Para $\sum(-1)^n/n^2$, a série p de magnitudes converge. Portanto, a série com sinal é absolutamente convergente; seus sinais alternados não a tornam condicional, e nenhuma prova adicional de convergência é necessária.

Exemplo divergente. Para $(-1)^n n/(n+1)$, as magnitudes tendem a $1$, então os termos com sinal não tendem a zero. O Teste do Termos n-ésimos indica divergência, não convergência condicional. Tanto este quanto o exemplo harmônico condicional possuem séries de magnitude divergentes.

Um exemplo deslocado é $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}2/\sqrt{n+3}$. Sua série de magnitude é duas vezes uma cauda divergente da série p com potência $1/2$; sua série com sinal passa no Teste das Séries Alternadas. Assim, é condicionalmente convergente. Um resultado do Teste da Razão de $L=1$ não estabelece convergência condicional: tanto o exemplo harmônico quanto o de denominador ao quadrado alternado possuem esse limite de razão.

Reorganização e mudanças finitas. Qualquer reagrupamento ou reorganização de uma série absolutamente convergente tem a mesma soma. Uma série condicionalmente convergente não possui tal garantia de reorganização; uma nova ordem pode alterar a soma ou deixar de convergir. Use a ordem especificada para classificar. Alterar finitamente muitos termos finitos, ou multiplicar por uma constante fixa não nula, preserva a classificação. Um multiplicador zero resulta diretamente em uma série nula absolutamente convergente.

Tente agora. Classifique $\sum(-1)^{n-1}/n^{3/2}$, $\sum(-1)^n/\sqrt{n+1}$ e $\sum(-1)^n(2n+1)/(n+4)$, para $n\ge1$.

Resoluções exemplificadas

O primeiro é absolutamente convergente porque sua série p de magnitudes tem potência $3/2>1$. O segundo é condicional: a cauda da série p de magnitudes tem potência $1/2$ e diverge, enquanto a série com sinal passa no Teste das Séries Alternadas. O terceiro diverge pelo Teste do Termos n-ésicos, pois suas magnitudes tendem a $2$. Forneça argumentos tanto de magnitude quanto com sinal ao afirmar convergência condicional.

Para uma série começando em $n=1$, seja $S_N$ contendo seus primeiros $N$ termos. Se a cauda omitida alternar com magnitudes positivas e não crescentes tendendo a zero, então

O limite usa o primeiro termo omitido (seu módulo), não o último incluído. A soma exata está entre $S_N$ e $S_{N+1}$. Um próximo termo positivo torna $S_N$ uma estimativa inferior; um próximo termo negativo torna-a superior. Apenas a convergência, sem as condições de cauda omitida, não justifica este teorema.

Exemplo harmônico exato. Para $1-1/2+1/3-\cdots$, $S_3=5/6$ e o próximo termo é $-1/4$. Assim, o limite é $1/4$ e $7/12\le S\le5/6$. O limite não é o erro real, e a soma infinita exata não é necessária para certificar esta inclusão.

Combine com a desigualdade-alvo. Uma condição suficiente de próximo termo para erro no máximo $\varepsilon$ é $b_{N+1}\le\varepsilon$. Para um certificado estrito usando apenas o limite não estrito, use $b_{N+1}<\varepsilon$. Com magnitudes harmônicas e alvo $0.01$, essas condições dão N≥99 e N≥100 respectivamente. Pare antes do termo omitido, cujo índice é 100 ou 101. Estes são contagens de certificados, não afirmações sobre a menor contagem possível de erro real.

Mantenha o coeficiente. Para magnitudes $3/n^2$, exigir $3/(N+1)^2\le0.001$ resulta em $(N+1)^2\ge3000$. O menor inteiro satisfazendo essa condição é N=54: o termo omitido tem índice 55.

Conte a partir do início real. Se a série começa no índice $m$, N termos incluídos terminam em $K=m+N-1$, e o índice omitido é $m+N$. Para $\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n-3}/n^2$, quatro termos terminam no índice 6. Sua soma é $73/1200$, a magnitude omitida é 1/49 no índice 7, e o próximo termo é positivo. Logo, $73/1200\le S\le73/1200+1/49$.

Inclua erro de arredondamento. Para um valor arredondado reportado $r$,

Por exemplo, arredondar $5/6$ para 0.833 adiciona 1/3000 ao seu limite de truncamento 1/4. Arredonde uma inclusão para fora: $[0.583333,0.833334]$ contém o intervalo exato $[7/12,5/6]$; arredondamento para dentro não é geralmente seguro.

Uma cauda eventual pode bastar. Para magnitudes $b_n=n/(n^2+9)$, a derivada $(9-x^2)/(x^2+9)^2$ é não positiva para x≥3 e $b_n\to0$. Após dois termos incluídos, a cauda omitida inicia no índice 3 e atende às condições, dando limite $b_3=1/6$. Aumentos anteriores não invalidam este argumento específico de cauda.

Tente agora. Para magnitudes $2/(n+1)^2$ começando em n=1, encontre as menores contagens que satisfaçam as condições de próximo termo para erro no máximo 0.005 e estritamente abaixo de 0.005. Em seguida, dê o índice omitido e a inclusão para $\sum_{n=4}^{\infty}(-1)^{n-4}/n$ após cinco termos.

Resoluções exemplificadas de limites de erro

A próxima magnitude deslocada é $2/(N+2)^2$. Sua condição não estrita dá N≥18; sua condição estrita dá N≥19. Na segunda série, o último índice incluído é 8 e o índice omitido é 9. A soma de cinco termos é $167/840$, o limite é 1/9 e o próximo sinal é negativo, logo $221/2520\le S\le167/840$. Combinando o limite de truncamento $0.004$ com arredondamento para três casas decimais, obtém-se $0.004+0.0005=0.0045$.

Exemplo resolvido. Estime $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ com quatro termos e limite o erro.

Os termos $\tfrac{1}{n^2}$ são positivos, decrescentes e tendem a $0$, logo $|S-S_4|\le b_5=\dfrac{1}{25}=0.04$. (A soma verdadeira é $\tfrac{\pi^2}{12}\approx 0.8225$; o erro real, cerca de $0.024$, está dentro do limite.) Use o primeiro termo omitido, $b_5$, não o último termo utilizado.

Um polinômio de Taylor usa derivadas avaliadas em um centro $a$ para construir uma aproximação finita. Até ordem $n$, ele é

Ele coincide com $f(a)$ e as derivadas até ordem $n$ em $a$. O coeficiente de $(x-a)^k$ é $f^{(k)}(a)/k!$. Use valores da derivada no centro, não expressões ainda dependendo de $x$. Centralizado em $a=0$, este é um polinômio de Maclaurin. Seu grau pode ser inferior a $n$ se um coeficiente for zero.

Exemplo resolvido: use uma tabela de derivadas. Em $a=1$, suponha que os valores das derivadas até a ordem $3$ sejam $2,-3,8,12$. Divida por $0!,1!,2!,3!$ para obter coeficientes $2,-3,4,2$. Assim

A mudança é $x-a=-0.1$, mantendo os sinais negativos nos potências ímpares. Isso resulta em $f(0.9)\approx2.338$. Uma tabela finita isolada não garante um erro numérico.

Exemplo resolvido: Maclaurin para a exponencial. Toda derivada de $e^x$ em $0$ é igual a $1$. Divida esses valores pelos seus fatoriais para obter $P_2(x)=1+x+x^2/2$. Portanto, $e^{0.1}\approx P_2(0.1)=1.105$. O valor do polinômio é exato para $P_2$, enquanto seu uso para a exponencial é uma aproximação.

Exemplo resolvido: um centro útil não nulo. Para $\ln x$ em torno de $1$, os valores das derivadas são $0,1,-1,2$ até ordem $3$. Seja $h=x-1$. Então

Em $x=1.1$, use $h=0.1$, resultando em $\ln(1.1)\approx0.0953333\ldots$. Usar $h=1.1$ avaliaria na entrada deslocada incorreta.

Ordem e grau. Para cosseno em torno de $0$, $P_2=P_3=1-x^2/2$ tem grau $2$ e coincide com as derivadas até ordem $3$.

Exemplo resolvido: uma ordem superior pode ser pior. Para $e^x$ em $-2$, $P_0=1$ tem erro cerca de $0.8647$, enquanto $P_1=-1$ tem erro cerca de $1.1353$. Mais termos não garantem menor erro em todos os pontos.

Tente. Em $a=-1$, suponha que os valores das derivadas até ordem $3$ sejam $4,2,-6,24$. Construa $P_3$ e estime $f(-0.8)$.

Resposta. Divida por fatoriais para obter coeficientes $4,2,-3,4$. Então

Em $x=-0.8$, a variação é $0.2$, resultando em $f(-0.8)\approx4+0.4-0.12+0.032=4.312$.

Exemplo resolvido. $f(2)=3$, $f'(2)=-1$, $f''(2)=4$ e $f'''(2)=12$. Escreva o polinômio de Taylor de terceiro grau sobre $x=2$ e estime $f(2.1)$.

Divida cada derivada pelo seu fatorial: $\dfrac{4}{2!}=2$ e $\dfrac{12}{3!}=2$. Portanto,

Esquecer os fatoriais (escrever $4(x-2)^2$ em vez de $\tfrac{4}{2!}(x-2)^2$) é o erro mais comum.

A estimativa de erro de Lagrange fornece um limite superior para o erro absoluto de uma aproximação de Taylor. Seja $P_n$ incluindo os termos até a ordem $n$ em torno de $a$ e escreva $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$. Se as derivadas até a ordem $n+1$ forem contínuas no intervalo fechado que liga $a$ e $x$, e $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ em todo esse intervalo, então

A constante $M$ pode ser qualquer limite superior justificado; não precisa ser o máximo exato. Verifique todo o intervalo, não apenas o centro ou o alvo. Quando $x<a$, use o intervalo $[x,a]$ e a distância positiva $|x-a|$.

Exemplo resolvido: certifique um valor. Para $e^x$ em $x=0.1$, $P_2=1+x+x^2/2$ dá $1.105$. Em $[0,0.1]$, a terceira derivada satisfaz $e^t\le e^{0.1}<1.2$, então escolha $M=1.2$. Então

Isso certifica erro no máximo $0.001$. Não diz que o erro real é igual a $0.0002$. O valor $M=1$ seria muito pequeno, pois $e^t>1$ para $t>0$.

Exemplo resolvido: um intervalo uniforme. Em $[-1,1]$, toda derivada de $e^x$ é no máximo $e<3$. Para o mesmo $P_2$, escolha o limite fixo $M=3$. Exigir erro no máximo $0.0005$ resulta em

Assim, $[-0.1,0.1]$ é certificado por este limite e está dentro do intervalo onde $M$ é válido. Não é necessariamente o maior intervalo onde a aproximação real atende à tolerância.

Compare dois limites. Para $\cos(0.2)$, $P_2=1-x^2/2=0.98$. A terceira derivada tem magnitude no máximo $1$, resultando em $B_2=0.2^3/3!=0.001333\ldots$. Isso não certifica a tolerância $0.001$, mas também não prova falha. A série cosseno neste ponto alterna com termos decrescentes tendendo a $0$. Seu primeiro termo omitido não nulo fornece o limite mais rigoroso

Aqui $P_2=P_3$ porque o coeficiente cúbico é zero. O limite de Lagrange da quarta derivada com $n=3$ e $M=1$ dá a mesma estimativa mais rigorosa. A ordem de Taylor pode ser maior que o grau real do polinômio.

Tente. Suponha $|f^{(4)}(t)|\le9$ em $[1.8,2]$, com derivadas contínuas até a ordem $4$. Estime o erro de sua aproximação de Taylor de terceira ordem em torno de $2$ em $x=1.8$. Ela atende à tolerância $0.001$?

Resposta. Use distância $0.2$ e denominador $4!$. O limite é $9(0.2)^4/24=0.0006\le0.001$, garantindo a tolerância.

A ordem não garante um limite menor. Reavalie tanto o limite da derivada quanto a distância ao aumentar a ordem. Para o seno em $x=4$, centrado em $0$, $M=1$ funciona para toda derivada. O limite de ordem-$0$ é $4$, mas o de ordem-$1$ é $4^2/2!=8$. Um fatorial maior isoladamente não resolve a comparação.

Exemplo resolvido. Continue o exemplo acima: suponha $|f^{(4)}(x)|\le 30$ para $2\le x\le 2.1$. Então, com $n=3$,

Assim, $P_3(2.1)=2.922$ está dentro de $0.000125$ de $f(2.1)$. Use a próxima derivada após o grau do polinômio: um polinômio de grau-$3$ usa $f^{(4)}$ e $4!$.

Uma série de potências é uma soma de termos $c_n(x-a)^n$, onde os números $c_n$ não dependem de $x$. Seu raio de convergência $R$ mede uma distância do centro $a$. Para $0<R<\infty$, ela converge absolutamente para $|x-a|<R$ e diverge para $|x-a|>R$. Teste os dois pontos extremos separadamente para completar o intervalo de convergência. O próprio centro sempre está incluído; os termos de potência positiva se anulam ali.

Use o teste da razão nos termos completos quando seu limite estiver disponível. Mantenha o fator envolvendo $x$, resolva para uma distância e verifique o centro diretamente se a expressão da razão for indefinida lá. Um limite de $1$ é inconclusivo, não prova de divergência.

Exemplo resolvido: um centro deslocado. Para $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n n}$, a razão absoluta, longe do centro, é

Assim, $|x-2|<3$, ou $-1<x<5$. O centro é $2$ e $R=3$, não a extremidade direita $5$ nem a largura $6$. Em $x=2$, todo termo é $0$. Em $x=-1$, a série original torna-se $\sum(-1)^n/n$, que converge pelo teste da série alternada: $1/n$ decresce até $0$. Em $x=5$, ela se torna a série harmônica divergente $\sum1/n$. O intervalo completo é $[-1,5)$.

O mesmo raio pode dar diferentes colchetes. Com $t=(x-2)/3$ e $n\ge1$, essas famílias têm todas centro $2$, raio $3$ e limite da razão absoluta $|t|$.

Exemplo resolvido: inverta os extremos incluídos. Para $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(x+1)^n/(2^n n)$, o limite da razão absoluta é $|x+1|/2$. Logo $a=-1$, $R=2$ e os limites candidatos são $-3$ e $1$. Em $-3$, os dois fatores $(-1)^n$ se cancelam e resultam na série harmônica divergente. Em $1$, a série alternada harmônica converge. O intervalo é $(-3,1]$.

Raios especiais. Para $\sum_{n=1}^{\infty}n!(x-2)^n$, a razão absoluta $(n+1)|x-2|$ cresce sem limite para cada $x\ne2$. Apenas $x=2$ converge, logo $R=0$ e o conjunto é $\{2\}$. Para $\sum_{n=1}^{\infty}(x-2)^n/n!$, a razão $|x-2|/(n+1)$ tende a $0$ para cada real fixo $x$, logo $R=\infty$ e o intervalo é $(-\infty,\infty)$. Esses casos não possuem dois valores finitos distintos de fronteira para testar.

Exemplo resolvido: o raio permanece o mesmo. No intervalo aberto, uma série potencial de raio positivo é a série de Taylor de sua função soma. Diferenciar ou integrar preserva seu raio, mas pode alterar os resultados da fronteira. A série $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ tem intervalo $[-1,1)$. Diferenciar resulta em $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}$, com intervalo $(-1,1)$: os termos não tendem a $0$ em nenhum extremo. Integrando de $0$ a $x$ obtém-se $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n+1}/[n(n+1)]$, com intervalo $[-1,1]$: os termos absolutos da fronteira são no máximo $1/n^2$, logo o teste de comparação se aplica. Todos os três raios são $1$.

Tente agora. Encontre o centro, o raio e o intervalo para $\sum_{n=1}^{\infty}(x+2)^n/(4^n n^2)$, com justificativa para cada resultado de fronteira.

Resposta. O limite da razão é $|x+2|/4$, então o centro é $-2$, o raio é $4$ e os limites candidatos são $-6$ e $2$. Ambas as séries de fronteira convergem absolutamente pelo teste da p-série $p$ com $p=2$. O intervalo é $[-6,2]$.

Estender a fórmula do polinômio de Taylor para infinitos termos produz uma série de Taylor (ou Maclaurin). Num centro $a$, sua fórmula é

Um polinômio de Taylor finito é uma soma parcial. Para representar $f(x)$ exatamente, a diferença $f(x)-P_N(x)$ deve tender a $0$ conforme $N$ cresce. A convergência da série sozinha não estabelece igualdade à função original. Para as quatro identidades padrão abaixo, os intervalos onde a igualdade vale são conhecidos.

Derive o padrão do cosseno. As derivadas de $\cos x$ repetem-se a cada quatro passos. Seus valores em $0$ são $1,0,-1,0,1,\ldots$. Dividindo cada um pelo fatorial de sua ordem, obtemos coeficientes $1,0,-1/2!,0,1/4!,\ldots$. As potências ímpares têm coeficientes nulos; as potências pares alternam sinais.

Essas identidades de seno, cosseno e exponencial valem para todo real $x$.

Use radianos para seno e cosseno. A identidade geométrica exige $-1<x<1$: em qualquer extremidade, seus termos não tendem a $0$. Seus coeficientes são $1$, sem denominadores fatoriais.

Exemplo resolvido: altere o centro. Para $e^x$ centrado em $1$, todos os valores das derivadas são $e$. Portanto

Essa identidade vale para todo real $x$. Em $x=1$, todas as potências positivas anulam-se e deixam o valor correto $e$. Usar $x^n$ em vez disso colocaria a expansão no centro errado.

Termos e grau. Os primeiros três termos não nulos do cosseno dão $1-x^2/2+x^4/24$. Este é grau $4$, não grau $3$. Os primeiros três termos não nulos do seno têm maior potência $5$. Uma tabela finita de valores de derivadas determina um polinômio de Taylor finito; sem um padrão, ela não determina todos os termos superiores.

Tente agora. Use $h=x-\pi/2$ e $\sin(\pi/2+h)=\cos(h)$ para encontrar a série de Taylor de $\sin x$ centrada em $\pi/2$.

Resposta. Substitua $h$ na identidade do cosseno:

É válido para todo real $x$. Os primeiros três termos não nulos são $1-(x-\pi/2)^2/2!+(x-\pi/2)^4/4!$. As potências são potências pares da entrada deslocada, embora a série de Maclaurin do seno use potências ímpares de $x$.

Novas séries vêm de manipular estas – substituindo, diferenciando, integrando ou multiplicando.

Exemplo resolvido. Encontre a série de Maclaurin para $e^{x^2}$. Substitua $x^2$ por $x$ em $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

que converge para todo $x$. Este truque de substituição é muito mais rápido do que diferenciar $e^{x^2}$ seis vezes.

Como uma série de potências pode ser diferenciada e integrada termo a termo (dentro de seu raio), você pode construir novas séries a partir das conhecidas – ex.: integre a série geométrica para $\dfrac{1}{1-x}$ para obter a série para $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, ou substitua $-x^2$ para obter a série para $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representar uma função como uma série de potências permite aproximar valores e integrais que não possuem primitivas elementares.

Habilidade para prova: a resposta discursiva de séries do BC geralmente pede para você derivar uma nova série de Maclaurin a partir de uma conhecida, encontrar seu intervalo de convergência e usar o limite da série alternada ou de Lagrange para estimar o erro – as habilidades culminantes do curso.

• Teste uma série para convergência com a ferramenta certa: geométrica ($|r|<1$, soma $\tfrac{a}{1-r}$), $n$-ésimo termo, razão, integral, comparação ou teste de série alternada.
• Uma série geométrica com primeiro termo não nulo converge exatamente quando $|r|<1$. Trate a série inteiramente nula diretamente.
• Construa uma série de Taylor/Maclaurin para aproximar uma função; mais termos dão um ajuste melhor perto do centro.
• Conheça as séries de Maclaurin padrão para $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ e $\tfrac{1}{1-x}$.
• Encontre o raio/intervalo de convergência com o teste da razão, depois verifique os pontos extremos separadamente.