Integral Test for Convergence · Teste Integral para Convergência
| English | Português |
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| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | Teste Integral |
A series and an integral that rise or fall together
- If a series' terms come from a nice decreasing function, its fate matches that function's integral.
- The Integral Test 积分判别法 compares $\sum a_n$ with $\int f(x)\,dx$, where $a_n=f(n)$.
- Picture the terms as rectangle areas — they're bounded by the area under the curve.
- So the improper integral converging (or not) forces the series to do the same.
Uma série e uma integral que sobem ou descem juntas
- Se os termos de uma série provêm de uma função decrescente bem-behaved, seu destino coincide com o integral dessa função.
- O Teste da Integral 积分判别法 compara $\sum a_n$ com $\int f(x)\,dx$, onde $a_n=f(n)$.
- Imagine os termos como áreas de retângulos — eles são limitados pela área sob a curva.
- Então a convergência (ou não) da integral imprópria força a série a fazer o mesmo.
The conditions
- The test needs $f$ to be positive, continuous, and decreasing for $x\ge$ some point.
- Then define $a_n=f(n)$ and compare with the improper integral.
- These conditions let the rectangles sandwich the area under $f$.
- Check all three before applying — a non-decreasing $f$ breaks the comparison.
As condições
- O teste precisa que $f$ seja positivo, contínuo e decrescente para $x\ge$ algum ponto.
- Então defina $a_n=f(n)$ e compare com a integral imprópria.
- Essas condições permitem que os retângulos encaixem a área sob $f$.
- Verifique as três antes de aplicar — um $f$ não decrescente quebra a comparação.
The Integral Test requires $f$ to be which on $[1,\infty)$? · O Teste Integral exige que $f$ seja qual em $[1,\infty)$?
Positive, continuous, decreasing — not necessarily a polynomial. · Positivo, contínuo, decrescente — não necessariamente um polinômio.
The Integral Test connects a series to an integral by setting $a_n=f(\ \_\_\ )$. · O Teste Integral conecta uma série a uma integral definindo $a_n=f(\ \_\_\ )$.
The terms are the function sampled at integers. · Os termos são a função amostrada em inteiros.
The conclusion
- $\displaystyle\sum a_n$ and $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ both converge or both diverge — same fate.
- Compute the improper integral: if it's finite, the series converges; if infinite, it diverges.
- (The series' sum is not the integral's value — they only share convergence, not the number.)
- One improper integral settles the whole series.
A conclusão
- $\displaystyle\sum a_n$ e $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ ambos convergem ou ambos divergem — mesmo destino.
- Calcule a integral imprópria: se for finita, a série converge; se for infinita, ela diverge.
- (A soma da série não é o valor da integral — elas compartilham apenas convergência, não o número.)
- Uma única integral imprópria decide toda a série.
The Integral Test says $\sum a_n$ and · e $\int_1^\infty f\,dx$... · O Teste Integral diz que $\sum a_n$ e $\int_1^\infty f\,dx$...
They share fate, not value. · Elas compartilham destino, não valor.
The value of the improper integral equals the sum of the series. · O valor da integral imprópria é igual à soma da série.
They share convergence, not the value ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$). · Elas compartilham convergência, não o valor ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
Why it works
- The rectangles of area $a_n$ fit just above or below the curve $y=f(x)$.
- So the series is squeezed between $\int f$ and $\int f + a_1$ — finite integral means finite series.
- This is a rigorous "area comparison," turning a sum into an integral you can evaluate.
- It's especially handy for terms like $\tfrac1{n^p}$ and $\tfrac1{n\ln n}$.
Por que funciona
- Os retângulos de área $a_n$ cabem logo acima ou abaixo da curva $y=f(x)$.
- Então a série está comprimida entre $\int f$ e $\int f + a_1$ — integral finita significa série finita.
- Esta é uma "comparação de área" rigorosa, transformando uma soma em uma integral que você pode avaliar.
- É especialmente útil para termos como $\tfrac1{n^p}$ e $\tfrac1{n\ln n}$.
Rectangles bounded by the curve · Retângulos limitados pela curva
y = 1/x²
The term-rectangles fit against the area under $f$, so the series and the integral converge or diverge together. · Os retângulos de termos se ajustam à área sob $f$, então a série e a integral convergem ou divergem juntas.
Since $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite), the series $\sum\tfrac1{n^2}$... · Como $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finito), a série $\sum\tfrac1{n^2}$...
Finite integral → convergent series. · Integral finita → série convergente.
If $\int_1^\infty f\,dx$ diverges (to $\infty$), then $\sum a_n$... · Se $\int_1^\infty f\,dx$ diverge (para $\infty$), então $\sum a_n$...
Same fate: divergent integral → divergent series. · Mesmo destino: integral divergente → série divergente.
The Integral Test needs $f$ positive, continuous, and decreasing — verify all three. And the test shares only convergence/divergence, not the value: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ in general. Don't report the integral's value as the series' sum.
O Teste da Integral precisa que $f$ seja positivo, contínuo e decrescente — verifique os três. E o teste compartilha apenas convergência/divergência, não o valor: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ em geral. Não reporte o valor da integral como a soma da série.
Test $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ with the Integral Test.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ is positive, continuous, decreasing for $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finite, from lesson 6.13).
- The integral converges, so the series converges. (Its sum is $\tfrac{\pi^2}{6}$, not $1$.)
Teste $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ com o Teste da Integral.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ é positivo, contínuo e decrescente para $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (finito, da lição 6.13).
- A integral converge, então a série converge. (Sua soma é $\tfrac{\pi^2}{6}$, não $1$.)
The Integral Test: if $f$ is positive, continuous, and decreasing with $a_n=f(n)$, then $\sum a_n$ and $\int_1^\infty f(x)\,dx$ share the same fate (both converge or both diverge). Evaluate the improper integral to decide — but its value is not the series' sum.
O Teste da Integral: se $f$ é positivo, contínuo e decrescente com $a_n=f(n)$, então $\sum a_n$ e $\int_1^\infty f(x)\,dx$ compartilham o mesmo destino (ambos convergem ou ambos divergem). Avalie a integral imprópria para decidir — mas seu valor não é a soma da série.