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Sequências e Séries Infinitas

Cálculo BC do AP · Tópico 10

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8:20

Séries Infinitas

Você pode somar infinitamente muitos números e obter uma resposta finita? Surpreendentemente, sim. Some para sempre, e às vezes o total foge para o infinito — mas às vezes ele…

Narração em inglês · Legendas em inglês + 中文 gravadas

10.1

Definindo Séries Infinitas Convergentes e Divergentes
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.1 A $n$-ésima soma parcial é definida como a soma dos primeiros $n$ termos de uma série. APENAS BC
  • LIM-7.A.2 Uma série infinita de números converge para um número real $S$ (ou tem soma $S$), se e somente se o limite de sua sequência de somas parciais existe e é igual a $S$. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Bonecas matrioskas aninhadas: uma série infinita continua adicionando termos — algumas convergem, outras divergem
Bonecas matrioskas aninhadas: uma série infinita continua adicionando termos — algumas convergem, outras divergem

Uma série infinita 无穷级数 adiciona infinitamente muitos termos, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Seu valor é definido como o limite das somas parciais 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Se $S_N$ se aproxima de um número finito $L$, a série converge 收敛 para $L$; caso contrário, ela diverge 发散. Cada pergunta de convergência é realmente uma pergunta sobre o limite das somas parciais.

Somas parciais de uma série geométrica convergente sobem em direção a over um menos r
Para a série geométrica com $a=1,\ r=\tfrac12$, as somas parciais $S_1,S_2,S_3,\dots$ sobem em direção ao limite $\dfrac{a}{1-r}=2$ – esse limite é o valor da série.
Vocabulário Treinar
Inglês Chinês Pinyin
infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ 无穷级数 wú qióng jí shù
partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/ 部分和 bù fèn hé
converges/kənˈvɜːdʒɪz/ 收敛 shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ 发散 fā sàn
geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ 几何级数 jǐ hé jí shù
integral test/ˈɪntɪɡrəl test/ 积分判别法 jī fēn pàn bié fǎ
harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ 调和级数 tiáo hé jí shù
Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/ 直接比较 zhí jiē bǐ jiào
Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/ 极限比较 jí xiàn bǐ jiào
alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ 交错级数 jiāo cuò jí shù
ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/ 比值判别法 bǐ zhí pàn bié fǎ
converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/ 绝对收敛 jué duì shōu liǎn
converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/ 条件收敛 tiáo jiàn shōu liǎn
10.2

Trabalhando com Séries Geométricas
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.3 Uma série geométrica é uma série com uma razão constante entre termos sucessivos. APENAS BC
  • LIM-7.A.4 Se $a$ for um número real e $r$ for um número real tal que $|r| < 1$, então a série geométrica $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Série geométrica & convergência

Uma série geométrica 几何级数 $\sum ar^{n}$ tem uma razão constante $r$ entre os termos. Ela converge exatamente quando $|r|<1$, e então

$$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$
Esta é a única série cuja soma você pode encontrar exatamente, e ela fundamenta séries de potências mais tarde na unidade.

Exemplo resolvido. Some $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Aqui $a=3$ e $r=\tfrac12$ (com $|r|<1$), então a soma é $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

Uma sequência geométrica multiplica pela mesma razão em cada etapa
Uma sequência geométrica multiplica pela mesma razão em cada etapa
Explorar

Quando uma série geométrica converge

Uma série geométrica $\sum ar^n$ converge apenas quando $|r|<1$, somando para $\frac{a}{1-r}$. Altere a razão e observe as somas parciais se estabilizarem ou divergirem.

10.3

O Teste do n-ésimo Termo para Divergência
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.5 O teste do $n$-ésimo termo é um teste para divergência de uma série. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Se os termos não diminuírem para zero, a soma não pode se estabilizar: se $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, a série diverge. Este é apenas um teste para divergência – se os termos forem zero, o teste é inconclusivo (a série ainda pode divergir, como a série harmônica). Sempre verifique este teste rápido primeiro.

10.4

Teste Integral para Convergência
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.6 O teste integral é um método para determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Se $a_n=f(n)$ para uma função positiva, decrescente e contínua $f$, então $\sum a_n$ e $\int_1^\infty f(x)\,dx$ convergem ou divergem juntos. O teste da integral 积分判别法 transforma uma questão de série em uma questão de integral imprópria, sendo ele quem prova a regra das séries p abaixo.

10.5

Série Harmônica e Séries p
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.7 Além das séries geométricas, séries comuns de números incluem a série harmônica, a série harmônica alternada e as séries $p$. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma série p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p\le1$. O caso especial $p=1$, $\sum\dfrac1n$ é a série harmônica 调和级数 – ela diverge mesmo com seus termos tendendo a zero (um fato famoso e essencial). A família das séries p é o padrão para testes de comparação.

10.6

Testes de Comparação para Convergência
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.8 O teste de comparação é um método para determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC
  • LIM-7.A.9 O teste de comparação de limites é um método para determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Compare uma série desconhecida a uma conhecida (uma série p ou geométrica):

  • Comparação direta 直接比较: se $0\le a_n\le b_n$ e $\sum b_n$ converge, então $\sum a_n$ também; se $a_n\ge b_n\ge0$ e $\sum b_n$ diverge, então $\sum a_n$ também.
  • Comparação pelo limite 极限比较: se $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ for um número finito positivo, as duas séries se comportam da mesma forma. Isso é mais fácil quando os termos apenas se comportam como uma série conhecida.
10.7

Teste de Série Alternada para Convergência
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.10 O teste das séries alternadas é um método para determinar se uma série alternada converge. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma série alternada 交错级数 tem termos que alternam sinal, $\sum(-1)^n b_n$. Ela converge se os $b_n$ forem positivos, decrescentes e $\lim b_n=0$. Isso permite que séries como $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converjam, mesmo que os mesmos termos sem os sinais (a série harmônica) diverjam.

10.8

Teste da Razão para Convergência
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.11 O teste da razão é um método para determinar se uma série numérica converge ou diverge. APENAS BC
    • Declaração de exclusão: O teste do n-ésimo termo para divergência, o teste integral, o teste de comparação, o teste de comparação de limites, o teste das séries alternadas e o teste da razão para convergência são avaliados no Exame de Cálculo AP BC. Outros métodos não são avaliados no exame. No entanto, os professores podem incluir métodos adicionais no curso, se houver tempo.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O teste da razão 比值判别法 examina $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

  • $L<1$: a série converge absolutamente;
  • $L>1$: ela diverge;
  • $L=1$: inconclusivo.

É o teste padrão para séries com fatoriais ou potências de $n$, e é exatamente assim que você encontra o raio de convergência de uma série de potências.

Exemplo resolvido. Teste $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. A razão é $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, logo a série converge.

10.9

Determinando Convergência Absoluta ou Condicional
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

  • LIM-7.A.12 Uma série pode ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. APENAS BC
  • LIM-7.A.13 Se uma série converge absolutamente, então ela converge. APENAS BC
  • LIM-7.A.14 Se uma série converge absolutamente, então qualquer série obtida dela por reagrupamento ou reorganização dos termos terá o mesmo valor. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma série converge absolutamente 绝对收敛 se $\sum|a_n|$ converge. Ela converge condicionalmente 条件收敛 se $\sum a_n$ converge mas $\sum|a_n|$ diverge (o exemplo clássico é $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). A convergência absoluta é a propriedade mais forte; a convergência condicional depende do cancelamento de sinais.

10.10

Limite de Erro de Série Alternada
Programa

Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

Objetivo de Aprendizagem LIM-7.B: Aproximar a soma de uma série. APENAS BC

  • LIM-7.B.1 Se uma série alternada converge pelo teste da série alternada, então o limite de erro da série alternada pode ser usado para limitar quão longe uma soma parcial está do valor da série infinita. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para uma série alternada convergente, o erro ao parar na $N$-ésima soma parcial é não maior que o primeiro termo omitido:

$$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$
Este limite simples e poderoso permite determinar quantos termos garantem uma precisão desejada.

10.11

Encontrando Aproximações por Polinômios de Taylor de Funções
Programa

Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

Objetivo de Aprendizagem LIM-8.A: Representar uma função em um ponto como um polinômio de Taylor. APENAS BC

  • LIM-8.A.1 O coeficiente do termo de grau $n$ em um polinômio de Taylor para uma função $f$ centrada em $x = a$ é $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. APENAS BC
  • LIM-8.A.2 Em muitos casos, à medida que o grau de um polinômio de Taylor aumenta, o polinômio de grau $n$ tenderá à função original sobre algum intervalo. APENAS BC

Objetivo de Aprendizagem LIM-8.B: Aproximar valores de função usando um polinômio de Taylor. APENAS BC

  • LIM-8.B.1 Polinômios de Taylor para uma função $f$ centrada em $x = a$ podem ser usados para aproximar valores funcionais de $f$ perto de $x = a$. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Aproximação da série de Taylor

Um polinômio de Taylor 泰勒多项os aproxima uma função perto de um centro $x=a$ usando suas derivadas ali:

$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$
Cada termo adicionado corresponde a uma derivada a mais, fazendo com que o polinômio se encaixe melhor na curva perto de $a$. Centralizado em $a=0$, ele é um polinômio de Maclaurin.

Polinômios de Taylor de sin x se encaixam mais de perto na curva à medida que o grau aumenta
Os polinômios de Maclaurin de $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – cada um corresponde a uma derivada a mais em $0$, portanto cada um se encaixa melhor em $\sin x$ sobre um intervalo mais largo antes de se afastar.

Habilidade para prova: seja capaz de construir um polinômio de Taylor a partir de uma tabela de valores de derivadas e usá-lo para estimar um valor de função.

Vocabulário Treinar
Inglês Chinês Pinyin
Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ 泰勒多项式 tài lēi duō xiàng shì
Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ 拉格朗日误差界 lā gé lǎng rì wù chā jiè
power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ 幂级数 mì jí shù
radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ 收敛半径 shōu liǎn bàn jìng
interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ 收敛区间 shōu liǎn qū jiān
10.12

Limite de Erro de Lagrange
Programa

Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

Objetivo de Aprendizagem LIM-8.C: Determinar o limite de erro associado a uma aproximação de polinômio de Taylor. APENAS BC

  • LIM-8.C.1 O limite de erro de Lagrange pode ser usado para determinar um intervalo máximo para o erro de uma aproximação de polinômio de Taylor a uma função. APENAS BC
  • LIM-8.C.2 Em algumas situações, o limite de erro da série alternada pode ser usado para limitar o erro de uma aproximação de polinômio de Taylor ao valor de uma função. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O limite de erro de Lagrange 拉格朗日误差界 limita o quanto um polinômio de Taylor pode se desviar do valor verdadeiro:

$$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$
Você limita a $(n+1)$-ésima derivada no intervalo, depois calcula – a maneira padrão de provar que uma estimativa de Taylor é precisa o suficiente.

10.13

Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências
Programa

Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

Objetivo de Aprendizagem LIM-8.D: Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência para uma série de potências. APENAS BC

  • LIM-8.D.1 Uma série de potências é uma série da forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, onde $n$ é um inteiro não negativo, $\{a_n\}$ é uma sequência de números reais e $r$ é um número real. APENAS BC
  • LIM-8.D.2 Se uma série de potências converge, ela converge em um único ponto ou tem um intervalo de convergência. APENAS BC
  • LIM-8.D.3 O teste da razão pode ser usado para determinar o raio de convergência de uma série de potências. APENAS BC
  • LIM-8.D.4 O raio de convergência de uma série de potências pode ser usado para identificar um intervalo aberto no qual a série converge, mas é necessário testar ambas as extremidades do intervalo para determinar o intervalo de convergência. APENAS BC
  • LIM-8.D.5 Se uma série de potências tem um raio de convergência positivo, então a série de potências é a série de Taylor da função à qual ela converge sobre o intervalo aberto. APENAS BC
  • LIM-8.D.6 O raio de convergência de uma série de potências obtida por diferenciação termo a termo ou integração termo a termo é o mesmo que o raio de convergência da série de potências original. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Uma série de potências 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converge para $x$ dentro de um raio de convergência 收敛半径 $R$ do centro $a$. Encontre $R$ com o teste da razão. Depois, teste os dois pontos extremos separadamente (o teste da razão é inconclusivo lá) para declarar o intervalo de convergência 收敛区间 completo – incluindo ou excluindo cada ponto extremo.

Exemplo resolvido. Encontre o raio de convergência de $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. O teste da razão dá $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, que é $<1$ quando $|x|<1$, logo $R=1$. Testando os pontos extremos, $x=-1$ fornece a série harmônica alternada convergente e $x=1$ a série harmônica divergente, logo o intervalo é $[-1,1)$.

10.14

Encontrando Séries de Taylor ou Maclaurin para uma Função
Programa

Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

Objetivo de Aprendizagem LIM-8.E: Representar uma função como uma série de Taylor ou uma série de Maclaurin. APENAS BC

  • LIM-8.E.1 Um polinômio de Taylor para $f(x)$ é uma soma parcial da série de Taylor para $f(x)$. APENAS BC

Objetivo de Aprendizagem LIM-8.F: Interpretar séries de Taylor e séries de Maclaurin. APENAS BC

  • LIM-8.F.1 A série de Maclaurin para $\dfrac{1}{1-x}$ é uma série geométrica. APENAS BC
  • LIM-8.F.2 A série de Maclaurin para $\sin x$, $\cos x$ e $e^x$ fornece a base para construir a série de Maclaurin para outras funções. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Estender um polinômio de Taylor para infinitos termos resulta em uma série de Taylor (ou Maclaurin). Memorize as principais séries de Maclaurin:

$$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$
Novas séries vêm de manipular estas – substituindo, diferenciando, integrando ou multiplicando.

Exemplo resolvido. Encontre a série de Maclaurin para $e^{x^2}$. Substitua $x^2$ por $x$ em $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

$$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$
que converge para todo $x$. Este truque de substituição é muito mais rápido do que diferenciar $e^{x^2}$ seis vezes.

Cada termo extra de Maclaurin se encaixa melhor na função sobre uma faixa mais ampla
Cada termo extra de Maclaurin se encaixa melhor na função sobre uma faixa mais ampla
Explorar

A função aproximada por uma série de Taylor

y = asen(bx + c) + d

Uma série de Taylor constrói uma função a partir de suas derivadas em um ponto; mais termos abraçam a curva (aqui $\sin x$) sobre uma faixa mais ampla.

10.15

Representando Funções como Séries de Potências
Programa

Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

Objetivo de Aprendizagem LIM-8.G: Representar uma função dada como uma série de potências. APENAS BC

  • LIM-8.G.1 Utilizando uma série conhecida, pode-se derivar uma série de potências para uma função dada por meio de operações como diferenciação termo a termo ou integração termo a termo, e por vários métodos (p.ex., processos algébricos, substituições ou usando propriedades de séries geométricas). APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Como uma série de potências pode ser diferenciada e integrada termo a termo (dentro de seu raio), você pode construir novas séries a partir das conhecidas – ex.: integre a série geométrica para $\dfrac{1}{1-x}$ para obter a série para $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, ou substitua $-x^2$ para obter a série para $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representar uma função como uma série de potências permite aproximar valores e integrais que não possuem primitivas elementares.

Habilidade para prova: a resposta discursiva de séries do BC geralmente pede para você derivar uma nova série de Maclaurin a partir de uma conhecida, encontrar seu intervalo de convergência e usar o limite da série alternada ou de Lagrange para estimar o erro – as habilidades culminantes do curso.

10.15

Dicas de prova
  • Teste uma série para convergência com a ferramenta certa: geométrica ($|r|<1$, soma $\tfrac{a}{1-r}$), $n$-ésimo termo, razão, integral, comparação ou teste de série alternada.
  • Uma geométrica infinita só converge quando $|r|<1$; caso contrário, diverge.
  • Construa uma série de Taylor/Maclaurin para aproximar uma função; mais termos dão um ajuste melhor perto do centro.
  • Conheça as séries de Maclaurin padrão para $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ e $\tfrac{1}{1-x}$.
  • Encontre o raio/intervalo de convergência com o teste da razão, depois verifique os pontos extremos separadamente.

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