Aplicações Analíticas da Diferenciação

O Teorema do Valor Médio (TVM) relaciona a taxa média de variação a uma instantânea:

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$, então existe pelo menos um ponto $c$ em $(a,b)$ onde

$$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Em palavras: em algum lugar dentro do intervalo, a taxa instantânea iguala a taxa média. Geometricamente, alguma reta tangente é paralela à linha que une os pontos extremos.

Habilidade de prova. Assim como o TVI, o TME é um teorema de existência, e as questões pedem justificação. Crédito total precisa: (1) declare que $f$ é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$; (2) calcule a taxa média $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$; (3) conclua “pelo TME existe um $c$ em $(a,b)$ com $f'(c)$ igual a esse valor.” Ambas as hipóteses devem ser nomeadas.

Exemplo resolvido. Para $f(x)=x^2$ em $[1,3]$ a taxa média é $\dfrac{9-1}{2}=4$; definindo $f'(c)=2c=4$ resulta em $c=2$, que está em $(1,3)$ – o ponto garantido.

Por que ambas as hipóteses importam. Considere $f(x)=|x|$ em $[-1,1]$. Ela é contínua, e a taxa média é $\dfrac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)}=\dfrac{1-1}{2}=0$. Mas $f'(x)$ é $-1$ ou $1$ onde ever exista, nunca $0$. O TME não se aplica, porque $f$ não é diferenciável em $x=0$, que está dentro de $(-1,1)$.

Exemplo resolvido (teorema do valor médio a partir de uma tabela). A velocidade $v(t)$ de uma ciclista, em metros por segundo, é diferenciável. Valores selecionados:

(a) Deve haver um instante em $0<t<8$ em que a aceleração seja $0$? $v$ é diferenciável, portanto é contínua em $[2,5]$ e diferenciável em $(2,5)$, e $\dfrac{v(5)-v(2)}{5-2}=\dfrac{7-7}{3}=0$. Pelo teorema do valor médio, existe um $c$ em $(2,5)$ com $v'(c)=0$. Sim.

(b) Deve haver um instante em que a aceleração seja $-2$ m/s²? Em $[5,8]$: $\dfrac{1-7}{8-5}=-2$, portanto, pelo teorema do valor médio, sim, para algum $c$ em $(5,8)$.

As questões dizem “explique por que deve haver…”: nomeie o teorema, enuncie as duas hipóteses (aqui elas decorrem de “diferenciável”) e mostre o cálculo da taxa média.

O Teorema do Valor Extremo (TVE) garante a existência de extremos: uma função contínua em um intervalo fechado $[a,b]$ atinge ambos um máximo absoluto e um mínimo absoluto nele.

Um ponto crítico é um ponto interior do domínio da função onde $f'(x)=0$ ou $f'(x)$ não existe. Todos os extremos locais (relativos) ocorrem em pontos críticos, mas nem todo ponto crítico é um extremo. Portanto, os pontos críticos são os candidatos; você deve testar cada um.

Exemplo resolvido (uma constante a partir de um ponto crítico). $f(x)=\dfrac{1}{x^2-kx}$, em que $k$ é uma constante. Para qual $k$ a função $f$ tem um ponto crítico em $x=2$ e de que tipo ele é?

$f'(x)=-\dfrac{2x-k}{\left(x^2-kx\right)^2}$. Em $x=2$, o numerador deve ser $0$: $4-k=0$, portanto $k=4$. Então $f'(x)=-\dfrac{2x-4}{\left(x^2-4x\right)^2}$. O denominador é positivo, portanto o sinal de $f'$ é o sinal de $-(2x-4)$: positivo imediatamente à esquerda de $2$ e negativo imediatamente à direita. Assim, $f'$ muda de $+$ para $-$ e $f$ tem um máximo relativo em $x=2$, com valor $f(2)=-\tfrac14$. Observe que $x=0$ e $x=4$ não são pontos críticos: eles não pertencem ao domínio.

A primeira derivada diz onde $f$ sobe ou desce:

• $f'(x) > 0$ em um intervalo $\Rightarrow$ $f$ está crescendo ali;
• $f'(x) < 0$ $\Rightarrow$ $f$ está decrescendo.

Na prova, “encontrar os intervalos em que $f$ é crescente” significa: encontrar os pontos críticos, depois testar o sinal de $f'$ entre eles, e justificar com o sinal de $f'$ (um motivo explícito, não apenas um intervalo).

Exemplo resolvido. $f'(x)=(x-1)^2(x+2)$. Onde $f$ é crescente? Os pontos críticos são $x=-2$ e $x=1$. O fator $(x-1)^2$ nunca é negativo, portanto o sinal de $f'$ é o sinal de $x+2$: negativo para $x<-2$, positivo para $x>-2$ (exceto em $f'(1)=0$). Assim, $f$ é decrescente em $(-\infty,-2]$ e crescente em $[-2,\infty)$ – porque $f'>0$, exceto nos zeros isolados $x=-2$ e $x=1$. Em $x=1$, $f'$ não muda de sinal, portanto $x=1$ é um ponto crítico, mas não um extremo.

Para classificar um ponto crítico $x=c$ como máximo local, mínimo local ou nenhum, verifique como $f'$ muda de sinal ali:

• $f'$ muda de $+$ para $-$ em $c$ $\Rightarrow$ máximo local;
• $f'$ muda de $-$ para $+$ em $c$ $\Rightarrow$ mínimo local;
• $f'$ não muda de sinal $\Rightarrow$ nem nenhum.

Sempre indique a mudança de sinal como sua justificativa.

Exemplo resolvido. Para $f(x)=x^3-3x^2$, $f'(x)=3x(x-2)$ é zero em $x=0,2$. Os sinais dão $+,-,+$, então $x=0$ é um máximo local ($f=0$) e $x=2$ um mínimo local ($f=-4$).

Erros comuns. Justificar apenas com “$f'(0)=0$”: um zero de $f'$ torna $x=0$ apenas uma candidata; o motivo é a mudança de sinal de $f'$. Testar o sinal de $f$ em vez de $f'$. Fornecer o valor de $x$ quando a questão pede o máximo valor ($f(0)=0$), ou vice-versa.

Em um intervalo fechado, extremos absolutos (globais) ocorrem apenas em pontos críticos ou extremidades. O teste dos candidatos:

1. Liste todos os pontos críticos em $[a,b]$ e as duas extremidades.
2. Avalie $f$ em cada candidato.
3. A maior saída é o máximo absoluto; a menor é o mínimo absoluto.

Mostre a tabela de valores – a comparação é o argumento.

Exemplo resolvido. Encontre o máximo e mínimo absolutos de $f(x)=x^3-3x^2$ no intervalo $[1,4]$.

$f'(x)=3x(x-2)$ é zero em $x=0$ e $x=2$. Apenas $x=2$ está contido em $[1,4]$, logo as candidatas são $x=1$, $x=2$ e $x=4$:

O máximo absoluto é $16$, em $x=4$; o mínimo absoluto é $-4$, em $x=2$. O máximo ocorre num ponto extremo onde $f'(4)=24\neq 0$: é por isso que os pontos extremos devem constar da lista.

A derivada segunda descreve a curvatura:

• $f'' > 0$ $\Rightarrow$ $f$ é ** côncava para cima** (curvando como uma taça; $f'$ está crescendo);
• $f'' < 0$ $\Rightarrow$ $f$ é côncava para baixo ($f'$ está decrescendo).

Um ponto de inflexão é um ponto em um gráfico contínuo onde a concavidade muda. Onde $f''$ existe em ambos os lados, uma mudança de sinal detecta isso (não apenas $f''=0$); $f''$ pode estar indefinida no próprio ponto. Informe sua coordenada $x$ e justifique com a mudança de sinal de $f''$.

Exemplo resolvido. Para $f(x)=x^4-4x^3$, $f''(x)=12x^2-24x=12x(x-2)$. Seus sinais são $+,-,+$ ao redor de $x=0$ e $x=2$, portanto ambos são pontos de inflexão. Compare com $g(x)=x^4$: $g''(0)=0$, mas $g''(x)=12x^2\ge0$ em ambos os lados, portanto não há ponto de inflexão em $0$. Um zero de $f''$ é apenas um candidato.

Uma alternativa para classificar um ponto crítico $c$ onde $f'(c)=0$:

• $f''(c) > 0$ $\Rightarrow$ côncava para cima $\Rightarrow$ mínimo local;
• $f''(c) < 0$ $\Rightarrow$ côncava para baixo $\Rightarrow$ máximo local;
• Se $f''(c) = 0$ for $\Rightarrow$, o teste é inconclusivo – recorra ao teste da primeira derivada.

Exemplo resolvido (a partir de uma equação diferencial). $y=f(x)$ é a solução de $\dfrac{dy}{dx}=xy-6$ com $f(2)=3$. A função $f$ tem um mínimo relativo, um máximo relativo ou nenhum dos dois em $x=2$?

Em $(2,3)$, $\dfrac{dy}{dx}=2(3)-6=0$, portanto $x=2$ é um ponto crítico. Derive a equação (regra do produto): $\dfrac{d^2y}{dx^2}=y+x\dfrac{dy}{dx}$. Em $(2,3)$, isso é $3+2(0)=3>0$. Como $f'(2)=0$ e $f''(2)>0$, $f$ tem um mínimo relativo em $x=2$ pelo teste da segunda derivada. Você não precisa resolver a equação diferencial.

Caso especial: se uma função contínua tem apenas um ponto crítico em um intervalo e ele é um extremo local, esse ponto também é o extremo absoluto ali.

Características-chave de $f$, $f'$ e $f''$ espelham-se mutuamente. Para esboçar ou ler gráficos:

• $f'>0$ em um intervalo $\Rightarrow$ $f$ é crescente nesse intervalo; uma mudança de $f'$ de $+$ para $-$ em um ponto interior onde $f$ é contínua resulta em um máximo local.
• $f''>0$ em um intervalo $\Rightarrow$ $f'$ é crescente e $f$ tem concavidade para cima nesse intervalo. Uma mudança de concavidade em um ponto de um gráfico contínuo resulta em um ponto de inflexão; $f''$ não precisa existir nem ser zero nesse ponto.

Esta é a habilidade de ler um gráfico para descrever outro. Um setup de exame muito comum dá o gráfico de $f'$ e pergunta sobre $f$: onde está $f$ crescendo (onde $f'>0$), onde estão os extremos de $f$ (onde $f'$ cruza zero, com mudança de sinal), onde está $f$ côncava para cima (onde $f'$ está aumentando). Responda perguntas sobre $f$ usando a altura e inclinação do gráfico de $f'$.

Exemplo resolvido (a questão clássica de gráfico). Seja $g(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ para $-4\le x\le6$, com $f$ mostrado acima.

(a) Onde $g$ é crescente e tem concavidade para baixo? $g$ é crescente onde $g'=f>0$: em $(-2,2)$. $g$ tem concavidade para baixo onde $g''=f'<0$, isto é, onde o gráfico de $f$ é decrescente: em $(0,4)$. Ambas as condições: $(0,2)$.

(b) Pontos de inflexão de $g$. $g''=f'$ muda de sinal onde $f$ passa de crescente para decrescente ou vice-versa: em $x=0$ e $x=4$.

(c) Extremos absolutos de $g$ em $[-4,6]$. $g'=f=0$ em $x=-2$ e $x=2$. Use o teste dos candidatos com áreas orientadas:

O máximo absoluto é $2$, em $x=2$; o mínimo absoluto é $-2$, atingido tanto em $x=-2$ quanto em $x=6$. Para $x<0$, lembre-se de $g(x)=-\displaystyle\int_x^0 f(t)\,dt$: portanto $g(-2)=-(+2)=-2$.

Erro comum. Ler um gráfico de $f'$ como se fosse $f$: “$f$ está aumentando onde o gráfico sobe” está errado. $f$ aumenta onde o gráfico de $f'$ está acima do eixo, e $f$ tem ponto de inflexão onde o gráfico de $f'$ inverte.

Otimização usa a derivada para encontrar o maior ou menor valor de uma quantidade em um intervalo. É a aplicação de candidatos/teste de derivadas a um objetivo real.

Um procedimento confiável:

1. Expresse a quantidade a otimizar como função de uma variável (use uma equação de restrição para eliminar as demais).
2. Defina o intervalo de entradas permitidas.
3. Encontre pontos críticos ($f'=0$ ou indefinido) e teste-os (teste da derivada primeira ou segunda, ou teste dos candidatos se o intervalo for fechado).
4. Responda à pergunta feita, com unidades e interpretação no contexto – a área máxima, o custo mínimo, etc.

Exemplo resolvido. Com $100\ \text{m}$ de cerca para um pen rectangular contra uma parede (apenas três lados cercados), deixe as extremidades serem $x$ e o lado distante $y=100-2x$. A área $A(x)=x(100-2x)=100x-2x^2$ tem $A'(x)=100-4x=0$ em $x=25$; já que $A''=-4<0$ este é o máximo, dando $y=50$ e $A=1250\ \text{m}^2$.

Erros comuns. Tentar otimizar uma função de duas variáveis sem usar a restrição para eliminar uma; omitir a justificativa de que $x=25$ indica um máximo (aqui $A''<0$); e parar em $x=25$ quando a questão pede a maior área.

Exemplo resolvido (menor distância). Encontre o ponto em $y=\sqrt x$ mais próximo de $(3,0)$.

Minimize o quadrado da distância – ele tem o mesmo mínimo e não tem raiz quadrada: $D(x)=(x-3)^2+\left(\sqrt x\right)^2=x^2-5x+9$ para $x\ge0$. $D'(x)=2x-5=0$ em $x=\tfrac52$, e $D''=2>0$, portanto este é o mínimo (o único ponto crítico, logo é o mínimo absoluto). O ponto é $\left(\tfrac52,\sqrt{\tfrac52}\right)$ e a distância é $\sqrt{D\left(\tfrac52\right)}=\sqrt{\tfrac{11}{4}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}$.

Tudo isso se estende a relações implícitas. Um ponto crítico numa relação implícita ocorre onde $\dfrac{dy}{dx}=0$ (tangente horizontal) ou está indeterminado (tangente vertical). Como $\dfrac{dy}{dx}$ geralmente é uma relação em $x$ e $y$, e a segunda derivada envolve $x$, $y$ e $\dfrac{dy}{dx}$, substitua sua expressão da primeira derivada ao encontrar $\dfrac{d^2y}{dx^2}$, depois analise a concavidade pelo seu sinal.

Exemplo resolvido. Para $x^2+y^2-6x=7$: $2x+2y\dfrac{dy}{dx}-6=0$, portanto $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3-x}{y}$.

• Tangentes horizontais: $x=3$, depois $9+y^2-18=7$, portanto $y=\pm4$: os pontos $(3,4)$ e $(3,-4)$.
• Tangentes verticais: $y=0$, depois $x^2-6x-7=0$, portanto $x=7$ ou $x=-1$: os pontos $(7,0)$ e $(-1,0)$.
• Concavidade: $\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{-y-(3-x)\dfrac{dy}{dx}}{y^2}=-\dfrac{y^2+(3-x)^2}{y^3}=-\dfrac{16}{y^3}$, usando a curva: $(x-3)^2+y^2=16$. Assim, a curva tem concavidade para baixo onde $y>0$ e para cima onde $y<0$ – as partes superior e inferior de um círculo.

• $f'>0$ significa aumento, $f'<0$ diminuição; candidatos para extremos são onde $f'=0$ ou é indefinido.
• Classifique um ponto crítico com a mudança de sinal da derivada primeira ou o teste da derivada segunda ($f''>0$ mínimo, $f''<0$ máximo).
• $f''>0$ é côncava para cima, $f''<0$ côncava para baixo; um ponto de inflexão é onde a concavidade muda ($f''$ muda de sinal).
• Para um extremo absoluto em um intervalo fechado, também verifique as extremidades.
• Justifique toda conclusão citando o sinal de $f'$ ou $f''$ – o exame exige o raciocínio, não apenas a resposta.

Pratique.

1. O teorema do valor médio se aplica a $f(x)=x^{2/3}$ em $[-1,8]$? Explique.
2. Encontre os extremos absolutos de $f(x)=x-2\sqrt x$ em $[0,9]$.
3. $f'(x)=x(x-3)^2$. Encontre as coordenadas $x$ dos extremos relativos de $f$ e classifique-os.
4. Encontre os pontos de inflexão de $f(x)=xe^{-x}$.
5. $\dfrac{dy}{dx}=x^2-y$ e a solução passa por $(-2,4)$. Ela tem um mínimo relativo, um máximo relativo ou nenhum dos dois nesse ponto?
6. Uma caixa de base quadrada e sem tampa deve ter capacidade de $32$ cm³. Encontre as dimensões que usam a menor quantidade de material.

Respostas.

1. Não: $f'(x)=\dfrac{2}{3x^{1/3}}$ não existe em $x=0$, que pertence a $(-1,8)$.
2. $f'(x)=1-\dfrac{1}{\sqrt x}=0$ em $x=1$. Candidatos: $f(0)=0$, $f(1)=-1$, $f(9)=3$. Mínimo $-1$ em $x=1$; máximo $3$ em $x=9$.
3. Pontos críticos $x=0$ e $x=3$. $f'$ muda de $-$ para $+$ em $0$ (mínimo relativo); $f'\ge0$ em ambos os lados de $3$ (nenhum dos dois).
4. $f''(x)=(x-2)e^{-x}$ muda de sinal em $x=2$: ponto de inflexão $\left(2,\,2e^{-2}\right)$.
5. $\dfrac{dy}{dx}=4-4=0$. $\dfrac{d^2y}{dx^2}=2x-\dfrac{dy}{dx}=-4-0=-4<0$: máximo relativo.
6. $x^2h=32$; área $A=x^2+4xh=x^2+\dfrac{128}{x}$. $A'=2x-\dfrac{128}{x^2}=0$ em $x=4$, $A''>0$: base de $4$ cm por $4$ cm, altura de $2$ cm.