Aplicações da Integração

Cálculo BC do AP · Tópico 8

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8.1

Encontrando o Valor Médio de uma Função em um Intervalo

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.B: Determinar o valor médio de uma função usando integrais definidas.

CHA-4.B.1 O valor médio de uma função contínua $f$ sobre um intervalo $[a, b]$ é $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O valor médio 平均值 de $f$ sobre $[a,b]$ é a integral dividida pela largura:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

É a altura constante que um retângulo precisaria ter para ter a mesma área que a região sob $f$. Não confunda isso com a média da taxa de variação (que usa a derivada).

Exemplo resolvido. O valor médio de $f(x)=x^2$ em $[0,3]$ é $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explorar

O valor médio de uma função

y = ax³ + bx² + cx + d

O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é sua integral dividida pela largura — a altura constante cujo retângulo tem a mesma área que sob a curva.

8.2

Conectando Posição, Velocidade e Aceleração Usando Integrais

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.C: Determinar valores para posições e taxas de variação usando integrais definidas em problemas envolvendo movimento retilíneo.

CHA-4.C.1 Para uma partícula em movimento retilíneo sobre um intervalo de tempo, a integral definida da velocidade representa o deslocamento da partícula sobre o intervalo de tempo, e a integral definida da rapidez representa a distância total percorrida pela partícula sobre o intervalo de tempo.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Para movimento em linha reta, a integração inverte a diferenciação:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Duas distinções importantes: deslocamento 位移 é $\int_a^b v\,dt$ (variação líquida na posição), enquanto distância total 总路程 é $\int_a^b |v|\,dt$ (dividindo onde $v$ muda de sinal). A velocidade escalar é $|v|$.

8.3

Usando Funções de Acumulação e Integrais Definidas em Contextos Aplicados

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-4): Integrais definidas permitem que resolvamos problemas envolvendo a acumulação de mudança sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.D: Interpretar o significado de uma integral definida em problemas de acumulação.

CHA-4.D.1 Uma função definida como uma integral representa uma acumulação de uma taxa de variação.
CHA-4.D.2 A integral definida da taxa de variação de uma quantidade sobre um intervalo dá a mudança líquida dessa quantidade sobre esse intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-4.E: Determinar a mudança líquida usando integrais definidas em contextos aplicados.

CHA-4.E.1 A integral definida pode ser usada para expressar informações sobre acumulação e mudança líquida em muitos contextos aplicados.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Quando uma taxa é dada (taxa de fluxo, vendas por dia), a integral definida dá o total acumulado, e $\int_a^b R(t)\,dt$ carrega as unidades de $R$ vezes tempo. Um setup comum: quantidade inicial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ dá a quantidade em um tempo posterior. Sempre interprete a resposta no contexto, com unidades.

8.4

Encontrando a Área Entre Curvas Expressas como Funções de x

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.1 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas com integrais definidas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Um oleiro moldando um vaso: volumes de revolução giram uma região plana em torno de um eixo

A área entre $y=f(x)$ (superior) e $y=g(x)$ (inferior) de $a$ a $b$ é

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Encontre os pontos de interseção para os limites, e sempre subtraia superior menos inferior.

A área entre duas curvas é a integral do topo menos a base — A área entre duas curvas é a integral de superior menos inferior

Exemplo resolvido. Entre $y=x$ e $y=x^2$ (cruzando-se em $x=0,1$, com $y=x$ no topo), a área é $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Encontrando a Área Entre Curvas Expressas como Funções de y

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.2 Áreas de regiões no plano podem ser calculadas usando funções de $x$ ou $y$.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Quando as curvas são mais fáceis de descrever como $x=f(y)$, integre em relação a $y$ em vez disso, usando direita menos esquerda:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Escolher integrar em $y$ pode evitar dividir a região em várias partes.

8.6

Encontrando a Área Entre Curvas que se Intersectam Mais de Duas Vezes

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.A: Calcular áreas no plano usando a integral definida.

CHA-5.A.3 Áreas de certas regiões no plano podem ser calculadas usando uma soma de duas ou mais integrais definidas ou por avaliar uma integral definida do valor absoluto da diferença de duas funções.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Se duas curvas cruzarem várias vezes, o superior e o inferior alternam. Divida a região em cada ponto de interseção e integre cada parte com o correto superior menos inferior (ou use $\int|f-g|$), depois some as partes.

8.7

Volumes com Secções Transversais: Quadrados e Retângulos

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

CHA-5.B.1 Volumes de sólidos com secções transversais quadradas e retangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Se as seções transversais 横截面 de um sólido perpendiculares ao eixo $x$ forem quadrados ou retângulos, integre sua área. Com comprimento de lado igual à distância entre duas curvas, uma seção transversal quadrada dá

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

O método é sempre "integrar a área da secção transversal".

8.8

Volumes com Secções Transversais: Triângulos e Semicírculos

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.B: Calcular volumes de sólidos com secções transversais conhecidas usando integrais definidas.

CHA-5.B.2 Volumes de sólidos com secções transversais triangulares podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
CHA-5.B.3 Volumes de sólidos com secções transversais semicirculares e outras definidas geometricamente podem ser encontrados usando integrais definidas e as fórmulas de área para essas formas.
- Exemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
  - O volume de um funil cujas seções transversais são círculos pode ser encontrado usando a fórmula da área do círculo e integrais definidas (consulte 2016 FRQ do Exame AP #5(b)).
  - O volume de um sólido cuja área da seção transversal é definida por uma função pode ser encontrado usando a função de área conhecida e uma integral definida (consulte 2009 FRQ do Exame AB #4(c)).

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Mesma ideia, fórmula de área diferente: para secções transversais triangulares equiláteras use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, e para semicirculares $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (com $s$ sendo a distância entre as curvas). Substitua a fórmula de área e integre.

8.9

Volume com Método dos Discos: Girando em Torno do Eixo x ou y

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.1 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do disco.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Sólidos de revolução: o método dos discos

Girar uma região em torno de um eixo cria um sólido cujas secções transversais são discos. O método dos discos 圆盘法 integra $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

onde o raio $R$ é a distância da curva ao eixo. Use $dy$ quando girar em torno do eixo $y$.

O método dos discos: girar y=f(x) em torno do eixo varre discos de raio f(x)

Exemplo resolvido. Girar a região sob $y=\sqrt{x}$ de $0$ a $4$ em torno do eixo $x$ produz discos de raio $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Girar uma região em torno de um eixo varre um sólido de revolução

8.10

Volume com Método dos Discos: Girando em Torno de Outros Eixos

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.2 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical no plano podem ser encontrados usando integrais definidas com o método dos discos.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Quando o eixo de revolução for uma linha horizontal ou vertical como $y=k$ (não um eixo), o raio se ajusta: $R=|f(x)-k|$. Defina o raio como a distância da curva até essa linha, então integre $\pi R^2$ como antes.

8.11

Volume com Método das Arruelas: Girando em Torno do Eixo x ou y

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.3 Volumes de sólidos de revolução em torno do eixo $x$ ou $y$ cujas secções transversais têm forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método do anel.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Volume pelo método das arandelas

Se a região não tocar o eixo, a rotação deixa um buraco, então as secções transversais são arruelas (anelos). O método das arruelas 垫圈法 subtrai o disco interno:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifique os raios externo e interno como distâncias de cada curva ao eixo.

Vocabulário Treinar

Inglês	Chinês	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	总路程	zǒng lù chéng
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	横截面	héng jié miàn
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	圆盘法	yuán pán fǎ
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	垫圈法	diàn juàn fǎ
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

8.12

Volume com Método das Arruelas: Girando em Torno de Outros Eixos

Programa

Compreensão Permanente (CHA-5): Integrais definidas nos permitem resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança na área ou volume sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-5.C: Calcular volumes de sólidos de revolução usando integrais definidas.

CHA-5.C.4 Volumes de sólidos de revolução em torno de qualquer linha horizontal ou vertical cujas secções transversais são em forma de anel podem ser encontrados usando integrais definidas com o método das anéis.

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

Assim como com os discos, girar em torno de uma linha $y=k$ ou $x=k$ desloca ambos os raios – cada um torna-se a distância de sua curva até essa linha. Esboce a região e o eixo, rotule $R_{\text{outer}}$ e $R_{\text{inner}}$, então integre a diferença dos quadrados.

8.13

O Comprimento de Arco de uma Curva Suave e Distância Percorrida

Programa

Compreensão Duradoura (CHA-6): Integrais definidas permitem-nos resolver problemas envolvendo a acumulação de mudança no comprimento sobre um intervalo.

Objetivo de Aprendizagem CHA-6.A: Determinar o comprimento de uma curva no plano definida por uma função, usando uma integral definida. APENAS BC

CHA-6.A.1 O comprimento de uma curva planar definida por uma função pode ser calculado usando uma integral definida. APENAS BC

Fonte: College Board AP Course and Exam Description

O comprimento de arco 弧长 de $y=f(x)$ de $a$ a $b$ é

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Esta fórmula só para BC vem de somar pequenos hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$. A mesma ideia dá a distância que uma partícula percorre ao longo de um caminho curvo.

Exemplo resolvido. Encontre o comprimento de arco de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ de $x=0$ a $x=3$. Aqui $f'(x)=x^{1/2}$, então $1+(f')^2=1+x$ e

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

A Ponte Golden Gate e seus cabos principais ondulantes — O cabo principal da ponte pende como uma curva suave; uma integral dá seu comprimento exato

8.13

Dicas de prova

A área entre curvas é $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encontre os pontos de interseção para os limites e mantenha superior menos inferior.
Para um volume de revolução, some as seções transversais de disco/anilha de área $\pi r^2$ (ou $\pi(R^2-r^2)$).
O valor médio de $f$ em $[a,b]$ é $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
A mudança acumulada é $\int$ de uma taxa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
Integração significa "somar infinitas peças pequenas" — configure o integrando como uma fina fatia.

Aulas interativas sobre este tópico

Passe por ele passo a passo, com exercícios de verificação instantânea.

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