The nth Term Test for Divergence · Teste do n-ésimo Termo para Divergência
| English | Português |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | Teste do Termo n-ésimo |
A quick way to prove divergence
- Before running a fancy test, do the cheapest check: look at the terms.
- The nth Term Test 通项判别法 (or Divergence Test) uses the limit of the terms $a_n$.
- If the terms don't shrink to $0$, the series can't converge — it diverges immediately.
- It's the first thing to try, and it only ever proves divergence.
Uma maneira rápida de provar divergência
- Antes de rodar um teste complicado, faça a verificação mais barata: olhe para os termos.
- O Teste do n-ésimo Termo 通项判别法 (ou Teste da Divergência) usa o limite dos termos $a_n$.
- Se os termos não diminuem até $0$, a série não pode convergir — ela diverge imediatamente.
- É a primeira coisa a tentar, e só prova divergência.
The test
- Compute $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (or the limit doesn't exist), the series $\sum a_n$ diverges.
- Intuition: if you keep adding pieces that don't shrink to $0$, the total can never settle.
- One limit computation, and you may be done.
O teste
- Calcule $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- Se $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (ou o limite não existe), a série $\sum a_n$ diverge.
- Intuição: se você continua somando pedaços que não diminuem até $0$, o total nunca pode se estabilizar.
- Um cálculo de limite, e você pode estar terminado.
Terms that don't reach zero · Termos que não atingem zero
If a series' terms level off at a nonzero value, the sum can never settle — the nth Term Test proves divergence. · Se os termos de uma série se nivelam em um valor diferente de zero, a soma nunca se estabilizará — o Teste do n-ésimo Termo prova divergência.
If $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, then $\sum a_n$... · Se $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, então $\sum a_n$...
Nonzero term limit → divergence. · Limite de termo diferente de zero → divergência.
It can never prove convergence
- If $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, the test is inconclusive — it tells you nothing.
- The series might converge or diverge; you must use another test.
- The harmonic series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges — proof the test can't confirm convergence.
- So a "$0$" limit is a dead end for this test, not a green light.
Nunca pode provar convergência
- Se $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, o teste é inconclusivo — ele não diz nada.
- A série pode convergir ou divergir; você deve usar outro teste.
- A série harmônica $\sum\tfrac1n$ tem $a_n\to0$ mas diverge — prova de que o teste não pode confirmar convergência.
- Então um limite "$0$" é um beco sem saída para este teste, não um sinal verde.
If $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, the nth Term Test is... · Se $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, o Teste do n-ésimo Termo é...
It only proves divergence; a $0$ limit tells you nothing. · Ele só prova divergência; um $0$ limite não diz nada.
The nth Term Test can prove a series converges. · O Teste do n-ésimo Termo pode provar que uma série converge.
It can only prove divergence. · Ele só pode provar divergência.
The series $\sum\tfrac1n$ has $a_n\to0$ but diverges. This shows the nth Term Test... · A série $\sum\tfrac1n$ tem $a_n\to0$, mas diverge. Isso mostra que o Teste do n-ésimo Termo...
A $0$ limit doesn't guarantee convergence. · Um $0$ limite não garante convergência.
Where it fits in the strategy
- Always run the nth Term Test first — it's fast and can save you a hard test.
- Terms not $\to0$? Done: diverges.
- Terms $\to0$? Move on to a real convergence test (geometric, integral, comparison, ratio, alternating).
- It's a filter, not a full answer.
Onde se encaixa na estratégia
- Sempre execute o Teste do n-ésimo Termo primeiro — é rápido e pode te poupar de um teste difícil.
- Termos não $\to0$? Acabou: diverge.
- Termos $\to0$? Passe para um teste real de convergência (geométrica, integral, comparação, razão, alternada).
- É um filtro, não uma resposta completa.
For · A favor $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. So the series... · Para $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. Então a série...
$\tfrac12\neq0$ → diverges. · $\tfrac12\neq0$ → diverge.
As a fast filter, run the nth Term Test ____ among the convergence tests. · Como filtro rápido, execute o Teste do n-ésimo Termo ____ entre os testes de convergência.
It's the cheapest divergence check. · É a verificação de divergência mais barata.
The nth Term Test can only prove divergence. If $\lim a_n=0$, it is inconclusive — do not conclude convergence. The single most common misuse is "$a_n\to0$, so it converges" — wrong; $\sum\frac1n$ is the counterexample.
O Teste do n-ésimo Termo pode apenas provar divergência. Se $\lim a_n=0$, ele é inconclusivo — não conclua convergência. O erro mais comum é "$a_n\to0$, então converge" — errado; $\sum\frac1n$ é o contra-exemplo.
Does $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ converge?
- Terms: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Limit: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Since the limit is $\tfrac12\neq0$, the series diverges by the nth Term Test.
A série $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$ converge?
- Termos: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Limite: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Como o limite é $\tfrac12\neq0$, a série diverge pelo Teste do n-ésimo Termo.
The nth Term Test: if $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (or DNE), then $\sum a_n$ diverges. If $\lim a_n=0$, the test is inconclusive (it never proves convergence). Run it first as a fast divergence filter.
O Teste do n-ésimo Termo: se $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (ou DNE), então $\sum a_n$ diverge. Se $\lim a_n=0$, o teste é inconclusivo (nunca prova convergência). Execute-o primeiro como um filtro rápido de divergência.