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Cálculo BC do AP

Dicas

AP Cálculo BC contém todo o conteúdo de AB e adiciona funções paramétricas, polares e vetoriais, técnicas avançadas de integração, integrais impróprias, crescimento logístico e — a maior adição — sequências e séries infinitas, incluindo séries de Taylor e Maclaurin com limites de erro.

Séries é onde BC se ganha ou se perde. Os testes de convergência devem ser escolhidos, não testados sequencialmente: dada uma série, você deve saber em segundos qual teste a forma sugere e ser capaz de nomear o teste e verificar suas condições.

BC também relata uma nota subscore de AB, então o material de AB permanece totalmente avaliável e não pode ser negligenciado.

As notas cobrem o material de AB e BC na ordem do CED, dando à série o espaço necessário. Anteriores provas liberadas estão na biblioteca. Como a nota subscore de AB vem da mesma prova, as unidades de AB permanecem nas notas com profundidade total, em vez de serem resumidas.

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  • 1

    Limites e Continuidade

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    1.1

    Introduzindo Cálculo: A Mudança Pode Ocorrer em um Instante?
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-1): O cálculo nos permite generalizar o conhecimento sobre movimento para problemas diversos envolvendo mudança.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-1.A: Interpretar a taxa de mudança instantânea em termos de taxas médias de mudança sobre intervalos que contêm esse instante.

    • CHA-1.A.1 O cálculo usa limites para compreender e modelar mudança dinâmica.
    • CHA-1.A.2 Como uma taxa média de mudança divide a mudança em uma variável pela mudança em outra, a taxa média de mudança é indefinida em um ponto onde a mudança na variável independente seria zero.
    • CHA-1.A.3 O conceito de limite nos permite definir a taxa de mudança instantânea em termos de taxas médias de mudança.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O cálculo é a matemática da mudança 变化 e da acumulação 累积. Ele responde a duas grandes perguntas: quão rápido algo está mudando agora, e quanto se acumulou até agora? A Unidade 1 constrói a única ferramenta na qual ambas as perguntas se baseiam – o limite 极限.

    Comece com um enigma. O velocímetro de um carro marca $60$ km/h. O que isso significa em um único instante 瞬间? Velocidade é distância sobre tempo. Mas em um único instante nenhum tempo passa e nenhuma distância é coberta, então a fração parece ser $\tfrac{0}{0}$ – indefinido.

    • A taxa média de variação 平均变化率 usa um intervalo inteiro: a mudança em uma quantidade dividida pela mudança em outra. Divide-se por zero, tornando-se indefinida quando a mudança na entrada seria zero.
    • A taxa instantânea de variação 瞬时变化率 é o que queremos em um ponto. É o valor que a taxa média aproxima-se 趋近 conforme o intervalo diminui até comprimento zero.

    A jogada inteligente não é inserir zero (indefinido), mas observar o que a taxa média aproxima-se conforme o intervalo fica menor e menor. Esse valor de aproximação é um limite. Assim, o cálculo nos permite descrever a mudança em um instante – como um limite de taxas médias sobre intervalos cada vez mais curtos. Essa única ideia impulsiona a derivada 导数 (Unidade 2) e, executada ao contrário, a integral 积分 (Unidade 6). Tudo o resto nesta unidade define limites cuidadosamente e os calcula de forma confiável.

    Explorar

    Explore a inclinação em um instante

    y = bx² + d

    Deslize o ponto ao longo da curva. A linha tangente mostra a taxa exata de mudança $\frac{dy}{dx}$ ali — o valor que as taxas médias aproximam à medida que o intervalo encolhe até um único instante. A inclinação muda com a posição, então a mudança tem um valor em cada instante.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    limit/ˈlɪmɪt/ 极限 jí xiàn
    at a single instant/ætə ˈsɪŋɡl ˈɪnstənt/ 瞬间 shùn jiān
    average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ 平均变化率 píng jūn biàn huà lǜ
    integral/ˈɪntɪɡrəl/ 积分 jī fēn
    arbitrarily/ˌɑːbɪˈtrerɪli/ 任意地 rèn yì dì
    sufficiently/səˈfɪʃəntli/ 足够 zú gòu
    behavior/bɪˈheɪvjə/ 行为 xíng wéi
    graphically/ˈɡræfɪkli/ 用图象 yòng tú xiàng
    numerically/njuːˈmerɪkli/ 用数值 yòng shù zhí
    analytically/ˌænəˈlɪtɪkli/ 用解析式 yòng jiě xī shì
    left-hand limit/left hænd ˈlɪmɪt/ 左极限 zuǒ jí xiàn
    right-hand limit/raɪt hænd ˈlɪmɪt/ 右极限 yòu jí xiàn
    one-sided limits/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪts/ 单侧极限 dān cè jí xiàn
    open circle/ˈəʊpən ˈsɜːkl/ 空心圆 kōng xīn yuán
    1.2

    Definindo Limites e Usando Notação de Limite
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-1.A: Representar analiticamente limites usando notação correta.

    • LIM-1.A.1 Dada uma função $f$, o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $c$ é um número real $R$ se $f(x)$ puder ser feito arbitrariamente próximo de $R$ tomando-se $x$ suficientemente próximo de $c$ (mas não igual a $c$). Se o limite existir e for um número real, a notação comum é $\lim_{x \to c} f(x) = R$.
      • Declaração de exclusão: A definição epsilon-delta de um limite não é cobrada na prova AP Calculus AB ou BC. No entanto, os professores podem incluir este tópico no curso se houver tempo disponível.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-1.B: Interpretar limites expressos em notação analítica.

    • LIM-1.B.1 Um limite pode ser expresso de várias maneiras, incluindo graficamente, numericamente e analiticamente.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma curva de ponte suave: limites descrevem o valor que um gráfico se aproxima conforme damos zoom
    Uma curva de ponte suave: limites descrevem o valor que um gráfico se aproxima conforme damos zoom

    Dada uma função $f$, o limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $c$ é um número real $R$ se $f(x)$ puder ser tornado arbitrariamente 任意地 próximo de $R$ tomando $x$ suficientemente 足够 próximo de $c$ – mas não igual a $c$. Escrevemos

    $$\lim_{x \to c} f(x) = R$$
    e lemos: "o limite de $f(x)$, quando $x$ se aproxima de $c$, é igual a $R$."

    As últimas palavras são o cerne de um limite: elas descrevem o comportamento 行为 de $f$ perto de $c$, não o valor em $c$. A função pode estar indefinida em $c$, ou definida mas igual a outra coisa – o limite não se importa.

    Um limite pode ser mostrado de três maneiras: graficamente 用图象, numericamente 用数值 (uma tabela) e analiticamente 用解析式 (álgebra). Aprender a transitar entre essas representações é uma habilidade central.

    (Nota: a definição epsilon-delta de um limite não é testada no Exame AP, portanto este material não a utiliza.)

    1.3

    Estimando Valores de Limites a partir de Gráficos
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-1.C: Estimar limites de funções.

    • LIM-1.C.1 O conceito de limite inclui limites laterais.
    • LIM-1.C.2 Informações gráficas sobre uma função podem ser usadas para estimar limites.
    • LIM-1.C.3 Devido a questões de escala, representações gráficas de funções podem omitir comportamentos importantes da função.
    • LIM-1.C.4 Um limite pode não existir para algumas funções em valores específicos de $x$. Algumas maneiras pelas quais o limite pode não existir são se a função for ilimitada, se a função estiver oscilando perto desse valor, ou se o limite pela esquerda não for igual ao limite pela direita.
      • Exemplos ilustrativos para LIM-1.C.4:
        • $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = \infty$
        • $\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{x}$ não existe.
        • $\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)$ não existe.
        • $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ não existe.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Um gráfico é frequentemente a maneira mais rápida de ler um limite. Para encontrar $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, passe o dedo ao longo da curva em direção a $x = c$ de cada lado e pergunte: para que altura a curva está indo?

    • Rastreie da esquerda (entradas menores que $c$): isso dá o limite lateral esquerdo 左极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
    • Rastreie da direita (entradas maiores que $c$): isso dá o limite lateral direito 右极限, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
    • Estes são os limites laterais 单侧极限. Se ambos apontarem para a mesma altura $R$, então o limite bilateral existe e $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

    Crucialmente, ignore o próprio ponto. Os gráficos marcam a diferença entre o limite e o valor:

    • Um círculo aberto 空心圆 marca uma altura que a curva aproxima-se mas não alcança – um "buraco" 空洞.
    • Um círculo fechado 实心圆 marca o valor real $f(c)$.

    Então uma curva pode aproximar-se de $R = 3$ de ambos os lados (limite é $3$) enquanto um ponto preenchido fica na altura $5$ (valor $f(c) = 5$). O limite é $3$; os dois não precisam coincidir.

    Um limite não existe (frequentemente escrito NEX) quando os dois lados discordam (um salto 跳跃), quando a função é ilimitada 无界 (cresce sem limite) ou quando oscila 振荡 para sempre perto de $c$. Por exemplo:

    $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty, \qquad \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x}\ \text{DNE}, \qquad \lim_{x \to 0} \sin\!\left(\frac{1}{x}\right)\ \text{DNE}.$$

    Observe a escala 比例 de um gráfico: uma imagem com zoom out pode esconder comportamento importante perto de um ponto, então confirme com álgebra quando possível.

    Um limite existe em x=2 mesmo que o valor da função f(2) seja diferente
    O círculo aberto é a altura que a curva se aproxima (o limite); o ponto cheio é o valor real $f(2)$ -- eles não precisam coincidir.
    Explorar

    Leia um limite no gráfico

    y = ax² + bx + c

    O limite quando $x\to c$ é a altura para a qual a curva se dirige de ambos os lados — trata-se de para onde a função está indo, não seu valor em $c$. Siga a curva em direção a um $x$ e leia o $y$ que ela se aproxima.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    hole/həʊl/ 空洞 kōng dòng
    closed circle/kləʊzd ˈsɜːkl/ 实心圆 shí xīn yuán
    jump/dʒʌmp/ 跳跃 tiào yuè
    unbounded/ʌnˈbaʊndɪd/ 无界 wú jiè
    oscillates/ˈɒsɪleɪts/ 振荡 zhèn dàng
    scale/skeɪl/ 比例 bǐ lì
    table/ˈteɪbl/ 表格 biǎo gé
    limit theorems/ˈlɪmɪt ˈθɪərəmz/ 极限定理 jí xiàn dìng lǐ
    Composite/ˈkɒmpəzɪt/ 复合函数 fù hé hán shù
    direct substitution/daɪˈrekt ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ 直接代入 zhí jiē dài rù
    indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ 未定式 wèi dìng shì
    equivalent form/ɪˈkwɪvələnt fɔːm/ 等价形式 děng jià xíng shì
    Factor and cancel/ˈfæktə ænd ˈkænsl/ 因式分解并约分 yīn shì fēn jiě bìng yuē fēn
    rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ 有理函数 yǒu lǐ hán shù
    conjugate/ˈkɒndʒuːɡeɪt/ 共轭 gòng è
    1.4

    Estimando Valores de Limites a partir de Tabelas
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-1.C: Estimar limites de funções.

    • LIM-1.C.5 Informações numéricas podem ser usadas para estimar limites.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Quando você tem dados ou uma fórmula mas não tem imagem, uma tabela 表格 de valores estima um limite numericamente. Escolha entradas que se aproximem sorrateiramente de $c$ de ambos os lados e observe as saídas.

    Por exemplo, para estimar $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (que é $\tfrac{0}{0}$ em $x=2$):

    $x$ $1.9$ $1.99$ $1.999$ $\to 2 \leftarrow$ $2.001$ $2.01$ $2.1$
    $f(x)$ $3.9$ $3.99$ $3.999$ ? $4.001$ $4.01$ $4.1$

    Ambos os lados marcham em direção a $4$, então estimamos que o limite é $4$. Uma tabela apenas sugere um valor – é uma estimativa numérica, não uma prova.

    1.5

    Determinando Limites Usando Propriedades Algébricas de Limites
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-1.D: Determinar os limites de funções usando teoremas de limite.

    • LIM-1.D.1 Limites laterais podem ser determinados analiticamente ou graficamente.
    • LIM-1.D.2 Limites de somas, diferenças, produtos, quocientes e funções compostas podem ser encontrados usando teoremas de limite.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A maioria dos limites é encontrada analiticamente usando teoremas de limite 极限定理. Se $\lim_{x\to c} f(x)$ e $\lim_{x\to c} g(x)$ ambos existem, o limite de uma combinação é a mesma combinação dos limites:

    • Soma / diferença: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
    • Produto: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
    • Quociente: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, desde que o limite inferior não seja $0$.
    • Composto 复合函数: se $g$ é contínuo em $\lim_{x\to c} f(x)$, então $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

    A regra prática: para uma função construída a partir de polinômios, raízes e semelhantes, tente primeiro a substituição direta 直接代入 – insira $x = c$. Se você obter um número real, esse é o limite. Os limites laterais obedecem aos mesmos teoremas, lidos apenas em uma direção.

    1.6

    Determinando Limites Usando Manipulação Algébrica
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-1.E: Determinar os limites de funções usando expressões equivalentes para a função ou o teorema do encaixe (teorema do sanduíche).

    • LIM-1.E.1 Pode ser necessário ou útil rearranjar expressões em formas equivalentes antes de avaliar limites.
      • Exemplos ilustrativos para LIM-1.E.1:
        • Fatoração e divisão de fatores comuns de funções racionais
        • Multiplicação por uma expressão envolvendo o conjugado de uma soma ou diferença para simplificar funções envolvendo radicais
        • Uso de formas alternativas de funções trigonométricas

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A substituição direta às vezes resulta na forma indeterminada 未定式 $\tfrac{0}{0}$. Isso não significa que o limite falha – significa que você deve reescrever a função em uma forma equivalente 等价形式 que remova o problema, e então fazer a substituição. Três movimentos padrão:

    • Fatore e cancele 因式分解并约分 uma função racional 有理函数. Exemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
    • Multiplique pelo conjugado 共轭 para simplificar um radical 根式. Exemplo: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
    • Use formas alternativas de funções trigonométricas (identidades) para simplificar.

    O fator cancelado é por isso que o gráfico original tinha um buraco: as duas funções concordam em todos os lugares exceto em $x=c$, portanto, elas compartilham o mesmo limite lá.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    radical/ˈrædɪkl/ 根式 gēn shì
    1.7

    Selecionando Procedimentos para Determinar Limites
    Programa

    Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento apropriado para determinar limites. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à determinação de limites.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Este é um tópico de habilidade, não novo conteúdo: escolha a ferramenta certa para o limite à sua frente.

    1. Tente a substituição direta primeiro. Uma resposta real significa que você terminou.
    2. Obtendo $\tfrac{0}{0}$? Reescreva – fatore e cancele, ou use o conjugado, ou uma identidade trigonométrica – e depois substitua.
    3. Um número não-zero sobre $0$ (como $\tfrac{5}{0}$)? O limite é infinito ou não existe (DNE) – verifique o sinal de cada lado (veja assíntotas verticais abaixo).
    4. Quando $x\to\pm\infty$? Compare os termos dominantes 主导 (veja limites no infinito).
    5. Preso entre duas funções? O teorema do confronto pode ser aplicado.
    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    dominant/ˈdɒmɪnənt/ 主导 zhǔ dǎo
    squeeze theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ 夹逼定理 jiā bī dìng lǐ
    discontinuous/dɪskənˈtɪnjuːəs/ 间断 jiàn duàn
    Removable discontinuity/rɪˈmuːvəbl dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ 可去间断 kě qù jiàn duàn
    Jump discontinuity/dʒʌmp dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ 跳跃间断 tiào yuè jiàn duàn
    Infinite discontinuity/ˈɪnfɪnət dɪskɒntɪˈnjuːɪti/ 无穷间断 wú qióng jiàn duàn
    1.8

    Determinando Limites Usando o Teorema do Confronto
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-1): O raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre limites.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-1.E: Determinar os limites de funções usando expressões equivalentes para a função ou o teorema do encaixe (teorema do sanduíche).

    • LIM-1.E.2 O limite de uma função pode ser encontrado usando o teorema do encaixe (teorema do sanduíche).
      • Exemplos ilustrativos para LIM-1.E.2: O teorema do encaixe pode ser usado para mostrar $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ e $\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O teorema do confronto 夹逼定理 (também chamado de teorema do sanduíche) encontra um limite aprisionando a função entre outras duas. Se $g(x) \le f(x) \le h(x)$ perto de $c$, e

    $$\lim_{x\to c} g(x) = \lim_{x\to c} h(x) = L,$$
    então $f$ é comprimido até o mesmo lugar: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

    Os dois resultados famosos provados dessa forma, ambos usados extensivamente no cálculo, são:

    $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0.$$

    O Teorema do Confronto aprisiona x squared sin(1/x) entre menos x squared e x squared
    O Teorema do Confronto aprisiona x squared sin(1/x) entre menos x squared e x squared
    1.9

    Conectando Múltiplas Representações de Limites
    Programa

    Este tópico tem como foco conectar representações. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados a limites e traduzir informações matemáticas de uma única representação ou através de múltiplas representações.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Outro tópico de habilidade: o mesmo limite vive em um gráfico, uma tabela e uma forma algébrica, e você deve ser capaz de traduzir entre eles. Um gráfico mostra a forma e quaisquer buracos ou saltos; uma tabela fornece evidências numéricas; a álgebra dá um valor exato e uma razão. Respostas fortes usam uma representação para confirmar outra.

    1.10

    Explorando Tipos de Descontinuidades
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-2.A: Justificar conclusões sobre continuidade em um ponto usando a definição.

    • LIM-2.A.1 Os tipos de descontinuidades incluem descontinuidades removíveis, descontinuidades de salto e descontinuidades devido a assíntotas verticais.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma função é descontínua 间断 at $c$ quando seu gráfico "quebra" ali. Existem três tipos:

    • Descontinuidade removível 可去间断 – um único buraco. O limite lateral existe, mas o ponto está ausente ou mal posicionado.
    • Descontinuidade de salto 跳跃间断 – os dois limites laterais existem, mas discordam, então a curva salta.
    • Descontinuidade infinita 无穷间断 – a função explode para $\pm\infty$ em uma assíntota vertical 垂直渐近线.
    Os três tipos de descontinuidade: removível, salto e infinito
    Os três tipos de descontinuidade: removível, salto e infinito
    1.11

    Definindo Continuidade em um Ponto
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-2.A: Justificar conclusões sobre continuidade em um ponto usando a definição.

    • LIM-2.A.2 Uma função $f$ é contínua em $x = c$ desde que $f(c)$ exista, $\lim_{x \to c} f(x)$ exista e $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A continuidade é definida por um teste de três partes. Uma função $f$ é contínua 连续 at $x=c$ exatamente quando as três condições são atendidas:

    $$\boxed{\;f(c)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x)\text{ exists}\quad\text{and}\quad \lim_{x\to c} f(x) = f(c)\;}$$

    Em palavras: o ponto está lá, o limite está lá, e os dois concordam. Se qualquer uma falhar, $f$ é descontínua em $c$. Este teste é a espinha dorsal de quase todas as questões de continuidade, então aprenda-o como uma lista de verificação.

    1.12

    Confirmando Continuidade sobre um Intervalo
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-2.B: Determinar intervalos sobre os quais uma função é contínua.

    • LIM-2.B.1 Uma função é contínua em um intervalo se a função for contínua em cada ponto do intervalo.
    • LIM-2.B.2 Funções polinomiais, racionais, potências, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas são contínuas em todos os pontos de seus domínios.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma função é contínua em um intervalo 在区间上连续 se for contínua em cada ponto desse intervalo. Você raramente verifica ponto por ponto, porque famílias inteiras são contínuas em seus domínios:

    Funções polinomiais, racionais, potências, exponenciais 指数, logarítmicas 对数 e trigonométricas 三角 são contínuas em cada ponto de seus domínios.

    Assim, uma função racional é contínua em toda parte exceto onde seu denominador é zero; $\ln x$ é contínua para $x>0$; e assim por diante. Saber isso permite declarar a continuidade rapidamente e com precisão.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    interval/ˈɪntəvl/ 区间 qū jiān
    instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ 瞬时变化率 shùn shí biàn huà lǜ
    approaches/əˈprəʊtʃɪz/ 趋近 qū jìn
    derivative/dɪˈrɪvətɪv/ 导数 dǎo shù
    1.13

    Removendo Descontinuidades
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-2.C: Determinar valores de $x$ ou resolver parâmetros que tornem funções descontínuas contínuas, se possível.

    • LIM-2.C.1 Se o limite de uma função existe em uma descontinuidade em seu gráfico, é possível remover a descontinuidade definindo ou redefinindo o valor da função nesse ponto, de modo que ele seja igual ao valor do limite da função quando $x$ se aproxima desse ponto.
    • LIM-2.C.2 Para que uma função definida por partes seja contínua na fronteira da partição de seu domínio, o valor da expressão que define a função de um lado da fronteira deve ser igual ao valor da expressão que define o outro lado da fronteira, bem como ao valor da função no ponto de fronteira.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Se o limite existe em um buraco, a descontinuidade é removível: redefina a função naquele único ponto para igualar o limite, e o gráfico será reparado. Formalmente, defina o valor ausente como $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

    Para uma função definida por partes 分段函数, a continuidade em uma fronteira $x=c$ exige que as duas partes se encontrem: o valor da peça à esquerda, o valor da peça à direita e $f(c)$ devem todos ser iguais. Esta é uma configuração comum de exame – você resolve para um parâmetro 参数 (uma constante desconhecida) que faz as partes combinarem:

    $$\lim_{x\to c^-} f(x) = \lim_{x\to c^+} f(x) = f(c).$$

    1.14

    Conectando Limites Infinitos e Assíntotas Verticais
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-2.D: Interpretar o comportamento de funções usando limites envolvendo infinito.

    • LIM-2.D.1 O conceito de limite pode ser estendido para incluir limites infinitos.
    • LIM-2.D.2 O comportamento assintótico e ilimitado de funções pode ser descrito e explicado usando limites.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A ideia de limite estende-se a limites infinitos 无穷极限. Quando uma função cresce sem limite próximo a $x=c$, escrevemos $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Isso descreve uma assíntota vertical em $x=c$: o gráfico abraça a linha vertical $x=c$ e dispara em direção a $\pm\infty$.

    Isso ocorre onde um número não-zero é dividido por algo que se aproxima de $0$, como em um zero de um denominador que não se cancela. Sempre verifique cada lado separadamente – os dois lados podem disparar em direções opostas (uma para $+\infty$, uma para $-\infty$).

    Um limite infinito em uma assíntota vertical x = c, onde os dois lados disparam para infinitos opostos
    Perto de uma assíntota vertical, o gráfico abraça a linha $x=c$, e os dois lados podem disparar para infinitos opostos.
    Explorar

    Explore um limite infinito em uma assíntota vertical

    y = a/(x − b) + c

    À medida que $x \to 0$, a curva $y=\frac{1}{x}$ dispara para $+\infty$ da direita e $-\infty$ da esquerda — a linha $x=0$ é uma assíntota vertical que o gráfico abraça, mas nunca toca.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ 垂直渐近线 chuí zhí jiàn jìn xiàn
    continuous/kənˈtɪnjuːəs/ 连续 lián xù
    continuous on an interval/kənˈtɪnjuːəs ɒn ən ˈɪntəvl/ 在区间上连续 zài qū jiān shàng lián xù
    exponential/ˌekspəˈnenʃl/ 指数 zhǐ shù
    logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ 对数 duì shù
    trigonometric/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk/ 三角 sān jiǎo
    piecewise-defined function/ˈpiːswaɪz dɪˈfaɪnd ˈfʌŋkʃn/ 分段函数 fēn duàn hán shù
    parameter/pəˈræmɪtə/ 参数 cān shù
    infinite limits/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪts/ 无穷极限 wú qióng jí xiàn
    limits at infinity/ˈlɪmɪts æt ɪnˈfɪnɪti/ 无穷远处的极限 wú qióng yuǎn chù de jí xiàn
    end behavior/end bɪˈheɪvjə/ 末端行为 mò duān xíng wéi
    1.15

    Conectando Limites no Infinito e Assíntotas Horizontais
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-2): Raciocínio usando definições, teoremas e propriedades pode ser usado para justificar afirmações sobre continuidade.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-2.D: Interpretar o comportamento de funções usando limites envolvendo infinito.

    • LIM-2.D.3 O conceito de limite pode ser estendido para incluir limites no infinito.
    • LIM-2.D.4 Limites no infinito descrevem o comportamento final (end behavior).
    • LIM-2.D.5 As magnitudes relativas de funções e suas taxas de variação podem ser comparadas usando limites.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Também podemos deixar a entrada crescer: limites no infinito 无穷远处的极限 descrevem o comportamento final 末端行为 de uma função conforme $x\to\pm\infty$. Se as saídas se estabilizam em direção a um valor finito $L$, então $y=L$ é uma assíntota horizontal 水平渐近线.

    Para uma função racional, compare os graus 次数 do numerador e do denominador:

    • grau superior < grau inferior $\Rightarrow$ o limite é $0$ (assíntota $y=0$);
    • grau superior = grau inferior $\Rightarrow$ o limite é a razão dos coeficientes líderes 首项系数之比;
    • grau superior > grau inferior $\Rightarrow$ a função é ilimitada (sem assíntota horizontal).

    De modo mais geral, comparamos as magnitudes relativas 相对大小 (taxas de crescimento relativas) das funções: longe, uma exponencial supera qualquer polinômio, e um polinômio supera qualquer logaritmo. No exame, "conforme $t\to\infty$, qual quantidade é maior/onde a taxa se estabiliza?" é respondido com um limite no infinito.

    Um limite no infinito produz uma assíntota horizontal
    Um limite no infinito produz uma assíntota horizontal
    Explorar

    Explore comportamento final e uma assíntota horizontal

    y = a/(x − b) + c

    Longe à esquerda e à direita, a curva se nivela em direção a $y=\mathbf{c}$ — isso é $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$, a assíntota horizontal. Mude $\mathbf{c}$ para mover o nível em que ela se estabiliza.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    horizontal asymptote/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈæsɪmptəʊt/ 水平渐近线 shuǐ píng jiàn jìn xiàn
    degrees/dɪˈɡriːz/ 次数 cì shù
    ratio of the leading coefficients/ˈreɪʃɪəʊ ɒvðə ˈliːdɪŋ ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ 首项系数之比 shǒu xiàng xì shù zhī bǐ
    relative magnitudes/ˈrelətɪv ˈmæɡnɪtjuːdz/ 相对大小 xiāng duì dà xiǎo
    Intermediate Value Theorem/ˌɪntəˈmiːdɪət ˈvæljuː ˈθɪərəm/ 介值定理 jiè zhí dìng lǐ
    existence theorem/eɡˈzɪstəns ˈθɪərəm/ 存在性定理 cún zài xìng dìng lǐ
    1.16

    Trabalhando com o Teorema do Valor Intermediário (IVT)
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-1): Teoremas de existência permitem tirar conclusões sobre o comportamento de uma função em um intervalo sem localizar precisamente esse comportamento.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-1.A: Explicar o comportamento de uma função em um intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário.

    • FUN-1.A.1 Se $f$ é uma função contínua no intervalo fechado $[a, b]$ e $d$ é um número entre $f(a)$ e $f(b)$, então o Teorema do Valor Intermediário garante que existe pelo menos um número $c$ entre $a$ e $b$, tal que $f(c) = d$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O Teorema do Valor Intermediário 介值定理 é um teorema de existência 存在性定理 – ele garante que um valor existe sem dizer onde:

    Sinais opostos de f(a) e f(b) aprisionam uma raiz entre a e b
    Sinais opostos de f(a) e f(b) aprisionam uma raiz entre a e b

    Se $f$ é contínua no intervalo fechado $[a,b]$, e $d$ é qualquer número entre $f(a)$ e $f(b)$, então existe pelo menos um número $c$ em $(a,b)$ tal que $f(c)=d$.

    Uma curva ininterrupta não pode pular uma altura entre seus pontos finais – ela deve passar por todas elas.

    Habilidade de exame – como justificar com o IVT. Essas questões aparecem quase todo ano (por exemplo, "Deve haver um valor $c$ tal que $R(c)=155$?" ou "Existe um momento em que $r'(t)=-6$?"). Uma justificativa com nota máxima tem três movimentos:

    1. Declarar a continuidade. Diga que a função é contínua em $[a,b]$ (freqüentemente porque é diferenciável, ou dada como contínua).
    2. Mostrar que $d$ está aprisionada. Calcule os valores nos dois pontos finais e mostre que o alvo $d$ está entre eles, p.ex. $f(a) < d < f(b)$.
    3. Conclua pelo nome. "Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe um $c$ em $(a,b)$ com $f(c)=d$."

    Pular a declaração de continuidade, ou não mostrar que $d$ está entre os pontos finais, faz perder o ponto – o teorema exige ambas as condições.

    Exemplo resolvido. Avalie $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2-5}{2x^2+x}$. Divida o topo e o fundo pela potência mais alta, $x^2$: $\dfrac{3-5/x^2}{2+1/x}\to\dfrac{3-0}{2+0}=\dfrac{3}{2}$. Como o limite é um número finito, a linha $y=\tfrac{3}{2}$ é uma assíntota horizontal do gráfico.

    O Teorema do Valor Intermediário: uma curva contínua toca todas as alturas entre f(a) e f(b)
    Uma curva contínua de $(a,f(a))$ a $(b,f(b))$ deve cruzar todas as alturas $d$ intermediárias pelo menos uma vez.
    Explorar

    Por que uma curva contínua não pode pular um valor

    y = ax³ + bx² + cx + d

    O Teorema do Valor Intermediário: uma função contínua em $[a,b]$ assume todo $y$ entre $f(a)$ e $f(b)$ em algum ponto dentro do intervalo. Uma curva ininterrupta não pode saltar sobre uma altura — ela deve passar por ela.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    change/tʃeɪndʒ/ 变化 biàn huà
    accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ 累积 lěi jī
    1.16

    Dicas de prova
    • Um limite descreve o que $f(x)$ aproxima-se, o que não precisa ser igual a $f(a)$ — o limite lateral existe apenas se ambos os lados concordarem.
    • Tente a substituição direta primeiro; para uma forma de $\tfrac00$, fatore e cancele ou racionalize antes de substituir.
    • Uma função é contínua em $a$ quando o limite existe, $f(a)$ está definido e eles são iguais.
    • Use o Teorema do Valor Intermediário para garantir uma raiz: uma função contínua que muda de sinal em $[a,b]$ assume todos os valores entre.
    • Leia as assíntotas horizontais pelo comportamento final (limites em $\pm\infty$) e as assíntotas verticais onde o denominador (não o numerador) é zero.
  • 2

    Diferenciação: Definição e Propriedades Fundamentais

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    2.1

    Taxas Médias e Instantâneas de Alteração em um Ponto
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-2.A: Determinar taxas de variação médias usando quocientes de diferença.

    • CHA-2.A.1 Os quocientes de diferença $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ e $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ expressam a taxa de variação média de uma função sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.

    • CHA-2.B.1 A taxa de variação instantânea de uma função em $x=a$ pode ser expressa por $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, desde que o limite exista. Estas são formas equivalentes da definição da derivada e são denotadas $f'(a)$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma montanha-russa numa subida: a derivada mede a taxa instantânea de alteração
    Uma montanha-russa numa subida: a derivada mede a taxa instantânea de alteração
    A derivada pelos primeiros princípios

    A Unidade 1 construiu o limite. A Unidade 2 o usa para definir a derivada 导数 – a taxa exata de variação em um ponto.

    A taxa instantânea de variação é a inclinação da tangente em um ponto
    A taxa instantânea de variação é a inclinação da tangente em um ponto

    Sobre um intervalo, a taxa média de variação é um quociente de diferenças 差商. Duas formas equivalentes aparecem:

    $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h} \qquad\text{and}\qquad \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$
    A primeira usa um passo de tamanho $h$ partindo de $a$; a segunda usa dois pontos $x$ e $a$. Ambas calculam $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ sobre o intervalo.

    A taxa instantânea 瞬时 de variação em $x=a$ é o que o quociente de diferenças se aproxima à medida que o intervalo diminui até zero. Este limite é a derivada em $a$, escrita $f'(a)$:

    $$f'(a) = \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a},$$
    desde que o limite exista.

    Explorar

    Da taxa média à taxa instantânea

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Deslize o ponto: a secante através de dois pontos próximos inclina-se em direção à tangente à medida que eles se fundem. A inclinação da tangente é a derivada — a taxa de mudança instantânea.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    derivative/dɪˈrɪvətɪv/ 导数 dǎo shù
    difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ 差商 chà shāng
    instantaneous/ˌɪnstənˈteɪnɪəs/ 瞬时 shùn shí
    first principles/fɜːst ˈprɪnsɪplz/ 用定义求导 yòng dìng yì qiú dǎo
    notations/nəʊˈteɪʃnz/ 记号 jì hào
    slope/sləʊp/ 斜率 xié lǜ
    tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ 切线 qiè xiàn
    2.2

    Definindo a Derivada e Lendo Sua Notação
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-2.B: Representar a derivada de uma função como o limite de um quociente de diferença.

    • CHA-2.B.2 A derivada de $f$ é a função cujo valor em $x$ é $\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$, desde que este limite exista.
    • CHA-2.B.3 Para $y=f(x)$, as notações para a derivada incluem $\dfrac{dy}{dx}$, $f'(x)$ e $y'$.
    • CHA-2.B.4 A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-2.C: Determinar a equação de uma reta tangente a uma curva em um ponto dado.

    • CHA-2.C.1 A derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta tangente ao gráfico da função naquele ponto.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Deixe o ponto $a$ variar e a derivada torna-se uma nova função:

    $$f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$$
    Esta é a definição da derivada (às vezes chamada de "derivar pelos primeiros princípios" 用定义求导). Seu valor em cada $x$ é a taxa instantânea de variação ali.

    As notações 记号 comuns para a derivada de $y=f(x)$ são:

    $$\frac{dy}{dx}, \qquad f'(x), \qquad y'.$$
    A derivada pode ser representada graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente – esteja preparado para transitar entre elas.

    Significado geométrico. A derivada em um ponto é a inclinação 斜率 da linha tangente 切线 ao gráfico ali. Assim, a linha tangente em $x=a$ passa por $\big(a, f(a)\big)$ com inclinação $f'(a)$:

    $$y - f(a) = f'(a)\,(x-a).$$
    Escrever esta linha é uma tarefa rotineira de exame, então mantenha a forma ponto-inclinação pronta.

    Inclinações de secantes se aproximam da inclinação da tangente: a derivada é o limite das taxas médias
    As inclinações de cordas se aproximam da inclinação da tangente: a derivada é o limite das taxas médias
    2.3

    Estimando uma Derivada em um Ponto
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-2): Derivadas nos permitem determinar taxas de variação instantâneas aplicando limites ao conhecimento sobre taxas de variação em intervalos.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-2.D: Estimar derivadas.

    • CHA-2.D.1 A derivada em um ponto pode ser estimada a partir de informações fornecidas em tabelas ou gráficos.
    • CHA-2.D.2 Tecnologia pode ser usada para calcular ou estimar o valor da derivada de uma função em um ponto.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Você nem sempre tem uma fórmula. Quando uma função é dada por uma tabela 表格 ou um gráfico, estime a derivada $f'(a)$ com um quociente de diferença sobre um pequeno intervalo em torno de $a$. Uma tabela com valores de ambos os lados de $a$ fornece a melhor estimativa:

    $$f'(a) \approx \frac{f(b)-f(c)}{b-c},\qquad \text{where } c < a < b \text{ are the closest table inputs}.$$
    Tecnologia (uma calculadora) também pode estimar uma derivada em um ponto.

    Habilidade de prova (aparece quase todos os anos). Questões como "Aproxime $M'(7.5)$ usando a taxa média de variação de $M$ no intervalo $5 \le t \le 10$" pedem exatamente este quociente de diferença. Mostre o ajuste:

    $$M'(7.5) \approx \frac{M(10)-M(5)}{10-5}.$$
    Nota completa exige os números substituídos e as unidades corretas 单位 (unidades de saída por unidade de entrada), pois vêm de modelos do mundo real.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    table/ˈteɪbl/ 表格 biǎo gé
    units/ˈjuːnɪts/ 单位 dān wèi
    differentiable/ˈdɪfərenʃɪəbl/ 可导 kě dǎo
    continuous/kənˈtɪnjuːəs/ 连续 lián xù
    corner/ˈkɔːnə/ 尖点 jiān diǎn
    vertical tangent/ˈvɜːtɪkl ˈtændʒənt/ 垂直切线 chuí zhí qiè xiàn
    power rule/ˈpaʊə ruːl/ 幂法则 mì fǎ zé
    Constant multiple/ˈkɒnstənt ˈmʌltɪpl/ 常数倍 cháng shù bèi
    polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ 多项式 duō xiàng shì
    product rule/ˈprɒdʌkt ruːl/ 乘积法则 chéng jī fǎ zé
    quotient rule/ˈkwəʊʃənt ruːl/ 商法则 shāng fǎ zé
    identities/aɪˈdentɪtiz/ 恒等式 héng děng shì
    second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ 二阶导数 èr jiē dǎo shù
    2.4

    Diferenciabilidade e Continuidade: Quando Uma Derivada Existe
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-2): Reconhecer que a derivada de uma função também pode ser uma função nos permite desenvolver conhecimento sobre os comportamentos correlacionados de ambas.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-2.A: Explicar a relação entre diferenciabilidade e continuidade.

    • FUN-2.A.1 Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto. Em particular, se um ponto não está no domínio de $f$, então ele não está no domínio de $f'$.
    • FUN-2.A.2 Uma função contínua pode falhar em ser diferenciável em um ponto de seu domínio.
      • Exemplos ilustrativos para FUN-2.A.2:
        • Os limites lateral esquerdo e lateral direito do quociente de diferença não são iguais, como em $f(x)=|x|$ em $x=0$.
        • A reta tangente é vertical e não possui inclinação, como em $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Diferenciabilidade é mais forte que continuidade. A relação chave:

    Se $f$ for diferenciável 可导 em um ponto, então $f$ é contínua 连续 naquele ponto.

    Então diferenciabilidade implica continuidade. O inverso é falso: uma função contínua pode falhar em ser diferenciável. Duas maneiras disso acontecer:

    • Um ponto anguloso 尖点: os limites dos quocientes de diferença à esquerda e à direita discordam, como com $f(x)=|x|$ em $x=0$.
    • Uma tangente vertical 垂直切线: a inclinação é infinita (nenhum número real), como com $f(x)=\sqrt[3]{x}$ em $x=0$.
    Duas maneiras de uma função contínua não ser diferenciável: um ponto anguloso e uma tangente vertical
    Duas maneiras de uma função contínua não ser diferenciável: um ponto anguloso e uma tangente vertical

    Além disso, um ponto fora do domínio de $f$ não pode estar no domínio de $f'$. Use a contrapositiva na prova: se $f$ não é contínua em $a$, então $f$ não é diferenciável em $a$.

    2.5

    A Regra da Potência
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

    • FUN-3.A.1 A aplicação direta da definição da derivada e regras específicas pode ser usada para calcular a derivada de funções da forma $f(x)=x^{r}$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Daqui usamos regras em vez da definição de limite cada vez. A regra da potência 幂法则 lida com qualquer potência de $x$:

    $$\frac{d}{dx}\,x^{r} = r\,x^{\,r-1}\qquad\text{for any real } r.$$
    Ela funciona para potências inteiras, potências negativas ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) e raízes ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) – reescreva como uma potência primeiro, depois aplique a regra.

    Explorar

    Uma função potência e sua inclinação acelerada

    y = ax³ + bx² + cx + d

    A regra da potência $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ abaixa o expoente como um fator. Para $x^3$, a inclinação cresce rapidamente à medida que $x$ sai de 0 — a curva se torna mais íngreme.

    2.6

    Regras da Constante, Soma, Diferença e Múltiplo Constante
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

    • FUN-3.A.2 Somas, diferenças e múltiplos constantes de funções podem ser diferenciadas usando regras de derivada.
    • FUN-3.A.3 A regra da potência combinada com propriedades de soma, diferença e múltiplo constante pode ser usada para encontrar as derivadas de funções polinomiais.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Essas regras permitem diferenciar termo a termo:

    • Constante: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (uma constante não muda).
    • Múltiplo constante 常数倍: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
    • Soma / diferença: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

    Combinadas com a regra da potência, elas diferenciam qualquer termo de um polinômio 多项式 termo a termo. Exemplo:

    $$\frac{d}{dx}\big(4x^3 - 5x + 7\big) = 12x^2 - 5.$$

    2.7

    Derivadas de cos x, sin x, e^x e ln x
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.A: Calcular derivadas de funções familiares.

    • FUN-3.A.4 Regras específicas podem ser usadas para encontrar as derivadas de funções seno, cosseno, exponencial e logarítmica.

    Compreensão Duradoura (LIM-3): O raciocínio com definições, teoremas e propriedades pode ser usado para determinar um limite.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-3.A: Interpretar um limite como uma definição de derivada.

    • LIM-3.A.1 Em alguns casos, reconhecer uma expressão para a definição da derivada de uma função cuja derivada é conhecida oferece uma estratégia para determinar um limite.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Aprenda estas quatro derivadas base de coração:

    $$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \qquad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x,$$
    $$\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}\ \ (x>0).$$
    Note o sinal negativo na derivada do cosseno, e que $e^{x}$ é sua própria derivada.

    Um limite que é realmente uma derivada (LIM-3.A.1). Às vezes um limite é secretamente a definição de uma derivada conhecida. Se você reconhecer

    $$\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
    para uma função $f$ cuja derivada você conhece, basta avaliar $f'(a)$. Por exemplo, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

    Explorar

    A forma de sin x (cuja inclinação é cos x)

    y = asen(bx + c) + d

    A derivada de $\sin x$ é $\cos x$: a inclinação da curva seno é maior onde o seno cruza zero e zero em seus picos. Observe a curva para sentir onde sua inclinação é íngreme ou plana.

    2.8

    A Regra do Produto
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

    • FUN-3.B.1 As derivadas de produtos de funções diferenciáveis podem ser encontradas usando a regra do produto.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O produto de duas funções não é diferenciado multiplicando as derivadas. Use a regra do produto 乘积法则:

    $$\frac{d}{dx}\big[u\,v\big] = u'v + uv'.$$
    "Derivada do primeiro vezes o segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo." Exemplo:
    $$\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{x}\big) = 2x\,e^{x} + x^2 e^{x}.$$
    As questões de exame frequentemente constroem uma nova função a partir de peças dadas, por exemplo, $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, e pedem para combinar regras enquanto lê valores de uma tabela.

    2.9

    A Regra do Quociente
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

    • FUN-3.B.2 As derivadas de quocientes de funções diferenciáveis podem ser encontradas usando a regra do quociente.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Para um quociente, use a regra do quociente 商法则:

    $$\frac{d}{dx}\!\left[\frac{u}{v}\right] = \frac{u'v - uv'}{v^{2}}.$$
    "Base vezes a derivada do numerador, menos numerador vezes a derivada da base, tudo sobre a base ao quadrado." A ordem importa devido ao sinal negativo, então escreva o numerador cuidadosamente. Exemplo:
    $$\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{\cos x}\right) = \frac{1\cdot\cos x - x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos x + x\sin x}{\cos^2 x}.$$

    2.10

    Derivadas de Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.B: Calcular derivadas de produtos e quocientes de funções diferenciáveis.

    • FUN-3.B.3 Rearranjar funções tangente, cotangente, secante e cossecante usando identidades permite a diferenciação usando regras de derivada.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    As derivadas trigonométricas restantes não são decoradas separadamente – você as reescreve com identidades 恒等式 e aplica a regra do quociente (ou produto). Por exemplo, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, então a regra do quociente dá

    $$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cos x - \sin x(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$$
    O mesmo método (escrevendo $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) dá $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ e $-\csc x\cot x$.

    Derivadas de ordem superior. Diferenciar $f'$ novamente gera a segunda derivada 二阶导数 $f''(x)$ (ou $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) – a taxa de variação da taxa de variação. Uma parte de prova como "Encontre $k''(3)$" significa apenas diferenciar duas vezes e substituir. Você também pode estimar uma segunda derivada a partir de uma tabela aplicando o método da taxa média de variação aos valores de $f'$.

    Exemplo resolvido. Derive $g(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ com a regra do quociente $\left(\tfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$: pegue $u=\sin x$, $v=x$, resultando em $g'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}$. Mantenha a ordem $u'v-uv'$ no numerador — trocar os termos inverte o sinal e perde a marcação.

    2.10

    Dicas de prova
    • A derivada é a inclinação da tangente – o limite da inclinação da secante $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ quando $h\to0$.
    • Memorize as regras: potência, produto, quociente, e as derivadas de $\sin$, $\cos$, $e^x$ e $\ln x$.
    • Diferenciabilidade implica continuidade, mas não o inverso (um ponto anguloso ou cuspid é contínuo mas não diferenciável).
    • Distinga taxa média de variação (inclinação da secante sobre um intervalo) de taxa instantânea (a derivada em um ponto).
    • Forneça a equação da reta tangente como $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.
  • 3

    Diferenciação: Funções Compostas, Implícitas e Inversas

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    3.1

    A Regra da Cadeia
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.C: Calcular derivadas de composições de funções diferenciáveis.

    • FUN-3.C.1 A regra da cadeia fornece um meio de diferenciar funções compostas.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Um caminho na montanha: funções compostas aninham taxas de alteração (regra da cadeia)
    Um caminho na montanha: funções compostas aninham taxas de alteração (regra da cadeia)
    A regra da cadeia

    Unidade 2 diferenciou funções simples. Unidade 3 diferencia funções construídas dentro de outras funções. A regra da cadeia 链式法则 diferencia uma função composta 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

    $$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$
    "Derivada da função externa (deixando a interna sozinha), vezes a derivada da interna." A derivada interna $g'(x)$ é a parte que os alunos esquecem, então sempre pergunte "qual é a interna e qual é sua derivada?" Exemplo:
    $$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

    Na notação de Leibniz, com $y=f(u)$ e $u=g(x)$, a regra lê-se $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – o intermediário $du$ parece se "cancelar". Questões de prova frequentemente dão uma tabela para $f$, $g$, $f'$, $g'$ e pedem $h'(a)$ onde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; avalie $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ lendo valores.

    Exemplo resolvido. Diferencie $h(x)=(2x^2+1)^5$. A função externa é "(algo)$^5$" e a interna é $2x^2+1$:

    $$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    chain rule/tʃeɪn ruːl/ 链式法则 liàn shì fǎ zé
    composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ 复合函数 fù hé hán shù
    Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ 隐函数求导 yǐn hán shù qiú dǎo
    inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ 反函数 fǎn hán shù
    reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ 倒数 dào shǔ
    inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ 反三角函数 fǎn sān jiǎo hán shù
    second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ 二阶导数 èr jiē dǎo shù
    concavity/kənˈkævɪti/ 凹凸性 āo tū xìng
    3.2

    Diferenciação Implícita
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.D: Calcular derivadas de funções definidas implicitamente.

    • FUN-3.D.1 A regra da cadeia é a base para a diferenciação implícita.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Algumas curvas são definidas implicitamente – por uma equação em $x$ e $y$ que não está resolvida para $y$, como $x^2+y^2=25$. Diferenciação implícita 隐函数求id encontra $\dfrac{dy}{dx}$ sem resolver para $y$ primeiro. É apenas a regra da cadeia, tratando $y$ como uma função de $x$.

    O método: diferencie ambos os lados em relação a $x$; toda vez que diferenciar um termo de $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (a regra da cadeia); depois resolva algebricamente para $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:

    $$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

    Exemplo resolvido. Encontre a tangente a $x^2+y^2=25$ em $(3,4)$. Aqui $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, logo a reta tangente é $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular ao raio, conforme a geometria prevê.

    Diferenciação implícita dá a tangente a um círculo, perpendicular ao raio
    Diferenciação implícita dá a tangente a um círculo, perpendicular ao raio

    Habilidade de prova – "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este prompt exato aparece nos últimos anos (p.ex. "Mostre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Como o alvo é dado, você deve mostrar cada passo algébrico limpo: diferencie ambos os lados, use as regras do produto/cadeia em termos mistos de $xy$, agrupe todos os termos de $\dfrac{dy}{dx}$ de um lado, fatore e divida. Uma linha final correta que pula a álgebra ganha pouco. Partes seguintes pedem então uma reta tangente, ou onde a tangente é horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, então o numerador é $0$) ou vertical (o denominador é $0$).

    3.3

    Diferenciando Funções Inversas
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.

    • FUN-3.E.1 A regra da cadeia e a definição de uma função inversa podem ser usadas para encontrar a derivada de uma função inversa, desde que a derivada exista.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Se $g$ é a função inversa 反函数 de $f$ (portanto $f(g(x))=x$), a regra da cadeia liga suas derivadas:

    $$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$
    Em palavras: a derivada da inversa em um ponto é o recíproco 倒数 da derivada da função original no ponto correspondente. Um setup comum de prova dá uma tabela e um ponto $(a,b)$ em $f$ (portanto $(b,a)$ está em $g$), e pede $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

    Exemplo resolvido. Se $f(2)=5$ e $f'(2)=3$, e $g$ é a inversa de $f$, então $(5,2)$ está em $g$ e $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

    A função inversa é a imagem espelhada da função na linha y = x
    A função inversa é a imagem espelhada da função na linha y = x
    Explorar

    Uma exponencial e seu inverso, o log

    y = a·e^(bx) + c

    Funções inversas refletem através de $y=x$ e suas inclinações são recíprocas. Onde uma é íngreme, sua inversa é rasa.

    3.4

    Diferenciando Funções Trigonométricas Inversas
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.E: Calcular derivadas de funções inversas e trigonométricas inversas.

    • FUN-3.E.2 A regra da cadeia aplicada com a definição de uma função inversa, ou a fórmula para a derivada de uma função inversa, pode ser usada para encontrar as derivadas de funções trigonométricas inversas.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A mesma ideia dá as derivadas das funções trigonométricas inversas 反三角函数. As três que você deve saber:

    $$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
    Combine essas com a regra da cadeia quando a entrada for ela mesma uma função, p.ex. $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

    3.5

    Selecionando Procedimentos para Calcular Derivadas
    Programa

    Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para calcular derivadas. Os alunos devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados ao cálculo de derivadas.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Tópico de habilidade: derivadas reais misturam várias regras, então leia a estrutura da expressão primeiro, de fora para dentro.

    • É uma soma? Diferencie termo a termo.
    • Um produto ou quociente? Aplique essa regra, e espere usar a regra da cadeia internamente.
    • Uma composta (algo dentro de algo)? Regra da cadeia.
    • Dado implicitamente? Derivação implícita.

    Nomeie a operação mais externa, aplique sua regra e recursione para dentro. Limpeza evita erros de sinal e de registro que custam pontos.

    3.6

    Calculando Derivadas de Ordem Superior
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.F: Determinar derivadas de ordem superior de uma função.

    • FUN-3.F.1 Diferenciar $f'$ produz a segunda derivada $f''$, desde que a derivada de $f'$ exista; repetir esse processo produz derivadas de ordem superior de $f$.
    • FUN-3.F.2 Derivadas de ordem superior são representadas por uma variedade de notações. Para $y = f(x)$, as notações para a segunda derivada incluem $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Derivadas de ordem superior podem ser denotadas $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ ou $f^{(n)}(x)$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Derivar $f'$ produz a segunda derivada 二阶导数 $f''$; repetir dá derivadas de ordem superior. As notações:

    $$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$
    A segunda derivada mede como a inclinação está mudando; ela impulsiona a curvatura 凹凸性 e aceleração em unidades futuras. Para encontrar $f''$ implicitamente, diferencie a expressão para $\dfrac{dy}{dx}$ novamente (com as regras do quociente e da cadeia), depois substitua $\dfrac{dy}{dx}$ de volta.

    Explorar

    A segunda derivada é a inclinação da inclinação

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Diferenciar novamente dá $f''$, a taxa na qual a inclinação muda. Onde a inclinação está aumentando, a curva dobra para cima.

    3.6

    Dicas de prova
    • Use a regra da cadeia para funções compostas – diferencie a parte externa, depois multiplique pela derivada da interna (o fator mais esquecido).
    • Para diferenciação implícita, diferencie ambos os lados em relação a $x$ e acople $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que $y$ for diferenciado, depois resolva.
    • Encontre a segunda derivada diferenciando duas vezes (velocidade → aceleração).
    • Combine as regras com cuidado em expressões aninhadas (regra da cadeia dentro do produto, etc.).
    • O gráfico da função inversa é o reflexo em $y=x$; sua inclinação é o recíproco da original no ponto correspondente.
  • 4

    Aplicações Contextualizadas da Diferenciação

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    4.1

    Interpretando o Significado da Derivada em Contexto
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.A: Interpretar o significado de uma derivada em contexto.

    • CHA-3.A.1 A derivada de uma função pode ser interpretada como a taxa de variação instantânea em relação à sua variável independente.
    • CHA-3.A.2 A derivada pode ser usada para expressar informações sobre taxas de variação em contextos aplicados.
    • CHA-3.A.3 A unidade para $f'(x)$ é a unidade para $f$ dividida pela unidade para $x$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Assim que você consegue calcular derivadas, usa-as para descrever o mundo real. A derivada $f'(x)$ é a taxa de variação instantânea de $f$ em relação à sua entrada. Ler e relatar essa taxa corretamente é uma habilidade avaliada.

    As unidades importam. A unidade de $f'(x)$ é a unidade de $f$ dividida pela unidade de $x$. Se $C(t)$ é um número de acres e $t$ está em semanas, então $C'(t)$ está em acres por semana. Na prova, "Usando as unidades corretas, interprete o significado de $g'(140)$" pede uma frase completa: o valor, a quantidade, a palavra de taxa "por", e o momento. Por exemplo: "$g'(140)=2.3$ significa que em $x=140$, a quantidade está aumentando a cerca de $2.3$ unidades por unidade de $x$."

    4.2

    Movimento em Linha Reta: Posição, Velocidade e Aceleração
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.B: Calcular taxas de variação em contextos aplicados.

    • CHA-3.B.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas de movimento retilíneo envolvendo posição, velocidade escalar, velocidade vetorial e aceleração.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Para uma partícula movendo-se em uma linha, três funções do tempo estão ligadas por diferenciação:

    Em um gráfico velocidade-tempo, a área é o deslocamento e a inclinação é a aceleração
    Em um gráfico velocidade-tempo, a área é o deslocamento e a inclinação é a aceleração
    • posição 位置 $s(t)$;
    • velocidade 速度 $v(t)=s'(t)$ – com sinal; seu sinal indica a direção;
    • aceleração 加速度 $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

    Leituras-chave (partes frequentes de exames):

    • A partícula está em repouso 静止 quando $v(t)=0$.
    • Ela se move para a direita/cima quando $v(t)>0$ e para a esquerda/baixo quando $v(t)<0$; ela muda de direção onde $v$ muda de sinal.
    • Velocidade escalar 速率 é $|v(t)|$. A velocidade escalar aumenta quando $v$ e $a$ têm o mesmo sinal (a partícula está acelerando), e diminui quando têm sinais opostos.

    Distingua cuidadosamente entre velocidade (tem direção) e rapidez (não tem) – o exame testa exatamente essa diferença.

    Exemplo resolvido. Uma partícula move-se com $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Então $v(t)=3(t-1)(t-3)$, então ela está em repouso em $t=1$ e $t=3$ e muda de direção em cada um. Em $t=2$, $v=-3<0$ e $a(2)=6(2)-12=0$; logo após, $a>0$ enquanto $v<0$, então a partícula está desacelerando ali.

    Explorar

    Velocidade é a inclinação da posição

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Para movimento em linha reta, a velocidade é a derivada (inclinação) da posição e a aceleração é a derivada da velocidade. Deslize o ponto para ler a velocidade instantânea.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    position/pəˈzɪʃn/ 位置 wèi zhì
    velocity/vəˈlɒsɪti/ 速度 sù dù
    acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ 加速度 jiā sù dù
    at rest/æt rest/ 静止 jìng zhǐ
    Speed/spiːd/ 速率 sù lǜ
    4.3

    Taxas de Alteração em Contextos Aplicados Além do Movimento
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.C: Interpretar taxas de variação em contextos aplicados.

    • CHA-3.C.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas envolvendo taxas de variação em contextos aplicados.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A mesma ideia de derivada modela qualquer quantidade que muda: um tanque esvaziando, uma população se espalhando, uma xícara esfriando. Sempre que um problema diz "a taxa na qual...", ele está descrevendo uma derivada. Leia as unidades para saber a taxa de qual quantidade você tem, depois interprete no contexto.

    4.4

    Introdução a Taxas Relacionadas
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.D: Calcular taxas relacionadas em contextos aplicados.

    • CHA-3.D.1 A regra da cadeia é a base para diferenciar variáveis em um problema de taxas relacionadas em relação à mesma variável independente.
    • CHA-3.D.2 Outras regras de diferenciação, como a regra do produto e a regra do quociente, também podem ser necessárias para diferenciar todas as variáveis em relação à mesma variável independente.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma montanha-russa: taxas relacionadas conectam como quantidades ligadas mudam juntas
    Uma montanha-russa: taxas relacionadas conectam como quantidades ligadas mudam juntas

    Em um problema de taxas relacionadas 相关变化率, várias quantidades mudam juntas ao longo do tempo, e você conhece algumas taxas mas quer outra. O motor é a regra da cadeia: diferencie uma relação em relação ao tempo $t$. Cada variável torna-se uma função de $t$, então cada derivada pega um fator "$\,/\,dt$". Regras do produto e do quociente também podem ser necessárias.

    Um balão ascendente: taxas relacionadas vinculam quão rápido raio, volume e altura mudam juntos
    Um balão subindo: taxas relacionadas ligam como raio, volume e altura mudam juntos
    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ 相关变化率 xiāng guān biàn huà lǜ
    local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ 局部线性 jú bù xiàn xìng
    linear approximation/ˈlɪnɪə əˌprɒksɪˈmeɪʃn/ 线性近似 xiàn xìng jìn sì
    concavity/kənˈkævɪti/ 凹凸性 āo tū xìng
    underestimate/ˌʌndəˈrestɪmət/ 低估 dī gū
    overestimate/ˌəʊvəˈrestɪmət/ 高估 gāo gū
    indeterminate form/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːm/ 未定式 wèi dìng shì
    L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ 洛必达法则 luò bì dá fǎ zé
    4.5

    Resolvendo Problemas de Taxas Relacionadas
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.E: Interpretar taxas relacionadas em contextos aplicados.

    • CHA-3.E.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas de taxas relacionadas; isto é, encontrar uma taxa na qual uma quantidade está mudando relacionando-a a outras quantidades cujas taxas de variação são conhecidas.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Um procedimento confiável – e um modelo completo para nota máxima na prova:

    1. Nomeie as variáveis e escreva as taxas dadas e a taxa desconhecida (ex: "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ cm/dia, encontre $\dfrac{dV}{dt}$").
    2. Escreva uma equação relacionando as quantidades (muitas vezes uma fórmula geométrica ou de volume).
    3. Diferencie ambos os lados em relação a $t$ (regra da cadeia) – antes de substituir números.
    4. Substitua os valores conhecidos no instante de interesse e resolva para a taxa desconhecida.
    5. Apresente a resposta com unidades e o sinal correto (uma quantidade decrescente tem uma taxa negativa).

    Substituir números cedo demais é o erro clássico: diferencie a relação geral primeiro, depois substitua.

    Exemplo resolvido. O volume de um balão esférico cresce a $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. De $V=\tfrac43\pi r^3$, diferencie primeiro: $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$. Em $r=5$, $100=4\pi(25)\dfrac{dr}{dt}$, logo $\dfrac{dr}{dt}=\dfrac{1}{\pi}\approx0.32\ \text{cm/s}$.

    Um balão inflando liga dV/dt e dr/dt através da regra da cadeia
    Um balão se enchendo liga dV/dt e dr/dt através da regra da cadeia
    4.6

    Aproximando Valores Usando Linearidade Local e Linearização
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.F: Aproximar um valor em uma curva usando a equação de uma reta tangente.

    • CHA-3.F.1 A reta tangente é o gráfico de uma aproximação linear local da função próxima ao ponto de tangência.
    • CHA-3.F.2 Para uma aproximação por reta tangente, o comportamento da função próximo ao ponto de tangência pode determinar se um valor da reta tangente é uma subestimação ou superestimação do valor correspondente da função.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Linearidade local e linearização

    Perto de um ponto de tangência, uma curva suave parece sua reta tangente – isso é linearidade local 局部线性. Assim, a reta tangente fornece uma aproximação linear 线性近似 (linearização) da função perto desse ponto:

    $$f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a).$$
    Use-a para estimar $f$ em um $x$ próximo a $a$.

    Superestimar ou subestimar? A resposta vem da concavidade 凹凸性. Se o gráfico é ** côncavo para cima** perto de $a$ (ele curva acima da sua tangente), o valor da reta tangente é uma subestimação 低估. Se é ** côncavo para baixo**, a reta tangente fica acima da curva, dando uma superestimação 高估. Partes do exame testam esse raciocínio, então justifique com o sinal de $f''$.

    A reta tangente é uma aproximação linear local; a concavidade corrige super ou subestimação
    A reta tangente é uma aproximação linear local; a concavidade corrige super ou subestimação
    Explorar

    Aproxime uma curva com sua linha tangente

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Linearidade local: perto de um ponto, uma curva suave parece ser sua linha tangente, então a tangente fornece uma boa aproximação linear dos valores próximos.

    4.7

    Usando a Regra de L'Hôpital para Formas Indeterminadas
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-4): A Regra de L'Hospital nos permite determinar os limites de algumas formas indeterminadas.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-4.A: Determinar limites de funções que resultam em formas indeterminadas.

    • LIM-4.A.1 Quando a razão de duas funções tende a $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ no limite, tais formas são ditas indeterminadas.
      • Declaração de exclusão: Existem muitas outras formas indeterminadas, como $\infty - \infty$, por exemplo, mas estas não serão avaliadas nem no Exame AP Calculus AB nem no BC. No entanto, os professores podem incluir esses tópicos, se houver tempo disponível.
    • LIM-4.A.2 Limites das formas indeterminadas $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$ podem ser avaliados usando a Regra de L'Hospital.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Quando a substituição direta em um quociente de limites resulta na forma indeterminada 未定式 $\dfrac{0}{0}$ ou $\dfrac{\infty}{\infty}$, você pode usar a Regra de L'Hospital 洛必达法则:

    $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)},$$
    desde que o limite à direita exista. Diferencie o numerador e o denominador separadamente (isto não é a regra do quociente), depois tente o limite novamente. Primeiro confirme se a forma realmente é $\tfrac{0}{0}$ ou $\tfrac{\infty}{\infty}$ – aplicar a regra a qualquer outra forma é um erro.

    Exemplo resolvido. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ dá $\tfrac00$, então derive o topo e o fundo: $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$. E $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}$ também é $\tfrac00$; torna-se $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{1}=2$.

    4.7

    Dicas de prova
    • Em problemas de movimento: velocidade é a derivada da posição, aceleração é a derivada da velocidade; a velocidade escalar aumenta quando velocidade e aceleração compartilham um sinal.
    • Para taxas relacionadas, diferencie a equação relacionadora em relação ao tempo, depois substitua os valores dados por último.
    • Use a reta tangente para uma aproximação linear perto de um ponto conhecido; ela é precisa apenas nas proximidades.
    • Leia o sinal de uma taxa: positivo significa que as quantidades se movem juntas, negativo significa oposto.
    • Sempre declare as unidades e interprete a resposta no contexto.
  • 5

    Aplicações Analíticas da Diferenciação

    Assistir aula
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    5.1

    Usando o Teorema do Valor Médio
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-1): Teoremas de existência permitem tirar conclusões sobre o comportamento de uma função em um intervalo sem localizar precisamente esse comportamento.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-1.B: Justificar conclusões sobre funções aplicando o Teorema do Valor Médio em um intervalo.

    • FUN-1.B.1 Se uma função $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável no intervalo $(a, b)$, então o Teorema do Valor Médio garante um ponto dentro desse intervalo aberto onde a taxa de variação instantânea é igual à taxa de variação média sobre o intervalo.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O Teorema do Valor Médio

    O Teorema do Valor Médio 中值定理 (MVT) liga a taxa média de variação a uma instantânea:

    Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$, então existe pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ onde

    $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

    Em palavras: em algum lugar dentro do intervalo, a taxa instantânea é igual à taxa média. Geometricamente, alguma reta tangente é paralela à reta que une as extremidades.

    O Teorema do Valor Médio: alguma tangente é paralela à secante sobre o intervalo
    O Teorema do Valor Médio: alguma tangente é paralela à secante sobre o intervalo

    Habilidade de prova. Assim como o TVC, o TVM é um teorema de existência, e questões pedem que você justifique. Nota máxima exige: (1) declare que $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$; (2) calcule a taxa média $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclua "pelo TVM existe um $c$ em $(a,b)$ com $f'(c)$ igual a esse valor." Ambas as hipóteses devem ser citadas.

    Exemplo resolvido. Para $f(x)=x^2$ em $[1,3]$ a taxa média é $\dfrac{9-1}{2}=4$; definindo $f'(c)=2c=4$ resulta em $c=2$, que está em $(1,3)$ – o ponto garantido.

    Explorar

    O Teorema do Valor Médio em ação

    y = ax³ + bx² + cx + d

    O Teorema do Valor Médio garante um ponto onde a tangente é paralela à secante em um intervalo — a taxa instantânea é igual à taxa média em algum lugar dentro dele.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    Mean Value Theorem/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm/ 中值定理 zhōng zhí dìng lǐ
    Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ 极值定理 jí zhí dìng lǐ
    critical point/ˈkrɪtɪkl pɔɪnt/ 临界点 lín jiè diǎn
    local (relative) extrema/ˈləʊkl ekˈstremə/ 局部极值 jú bù jí zhí
    increasing/ɪnˈkriːsɪŋ/ 递增 dì zēng
    decreasing/ˈdiːkriːsɪŋ/ 递减 dì jiǎn
    local maximum/ˈləʊkl ˈmæksɪməm/ 极大值 jí dà zhí
    local minimum/ˈləʊkl ˈmɪnɪməm/ 极小值 jí xiǎo zhí
    concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ 上凹 shàng āo
    concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ 下凹 xià āo
    point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ 拐点 guǎi diǎn
    5.2

    Valores Extremos, Extremizadores Globais vs Locais e Pontos Críticos
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-1): Teoremas de existência permitem tirar conclusões sobre o comportamento de uma função em um intervalo sem localizar precisamente esse comportamento.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-1.C: Justificar conclusões sobre funções aplicando o Teorema do Valor Extremo.

    • FUN-1.C.1 Se uma função $f$ for contínua no intervalo $(a, b)$, então o Teorema do Valor Extimo garante que $f$ tenha pelo menos um valor mínimo e pelo menos um valor máximo em $[a, b]$.
    • FUN-1.C.2 Um ponto em uma função onde a primeira derivada é igual a zero ou falha em existir é um ponto crítico da função.
    • FUN-1.C.3 Todos os extremos locais (relativos) ocorrem em pontos críticos de uma função, embora nem todos os pontos críticos sejam extremos locais.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Um pico de montanha: extremizadores e pontos críticos marcam valores máximos e mínimos
    Um pico de montanha: extremizadores e pontos críticos marcam valores máximos e mínimos

    O Teorema do Valor Extremo 极值定理 (EVT) garante a existência de extremos: uma função contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ atinge ambos um máximo absoluto e um mínimo absoluto nele.

    Num máximo ou mínimo a derivada é zero
    Em um máximo ou mínimo a derivada é zero

    Um ponto crítico 临界点是 interior onde $f'(x)=0$ ou $f'(x)$ não existe. Todos os extremos locais (relativos) 局部极值 ocorrem em pontos críticos – mas nem todo ponto crítico é um extremo. Portanto, pontos críticos são os candidatos; você deve testar cada um.

    5.3

    Onde uma Função Crescente ou Decrescente
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.

    • FUN-4.A.1 A primeira derivada de uma função pode fornecer informações sobre a função e seu gráfico, incluindo intervalos em que a função é crescente ou decrescente.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A primeira derivada diz onde $f$ sobe ou desce:

    • $f'(x) > 0$ em um intervalo $\Rightarrow$ $f$ é crescente 递增 ali;
    • $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ é decrescente 递减.

    No exame, "encontre os intervalos onde $f$ está crescendo" significa: encontre os pontos críticos, teste então o sinal de $f'$ entre eles, e justifique com o sinal de $f'$ (uma razão declarada, não apenas um intervalo).

    5.4

    O Teste da Primeira Derivativa para Extremizadores Locais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.

    • FUN-4.A.2 A primeira derivada de uma função pode determinar a localização de extremos relativos (locais) da função.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Para classificar um ponto crítico $x=c$ como máximo local, mínimo local ou nenhum, verifique como $f'$ muda de sinal ali:

    • $f'$ muda de $+$ para $-$ em $c$ $\Rightarrow$ máximo local 极大值;
    • $f'$ muda de $-$ para $+$ em $c$ $\Rightarrow$ mínimo local 极小值;
    • $f'$ não muda de sinal $\Rightarrow$ nem nenhum.

    Sempre declare a mudança de sinal como sua justificativa.

    Exemplo resolvido. Para $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ é zero em $x=0,2$. Os sinais dão $+,-,+$, então $x=0$ é um máximo local ($f=0$) e $x=2$ um mínimo local ($f=-4$).

    O sinal da derivada primeira define onde uma função aumenta ou diminui e localiza seus extremos locais
    Onde $f' > 0$ o gráfico sobe e onde $f' < 0$ ele desce; um máximo local ocorre quando $f'$ muda de $+$ para $-$, um mínimo local quando muda de $-$ para $+$.
    5.5

    O Teste dos Candidatos para Extremos Absolutos
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.

    • FUN-4.A.3 Extremos absolutos (globais) de uma função em um intervalo fechado só podem ocorrer em pontos críticos ou nas extremidades.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Em um intervalo fechado, extremos absolutos (globais) ocorrem apenas em pontos críticos ou extremidades. O teste dos candidatos:

    1. Liste todos os pontos críticos em $[a,b]$ e as duas extremidades.
    2. Avalie $f$ em cada candidato.
    3. A maior saída é o máximo absoluto; a menor é o mínimo absoluto.

    Mostre a tabela de valores – a comparação é o argumento.

    5.6

    Concavidade e Pontos de Inflexão
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.

    • FUN-4.A.4 O gráfico de uma função é côncavo para cima (para baixo) em um intervalo aberto se a derivada da função for crescente (decrescente) naquele intervalo.
    • FUN-4.A.5 A segunda derivada de uma função fornece informações sobre a função e seu gráfico, incluindo intervalos de concavidade para cima ou para baixo.
    • FUN-4.A.6 A segunda derivada de uma função pode ser usada para localizar pontos de inflexão para o gráfico da função original.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A derivada segunda descreve a curvatura:

    • $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ é côncava para cima 上凹 (curvada como uma taça; $f'$ está aumentando);
    • $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ é côncava para baixo 下凹 ($f'$ está diminuindo).

    Um ponto de inflexão 拐点 é onde a concavidade muda, isto é, onde $f''$ muda de sinal (não meramente onde $f''=0$). Relate sua coordenada-$x$ e justifique com a mudança de sinal de $f''$.

    A concavidade vem do sinal da derivada segunda; ela inverte em um ponto de inflexão
    A concavidade vem do sinal da derivada segunda; ela inverte em um ponto de inflexão
    Explorar

    Encontre onde a concavidade muda

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Concavidade é o sinal da segunda derivada: côncava para cima onde a curva retém água, côncava para baixo onde a derrama. Um ponto de inflexão é onde ela muda.

    5.7

    O Teste da Segunda Derivativa para Extremizadores
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.

    • FUN-4.A.7 A segunda derivada de uma função pode determinar se um ponto crítico é a localização de um máximo (local) ou mínimo relativo.
    • FUN-4.A.8 Quando uma função contínua possui apenas um ponto crítico em um intervalo de seu domínio e esse ponto crítico corresponde a um extremo (local) relativo da função no intervalo, então esse ponto crítico também corresponde ao extremo (global) absoluto da função no intervalo.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma alternativa para classificar um ponto crítico $c$ onde $f'(c)=0$:

    • $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ côncava para cima $\Rightarrow$ mínimo local;
    • $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ côncava para baixo $\Rightarrow$ máximo local;
    • $f''(c) = 0$ $\Rightarrow$ o teste é inconclusivo – recorra ao teste da derivada primeira.

    Caso especial: se uma função contínua tem apenas um ponto crítico em um intervalo e ele é um extremo local, esse ponto também é o extremo absoluto ali.

    5.8

    Esboçando uma Função e Sua Derivada
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.

    • FUN-4.A.9 As características principais de funções e suas derivadas podem ser identificadas e relacionadas às suas representações gráfica, numérica e analítica.
    • FUN-4.A.10 Informações gráficas, numéricas e analíticas de $f'$ e $f''$ podem ser usadas para prever e explicar o comportamento de $f$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Características-chave de $f$, $f'$ e $f''$ espelham-se mutuamente. Para esboçar ou ler gráficos:

    • $f$ crescente $\Leftrightarrow$ $f'$ acima do eixo; $f$ tem um máximo local $\Leftrightarrow$ $f'$ cruza de $+$ para $-$.
    • $f$ côncava para cima $\Leftrightarrow$ $f'$ crescente $\Leftrightarrow$ $f''$ acima do eixo; $f$ tem um ponto de inflexão $\Leftrightarrow$ $f'$ tem um extremo local $\Leftrightarrow$ $f''$ cruza zero.
    5.9

    Conectando $f$, $f'$ e $f''$
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.A: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função com base no comportamento de suas derivadas.

    • FUN-4.A.11 As características principais dos gráficos de $f$, $f'$ e $f''$ estão relacionadas entre si.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Esta é a habilidade de ler um gráfico para descrever outro. Um setup de exame muito comum dá o gráfico de $f'$ e pergunta sobre $f$: onde está $f$ crescendo (onde $f'>0$), onde estão os extremos de $f$ (onde $f'$ cruza zero, com mudança de sinal), onde está $f$ côncava para cima (onde $f'$ está aumentando). Responda perguntas sobre $f$ usando a altura e inclinação do gráfico de $f'$.

    Explorar

    Leia inclinação e curvatura a partir do gráfico

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Onde $f'>0$ a função sobe; onde $f''>0$ ela se dobra para cima. Deslize a tangente para conectar a forma de $f$ aos sinais de suas primeiras e segundas derivadas.

    5.10

    Introdução a Problemas de Otimização
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.B: Calcular valores mínimos e máximos em contextos aplicados ou análise de funções.

    • FUN-4.B.1 A derivada pode ser usada para resolver problemas de otimização; isto é, encontrar um valor mínimo ou máximo de uma função em um intervalo dado.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Otimização: a melhor caixa

    Otimização 最优化 usa a derivada para encontrar o valor maior ou menor de uma quantidade em um intervalo. É a maquinaria de candidatos/teste de derivada aplicada a um objetivo real.

    Encerramentos com cerca: otimização encontra as dimensões que maximizam a área para um comprimento fixo de cerca
    Encerramentos com cerca: otimização encontra as dimensões que maximizam a área para um comprimento fixo de cerca
    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    Optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ 最优化 zuì yōu huà
    5.11

    Resolvendo Problemas de Otimização
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.C: Interpretar valores mínimos e máximos calculados em contextos aplicados.

    • FUN-4.C.1 Valores mínimos e máximos de uma função assumem significados específicos em contextos aplicados.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Um procedimento confiável:

    1. Escreva a quantidade a ser otimizada como uma função de uma variável (use uma equação de restrição para eliminar extras).
    2. Defina o intervalo de entradas permitidas.
    3. Encontre pontos críticos ($f'=0$ ou indefinido) e teste-os (teste da derivada primeira ou segunda, ou teste dos candidatos se o intervalo for fechado).
    4. Responda à pergunta feita, com unidades e interpretação no contexto – a área máxima, o custo mínimo, etc.

    Exemplo resolvido. Com $100\ \text{m}$ de cerca para um pen rectangular contra uma parede (apenas três lados cercados), deixe as extremidades serem $x$ e o lado distante $y=100-2x$. A área $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ tem $A'(x)=100-4x=0$ em $x=25$; já que $A''=-4<0$ este é o máximo, dando $y=50$ e $A=1250\ \text{m}^2$.

    5.12

    Explorando Comportamentos de Relações Implícitas
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-4): A derivada de uma função pode ser usada para compreender alguns comportamentos da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.D: Determinar pontos críticos de relações implícitas.

    • FUN-4.D.1 Um ponto em uma relação implícita onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe é um ponto crítico da função.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-4.E: Justificar conclusões sobre o comportamento de uma função definida implicitamente com base em evidências de suas derivadas.

    • FUN-4.E.1 Aplicações de derivadas podem ser estendidas a funções definidas implicitamente.
    • FUN-4.E.2 Derivadas segundas envolvendo diferenciação implícita podem ser relações de $x$, $y$ e $\dfrac{dy}{dx}$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Tudo isso se estende a relações implicitamente definidas. Um ponto crítico de uma relação implícita é onde $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontal) ou é indefinido (tangente vertical). Como $\dfrac{dy}{dx}$ geralmente é uma relação em $x$ e $y$, e a derivada segunda envolve $x$, $y$ e $\dfrac{dy}{dx}$, substitua sua expressão de derivada primeira novamente ao encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, então raciocine sobre a concavidade a partir de seu sinal.

    5.12

    Dicas de prova
    • $f'>0$ significa aumento, $f'<0$ diminuição; candidatos para extremos são onde $f'=0$ ou é indefinido.
    • Classifique um ponto crítico com a mudança de sinal da derivada primeira ou o teste da derivada segunda ($f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo).
    • $f''>0$ é côncava para cima, $f''<0$ côncava para baixo; um ponto de inflexão é onde a concavidade muda ($f''$ muda de sinal).
    • Para um extremo absoluto em um intervalo fechado, também verifique as extremidades.
    • Justifique toda conclusão citando o sinal de $f'$ ou $f''$ – o exame exige o raciocínio, não apenas a resposta.
  • 6

    Integração e Acumulação de Mudanças

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    6.1

    Explorando Acumulações de Mudança
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-4.A: Interpretar o significado das áreas associadas ao gráfico de uma taxa de mudança em contexto.

    • CHA-4.A.1 A área da região entre o gráfico de uma função taxa de mudança e o eixo $x$ fornece a acumulação de mudança.
    • CHA-4.A.2 Em alguns casos, a acumulação de mudança pode ser avaliada usando geometria.
    • CHA-4.A.3 Se uma taxa de mudança for positiva (negativa) sobre um intervalo, então a mudança acumulada será positiva (negativa).
    • CHA-4.A.4 A unidade para a área de uma região definida por uma taxa de mudança é a unidade da taxa de mudança multiplicada pela unidade da variável independente.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Um reservatório de água: a integração acumula mudança — volume total a partir de uma taxa de fluxo
    Um reservatório de água: a integração acumula mudança — volume total a partir de uma taxa de fluxo

    Onde uma derivada mede uma taxa, uma integral 积分 mede uma acumulação 累积 – um total construído a partir de uma taxa. Se uma taxa de alteração atua sobre um intervalo, a área entre seu gráfico e o eixo fornece a mudança líquida acumulada. Essa ideia de "área = mudança total" é a fundação do cálculo integral.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    integral/ˈɪntɪɡrəl/ 积分 jī fēn
    6.2

    Aproximando Áreas com Somas de Riemann
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-5.A: Aproximar uma integral definida usando métodos geométricos e numéricos.

    • LIM-5.A.1 Integrais definidas podem ser aproximadas para funções que são representadas graficamente, numericamente, analiticamente e verbalmente.
    • LIM-5.A.2 Integrais definidas podem ser aproximadas usando uma soma de Riemann esquerda, uma soma de Riemann direita, uma soma de Riemann do ponto médio ou uma soma trapézio; as aproximações podem ser calculadas usando partições uniformes ou não uniformes.
    • LIM-5.A.3 Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos numéricos, com ou sem tecnologia.
    • LIM-5.A.4 Dependendo do comportamento de uma função, pode ser possível determinar se uma aproximação para uma integral definida é uma subestimação ou superestimação do valor da integral definida.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A integral como área (somas de Riemann)
    Somas trapézoidais aproximam a área

    Uma soma de Riemann 黎曼和 estima a área sob uma curva somando as áreas de retângulos finos. Divida $[a,b]$ em subintervalos e use a altura da função no extremo esquerdo, extremo direito ou ponto médio de cada um. Uma soma trapezoidal 梯形法 usa trapézios em vez disso, média as alturas dos dois extremos – geralmente mais precisa. Com mais retângulos, mais finos, a estimativa melhora.

    Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva com retângulos
    Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva com retângulos
    Tiras de largura h aproximam a área sob uma curva
    Faixas de largura h aproximam a área sob uma curva

    Habilidade para prova: ser capaz de calcular estimativas à esquerda, direita, ponto médio e trapézio a partir de uma tabela ou gráfico, e afirmar se cada uma subestima ou superestima com base em se a função é crescente/decrecente ou côncava para cima/para baixo.

    Explorar

    Aproxime a área com retângulos

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Uma soma de Riemann aproxima a área sob uma curva com retângulos. Adicione mais retângulos, mais finos, e a estimativa converge para a integral definida exata.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ 黎曼和 lí màn hé
    trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/ 梯形法 tī xíng fǎ
    definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ 定积分 dìng jī fēn
    6.3

    Somas de Riemann, Notação de Soma e Notação de Integral Definida
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-5): Integrais definidas podem ser aproximadas usando métodos geométricos e numéricos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-5.B: Interpretar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.

    • LIM-5.B.1 O limite de uma soma de Riemann aproximante pode ser interpretado como uma integral definida.
    • LIM-5.B.2 Uma soma de Riemann, que requer uma partição de um intervalo $I$, é a soma de produtos, cada um sendo o valor da função em um ponto de um subintervalo multiplicado pelo comprimento desse subintervalo da partição.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-5.C: Representar o caso limite da soma de Riemann como uma integral definida.

    • LIM-5.C.1 A integral definida de uma função contínua $f$ sobre o intervalo $[a, b]$, denotada por $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, é o limite das somas de Riemann conforme as larguras dos subintervalos se aproximam de 0. Ou seja, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, onde $n$ é o número de subintervalos, $\Delta x_i$ é a largura do $i$-ésimo subintervalo e $x_i^*$ é um valor no $i$-ésimo subintervalo.
    • LIM-5.C.2 Uma integral definida pode ser traduzida no limite de uma soma de Riemann relacionada, e o limite de uma soma de Riemann pode ser escrito como uma integral definida.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Escrever uma soma de Riemann com notação de soma $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ e deixar o número de retângulos crescer sem limite fornece a área exata – a integral definida 定积分:

    $$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$
    A integral é o limite das somas de Riemann; $a$ e $b$ são os limites de integração.

    6.4

    O Teorema Fundamental do Cálculo e Funções de Acumulação
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.

    • FUN-5.A.1 A integral definida pode ser usada para definir novas funções.
      • Exemplos ilustrativos para FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
    • FUN-5.A.2 Se $f$ é uma função contínua em um intervalo contendo $a$, então $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, onde $x$ está no intervalo.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O Teorema Fundamental do Cálculo

    Uma função de acumulação 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ dá a área acumulada de $a$ até $x$. O Teorema Fundamental do Cálculo (FTC) 微积分基本定理 diz que sua derivada é o integrando:

    $$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$
    Diferenciação e integração são operações inversas. Com um limite superior variável e a regra da cadeia, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

    A função de acumulação adiciona área com sinal; o TFC diz que sua derivada é f
    A função de acumulação adiciona área com sinal; o TFC diz que sua derivada é f
    Explorar

    Acumule área como uma integral

    y = ax³ + bx² + cx + d

    Uma função de acumulação $\int_a^x f(t)\,dt$ constrói área assinada à medida que $x$ se move. O Teorema Fundamental diz que sua derivada é apenas $f(x)$.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/ 累积 lěi jī
    accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ 累积函数 lěi jī hán shù
    Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ 微积分基本定理 wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
    antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ 原函数 yuán hán shù
    indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ 不定积分 bù dìng jī fēn
    u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ 换元积分 huàn yuán jī fēn
    Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ 分部积分 fēn bù jī fēn
    Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ 部分分式 bù fèn fēn shì
    6.5

    Interpretando o Comportamento de Funções de Acumulação
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-5): O Teorema Fundamental do Cálculo conecta a derivação e a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-5.A: Representar funções de acumulação usando integrais definidas.

    • FUN-5.A.3 Representações gráficas, numéricas, analíticas e verbais de uma função $f$ fornecem informações sobre a função $g$ definida como $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Como $g'(x)=f(x)$, o gráfico de $f$ revela tudo sobre $g$: $g$ aumenta onde $f>0$, diminui onde $f<0$, possui extremos onde $f$ cruza zero, e é côncavo para cima onde $f$ é crescente. Ler essas conexões a partir de um gráfico de $f$ é uma tarefa clássica de resposta discursiva.

    6.6

    Aplicando Propriedades de Integrais Definidas
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-6.A: Calcular uma integral definida usando áreas e propriedades de integrais definidas.

    • FUN-6.A.1 Em alguns casos, uma integral definida pode ser avaliada usando geometria e a conexão entre a integral definida e a área.
    • FUN-6.A.2 Propriedades de integrais definidas incluem a integral de uma constante vezes uma função, a integral da soma de duas funções, a inversão dos limites de integração e a integral de uma função sobre intervalos adjacentes.
    • FUN-6.A.3 A definição da integral definida pode ser estendida para funções com descontinuidades removíveis ou de salto.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Integrais definidas seguem regras úteis: inverter os limites nega o valor ($\int_b^a=-\int_a^b$), uma integral sobre um intervalo de largura zero é $0$, elas são aditivas em intervalos adjacentes ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), e constantes podem ser fatoradas. Use isso para combinar ou dividir valores de integrais dados.

    6.7

    O Teorema Fundamental do Cálculo e Integrais Definidas
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-6.B: Avaliar integrais definidas analiticamente usando o Teorema Fundamental do Cálculo.

    • FUN-6.B.1 Uma primitiva de uma função $f$ é uma função $g$ cuja derivada é $f$.
    • FUN-6.B.2 Se uma função $f$ é contínua em um intervalo contendo $a$, a função definida por $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ é uma primitiva de $f$ para $x$ no intervalo.
    • FUN-6.B.3 Se $f$ é contínua no intervalo $[a, b]$ e $F$ é uma primitiva de $f$, então $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A forma de avaliação do FTC calcula uma integral definida a partir de uma primitiva 原函数 $F$ (onde $F'=f$):

    $$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$
    Assim, integrar uma taxa de variação sobre $[a,b]$ dá a variação líquida na quantidade – o resultado mais utilizado no curso.

    Exemplo resolvido. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: uma primitiva é $F(x)=x^2+x$, então o valor é $F(3)-F(1)=12-2=10$.

    Uma integral definida é a área assinada entre a curva e o eixo x
    Uma integral definida é a área assinada entre a curva e o eixo x
    6.8

    Encontrando Primitivas e Integrais Indefinidas
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-6.C: Determinar primitivas de funções e integrais indefinidas, usando conhecimento de derivadas.

    • FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ é uma integral indefinida da função $f$ e pode ser expressa como $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, onde $F'(x) = f(x)$ e $C$ é qualquer constante.
    • FUN-6.C.2 Regras de derivação fornecem a base para encontrar primitivas.
    • FUN-6.C.3 Muitas funções não possuem primitivas de forma fechada.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma integral indefinida 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ é a família de todas as primitivas (daí a constante de integração $C$). Inverta cada regra de derivação: a regra da potência torna-se $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (para $n\neq-1$), com $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, e as primitivas de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ e $\sec^2 x$ vêm diretamente de suas derivadas.

    6.9

    Integrando Usando Substituição
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que exigem substituição ou rearranjos em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.

    • FUN-6.D.1 A substituição de variáveis é uma técnica para encontrar primitivas.
    • FUN-6.D.2 Para uma integral definida, a substituição de variáveis requer mudanças correspondentes nos limites de integração.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Substituição u 换元积分 inverte a regra da cadeia: escolha $u=g(x)$ para que $g'(x)$ também apareça, transformando $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ em $\int f(u)\,du$. Lembre-se de converter $dx$ para $du$ e, para uma integral definida, mude os limites para valores $u$ ou volte para $x$ no final.

    6.10

    Integrando usando Divisão Longa e Completar Quadrados
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-6.D: Para integrandos que exigem substituição ou rearranjos em formas equivalentes: (a) Determinar integrais indefinidas. (b) Avaliar integrais definidas.

    • FUN-6.D.3 Técnicas para encontrar primitivas incluem reorganizações em formas equivalentes, como divisão longa e completando o quadrado.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Quando um integrando racional é "pesado por cima" (grau do numerador $\ge$ grau do denominador), a divisão longa reescreve como um polinômio mais uma fração própria que pode ser integrada. Completar quadrados em um denominador transforma-o em uma forma como $u^2+a^2$, levando a uma primitiva de arcotangente $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

    6.11

    Integrando usando Integração por Partes
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-6.E: Para integrandos que exigem integração por partes: (a) Determinar integrais indefinidas. APENAS BC (b) Avaliar integrais definidas. APENAS BC

    • FUN-6.E.1 A integração por partes é uma técnica para encontrar antiderivadas. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Integração por partes 分部积分 inverte a regra do produto:

    $$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$
    Escolha $u$ para simplificar quando diferenciado e $dv$ para ser fácil de integrar (o guia LIATE: logs, trig inversas, algébricas, trig, exponenciais). Ele lida com produtos como $\int x e^x\,dx$ e $\int x\ln x\,dx$, às vezes aplicado duas vezes.

    Exemplo resolvido. Para $\int x e^x\,dx$, escolha $u=x$ ($du=dx$) e $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

    $$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

    6.12

    Integrando usando Frações Parciais Lineares
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-6): Reconhecer oportunidades para aplicar conhecimento de geometria e regras matemáticas pode simplificar a integração.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-6.F: Para integrandos que exigem integração por frações parciais lineares: (a) Determinar integrais indefinidas. APENAS BC (b) Avaliar integrais definidas. APENAS BC

    • FUN-6.F.1 Algumas funções racionais podem ser decompostas em somas de razões de fatores lineares não repetidos aos quais técnicas básicas de integração podem ser aplicadas. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Frações parciais 部分分式 separam uma função racional com denominador fatoreável em uma soma de frações mais simples:

    $$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$
    cada uma das quais integra para um logaritmo. Esta técnica é essencial para a equação diferencial logística na próxima unidade.

    6.13

    Avaliando Integrais Impróprias
    Programa

    Compreensão Duradoura (LIM-6): O uso de limites nos permite mostrar que as áreas de regiões ilimitadas podem ser finitas.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-6.A: Avaliar uma integral imprópria ou determinar que a integral diverge. APENAS BC

    • LIM-6.A.1 Uma integral imprópria é uma integral que tem um ou ambos os limites infinitos ou possui um integrando que é ilimitado no intervalo de integração. APENAS BC
    • LIM-6.A.2 Integrais impróprias podem ser determinadas usando limites de integrais definidas. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Integrais impróprias: convergem ou divergem

    Uma integral imprópria 反常积分 tem um limite infinito de integração ou uma descontinuidade infinita no integrando. Avalie-a como um limite: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Se o limite for um número finito, a integral converge 收敛; caso contrário, ela diverge 发散.

    Exemplo resolvido. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, então ele converge para $1$. Em contraste, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ dá $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ e diverge – a mesma forma de integrando pode ir para qualquer lado.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ 反常积分 fǎn cháng jī fēn
    converges/kənˈvɜːdʒɪz/ 收敛 shōu liǎn
    diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ 发散 fā sàn
    6.14

    Selecionando Técnicas para Antiderivação
    Programa

    Este tópico tem como foco a habilidade de selecionar um procedimento adequado para antiderivação. Os estudantes devem ter oportunidades de praticar quando e como aplicar todos os objetivos de aprendizagem relacionados à antiderivação.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A prova BC espera que você reconheça qual método se adapta: regras básicas, substituição (padrão da regra da cadeia), por partes (um produto), frações parciais (racional fatoreável) ou divisão longa/completar quadrados. Ser capaz de olhar para uma integral e escolher a ferramenta certa rapidamente é em si uma habilidade testada.

    6.14

    Dicas de prova
    • Integração é antiderivação; use a regra da potência $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ e não esqueça a $+C$.
    • O Teorema Fundamental conecta os dois: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, e $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
    • Aproxime uma integral definida com somas de Riemann ou a regra dos trapézios a partir de uma tabela de valores.
    • Uma integral definida é uma área assinada (abaixo do eixo conta negativo); divida em mudanças de sinal para área total.
    • Use substituição u e lembre-se de alterar os limites (ou retro-substituir) adequadamente.
  • 7

    Equações Diferenciais

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    7.1

    Modelagem de Situações com Equações Diferenciais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.A: Interpretar afirmações verbais de problemas como equações diferenciais envolvendo uma expressão de derivada.

    • FUN-7.A.1 Equações diferenciais relacionam uma função de uma variável independente e as derivadas dessa função.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma equação diferencial 微分方程 relaciona uma função às suas derivadas. Muitos situações reais são descritas por uma taxa: "a população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho" torna-se $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Montar a equação a partir de uma descrição verbal – identificando o que muda e a que é proporcional – é a primeira habilidade.

    7.2

    Verificando Soluções para Equações Diferenciais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.B: Verificar soluções para equações diferenciais.

    • FUN-7.B.1 Derivadas podem ser usadas para verificar se uma função é uma solução para uma dada equação diferencial.
    • FUN-7.B.2 Pode haver infinitas soluções gerais para uma equação diferencial.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma solução é uma função que satisfaz a equação. Para verificar uma solução proposta, derive-a e substitua na equação, verificando se ambos os lados concordam. Uma solução geral contém uma constante $C$; uma solução particular fixa $C$ a partir de uma condição.

    7.3

    Esboçando Campos de Inclinação
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

    • FUN-7.C.1 Um campo de inclinação é uma representação gráfica de uma equação diferencial em um conjunto finito de pontos no plano.
    • FUN-7.C.2 Campos de inclinação fornecem informações sobre o comportamento de soluções para equações diferenciais de primeira ordem.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Campos de inclinação e curvas solução

    Um campo de inclinação 斜率场 desenha um pequeno segmento de linha em muitos pontos, cada um com a inclinação $\dfrac{dy}{dx}$ que a equação fornece naquele ponto. Ele representa a família de curvas de solução sem resolver. Para esboçá-lo, avalie o lado direito em cada ponto da grade e desenhe um segmento daquela inclinação.

    Um campo de inclinação mostra o gradiente em toda parte; curvas de solução seguem-no
    Um campo de inclinação mostra o gradiente em todos os lugares; curvas de solução o seguem
    Explorar

    Leia uma equação diferencial como um campo de inclinações

    Um campo de inclinações desenha a inclinação $dy/dx$ em cada ponto. Uma curva solução passa por ele, sempre tangente aos pequenos segmentos — você pode esboçá-la seguindo o fluxo.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ 微分方程 wēi fēn fāng chéng
    slope field/sləʊp fiːld/ 斜率场 xié lǜ chǎng
    Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ 欧拉方法 ōu lā fāng fǎ
    separable/ˈsepərəbl/ 可分离 kě fēn lí
    initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ 初始条件 chū shǐ tiáo jiàn
    exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/ 指数增长 zhǐ shù zēng zhǎng
    logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/ 逻辑斯蒂模型 luó jí sī dì mó xíng
    carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/ 环境容纳量 huán jìng róng nà liàng
    7.4

    Raciocínio Usando Campos de Inclinação
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

    • FUN-7.C.3 Soluções para equações diferenciais são funções ou famílias de funções.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma curva de solução seguem os segmentos como um barco seguindo uma corrente. A partir de um campo de inclinação, você pode esboçar a solução particular através de um ponto dado, descrever o comportamento de longo prazo e localizar onde as soluções se nivelam (inclinações próximas de zero) – raciocinando sobre soluções puramente a partir da imagem.

    7.5

    Aproximando Soluções Usando o Método de Euler
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.C: Estimar soluções para equações diferenciais.

    • FUN-7.C.4 O método de Euler fornece um procedimento para aproximar uma solução para uma equação diferencial ou um ponto em uma curva solução. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Método de Euler

    Método de Euler 欧拉方法 aproxima numericamente uma solução avançando pelo campo de inclinação. Começando de um ponto conhecido, dê um pequeno passo $\Delta x$ e atualize:

    $$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$
    Repita para cada passo. Passos menores dão uma melhor aproximação. (Esta é uma técnica apenas para BC.)

    Habilidade para prova: ser capaz de realizar dois ou três passos de Euler manualmente a partir de uma tabela, e saber que o método de Euler subestima ou superestima dependendo da concavidade da solução.

    Exemplo resolvido. Aproxime $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, com passo $\Delta x=0.5$. Passo 1: inclinação em $(0,1)$ é $0+1=1$, então $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Passo 2: inclinação em $(0.5,1.5)$ é $0.5+1.5=2$, então $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

    7.6

    Encontrando Soluções Gerais Usando Separação de Variáveis
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.D: Determinar soluções gerais para equações diferenciais.

    • FUN-7.D.1 Algumas equações diferenciais podem ser resolvidas por separação de variáveis.
    • FUN-7.D.2 A antiderivação pode ser usada para encontrar soluções gerais para equações diferenciais.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    E. coli sob microscópio: equações diferenciais modelam crescimento exponencial
    E. coli sob microscópio: equações diferenciais modelam crescimento exponencial

    Uma equação diferencial separável 可分离 pode ser escrita com todas as $y$'s de um lado e todas as $x$'s do outro, depois integrada:

    $$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$
    Isso produz a solução geral (com uma $+C$), o principal método analítico para resolver equações diferenciais neste curso.

    Exemplo resolvido. Resolva $\dfrac{dy}{dx}=xy$ com $y(0)=2$. Separando, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ resulta em $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, então $y=Ae^{x^2/2}$. A condição $y(0)=2$ resulta em $A=2$, então $y=2e^{x^2/2}$.

    7.7

    Encontrando Soluções Particulares Usando Condições Iniciais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.E: Determinar soluções particulares para equações diferenciais.

    • FUN-7.E.1 Uma solução geral pode descrever infinitas soluções para uma equação diferencial. Existe apenas uma solução particular que passa por um dado ponto.
    • FUN-7.E.2 A função $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ é uma solução particular para a equação diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfazendo $F(a) = y_0$.
    • FUN-7.E.3 Soluções para equações diferenciais podem estar sujeitas a restrições de domínio.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma condição inicial 初始条件 (um ponto conhecido, ex. $y(0)=5$) fixa a constante $C$. Resolva para a solução geral, substitua a condição para encontrar $C$, depois escreva a solução particular. Atenção ao domínio – uma solução particular é válida apenas no intervalo contendo o ponto inicial.

    A constante gera uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma delas
    A constante dá uma família de curvas; uma condição inicial seleciona uma
    7.8

    Modelos Exponenciais com Equações Diferenciais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.F: Interpretar o significado de uma equação diferencial e suas variáveis em contexto.

    • FUN-7.F.1 Aplicações específicas do encontrar soluções gerais e particulares para equações diferenciais incluem o movimento ao longo de uma linha e o crescimento e decaimento exponencial.
    • FUN-7.F.2 O modelo para crescimento e decaimento exponencial que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional ao tamanho da quantidade" é $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.G: Determinar soluções gerais e particulares para problemas envolvendo equações diferenciais em contexto.

    • FUN-7.G.1 O modelo de crescimento e decaimento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, com condição inicial $y = y_0$ quando $t = 0$, tem soluções da forma $y = y_0 e^{kt}$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Crescimento exponencial vs logístico

    A equação $\dfrac{dy}{dt}=ky$ diz que a taxa de variação é proporcional à quantidade – dando crescimento ou decaimento exponencial 指数增长. Separando variáveis resulta em

    $$y=y_0 e^{kt},$$
    com $k>0$ para crescimento e $k<0$ para decaimento. Isso modela crescimento populacional irrestrito, decaimento radioativo e juros compostos continuamente.

    Uma xícara de café esfriando: a lei do resfriamento de Newton é um modelo clássico de equação diferencial
    Uma xícara de café esfriando: a lei do resfriamento de Newton é um modelo clássico de equação diferencial
    Explorar

    Um modelo de crescimento/decadência exponencial

    y = a·e^(bx) + c

    A equação $dy/dt=ky$ tem soluções exponenciais: a quantidade muda a uma taxa proporcional a si mesma, dando crescimento ilimitado ($k>0$) ou decadência para zero ($k<0$).

    7.9

    Modelos Logísticos com Equações Diferenciais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-7): Resolver equações diferenciais permite que determinemos funções e desenvolvamos modelos.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-7.H: Interpretar o significado do modelo de crescimento logístico no contexto. APENAS BC

    • FUN-7.H.1 O modelo para crescimento logístico que surge da afirmação "A taxa de variação de uma quantidade é proporcional conjuntamente ao tamanho da quantidade e à diferença entre a quantidade e a capacidade de suporte" é $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. APENAS BC
    • FUN-7.H.2 A equação diferencial logística e as condições iniciais podem ser interpretadas sem resolver a equação diferencial. APENAS BC
    • FUN-7.H.3 O valor limite (capacidade de suporte) de uma equação diferencial logística quando a variável independente tende ao infinito pode ser determinado usando o modelo de crescimento logístico e as condições iniciais. APENAS BC
    • FUN-7.H.4 O valor da variável dependente em uma equação diferencial logística no momento em que está mudando mais rapidamente pode ser determinado usando o modelo de crescimento logístico e as condições iniciais. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O crescimento real é limitado por recursos, então o modelo logístico 逻辑斯蒂 modelo adiciona uma capacidade de suporte 环境容纳量 $L$:

    $$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$
    O crescimento é quase exponencial quando $P$ é pequeno, desacelera conforme $P$ se aproxima de $L$, e para em $P=L$. Fatos-chave da BC: a população se nivela em $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), e cresce mais rápido quando $P=\tfrac{L}{2}$ (ponto de inflexão da curva em S). Espera-se que você leia $L$ e o valor de crescimento mais rápido diretamente da equação.

    Exemplo resolvido. Para $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, a capacidade de suporte é $L=2000$ (a população se nivela lá), e o crescimento é mais rápido quando $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – ambos lidos diretamente da equação, sem necessidade de resolução.

    O modelo logístico cresce mais rápido em P=L/2 e se nivela na capacidade de suporte L
    O modelo logístico cresce mais rápido em P=L/2 e se nivela na capacidade de suporte L
    7.9

    Dicas de prova
    • Resolva uma equação separável colocando todos os $y$ de um lado e todos os $x$ do outro, então integre ambos os lados (adicione $+C$ uma vez).
    • Use a condição inicial para encontrar $C$ (uma solução particular).
    • Esboce ou leia um campo de inclinação: os pequenos segmentos mostram $\tfrac{dy}{dx}$ em cada ponto, e uma curva solução os segue.
    • Reconheça modelos exponenciais $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crescimento/decaimento).
    • Uma equação diferencial dá a inclinação – você deve integrar para recuperar a função.
  • 8

    Aplicações da Integração

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    8.1

    Encontrando o Valor Médio de uma Função em um Intervalo
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-4.B: Determinar o valor médio de uma função usando integrais definidas.

    • CHA-4.B.1 O valor médio de uma função contínua $f$ sobre um intervalo $[a, b]$ é $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O valor médio 平均值 de $f$ sobre $[a,b]$ é a integral dividida pela largura:

    $$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$
    É a altura constante que um retângulo precisaria ter para ter a mesma área que a região sob $f$. Não confunda isso com a média da taxa de variação (que usa a derivada).

    Exemplo resolvido. O valor médio de $f(x)=x^2$ em $[0,3]$ é $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

    Explorar

    O valor médio de uma função

    y = ax³ + bx² + cx + d

    O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é sua integral dividida pela largura — a altura constante cujo retângulo tem a mesma área que sob a curva.

    8.2

    Conectando Posição, Velocidade e Aceleração Usando Integrais
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-4.C: Determinar valores para posições e taxas de variação usando integrais definidas em problemas envolvendo movimento retilíneo.

    • CHA-4.C.1 Para uma partícula em movimento retilíneo sobre um intervalo de tempo, a integral definida da velocidade representa o deslocamento da partícula sobre o intervalo de tempo, e a integral definida da rapidez representa a distância total percorrida pela partícula sobre o intervalo de tempo.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Para movimento em linha reta, a integração inverte a diferenciação:

    $$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$
    Duas distinções importantes: deslocamento 位移 é $\int_a^b v\,dt$ (variação líquida na posição), enquanto distância total 总路程 é $\int_a^b |v|\,dt$ (dividindo onde $v$ muda de sinal). A velocidade escalar é $|v|$.

    8.3

    Usando Funções de Acumulação e Integrais Definidas em Contextos Aplicados
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-4.D: Interpretar o significado de uma integral definida em problemas de acumulação.

    • CHA-4.D.1 Uma função definida como uma integral representa uma acumulação de uma taxa de variação.
    • CHA-4.D.2 A integral definida da taxa de variação de uma quantidade sobre um intervalo dá a mudança líquida dessa quantidade sobre esse intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-4.E: Determinar a mudança líquida usando integrais definidas em contextos aplicados.

    • CHA-4.E.1 A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e mudança líquida em muitos contextos aplicados.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Quando uma taxa é dada (taxa de fluxo, vendas por dia), a integral definida dá o total acumulado, e $\int_a^b R(t)\,dt$ carrega as unidades de $R$ vezes tempo. Um setup comum: quantidade inicial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ dá a quantidade em um tempo posterior. Sempre interprete a resposta no contexto, com unidades.

    8.4

    Encontrando a Área Entre Curvas Expressas como Funções de x
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

    • CHA-5.A.1 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas com integrais definidas.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Um oleiro moldando um vaso: volumes de revolução giram uma região plana em torno de um eixo
    Um oleiro moldando um vaso: volumes de revolução giram uma região plana em torno de um eixo

    A área entre $y=f(x)$ (superior) e $y=g(x)$ (inferior) de $a$ a $b$ é

    $$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$
    Encontre os pontos de interseção para os limites, e sempre subtraia superior menos inferior.

    A área entre duas curvas é a integral do topo menos a base
    A área entre duas curvas é a integral de superior menos inferior

    Exemplo resolvido. Entre $y=x$ e $y=x^2$ (cruzando-se em $x=0,1$, com $y=x$ no topo), a área é $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

    8.5

    Encontrando a Área Entre Curvas Expressas como Funções de y
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

    • CHA-5.A.2 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas usando funções de $x$ ou $y$.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Quando as curvas são mais fáceis de descrever como $x=f(y)$, integre em relação a $y$ em vez disso, usando direita menos esquerda:

    $$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$
    Escolher integrar em $y$ pode evitar dividir a região em várias partes.

    8.6

    Encontrando a Área Entre Curvas que se Intersectam Mais de Duas Vezes
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

    • CHA-5.A.3 Áreas de certas regiões no plano podem ser calculadas usando uma soma de duas ou mais integrais definidas ou por avaliar uma integral definida do valor absoluto da diferença de duas funções.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Se duas curvas cruzarem várias vezes, o superior e o inferior alternam. Divida a região em cada ponto de interseção e integre cada parte com o correto superior menos inferior (ou use $\int|f-g|$), depois some as partes.

    8.7

    Volumes com Secções Transversais: Quadrados e Retângulos
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

    • CHA-5.B.1 Volumes de sólidos com secções transversais quadradas e retangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Se as seções transversais 横截面 de um sólido perpendiculares ao eixo $x$ forem quadrados ou retângulos, integre sua área. Com comprimento de lado igual à distância entre duas curvas, uma seção transversal quadrada dá

    $$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$
    O método é sempre "integrar a área da secção transversal".

    8.8

    Volumes com Secções Transversais: Triângulos e Semicírculos
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

    • CHA-5.B.2 Volumes de sólidos com secções transversais triangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
    • CHA-5.B.3 Volumes de sólidos com secções transversais semicirculares e outras definidas geometricamente podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
      • Exemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
        • O volume de um funil cujas seções transversais são círculos pode ser encontrado usando a fórmula da área do círculo e integrais definidas (consulte 2016 FRQ do Exame AP #5(b)).
        • O volume de um sólido cuja área da seção transversal é definida por uma função pode ser encontrado usando a função de área conhecida e uma integral definida (consulte 2009 FRQ do Exame AB #4(c)).

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Mesma ideia, fórmula de área diferente: para secções transversais triangulares equiláteras use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, e para semicirculares $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (com $s$ sendo a distância entre as curvas). Substitua a fórmula de área e integre.

    8.9

    Volume com Método dos Discos: Girando em Torno do Eixo x ou y
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

    • CHA-5.C.1 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do disco.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Sólidos de revolução: o método dos discos

    Girar uma região em torno de um eixo cria um sólido cujas secções transversais são discos. O método dos discos 圆盘法 integra $\pi(\text{radius})^2$:

    $$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$
    onde o raio $R$ é a distância da curva ao eixo. Use $dy$ quando girar em torno do eixo $y$.

    O método dos discos: girar y=f(x) em torno do eixo varre discos de raio f(x)
    O método dos discos: girar y=f(x) em torno do eixo varre discos de raio f(x)

    Exemplo resolvido. Girar a região sob $y=\sqrt{x}$ de $0$ a $4$ em torno do eixo $x$ produz discos de raio $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

    Girar uma região em torno de um eixo varre um sólido de revolução
    Girar uma região em torno de um eixo varre um sólido de revolução
    8.10

    Volume com Método dos Discos: Girando em Torno de Outros Eixos
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

    • CHA-5.C.2 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical no plano podem ser encontrados usando integrais definidas com o método dos discos.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Quando o eixo de revolução for uma linha horizontal ou vertical como $y=k$ (não um eixo), o raio se ajusta: $R=|f(x)-k|$. Defina o raio como a distância da curva até essa linha, então integre $\pi R^2$ como antes.

    8.11

    Volume com Método das Arruelas: Girando em Torno do Eixo x ou y
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

    • CHA-5.C.3 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ cujas secções transversais têm forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do anel.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Volume pelo método das arandelas

    Se a região não tocar o eixo, a rotação deixa um buraco, então as secções transversais são arruelas (anelos). O método das arruelas 垫圈法 subtrai o disco interno:

    $$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$
    Identifique os raios externo e interno como distâncias de cada curva ao eixo.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/ 平均值 píng jūn zhí
    displacement/dɪˈspleɪsmənt/ 位移 wèi yí
    total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/ 总路程 zǒng lù chéng
    cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ 横截面 héng jié miàn
    disc method/dɪsk ˈmeθəd/ 圆盘法 yuán pán fǎ
    washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ 垫圈法 diàn juàn fǎ
    arc length/ɑːk leŋθ/ 弧长 hú zhǎng
    8.12

    Volume com Método das Arruelas: Girando em Torno de Outros Eixos
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

    • CHA-5.C.4 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical cujas secções transversais são em forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método das anéis.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Assim como com os discos, girar em torno de uma linha $y=k$ ou $x=k$ desloca ambos os raios – cada um torna-se a distância de sua curva até essa linha. Esboce a região e o eixo, rotule $R_{\text{outer}}$ e $R_{\text{inner}}$, então integre a diferença dos quadrados.

    8.13

    O Comprimento de Arco de uma Curva Suave e Distância Percorrida
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-6): Integrais definidas permitem-nos resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança no comprimento sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-6.A: Determinar o comprimento de uma curva no plano definida por uma função, usando uma integral definida. APENAS BC

    • CHA-6.A.1 O comprimento de uma curva planar definida por uma função pode ser calculado usando uma integral definida. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O comprimento de arco 弧长 de $y=f(x)$ de $a$ a $b$ é

    $$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$
    Esta fórmula só para BC vem de somar pequenos hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$. A mesma ideia dá a distância que uma partícula percorre ao longo de um caminho curvo.

    Exemplo resolvido. Encontre o comprimento de arco de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ de $x=0$ a $x=3$. Aqui $f'(x)=x^{1/2}$, então $1+(f')^2=1+x$ e

    $$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

    A Ponte Golden Gate e seus cabos principais ondulantes
    O cabo principal da ponte pende como uma curva suave; uma integral dá seu comprimento exato
    8.13

    Dicas de prova
    • A área entre curvas é $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encontre os pontos de interseção para os limites e mantenha superior menos inferior.
    • Para um volume de revolução, some as seções transversais de disco/anilha de área $\pi r^2$ (ou $\pi(R^2-r^2)$).
    • O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
    • A mudança acumulada é $\int$ de uma taxa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
    • Integração significa "somar infinitas peças pequenas" — configure o integrando como uma fina fatia.
  • 9

    Equações Paramétricas, Coordenadas Polares e Funções Vetoriais

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    9.1

    Definindo e Diferenciando Equações Paramétricas
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.G: Calcular derivadas de funções paramétricas. APENAS BC

    • CHA-3.G.1 Métodos para calcular derivadas de funções de valores reais podem ser estendidos para funções paramétricas. APENAS BC
    • CHA-3.G.2 Para uma curva definida parametricamente, o valor de $\dfrac{dy}{dx}$ em um ponto na curva é a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. $\dfrac{dy}{dx}$, a inclinação da reta tangente a uma curva definida por equações paramétricas, pode ser determinada dividindo-se $\dfrac{dy}{dt}$ por $\dfrac{dx}{dt}$, desde que $\dfrac{dx}{dt}$ não seja igual a zero. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A ISS em órbita: equações paramétricas descrevem posição em função do tempo
    A ISS em órbita: equações paramétricas descrevem posição em função do tempo

    Equações paramétricas 参数方程 fornecem $x$ e $y$ cada uma como função de um parâmetro $t$ (muitas vezes tempo): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Elas traçam uma curva que não precisa ser uma função de $x$. A inclinação da curva é encontrada com a regra da cadeia:

    $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

    Exemplo resolvido. Para $x=t^2$, $y=t^3-t$, encontre a inclinação em $t=2$. Aqui $\dfrac{dx}{dt}=2t$ e $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, então $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; em $t=2$ isso é $\dfrac{11}{4}$.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ 参数方程 cān shù fāng chéng
    vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ 向量值函数 xiàng liàng zhí hán shù
    Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ 极坐标 jí zuò biāo
    9.2

    Derivadas Segundas de Equações Paramétricas
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.G: Calcular derivadas de funções paramétricas. APENAS BC

    • CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ pode ser calculado dividindo-se $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ por $\dfrac{dx}{dt}$. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A derivada segunda não é $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. Em vez disso, diferencie a primeira derivada em relação a $t$, depois divida por $dx/dt$ novamente:

    $$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$
    Use-a para testar a concavidade de uma curva paramétrica.

    9.3

    Encontrando Comprimentos de Arco de Curvas Dadas por Equações Paramétricas
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-6): Integrais definidas permitem-nos resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança no comprimento sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-6.B: Determinar o comprimento de uma curva no plano definida por funções paramétricas, usando uma integral definida. APENAS BC

    • CHA-6.B.1 O comprimento de uma curva definida parametricamente pode ser calculado usando uma integral definida. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O comprimento de uma curva paramétrica para $t$ de $a$ a $b$ é

    $$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$
    Esta é a versão paramétrica do comprimento de arco – somando pequenos hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sobre o parâmetro.

    9.4

    Definindo e Diferenciando Funções Vetoriais
    Programa

    Compreensão Duradoura (CHA-3): As derivadas nos permitem resolver problemas do mundo real envolvendo taxas de variação.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-3.H: Calcular derivadas de funções de valor vetorial. APENAS BC

    • CHA-3.H.1 Métodos para calcular derivadas de funções de valores reais podem ser estendidos para funções de valor vetorial. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma função vetorial 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ fornece um vetor posição para cada $t$. Diferencie componente a componente: a velocidade é $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ e a aceleração é $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. A rapidez é a magnitude $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

    Uma linha vetorial: comece em a, depois deslize t unidades na direção b
    Uma linha vetorial: comece em a, depois deslize t unidades na direção b
    Explorar

    Adicionar componentes com valor vetorial

    Uma função com valor vetorial empacota um $x(t)$ e $y(t)$ em um único vetor. Diferenciar cada componente fornece o vetor velocidade, tangente à trajetória.

    9.5

    Integrando Funções Vetoriais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-8): Resolver um problema de valor inicial permite-nos determinar uma expressão para a posição de uma partícula movendo-se no plano.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-8.A: Determinar uma solução particular dado um vetor velocidade e condições iniciais. APENAS BC

    • FUN-8.A.1 Métodos para calcular integrais de funções de valores reais podem ser estendidos para funções paramétricas ou de valor vetorial. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Integre uma função vetorial componente a componente. Dada aceleração ou velocidade mais uma condição inicial, integre cada componente e use a condição para encontrar as constantes – recuperando a velocidade a partir da aceleração, ou a posição a partir da velocidade.

    9.6

    Resolvendo Problemas de Movimento Usando Funções Paramétricas e Vetoriais
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-8): Resolver um problema de valor inicial permite-nos determinar uma expressão para a posição de uma partícula movendo-se no plano.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-8.B: Determinar valores para posições e taxas de mudança em problemas envolvendo movimento planar. APENAS BC

    • FUN-8.B.1 Derivadas podem ser usadas para determinar velocidade, rapidez e aceleração para uma partícula movendo-se ao longo de uma curva no plano definida por equações paramétricas ou funções de valor vetorial. APENAS BC
    • FUN-8.B.2 Para uma partícula em movimento planar sobre um intervalo de tempo, a integral definida do vetor velocidade representa o deslocamento da partícula (mudança líquida na posição) sobre o intervalo de tempo, do qual podemos determinar sua posição. A integral definida da rapidez representa a distância total percorrida pela partícula sobre o intervalo de tempo. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Para uma partícula movendo-se em um plano: a posição é $\langle x(t),y(t)\rangle$, velocidade e aceleração são suas derivadas, rapidez é $|\vec v|$, e a distância percorrida sobre $[a,b]$ é

    $$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

    Habilidade de prova: esses problemas de movimento plano aparecem na questão discursiva do BC quase todo ano – esteja fluente ao encontrar a rapidez, a posição em um tempo posterior (ponto inicial mais a integral da velocidade) e a distância total.

    Exemplo resolvido. Uma partícula tem posição $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Sua velocidade é $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, então em $t=1$ a velocidade é $\langle 2,\ 2\rangle$ e a rapidez é $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Sua posição em $t=2$ é $\langle 4,\ 6\rangle$.

    9.7

    Definindo Coordenadas Polares e Diferenciando na Forma Polar
    Programa

    Compreensão Duradoura (FUN-3): Reconhecer oportunidades para aplicar regras de derivada pode simplificar a diferenciação.

    Objetivo de Aprendizagem FUN-3.G: Calcular derivadas de funções escritas em coordenadas polares. APENAS BC

    • FUN-3.G.1 Métodos para calcular derivadas de funções de valores reais podem ser estendidos para funções em coordenadas polares. APENAS BC
    • FUN-3.G.2 Para uma curva dada por uma equação polar $r = f(\theta)$, derivadas de $r$, $x$ e $y$ com respeito a $\theta$, e as primeiras e segundas derivadas de $y$ com respeito a $x$ podem fornecer informações sobre a curva. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Traçando uma curva polar

    Coordenadas polares 极坐标 localizam um ponto por sua distância $r$ à origem e ângulo $\theta$: converta com $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Uma curva polar $r=f(\theta)$ é uma curva paramétrica em $\theta$, então sua inclinação é

    $$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

    Coordenadas polares dão um ponto por sua distância r e ângulo theta
    Coordenadas polares dão um ponto por sua distância r e ângulo theta
    Explorar

    Plote uma curva polar

    Nas coordenadas polares, um ponto está a uma distância $r$ no ângulo $\theta$. Deixando $r$ depender de $\theta$ traça curvas como este cardioides.

    9.8

    Encontrando a Área de uma Região Polar
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.D: Calcular áreas de regiões definidas por curvas polares usando integrais definidas. APENAS BC

    • CHA-5.D.1 O conceito de cálculo de áreas em coordenadas retangulares pode ser estendido para coordenadas polares. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    A área varrida por uma curva polar $r=f(\theta)$ de $\alpha$ a $\beta$ é

    $$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$
    A região é um "leque" de finos setores triangulares; escolher os limites corretos de $\theta$ (onde a curva começa e termina de traçar a região) é o principal desafio.

    Exemplo resolvido. Encontre a área de uma pétala da rosa $r=2\sin(2\theta)$ (traçada para $\theta$ de $0$ a $\tfrac{\pi}{2}$). Usando $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

    $$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

    A área de uma região polar é varrida como metade da integral de r² d theta
    A região sombreada é um leque de finos setores varridos de $\alpha$ a $\beta$; cada um tem área $\tfrac12 r^2\,d\theta$, então o total é $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.
    9.9

    Encontrando a Área da Região Limitada por Duas Curvas Polares
    Programa

    Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

    Objetivo de Aprendizagem CHA-5.D: Calcular áreas de regiões definidas por curvas polares usando integrais definidas. APENAS BC

    • CHA-5.D.2 As áreas de regiões delimitadas por curvas polares podem ser calculadas com integrais definidas. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Para a área entre uma curva externa $r_1$ e uma interna $r_2$, subtraia os setores:

    $$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$
    Encontre os ângulos de interseção primeiro (igualando $r_1=r_2$), e tenha cuidado com qual curva é externa em cada intervalo – elas podem inverter.

    9.9

    Dicas de prova
    • Para curvas paramétricas, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; a rapidez é $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
    • Uma função vetorial carrega a mesma informação – diferencie/integre-a componente a componente.
    • Em polares, converta com $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; a área varrida é $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
    • Observe a direção do traçado (o sinal de $dx/dt$) e defina limites corretos de $\theta$ para área polar.
    • Elimine o parâmetro para recuperar a forma ordinaria $y$ vs-$x$ quando ajudar.
  • 10

    Sequências e Séries Infinitas

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    10.1

    Definindo Séries Infinitas Convergentes e Divergentes
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.1 A $n$-ésima soma parcial é definida como a soma dos primeiros $n$ termos de uma série. APENAS BC
    • LIM-7.A.2 Uma série infinita de números converge para um número real $S$ (ou tem soma $S$), se e somente se o limite de sua sequência de somas parciais existe e é igual a $S$. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Bonecas matrioskas aninhadas: uma série infinita continua adicionando termos — algumas convergem, outras divergem
    Bonecas matrioskas aninhadas: uma série infinita continua adicionando termos — algumas convergem, outras divergem

    Uma série infinita 无穷级数 adiciona infinitamente muitos termos, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Seu valor é definido como o limite das somas parciais 部分和 $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Se $S_N$ se aproxima de um número finito $L$, a série converge 收敛 para $L$; caso contrário, ela diverge 发散. Cada pergunta de convergência é realmente uma pergunta sobre o limite das somas parciais.

    Somas parciais de uma série geométrica convergente sobem em direção a over um menos r
    Para a série geométrica com $a=1,\ r=\tfrac12$, as somas parciais $S_1,S_2,S_3,\dots$ sobem em direção ao limite $\dfrac{a}{1-r}=2$ – esse limite é o valor da série.
    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ 无穷级数 wú qióng jí shù
    partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/ 部分和 bù fèn hé
    converges/kənˈvɜːdʒɪz/ 收敛 shōu liǎn
    diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ 发散 fā sàn
    geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ 几何级数 jǐ hé jí shù
    integral test/ˈɪntɪɡrəl test/ 积分判别法 jī fēn pàn bié fǎ
    harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ 调和级数 tiáo hé jí shù
    Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/ 直接比较 zhí jiē bǐ jiào
    Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/ 极限比较 jí xiàn bǐ jiào
    alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ 交错级数 jiāo cuò jí shù
    ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/ 比值判别法 bǐ zhí pàn bié fǎ
    converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/ 绝对收敛 jué duì shōu liǎn
    converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/ 条件收敛 tiáo jiàn shōu liǎn
    10.2

    Trabalhando com Séries Geométricas
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.3 Uma série geométrica é uma série com uma razão constante entre termos sucessivos. APENAS BC
    • LIM-7.A.4 Se $a$ for um número real e $r$ for um número real tal que $|r| < 1$, então a série geométrica $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n = \dfrac{a}{1-r}$. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Série geométrica & convergência

    Uma série geométrica 几何级数 $\sum ar^{n}$ tem uma razão constante $r$ entre os termos. Ela converge exatamente quando $|r|<1$, e então

    $$\sum_{n=0}^\infty ar^n=\frac{a}{1-r}.$$
    Esta é a única série cuja soma você pode encontrar exatamente, e ela fundamenta séries de potências mais tarde na unidade.

    Exemplo resolvido. Some $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Aqui $a=3$ e $r=\tfrac12$ (com $|r|<1$), então a soma é $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.

    Uma sequência geométrica multiplica pela mesma razão em cada etapa
    Uma sequência geométrica multiplica pela mesma razão em cada etapa
    Explorar

    Quando uma série geométrica converge

    Uma série geométrica $\sum ar^n$ converge apenas quando $|r|<1$, somando para $\frac{a}{1-r}$. Altere a razão e observe as somas parciais se estabilizarem ou divergirem.

    10.3

    O Teste do n-ésimo Termo para Divergência
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.5 O teste do $n$-ésimo termo é um teste para divergência de uma série. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Se os termos não diminuírem para zero, a soma não pode se estabilizar: se $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, a série diverge. Este é apenas um teste para divergência – se os termos forem zero, o teste é inconclusivo (a série ainda pode divergir, como a série harmônica). Sempre verifique este teste rápido primeiro.

    10.4

    Teste Integral para Convergência
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.6 O teste integral é um método para determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Se $a_n=f(n)$ para uma função positiva, decrescente e contínua $f$, então $\sum a_n$ e $\int_1^\infty f(x)\,dx$ convergem ou divergem juntos. O teste da integral 积分判别法 transforma uma questão de série em uma questão de integral imprópria, sendo ele quem prova a regra das séries p abaixo.

    10.5

    Série Harmônica e Séries p
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.7 Além das séries geométricas, séries comuns de números incluem a série harmônica, a série harmônica alternada e as séries $p$. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma série p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converge se $p>1$ e diverge se $p\le1$. O caso especial $p=1$, $\sum\dfrac1n$ é a série harmônica 调和级数 – ela diverge mesmo com seus termos tendendo a zero (um fato famoso e essencial). A família das séries p é o padrão para testes de comparação.

    10.6

    Testes de Comparação para Convergência
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.8 O teste de comparação é um método para determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC
    • LIM-7.A.9 O teste de comparação de limites é um método para determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Compare uma série desconhecida a uma conhecida (uma série p ou geométrica):

    • Comparação direta 直接比较: se $0\le a_n\le b_n$ e $\sum b_n$ converge, então $\sum a_n$ também; se $a_n\ge b_n\ge0$ e $\sum b_n$ diverge, então $\sum a_n$ também.
    • Comparação pelo limite 极限比较: se $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ for um número finito positivo, as duas séries se comportam da mesma forma. Isso é mais fácil quando os termos apenas se comportam como uma série conhecida.
    10.7

    Teste de Série Alternada para Convergência
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.10 O teste das séries alternadas é um método para determinar se uma série alternada converge. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma série alternada 交错级数 tem termos que alternam sinal, $\sum(-1)^n b_n$. Ela converge se os $b_n$ forem positivos, decrescentes e $\lim b_n=0$. Isso permite que séries como $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converjam, mesmo que os mesmos termos sem os sinais (a série harmônica) diverjam.

    10.8

    Teste da Razão para Convergência
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.11 O teste da razão é um método para determinar se uma série numérica converge ou diverge. APENAS BC
      • Declaração de exclusão: O teste do n-ésimo termo para divergência, o teste integral, o teste de comparação, o teste de comparação de limites, o teste das séries alternadas e o teste da razão para convergência são avaliados no Exame de Cálculo AP BC. Outros métodos não são avaliados no exame. No entanto, os professores podem incluir métodos adicionais no curso, se houver tempo.

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O teste da razão 比值判别法 examina $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

    • $L<1$: a série converge absolutamente;
    • $L>1$: ela diverge;
    • $L=1$: inconclusivo.

    É o teste padrão para séries com fatoriais ou potências de $n$, e é exatamente assim que você encontra o raio de convergência de uma série de potências.

    Exemplo resolvido. Teste $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. A razão é $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, logo a série converge.

    10.9

    Determinando Convergência Absoluta ou Condicional
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.A: Determinar se uma série converge ou diverge. APENAS BC

    • LIM-7.A.12 Uma série pode ser absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. APENAS BC
    • LIM-7.A.13 Se uma série converge absolutamente, então ela converge. APENAS BC
    • LIM-7.A.14 Se uma série converge absolutamente, então qualquer série obtida dela por reagrupamento ou reorganização dos termos terá o mesmo valor. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma série converge absolutamente 绝对收敛 se $\sum|a_n|$ converge. Ela converge condicionalmente 条件收敛 se $\sum a_n$ converge mas $\sum|a_n|$ diverge (o exemplo clássico é $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). A convergência absoluta é a propriedade mais forte; a convergência condicional depende do cancelamento de sinais.

    10.10

    Limite de Erro de Série Alternada
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-7): A aplicação de limites pode nos permitir determinar a soma finita de infinitos termos.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-7.B: Aproximar a soma de uma série. APENAS BC

    • LIM-7.B.1 Se uma série alternada converge pelo teste da série alternada, então o limite de erro da série alternada pode ser usado para limitar quão longe uma soma parcial está do valor da série infinita. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Para uma série alternada convergente, o erro ao parar na $N$-ésima soma parcial é não maior que o primeiro termo omitido:

    $$|S-S_N|\le b_{N+1}.$$
    Este limite simples e poderoso permite determinar quantos termos garantem uma precisão desejada.

    10.11

    Encontrando Aproximações por Polinômios de Taylor de Funções
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-8.A: Representar uma função em um ponto como um polinômio de Taylor. APENAS BC

    • LIM-8.A.1 O coeficiente do termo de grau $n$ em um polinômio de Taylor para uma função $f$ centrada em $x = a$ é $\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}$. APENAS BC
    • LIM-8.A.2 Em muitos casos, à medida que o grau de um polinômio de Taylor aumenta, o polinômio de grau $n$ tenderá à função original sobre algum intervalo. APENAS BC

    Objetivo de Aprendizagem LIM-8.B: Aproximar valores de função usando um polinômio de Taylor. APENAS BC

    • LIM-8.B.1 Polinômios de Taylor para uma função $f$ centrada em $x = a$ podem ser usados para aproximar valores funcionais de $f$ perto de $x = a$. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Aproximação da série de Taylor

    Um polinômio de Taylor 泰勒多项os aproxima uma função perto de um centro $x=a$ usando suas derivadas ali:

    $$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$
    Cada termo adicionado corresponde a uma derivada a mais, fazendo com que o polinômio se encaixe melhor na curva perto de $a$. Centralizado em $a=0$, ele é um polinômio de Maclaurin.

    Polinômios de Taylor de sin x se encaixam mais de perto na curva à medida que o grau aumenta
    Os polinômios de Maclaurin de $\sin x$ – $T_1=x$, $T_3$, $T_5$ – cada um corresponde a uma derivada a mais em $0$, portanto cada um se encaixa melhor em $\sin x$ sobre um intervalo mais largo antes de se afastar.

    Habilidade para prova: seja capaz de construir um polinômio de Taylor a partir de uma tabela de valores de derivadas e usá-lo para estimar um valor de função.

    Vocabulário Treinar
    Inglês Chinês Pinyin
    Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ 泰勒多项式 tài lēi duō xiàng shì
    Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ 拉格朗日误差界 lā gé lǎng rì wù chā jiè
    power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ 幂级数 mì jí shù
    radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ 收敛半径 shōu liǎn bàn jìng
    interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ 收敛区间 shōu liǎn qū jiān
    10.12

    Limite de Erro de Lagrange
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-8.C: Determinar o limite de erro associado a uma aproximação de polinômio de Taylor. APENAS BC

    • LIM-8.C.1 O limite de erro de Lagrange pode ser usado para determinar um intervalo máximo para o erro de uma aproximação de polinômio de Taylor a uma função. APENAS BC
    • LIM-8.C.2 Em algumas situações, o limite de erro da série alternada pode ser usado para limitar o erro de uma aproximação de polinômio de Taylor ao valor de uma função. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    O limite de erro de Lagrange 拉格朗日误差界 limita o quanto um polinômio de Taylor pode se desviar do valor verdadeiro:

    $$|R_n(x)|\le\frac{\max\big|f^{(n+1)}(z)\big|}{(n+1)!}\,|x-a|^{\,n+1}.$$
    Você limita a $(n+1)$-ésima derivada no intervalo, depois calcula – a maneira padrão de provar que uma estimativa de Taylor é precisa o suficiente.

    10.13

    Raio e Intervalo de Convergência de Séries de Potências
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-8.D: Determinar o raio de convergência e o intervalo de convergência para uma série de potências. APENAS BC

    • LIM-8.D.1 Uma série de potências é uma série da forma $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-r)^n$, onde $n$ é um inteiro não negativo, $\{a_n\}$ é uma sequência de números reais e $r$ é um número real. APENAS BC
    • LIM-8.D.2 Se uma série de potências converge, ela converge em um único ponto ou tem um intervalo de convergência. APENAS BC
    • LIM-8.D.3 O teste da razão pode ser usado para determinar o raio de convergência de uma série de potências. APENAS BC
    • LIM-8.D.4 O raio de convergência de uma série de potências pode ser usado para identificar um intervalo aberto no qual a série converge, mas é necessário testar ambas as extremidades do intervalo para determinar o intervalo de convergência. APENAS BC
    • LIM-8.D.5 Se uma série de potências tem um raio de convergência positivo, então a série de potências é a série de Taylor da função à qual ela converge sobre o intervalo aberto. APENAS BC
    • LIM-8.D.6 O raio de convergência de uma série de potências obtida por diferenciação termo a termo ou integração termo a termo é o mesmo que o raio de convergência da série de potências original. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Uma série de potências 幂级数 $\sum c_n(x-a)^n$ converge para $x$ dentro de um raio de convergência 收敛半径 $R$ do centro $a$. Encontre $R$ com o teste da razão. Depois, teste os dois pontos extremos separadamente (o teste da razão é inconclusivo lá) para declarar o intervalo de convergência 收敛区间 completo – incluindo ou excluindo cada ponto extremo.

    Exemplo resolvido. Encontre o raio de convergência de $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. O teste da razão dá $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, que é $<1$ quando $|x|<1$, logo $R=1$. Testando os pontos extremos, $x=-1$ fornece a série harmônica alternada convergente e $x=1$ a série harmônica divergente, logo o intervalo é $[-1,1)$.

    10.14

    Encontrando Séries de Taylor ou Maclaurin para uma Função
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-8.E: Representar uma função como uma série de Taylor ou uma série de Maclaurin. APENAS BC

    • LIM-8.E.1 Um polinômio de Taylor para $f(x)$ é uma soma parcial da série de Taylor para $f(x)$. APENAS BC

    Objetivo de Aprendizagem LIM-8.F: Interpretar séries de Taylor e séries de Maclaurin. APENAS BC

    • LIM-8.F.1 A série de Maclaurin para $\dfrac{1}{1-x}$ é uma série geométrica. APENAS BC
    • LIM-8.F.2 A série de Maclaurin para $\sin x$, $\cos x$ e $e^x$ fornece a base para construir a série de Maclaurin para outras funções. APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Estender um polinômio de Taylor para infinitos termos resulta em uma série de Taylor (ou Maclaurin). Memorize as principais séries de Maclaurin:

    $$e^x=\sum\frac{x^n}{n!},\quad \sin x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!},\quad \frac{1}{1-x}=\sum x^n.$$
    Novas séries vêm de manipular estas – substituindo, diferenciando, integrando ou multiplicando.

    Exemplo resolvido. Encontre a série de Maclaurin para $e^{x^2}$. Substitua $x^2$ por $x$ em $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

    $$e^{x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x^2)^n}{n!}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots,$$
    que converge para todo $x$. Este truque de substituição é muito mais rápido do que diferenciar $e^{x^2}$ seis vezes.

    Cada termo extra de Maclaurin se encaixa melhor na função sobre uma faixa mais ampla
    Cada termo extra de Maclaurin se encaixa melhor na função sobre uma faixa mais ampla
    Explorar

    A função aproximada por uma série de Taylor

    y = asen(bx + c) + d

    Uma série de Taylor constrói uma função a partir de suas derivadas em um ponto; mais termos abraçam a curva (aqui $\sin x$) sobre uma faixa mais ampla.

    10.15

    Representando Funções como Séries de Potências
    Programa

    Compreensão Permanente (LIM-8): Séries de potências nos permitem representar funções associadas em um intervalo apropriado.

    Objetivo de Aprendizagem LIM-8.G: Representar uma função dada como uma série de potências. APENAS BC

    • LIM-8.G.1 Utilizando uma série conhecida, pode-se derivar uma série de potências para uma função dada por meio de operações como diferenciação termo a termo ou integração termo a termo, e por vários métodos (p.ex., processos algébricos, substituições ou usando propriedades de séries geométricas). APENAS BC

    Fonte: College Board AP Course and Exam Description

    Como uma série de potências pode ser diferenciada e integrada termo a termo (dentro de seu raio), você pode construir novas séries a partir das conhecidas – ex.: integre a série geométrica para $\dfrac{1}{1-x}$ para obter a série para $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, ou substitua $-x^2$ para obter a série para $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representar uma função como uma série de potências permite aproximar valores e integrais que não possuem primitivas elementares.

    Habilidade para prova: a resposta discursiva de séries do BC geralmente pede para você derivar uma nova série de Maclaurin a partir de uma conhecida, encontrar seu intervalo de convergência e usar o limite da série alternada ou de Lagrange para estimar o erro – as habilidades culminantes do curso.

    10.15

    Dicas de prova
    • Teste uma série para convergência com a ferramenta certa: geométrica ($|r|<1$, soma $\tfrac{a}{1-r}$), $n$-ésimo termo, razão, integral, comparação ou teste de série alternada.
    • Uma geométrica infinita só converge quando $|r|<1$; caso contrário, diverge.
    • Construa uma série de Taylor/Maclaurin para aproximar uma função; mais termos dão um ajuste melhor perto do centro.
    • Conheça as séries de Maclaurin padrão para $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ e $\tfrac{1}{1-x}$.
    • Encontre o raio/intervalo de convergência com o teste da razão, depois verifique os pontos extremos separadamente.

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